3.2.2 建立概率模型 学案3（含答案）

3.2.2　建立概率模型
学案
1．理解从不同的角度考虑可以建立不同的概率模型．
2．能够建立概率模型来解决简单的实际问题．
建立不同的古典概型
一般地，在解决实际问题中的古典概型时，对同一个古典概型，把什么看作一个________(即一次试验的结果)是人为规定的，也就是从不同的______去考虑，只要满足以下两点：
①试验中所有可能出现的基本事件只有______个，每次试验只出现其中的一个结果；
②每个试验结果出现的可能性______．
就可以将问题转化为不同的________来解决，所得可能结果越____，那么问题的解决就变得越______．
【做一做1】从甲、乙、丙三名学生中选出两名班委，其中甲被选中的概率为(　　)．
A．
B．
C．
D．1
【做一做2】在两个袋中，分别装有写着0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，求两数之和等于7的概率，对本题给出的以下两种不同的解法，你认为哪种解法正确？为什么？
解法一：因两数之和共有0,1,2,3，…，9,10十一种不同的结果，所以和为7的概率P＝.
解法二：因从每个袋中任取一张卡片，可组成6×6＝36(种)有序卡片对，其中和为7的卡片对为(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)四种，所以P＝＝.
应该从哪个角度来建立古典概型？
剖析：一次试验中，常常不会确定基本事件，即对于把什么看作是古典概型中的基本事件会感到困难，其突破方法是结合实例积累经验，循序渐进地掌握．
例如，一枚均匀的硬币连续抛掷2次，向上的面有(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)4种等可能结果，这是一个古典概型；如果只考虑两次抛掷向上的面是否相同，那么可以认为试验只有两个结果：“向上的面相同”“向上的面一正一反”，这两个结果也是等可能的，也是古典概型；而把出现“2次正面”“2次反面”“1次正面、1次反面”当作基本事件时，就不是古典概型．由此可见，无论从什么角度来建立古典概型，都要满足古典概型的两个特征：
①试验的所有可能结果只有有限个；
②每一个试验结果出现的可能性相同．
否则，建立的概率模型不是古典概型．
题型一
概率模型的构建
【例题1】任取一个正整数，求该数的平方的末位数字是1的概率．
反思：同一个古典概型问题由于考虑的角度不同，其解法繁简差别较大，因此，在选取样本空间时，务必抓住欲求事件的本质，而把其他无关的因素抛开，以简化求解过程．
题型二
构建不同的概率模型解决问题
【例题2】袋中装有除颜色外其他均相同的6个球，其中4个白球、2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球．
分析：求出基本事件的总数，及A，B包含的基本事件的个数，然后套用公式．
反思：用列举法把古典概型试验的基本事件一一列举出来，然后求出其中的m、n，再利用公式P(A)＝求出事件A的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某种顺序，以保证做到不重复、不遗漏．
题型三
易错辨析
【例题3】有1号、2号、3号三个信箱和A，B，C，D四封信，若4封信可以任意投入信箱，投完为止，其中A信恰好投入1号或2号信箱的概率是多少？
错解：每封信投入1号信箱的机会均等，而且所有结果数为4，故A信投入1号或2号信箱的概率为＋＝.
错因分析：应该考虑A信投入各个信箱的概率，而错解考虑成了4封信投入某一信箱的概率．
1在分别写有1,2，…，9的9张卡片中任意抽取一张，则抽得卡片上的数字能被3整除的概率是(　　)．
A．
B．
C．
D．
2有红心1,2,3和黑桃4,5这5张扑克，将牌点向下置于桌上，现从中任意抽取一张，那么抽到的牌为红心的概率为(　　)．
A．
B．
C．
D．
3甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是(　　)．
A．
B．
C．
D．
4
20名高一学生，25名高二学生和30名高三学生在一起座谈，如果任意抽其中一名学生讲话，抽到高一学生的概率是______，抽到高二学生的概率是______，抽到高三学生的概率是______．
5
100个人依次抓阄，决定1件奖品的归属，求最后一个人中奖的概率．
答案：
基础知识·梳理
基本事件　角度　①有限　②相同　古典概型　少　简单
【做一做1】C　基本事件有(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，共3个，其中甲被选中的有(甲，乙)，(甲，丙)共2个，∴P＝.
【做一做2】解：解法一错误，解法二正确，错误的原因在于对试验结果中的基本事件认识不清，本题的基本事件应为由两张卡片上的数字组成的有序数对，而不是所取两张卡片上数字的和，概念的混淆导致了解答的错误．
典型例题·领悟
【例题1】解：因为正整数的个数是无限的，故不属于古典概型．但是一个正整数的平方的末位数字只取决于该正整数的末位数字，正整数的末位数字是0,1,2，…，9中的任意一个数．现任取一正整数，它的末位数字是这十个数字中的任一个是等可能出现的．因此所有的基本事件为：0,1,2，…，9，欲求的事件为1,9，即所求概率P＝＝.
【例题2】解：设4个白球的编号为1、2、3、4,2个红球的编号为5、6.从袋中的6个球中任取两球的取法有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种，且每种取法都是等可能发生的．
(1)从袋中的6个球中任取两球，所取的两球全是白球的取法总数，即为从4个白球中任取两球的方法总数，共有6种，即为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．所以P(A)＝＝.
(2)从袋中的6个球中任取两球，其中一个是白球，另一个是红球的取法有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种．
所以P(B)＝.
【例题3】正解：由于每封信可以任意投入信箱，对于A信，投入各个信箱的可能性是相等的，一共有3种不同的结果．投入1号信箱或2号信箱有2种结果，故A信恰好投入1号或2号信箱的概率为.
随堂练习·巩固
1．D　2．A
3．A　该试验共4个基本事件，所求事件包含2个基本事件，∴其概率P＝.
4．　　　任意抽取一名学生是等可能事件，基本事件总数为75，记事件A，B，C分别表示“抽到高一学生”、“抽到高二学生”和“抽到高三学生”，则它们包含的基本事件的个数分别为20,25和30.
∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.
5．解：只考虑最后一个人抓阄的情况，他可能抓到100个阄中的任何一个，而他摸到有奖的阄的结果只有一种，最后一个人中奖的概率为.