3.2.3 互斥事件 课时检测（含答案）

3.2.3
互斥事件
课时检测
一、选择题
1．如果事件A与B是互斥事件，则(　　)
A．A＋B是必然事件
B.与一定互斥
C.与一定不互斥
D.＋是必然事件
[答案]　D
[解析]　特例检验：在掷一粒骰子的试验中，“上面出现点数1”与“上面出现点数2”分别记作A与B，则A与B是互斥而不对立的事件，A＋B不是必然事件，与也不互斥，∴A、B选项错误，＋是必然事件，还可举例验证C不正确．
2．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8
g的概率是0.3，质量不小于4.85
g的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85]的概率是(　　)
A．0.62
B.0.38
C．0.02
D.0.68
[答案]　B
[解析]　P＝1－0.3－0.32＝0.38.
3．(2015·吉林高一检测)同时掷3枚硬币，那么下面两个事件中是对立事件的是(　　)
A．至少有1次正面和最多有1次反面
B．最多1次正面和恰好2次正面
C．不多于1次正面和至少有2次正面
D．至少有2次正面和恰好有1次正面
[答案]　C
[解析]　同时掷3枚硬币，其结果为“三正”，“两正一反”，“一正两反”、“三反”共8个结果．所以“不多于1次正面”，是指“一正两反，三反”两种情况，而“至少有2次正面”是指“两正一反，三正”两种情况，因此“不多于1次正面”和“至少有2次正面”是对立事件．故选C.
4．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高低于160
cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175]
cm的概率为0.5，那么该同学的身高超过175
cm的概率为(　　)
A．0.2
B.0.3
C．0.7
D.0.8
[答案]　B
[解析]　设身高低于160
cm为事件M，身高在[160,175]
cm为事件N，身高超过175
cm为事件Q，则事件M、N、Q两两互斥，且M＋N与Q是对立事件，则该同学的身高超过175
cm的概率为P(Q)＝1－P(M＋N)＝1－P(M)－P(N)＝1－0.2－0.5＝0.3.
5.从1,2,3，…，9这9个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是(　　)
A．①
B.②④
C．③
D.①③
[答案]　C
[解析]　可根据互斥和对立事件的定义分析事件，③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～9中任取两数共有3个事件：“两个奇数”“一奇一偶”“两个偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个偶数”是对立事件．
6．抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件A，则为(　　)
A．“至多2件次品”
B.“至多2件正品”
C．“至少2件正品”
D.“至多1件次品”
[答案]　D
[解析]　至少2件次品与至多1件次品不能同时发生，且必有一个发生．
二、填空题
7．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次击中10环，有3次击中9环，有4次击中8环，有1次未中靶．假设此人射击一次，则他中靶的概率大约是________．
[答案]　0.9
[解析]　P＝＋＋＝＝0.9.
8．掷一粒骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A＋发生的概率为________．
[答案]　
[解析]　表示“大于或等于5的点数出现”．
∵A与互斥，
∴P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.
三、解答题
9．一个箱子内有9张票，其号数分别为1、2、…、9.从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是多少？
[分析]　从9张票中任取2张，要弄清楚取法种数为×9×8＝36，“号数至少有一个为奇数”的对立事件是“号数全是偶数”，用对立事件的性质求解非常简单．
[解析]　从9张票中任取2张，有
(1,2)，(1,3)，…，(1,9)；
(2,3)，(2,4)，…，(2,9)；
(3,4)，(3,5)，…，(3,9)；
…
(7,8)，(7,9)；
(8,9)，共计36种取法．
记“号数至少有一个为奇数”为事件B，“号数全是偶数”为事件C，则事件C为从号数为2,4,6,8的四张票中任取2张有(2,4)，(2,6)，(2,8)，(4,6)，(4,8)，(6,8)共6种取法．
∴P(C)＝＝，由对立事件的性质得
P(B)＝1－P(C)＝1－＝.
10.三个臭皮匠顶上一个诸葛亮，能顶得上吗？在一次有关“三国演义”的知识竞赛中，三个臭皮匠A、B、C能答对题目的概率P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，诸葛亮D能答对题目的概率P(D)＝，如果将三个臭皮匠A、B、C组成一组与诸葛亮D比赛，答对题目多者为胜方，问哪方胜．
[解析]　如果三个臭皮匠A、B、C能答对的题目彼此互斥(他们能答对的题目不重复)，则P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝>P(D)＝，故三个臭皮匠方为胜方，即三个臭皮匠顶上一个诸葛亮；如果三个臭皮匠A、B、C能答对的题目不互斥，则三个臭皮匠未必能顶上一个诸葛亮.
一、选择题
1．甲袋中有大小相同的4只白球、2只黑球，乙袋中有大小相同的6只白球、5只黑球，现从两袋中各取一球，则两球颜色相同的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
[答案]　D
[解析]　基本事件总数有6×11＝66，而两球颜色相同包括两种情况：两白或两黑，其包含的基本事件有4×6＋2×5＝34(个)，故两球颜色相同的概率P＝＝.
2．从装有5只红球、5只白球的袋中任意取出3只球，有事件：①“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；②“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”；③“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；④“取出3只红球”与“取出3只白球”．其中是对立事件的是(　　)
A．①②
B.②③
C．③④
D.③
[答案]　D
[解析]　从袋中任取3只球，可能取到的情况有：“3只红球”“2只红球1只白球”“1只红球2只白球”“3只白球”，由此可知①②④中的两个事件都不是对立事件．对于③，“取出3只球中至少有1只白球”包含“2只红球1只白球”“1只红球2只白球”“3只白球”三种情况，故是对立事件．
二、填空题
3．同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点的概率为，则至少有一个5点或6点的概率是________．
[答案]　
[解析]　记“没有5点或6点”的事件为A，则P(A)＝，“至少有一个5点或6点”的事件为B.由已知A与B是对立事件，则P(B)＝1－P(A)＝1－＝.
4．一枚五分硬币连掷三次，事件A为“三次反面向上”，事件B为“恰有一次正面向上”，事件C为“至少两次正面向上”．写出一个事件A、B、C的概率P(A)、P(B)、P(C)之间的正确关系式__________．
[答案]　P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
[解析]　一枚五分硬币连掷三次包含的基本事件有(反，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(正，反，反)，(反，反，正)，(正，反，正)，(正，正，反)，(正，正，正)共8种，事件A＋B＋C刚好包含这8种情况，且它们两两互斥，故P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.
三、解答题
5．在某一时期，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下：
年最高水位
低于10m
10～12m
12～14m
14～16m
不低于16m
概率
0.1
0.28
0.38
0.16
0.08
计算在同一时期内，河流该处的年最高水位在下列范围内的概率．
(1)10～16m；(2)低于12m；(3)不低于14m.
[解析]　分别设年最高水位低于10m，在10～12m，在12～14m，在14～16m，不低于16m为事件A，B，C，D，E.因为这五个事件是彼此互斥的，所以
(1)年最高水位在10～16m的概率是：
P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.
(2)年最高水位低于12m的概率是：
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38.
(3)年最高水位不低于14m的概率是：
P(D＋E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24.
6．某射手射击一次，中靶的概率为0.95.记事件A为“射击一次中靶”，求：
(1)的概率是多少？
(2)若事件B(环数大于5)的概率是0.75，那么事件C(环数小于6)的概率是多少？事件D(环数大于0且小于6)的概率是多少？
[解析]　(1)P()＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.
(2)由题意知，事件B即为“环数为6,7,8,9,10环”
而事件C为“环数为0,1,2,3,4,5环”，
事件D为“环数为1,2,3,4,5环”．
可见B与C是对立事件，而C＝D＋.
因此P(C)＝P()＝1－P(B)＝1－0.75＝0.25.
又P(C)＝P(D)＋P()，
所以P(D)＝P(C)－P()＝0.25－0.05＝0.20.
7．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘轮船去的概率；
(3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？
[解析]　(1)记“他乘火车”为事件A，“他乘轮船”为事件B，“他乘汽车”为事件C，“他乘飞机”为事件D.这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，
所以P(A＋D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7，
即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
(2)设他不乘轮船去的概率为P，则
P＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8.
所以他不乘轮船去的概率为0.8.
(3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．