3.2.3 互斥事件 教案3
图片预览
文档简介
3.2.3
互斥事件
教案
●三维目标
1．知识与技能
使学生理解互斥事件和对立事件的概念；能利用公式解决简单的概率问题．
2．过程与方法
通过知识迁移，与集合中相关概念的对比；培养学生用对立统一思想分析问题并解决问题．
3．情感、态度与价值观
通过学生独立思考、分组讨论，培养学生自主学习的习惯、与人合作的团队精神．
●重点难点
重点：理解互斥事件和对立事件概念的区别和联系．
难点：灵活运用P(A＋B)＝P(A)＋P(B)和P(A)＝1－P()两个公式来解决问题．
●教学建议
以问题为主线，引导发现法，教师可以从学生生活掷骰子事件出发，逐步导出互斥事件，使学生既有兴趣又很轻松的理解互斥事件，为下面的学习打好理论基础．
●教学流程
创设情境，引入新课，以课本上的掷骰子为例探究各事件间的关系 总结出互斥和对立事件的概念并展现它们之间的区别与联系，给出概率加法公式 通过例1及变式训练，使学生明确，互斥和对立事件的关系掌握判断事件的方法 通过例2及变式训练，使学生掌握互斥事件概率的运算 通过对互斥事件和对立事件的理解完成例3及变式训练进一步体会概率加法公式 归纳总结，知识升华，使学生从整体上把握本节知识 完成当堂双基达标，巩固本节知识并进行反馈、矫正
课标解读
1.了解互斥事件的概念及概率加法公式(重点)．2．掌握对立事件的概率及概率的计算公式(重点)．3．能利用互斥事件、对立事件的概率计算公式解决复杂的古典概率的计算问题(难点)．4．理解互斥事件和对立事件的区别和联系.
知识1
互斥事件
【问题导思】
在掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件：C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，C3＝{出现3点}，C4＝{出现4点}，C5＝{出现5点}，C6＝{出现6点}，D1＝{出现的点数不大于1}，D2＝{出现的点数大于4}，D3＝{出现的点数小于6}，E＝{出现的点数小于7}，F＝{出现的点数大于6}，G＝{出现的点数为偶数}，H＝{出现的点数为奇数}．
1．事件D3与事件F能同时发生吗？
【提示】 不能．
2．如果事件“C2发生或C4发生或C6发生”，就意味着哪个事件发生？
【提示】 意味着事件G发生．
3．事件D2与事件H同时发生，意味着哪个事件发生？
【提示】 C5发生．
1．互斥事件的定义
在一个随机试验中，我们把一次试验中不能同时发生的两个事件A和B称作互斥事件．
2．事件A与B至少有一个发生
给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．
根据上述定义推广可得：事件A1＋A2＋…＋An表示在一次随机试验中，事件A1，事件A2，…，事件An中至少有一个发生．
3．互斥事件的概率加法公式
一般地，如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生(即A，B中至少有一个发生)的概率等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．这个公式称为互斥事件的概率加法公式．
如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件A1＋A2＋…＋An发生(即A1，A2，…，A
n中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋A_n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
知识2
对立事件及其概率的求法公式
【问题导思】
在知识1的问题导思中，事件G与事件H能同时发生吗？这两个事件有什么关系？
【提示】 事件G与事件H不能同时发生，但必有一个发生．
1．定义
在每一次试验中，如果两个事件A与B不能同时发生，并且一定有一个发生，那么事件A与B称作是对立事件，事件A的对立事件记为.
2．性质
P(A)＋P()＝1，即P(A)＝1－P().
类型1
互斥事件与对立事件的判断
从装有除颜色外其他均相同的5只白球和5只红球的袋中任意取出3只球，判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件．
(1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；
(2)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；
(3)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球．”
【思路探究】 根据对立事件和互斥事件的定义来判断．
【自主解答】 从袋中任意取出3只球有4种结果：3只白球；2只白球1只红球；1只白球2只红球；3只红球．
(1)因为“取出2只红球1只白球”与“取出1只红球2只白球”不能同时发生，所以它们是互斥事件．
当“取出3只白球”时，它们都没有发生，所以它们不是对立事件．
(2)“取出3只球中至少有1只白球”包括三种结果：1只白球2只红球，2只白球1只红球，3只白球．因此它与“取出3只红球”不能同时发生，它们是互斥事件，且它们中必有一个发生，所以又是对立事件．
(3)当取出的3只球都是红球时，它们同时发生，所以它们不是互斥事件，也不是对立事件．
1．要判断两个事件是不是互斥事件，只需找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生，若不能同时发生，则为互斥事件，在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件．
2．判断事件的关系，尤其是互斥事件和对立事件在求概率时非常重要，它直接决定了求解是否正确．应注意互斥事件不能同时发生，对立事件除不能同时发生外，其和事件为必然事件，这些也可类比集合进行理解．
判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明道理．
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数为1～10各10张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
【解】 (1)是互斥事件，不是对立事件．
道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)是对立事件．
道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们是对立事件，
(3)不是互斥事件，也不是对立事件．
道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生．因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
类型2
互斥事件的概率
盒子里装有除颜色外其他均相同的各色球共12个，其中5红、4黑、2白、1绿，从中任取1球，记事件A为“取出1个红球”，事件B为“取出1个黑球”，事件C为“取出1个白球”，事件D为“取出1个绿球”．已知P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
求(1)“取出1球为红球或黑球”的概率；
(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率．
【思路探究】 从12球中任取一球，取到红球、黑球、白球互斥，所以可用互斥事件概率的加法公式求解．
【自主解答】 法一 (1)“取出1球为红球或黑球”的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为
P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.
法二 (1)“取出1球为红球或黑球”的对立事件为“取出1球为白球或绿球”，即A＋B的对立事件为C＋D，故“取出1球为红球或黑球”的概率为
P(A＋B)＝1－P(C＋D)＝1－(P(C)＋P(D))＝1－(＋)＝.
(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1球为绿球”，即A＋B＋C的对立事件为D，所以“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为P(A＋B＋C)＝1－P(D)＝1－＝.
1．解决本题的关键是明确取到不同颜色球不可能同时发生，即互斥．由此可知用概率加法公式．
2．若随机试验中，涉及多个事件，应先分析判断这几个事件是否互斥(或对立)，若是，可利用互斥事件概率的加法公式求解．当某一事件包含几个互斥的事件时，求该事件发生的概率也有上述规律．
在数学考试中，小明的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80分～89分的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07.
(1)求小明在数学考试中，取得80分以上(含80分)成绩的概率；
(2)求小明考试及格的概率．
【解】 分别记小明的成绩“在90分以上”、“在80分～89分”、“在70分～79分”、“在60分～69分”为事件事件B、C、D、E，这四个事件彼此互斥．
(1)小明的成绩在80分以上的概率是P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.
(2)小明考试及格的概率是P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
类型3
对立事件的概率
某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；
(2)射中7环以下的概率．
【思路探究】 求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．
【自主解答】 (1)记“射中10环”为事件A，记“射中7环”为事件B.由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件．“射中10环或7环”的事件为A＋B，故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.
(2)记“射中7环以下”为事件E，E的对立事件为，则事件为“射中7环或8环或9环或10环”．由“射中7环”、“射中8环”、“射中9环”、“射中10环”是彼此互斥事件，故P()＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，从而P(E)＝1－P()＝1－0.97＝0.03.
所以射中10环或7环的概率为0.49，射中7环以下的概率为0.03.
1．必须分析清楚事件A，B是否互斥，只有互斥事件才可以用概率的加法公式．
2．当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时，可先转化为求其对立事件的概率．
经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候人数及相应概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
(1)至多2人排队等候的概率是多少？
(2)至少1人排队等候的概率是多少？
【解】 记事件“在窗口等候的人数为0,1,2,3,4,5人及以上”的事件分别为A，B，C，D，E，F，则它们彼此互斥．
(1)至多2人排队等候的概率是：
法一 P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
法二 P(A＋B＋C)＝1－P(D＋E＋F)＝0.56.
(2)至少1人排队等候的概率是：
法一 P(B＋C＋D＋E＋F)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)
＝0.16＋0.3＋0.3＋0.1＋0.04＝0.9.
法二 P(B＋C＋D＋E＋F)＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.
对互斥事件概念理解有误
抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，求P(A＋B)．
【错解】 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1.
【错因分析】 误认为事件A、B是互斥事件，所以错误地得出
P(A)＝，P(B)＝，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1.
【防范措施】 运用公式时，要明确公式所使用的范围，否则容易出错．
【正解】 记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1、A2、A3，A4，由题意知这四个事件彼此互斥．
故P(A＋B)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝＋＋＋＝.
1．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥．
2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式，如果事件不互斥，那么公式就不能使用！
3．求复杂事件的概率通常有两种方法
方法一：将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；
方法二：先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．
如果采用方法一，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．
1．事件A与B是对立事件，且P(A)＝0.6，则P(B)等于( )
A．0.4 B．0.6 C．0.5 D．1
【解析】
由对立事件的性质知P(A)＋P(B)＝1，
∴P(B)＝1－0.6＝0.4.
【答案】 A
2．某产品分甲、乙、丙三级，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对该产品抽查一件抽到甲级品的概率为( )
A．0.09
B．0.97
C．0.99
D．0.96
【解析】 产品共分三个等级，出现乙级品和丙级品的概率分别为0.03和0.01，则出现甲级品的概率为1－0.03－0.01＝0.96.
【答案】 D
3．从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于200克的概率为0.2，重量在[200,300]克的概率为0.5，那么重量超过300克的概率为( )
A．0.2
B．0.3
C．0.7
D．0.8
【解析】 设“重量小于200克”为事件A，“重量在[200,300]克之间”为事件B，“重量超过300克”为事件C，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.2－0.5＝0.3.故选B.
【答案】 B
4．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求：
(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．
【解】 甲、乙两人下棋，其结果有甲胜、和棋、乙胜三种，它们是互斥事件，“甲获胜”可看做是“和棋或乙胜”的对立事件．“甲不输”可看做是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的和事件，亦可看做“乙胜”的对立事件．
于是，(1)“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率P＝1－－＝，即甲获胜的概率是.
(2)法一 设事件A为“甲不输”，它可看做是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P(A)＝＋＝.
法二 设事件A为“甲不输”，它可看做是“乙胜”的对立事件，所以P(A)＝1－＝，即甲不输的概率是.
一、选择题
1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件
D．以上答案都不对
【解析】 “甲分得红牌”与“乙分得红牌”不能同时发生，但也不是必有一个发生，故选C.
【答案】 C
2．从一篮鸡蛋中取一个，如果其质量小于30克的概率为0.3，在[30,40]克的概率为0.5，则质量不小于30克的概率是( )
A．0.3 B．0.5
C．0.8 D．0.7
【解析】 “不小于30克”与“小于30克”为对立事件，则概率为1－0.3＝0.7.
【答案】 D
3．(2013·南昌检测)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 法一 (直接法)：所取3个球中至少有1个白球的取法可分为互斥的两类：两红一白有6种取法；一红两白有3种取法，而从5个球中任取3个球的取法共有10种，所以所求概率为，故选D.
法二 (间接法)：至少有一个白球的对立事件为所取3个球中没有白球，即只有3个红球，共1种取法，故所求概率为1－＝，故选D.
【答案】 D
4．掷一枚硬币，若出现正面记1分，出现反面记2分，则恰好得3分的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 有三种可能：①连续3次都掷得正面概率为；②第一次掷得正面，第二次掷得反面，其概率为；③第一次掷得反面，第二次掷得正面，其概率为.因而恰好得3分的概率为＋＋＝.
【答案】 A
5．从1,2,3，…，9这9个数中任取两数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数；
上述事件中，对立事件是( )
A．①
B．②④
C．③
D．①③
【解析】 互为对立事件的两个事件既不能同时发生又必有一个发生．故③是符合要求的．
【答案】 C
二、解答题
6．从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(A＋B)＝________.
【解析】 一副扑克牌中有1张红桃K,13张黑桃，事件A与事件B互斥，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
【答案】
图3－2－2
7．如图3－2－2所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是________．
【解析】 1－0.35－0.30－0.25＝0.1.
【答案】 0.1
8．(2013·沈阳高一检测)一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，摸出红球的概率为________．
【解析】 由题意知A＝“摸出红球或白球”与B＝“摸出黑球”是对立事件，又P(A)＝0.58，∴P(B)＝1－P(A)＝0.42，又C＝“摸出红球或黑球”与D＝“摸出白球”为对立事件，P(C)＝0.62，∴P(D)＝0.38.设事件E＝“摸出红球”，则P(E)＝1－P(B∪D)
＝1－P(B)－P(D)＝1－0.42－0.38＝0.2.
【答案】 0.2
三、解答题
9．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛．
(1)求所选3人中恰有1名女生的概率；
(2)求所选3人中至少有1名女生的概率．
【解】 4名男生记为1,2,3,4，两名女生记为5,6，从这6个人中选3个人的方法有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,2,6)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,3,6)，(3,4,5)，(3,4,6)，(4,5,6)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,3,6)，(1,4,5)，(1,4,6)，(1,5,6)，(2,4,5)，(2,4,6)，(2,5,6)，(3,5,6)共20种方法．
(1)所选3人中恰好有1名女生的情况有(1,2,5)，(1,2,6)，(2,3,5)，(2,3,6)，(3,4,5)，(3,4,6)，(1,3,5)，(1,3,6)，(1,4,5)，(1,4,6)，(2,4,5)，(2,4,6)共12种方法．故所选3人中恰好有1名女生的概率为＝.
(2)所选3人中恰好有2名女生的情况有(1,5,6)，(2,5,6)，(3,5,6)，(4,5,6)，共4种情况，则所选3人中至少有1名女生的情况共有12＋4＝16种．
所以，所选3人中至少有1名女生的概率为＝(1－＝)．
10．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．
(1)求中三等奖的概率；(2)求中奖的概率．
【解】 设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B，
从四个小球中有放回地取两球有：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共有16种不同的结果．
(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有：
(1,3)，(2,2)，(3,1)，(0,3)，(1,2)，(2,1)(3,0)，有7种结果，
则中三等奖的概率为P(A)＝.
(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种；
两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2,3)，(3,2)．
两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：(3,3)．
则中奖的概率为P(B)＝＝.
11．(2013·湖南高考)
图3－2－3
某人在如图3－2－3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量：
Y
51
48
45
42
频数
4
(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48
kg的概率．
【解】 (1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：
Y
51
48
45
42
频数
2
4
6
3
所种作物的平均年收获量为
＝＝＝46.
(2)由(1)知，P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝.故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48
kg的概率为P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝＋＝.
(教师用书独具)
假设向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，炸中其余两个的概率各为0.1，只要炸中一个，另两个也会发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．
【自主解答】 设A、B、C分别表示炸中第一、第二、第三个军火库这三个事件，则P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.又设D表示军火库发生爆炸这个事件，则有D＝A＋B＋C，其中A、B、C彼此互斥，所以P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225，则军火库发生爆炸的概率为0.225.
袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取1球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？
【解】 从袋中任取1球，记事件A＝{摸得红球}，事件B＝{摸得黑球}，事件C＝{摸得黄球}，事件D＝{摸得绿球}，则有
解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
所以，得到黑球的概率为，得到黄球的概率为，得到绿球的概率为.
互斥事件
教案
●三维目标
1．知识与技能
使学生理解互斥事件和对立事件的概念；能利用公式解决简单的概率问题．
2．过程与方法
通过知识迁移，与集合中相关概念的对比；培养学生用对立统一思想分析问题并解决问题．
3．情感、态度与价值观
通过学生独立思考、分组讨论，培养学生自主学习的习惯、与人合作的团队精神．
●重点难点
重点：理解互斥事件和对立事件概念的区别和联系．
难点：灵活运用P(A＋B)＝P(A)＋P(B)和P(A)＝1－P()两个公式来解决问题．
●教学建议
以问题为主线，引导发现法，教师可以从学生生活掷骰子事件出发，逐步导出互斥事件，使学生既有兴趣又很轻松的理解互斥事件，为下面的学习打好理论基础．
●教学流程
创设情境，引入新课，以课本上的掷骰子为例探究各事件间的关系 总结出互斥和对立事件的概念并展现它们之间的区别与联系，给出概率加法公式 通过例1及变式训练，使学生明确，互斥和对立事件的关系掌握判断事件的方法 通过例2及变式训练，使学生掌握互斥事件概率的运算 通过对互斥事件和对立事件的理解完成例3及变式训练进一步体会概率加法公式 归纳总结，知识升华，使学生从整体上把握本节知识 完成当堂双基达标，巩固本节知识并进行反馈、矫正
课标解读
1.了解互斥事件的概念及概率加法公式(重点)．2．掌握对立事件的概率及概率的计算公式(重点)．3．能利用互斥事件、对立事件的概率计算公式解决复杂的古典概率的计算问题(难点)．4．理解互斥事件和对立事件的区别和联系.
知识1
互斥事件
【问题导思】
在掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件：C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，C3＝{出现3点}，C4＝{出现4点}，C5＝{出现5点}，C6＝{出现6点}，D1＝{出现的点数不大于1}，D2＝{出现的点数大于4}，D3＝{出现的点数小于6}，E＝{出现的点数小于7}，F＝{出现的点数大于6}，G＝{出现的点数为偶数}，H＝{出现的点数为奇数}．
1．事件D3与事件F能同时发生吗？
【提示】 不能．
2．如果事件“C2发生或C4发生或C6发生”，就意味着哪个事件发生？
【提示】 意味着事件G发生．
3．事件D2与事件H同时发生，意味着哪个事件发生？
【提示】 C5发生．
1．互斥事件的定义
在一个随机试验中，我们把一次试验中不能同时发生的两个事件A和B称作互斥事件．
2．事件A与B至少有一个发生
给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．
根据上述定义推广可得：事件A1＋A2＋…＋An表示在一次随机试验中，事件A1，事件A2，…，事件An中至少有一个发生．
3．互斥事件的概率加法公式
一般地，如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生(即A，B中至少有一个发生)的概率等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．这个公式称为互斥事件的概率加法公式．
如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件A1＋A2＋…＋An发生(即A1，A2，…，A
n中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋A_n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
知识2
对立事件及其概率的求法公式
【问题导思】
在知识1的问题导思中，事件G与事件H能同时发生吗？这两个事件有什么关系？
【提示】 事件G与事件H不能同时发生，但必有一个发生．
1．定义
在每一次试验中，如果两个事件A与B不能同时发生，并且一定有一个发生，那么事件A与B称作是对立事件，事件A的对立事件记为.
2．性质
P(A)＋P()＝1，即P(A)＝1－P().
类型1
互斥事件与对立事件的判断
从装有除颜色外其他均相同的5只白球和5只红球的袋中任意取出3只球，判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件．
(1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；
(2)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；
(3)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球．”
【思路探究】 根据对立事件和互斥事件的定义来判断．
【自主解答】 从袋中任意取出3只球有4种结果：3只白球；2只白球1只红球；1只白球2只红球；3只红球．
(1)因为“取出2只红球1只白球”与“取出1只红球2只白球”不能同时发生，所以它们是互斥事件．
当“取出3只白球”时，它们都没有发生，所以它们不是对立事件．
(2)“取出3只球中至少有1只白球”包括三种结果：1只白球2只红球，2只白球1只红球，3只白球．因此它与“取出3只红球”不能同时发生，它们是互斥事件，且它们中必有一个发生，所以又是对立事件．
(3)当取出的3只球都是红球时，它们同时发生，所以它们不是互斥事件，也不是对立事件．
1．要判断两个事件是不是互斥事件，只需找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生，若不能同时发生，则为互斥事件，在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件．
2．判断事件的关系，尤其是互斥事件和对立事件在求概率时非常重要，它直接决定了求解是否正确．应注意互斥事件不能同时发生，对立事件除不能同时发生外，其和事件为必然事件，这些也可类比集合进行理解．
判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明道理．
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数为1～10各10张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
【解】 (1)是互斥事件，不是对立事件．
道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)是对立事件．
道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们是对立事件，
(3)不是互斥事件，也不是对立事件．
道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生．因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
类型2
互斥事件的概率
盒子里装有除颜色外其他均相同的各色球共12个，其中5红、4黑、2白、1绿，从中任取1球，记事件A为“取出1个红球”，事件B为“取出1个黑球”，事件C为“取出1个白球”，事件D为“取出1个绿球”．已知P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
求(1)“取出1球为红球或黑球”的概率；
(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率．
【思路探究】 从12球中任取一球，取到红球、黑球、白球互斥，所以可用互斥事件概率的加法公式求解．
【自主解答】 法一 (1)“取出1球为红球或黑球”的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为
P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.
法二 (1)“取出1球为红球或黑球”的对立事件为“取出1球为白球或绿球”，即A＋B的对立事件为C＋D，故“取出1球为红球或黑球”的概率为
P(A＋B)＝1－P(C＋D)＝1－(P(C)＋P(D))＝1－(＋)＝.
(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1球为绿球”，即A＋B＋C的对立事件为D，所以“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为P(A＋B＋C)＝1－P(D)＝1－＝.
1．解决本题的关键是明确取到不同颜色球不可能同时发生，即互斥．由此可知用概率加法公式．
2．若随机试验中，涉及多个事件，应先分析判断这几个事件是否互斥(或对立)，若是，可利用互斥事件概率的加法公式求解．当某一事件包含几个互斥的事件时，求该事件发生的概率也有上述规律．
在数学考试中，小明的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80分～89分的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07.
(1)求小明在数学考试中，取得80分以上(含80分)成绩的概率；
(2)求小明考试及格的概率．
【解】 分别记小明的成绩“在90分以上”、“在80分～89分”、“在70分～79分”、“在60分～69分”为事件事件B、C、D、E，这四个事件彼此互斥．
(1)小明的成绩在80分以上的概率是P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.
(2)小明考试及格的概率是P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
类型3
对立事件的概率
某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；
(2)射中7环以下的概率．
【思路探究】 求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．
【自主解答】 (1)记“射中10环”为事件A，记“射中7环”为事件B.由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件．“射中10环或7环”的事件为A＋B，故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.
(2)记“射中7环以下”为事件E，E的对立事件为，则事件为“射中7环或8环或9环或10环”．由“射中7环”、“射中8环”、“射中9环”、“射中10环”是彼此互斥事件，故P()＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，从而P(E)＝1－P()＝1－0.97＝0.03.
所以射中10环或7环的概率为0.49，射中7环以下的概率为0.03.
1．必须分析清楚事件A，B是否互斥，只有互斥事件才可以用概率的加法公式．
2．当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时，可先转化为求其对立事件的概率．
经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候人数及相应概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
(1)至多2人排队等候的概率是多少？
(2)至少1人排队等候的概率是多少？
【解】 记事件“在窗口等候的人数为0,1,2,3,4,5人及以上”的事件分别为A，B，C，D，E，F，则它们彼此互斥．
(1)至多2人排队等候的概率是：
法一 P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
法二 P(A＋B＋C)＝1－P(D＋E＋F)＝0.56.
(2)至少1人排队等候的概率是：
法一 P(B＋C＋D＋E＋F)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)
＝0.16＋0.3＋0.3＋0.1＋0.04＝0.9.
法二 P(B＋C＋D＋E＋F)＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.
对互斥事件概念理解有误
抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，求P(A＋B)．
【错解】 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1.
【错因分析】 误认为事件A、B是互斥事件，所以错误地得出
P(A)＝，P(B)＝，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1.
【防范措施】 运用公式时，要明确公式所使用的范围，否则容易出错．
【正解】 记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1、A2、A3，A4，由题意知这四个事件彼此互斥．
故P(A＋B)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝＋＋＋＝.
1．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥．
2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式，如果事件不互斥，那么公式就不能使用！
3．求复杂事件的概率通常有两种方法
方法一：将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；
方法二：先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．
如果采用方法一，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．
1．事件A与B是对立事件，且P(A)＝0.6，则P(B)等于( )
A．0.4 B．0.6 C．0.5 D．1
【解析】
由对立事件的性质知P(A)＋P(B)＝1，
∴P(B)＝1－0.6＝0.4.
【答案】 A
2．某产品分甲、乙、丙三级，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对该产品抽查一件抽到甲级品的概率为( )
A．0.09
B．0.97
C．0.99
D．0.96
【解析】 产品共分三个等级，出现乙级品和丙级品的概率分别为0.03和0.01，则出现甲级品的概率为1－0.03－0.01＝0.96.
【答案】 D
3．从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于200克的概率为0.2，重量在[200,300]克的概率为0.5，那么重量超过300克的概率为( )
A．0.2
B．0.3
C．0.7
D．0.8
【解析】 设“重量小于200克”为事件A，“重量在[200,300]克之间”为事件B，“重量超过300克”为事件C，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.2－0.5＝0.3.故选B.
【答案】 B
4．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求：
(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．
【解】 甲、乙两人下棋，其结果有甲胜、和棋、乙胜三种，它们是互斥事件，“甲获胜”可看做是“和棋或乙胜”的对立事件．“甲不输”可看做是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的和事件，亦可看做“乙胜”的对立事件．
于是，(1)“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率P＝1－－＝，即甲获胜的概率是.
(2)法一 设事件A为“甲不输”，它可看做是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P(A)＝＋＝.
法二 设事件A为“甲不输”，它可看做是“乙胜”的对立事件，所以P(A)＝1－＝，即甲不输的概率是.
一、选择题
1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件
D．以上答案都不对
【解析】 “甲分得红牌”与“乙分得红牌”不能同时发生，但也不是必有一个发生，故选C.
【答案】 C
2．从一篮鸡蛋中取一个，如果其质量小于30克的概率为0.3，在[30,40]克的概率为0.5，则质量不小于30克的概率是( )
A．0.3 B．0.5
C．0.8 D．0.7
【解析】 “不小于30克”与“小于30克”为对立事件，则概率为1－0.3＝0.7.
【答案】 D
3．(2013·南昌检测)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 法一 (直接法)：所取3个球中至少有1个白球的取法可分为互斥的两类：两红一白有6种取法；一红两白有3种取法，而从5个球中任取3个球的取法共有10种，所以所求概率为，故选D.
法二 (间接法)：至少有一个白球的对立事件为所取3个球中没有白球，即只有3个红球，共1种取法，故所求概率为1－＝，故选D.
【答案】 D
4．掷一枚硬币，若出现正面记1分，出现反面记2分，则恰好得3分的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 有三种可能：①连续3次都掷得正面概率为；②第一次掷得正面，第二次掷得反面，其概率为；③第一次掷得反面，第二次掷得正面，其概率为.因而恰好得3分的概率为＋＋＝.
【答案】 A
5．从1,2,3，…，9这9个数中任取两数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数；
上述事件中，对立事件是( )
A．①
B．②④
C．③
D．①③
【解析】 互为对立事件的两个事件既不能同时发生又必有一个发生．故③是符合要求的．
【答案】 C
二、解答题
6．从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(A＋B)＝________.
【解析】 一副扑克牌中有1张红桃K,13张黑桃，事件A与事件B互斥，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
【答案】
图3－2－2
7．如图3－2－2所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是________．
【解析】 1－0.35－0.30－0.25＝0.1.
【答案】 0.1
8．(2013·沈阳高一检测)一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，摸出红球的概率为________．
【解析】 由题意知A＝“摸出红球或白球”与B＝“摸出黑球”是对立事件，又P(A)＝0.58，∴P(B)＝1－P(A)＝0.42，又C＝“摸出红球或黑球”与D＝“摸出白球”为对立事件，P(C)＝0.62，∴P(D)＝0.38.设事件E＝“摸出红球”，则P(E)＝1－P(B∪D)
＝1－P(B)－P(D)＝1－0.42－0.38＝0.2.
【答案】 0.2
三、解答题
9．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛．
(1)求所选3人中恰有1名女生的概率；
(2)求所选3人中至少有1名女生的概率．
【解】 4名男生记为1,2,3,4，两名女生记为5,6，从这6个人中选3个人的方法有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,2,6)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,3,6)，(3,4,5)，(3,4,6)，(4,5,6)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,3,6)，(1,4,5)，(1,4,6)，(1,5,6)，(2,4,5)，(2,4,6)，(2,5,6)，(3,5,6)共20种方法．
(1)所选3人中恰好有1名女生的情况有(1,2,5)，(1,2,6)，(2,3,5)，(2,3,6)，(3,4,5)，(3,4,6)，(1,3,5)，(1,3,6)，(1,4,5)，(1,4,6)，(2,4,5)，(2,4,6)共12种方法．故所选3人中恰好有1名女生的概率为＝.
(2)所选3人中恰好有2名女生的情况有(1,5,6)，(2,5,6)，(3,5,6)，(4,5,6)，共4种情况，则所选3人中至少有1名女生的情况共有12＋4＝16种．
所以，所选3人中至少有1名女生的概率为＝(1－＝)．
10．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．
(1)求中三等奖的概率；(2)求中奖的概率．
【解】 设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B，
从四个小球中有放回地取两球有：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共有16种不同的结果．
(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有：
(1,3)，(2,2)，(3,1)，(0,3)，(1,2)，(2,1)(3,0)，有7种结果，
则中三等奖的概率为P(A)＝.
(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种；
两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2,3)，(3,2)．
两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：(3,3)．
则中奖的概率为P(B)＝＝.
11．(2013·湖南高考)
图3－2－3
某人在如图3－2－3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量：
Y
51
48
45
42
频数
4
(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48
kg的概率．
【解】 (1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：
Y
51
48
45
42
频数
2
4
6
3
所种作物的平均年收获量为
＝＝＝46.
(2)由(1)知，P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝.故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48
kg的概率为P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝＋＝.
(教师用书独具)
假设向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，炸中其余两个的概率各为0.1，只要炸中一个，另两个也会发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．
【自主解答】 设A、B、C分别表示炸中第一、第二、第三个军火库这三个事件，则P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.又设D表示军火库发生爆炸这个事件，则有D＝A＋B＋C，其中A、B、C彼此互斥，所以P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225，则军火库发生爆炸的概率为0.225.
袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取1球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？
【解】 从袋中任取1球，记事件A＝{摸得红球}，事件B＝{摸得黑球}，事件C＝{摸得黄球}，事件D＝{摸得绿球}，则有
解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
所以，得到黑球的概率为，得到黄球的概率为，得到绿球的概率为.