3.3 模拟方法——概率的应用 教案1
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文档简介
3.3
模拟方法——概率的应用
教案
●三维目标
1．知识与技能
使学生了解模拟方法估计概率的实际应用，初步体会几何概型的意义；并能够运用模拟方法估计概率．
2．过程与方法
培养学生实践能力、协调能力、创新意识和处理数据能力以及应用数学意识．
3．情感、态度与价值观
鼓励学生动手试验，探索、发现规律并解决实际问题，激发学生学习的兴趣．
●重点难点
重点：借助模拟方法来估计某些事件发生的概率；
几何概型的概念及应用；
体会随机模拟中的统计思想：用样本估计总体．
难点：设计和操作一些模拟试验，对从试验中得出的数据进行统计、分析；应用随机数解决各种实际问题．
●教学建议
本节课是在采用信息技术和数学知识整合的基础上从生活实际中提炼数学素材，使学生在熟悉的背景下、在认知冲突中展开学习，通过试验活动的开展，使学生在试验、探究活动中获取原始数据，进而通过数与形的类比，在老师的引导、启发下感悟出模拟的数学结论，通过结论的运用提升为数学模型并加以应用，它实现了学生在学习过程中对知识的探究、发现的创作经历，调动了学生学习的积极性和主动性，同学们在亲身经历知识结论的探究中获得了对数学价值的新认识．
本课是使学生通过试验掌握用模拟方法估计概率，主要是用分组合作试验、探究方法研究数学知识，因此评价时更注重探究和解决问题的全过程，鼓励学生的探索精神，引导学生对问题的正确分析与思考，关注学生提出问题、参与解决问题的全过程，关注学生的创新精神和实践能力．
●教学流程
创设问题情境，引出问题：用试验的方法怎么模拟面积型几何概型 引导学生从实物进行试验模拟，通过试验发现利弊，进而激发学生思考其他方法 通过引导学生回答所提问题理解几何概型的条件、特征，讨论由几何概型能够解决的问题 通过例1及其变式训练，使学生掌握与长度有关的几何概型问题的解题方法
通过例2及其变式训练，使学生掌握与面积有关的几何概型问题的解题策略 通过例3及其变式训练阐明与体积有关的几何概型问题，使学生明确用几何概型解决问题的基本模式 归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正
课标解读
1.记住几何概型的概念和特点(重点)．2．掌握几何概型的计算方法和步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题(重点、难点)．3．了解模拟方法的基本思想，会利用这种思想解决某些具体问题，如求某些不规则图形的近似面积等(难点).
知识1
模拟方法与几何概型
【问题导思】
我们做这样一个试验：往一个圆木盘上随意的掷飞镖，飞镖可能落在圆盘上的任何一个位置．
1．本试验的结果有多少个？
【提示】 无数个．
2．每个试验结果出现的可能性均等吗？
【提示】 均等．
3．它与古典概型有何区别？
【提示】 古典概型中的结果是有限的，而本试验的结果是无限的．
1．模拟方法
模拟方法是一种非常有效而且应用广泛的方法，所以我们常常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率，用模拟方法可以在短时间内完成大量的重要试验．
2．几何概型
向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1?G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即
P(点M落在G1)＝，
则称这种模型为几何概型．
几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．
知识2
几何概型的适用情况以及计算步骤
1.适用情况
几何概型用来计算事件发生的概率时适用于无限多个试验结果的情况，每种结果的出现也要求必须是等可能的．而且事件发生在一个有明确范围的区域中，其概率与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例．
2．计算步骤
①判断是否是几何概型，尤其是判断等可能性；
②计算基本事件空间与事件A所含的基本事件对应的区域的几何度量(长度、面积或体积)n和m.这是计算的难点；
③利用概率公式P(A)＝计算.
类型1
与长度有关的几何概型
取一根长为3
m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不少于1
m的概率有多大？
【思路探究】 先确定概率模型为几何模型，再计算．
【自主解答】 如图所示，记A＝{剪得的两段绳子长都不小于1
m}，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生．
全部试验结果构成的区域长度是绳子的长度3
m，事件A包含的结果构成的区域长度是中间一段的长度，为3×＝1
m，
故事件A发生的概率P(A)＝.
1．解决本题借助图形更容易理解．
2．如果试验的全部结果所构成的区域的几何度量能转化为实际意义上的线段长度，这种模型称为长度型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：
P(A)＝.
函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，则任取一点x0，求使f(x0)≤0成立的概率．
【解】 令f(x)≤0，即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2，所以当所取的点x0满足－1≤x0≤2时，f(x0)≤0成立．又区间[－5,5]的长度为10，区间[－1,2]的长度为3，因此在区间[－5,5]上任取一点x0，
使f(x0)≤0成立的概率为.
类型2
与面积有关的几何概型
向面积为9的△ABC内投一点P，求△PBC的面积小于3的概率．
【思路探究】 先利用图形找到点P所落的区域，再利用面积比求概率．
【自主解答】 如图，作AD⊥BC，垂足为D，设ED＝AD，则AE＝AD.过E作MN∥BC，则MN＝BC.
∴S△AMN＝MN·AE＝×BC×AD＝×BC·AD＝S△ABC.
设事件A：“△PBC的面积小于3”，而点P落在△ABC内任一点的概率相同，当点P落在MN上时，
S△PBC＝S△ABC＝3.
当点P落在线段MN上部时，S△PBC>S△ABC＝3.
当P落在线段MN下部时，S△PBC∴事件A的概率只与四边形BCNM的面积有关，属几何概型．∵S△ABC＝9，S△AMN＝S△ABC＝4，
∴P(A)＝＝＝.
如果试验的全部结果所构成的区域的几何度量能转化为平面图形的面积，这种模型称为面积型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：
P(A)＝.
一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30
m，宽20
m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2
m的概率．
【解】 海豚在水中自由游弋，其在水池中的哪个位置是等可能的，故为几何概型，如图所示：
区域Ω是长30
m，宽20
m的长方形，图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2
m”．问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m2)，阴影部分的面积30×20－26×16＝184(m2)．
P(A)＝＝≈0.31，即海豚嘴尖离岸边不超过2
m的概率数为0.31.
类型3
与体积有关的几何概型
已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，求使四棱锥M－ABCD的体积小于的概率．
【思路探究】 解答本题的关键是结合几何图形分析出概率模型．
【自主解答】 如图，正方体
ABCD－A1B1C1D1.
设M－ABCD的高为h，
则×SABCD×h<.
又SABCD＝1，
∴h<，即点M在正方体的下半部分，∴所求概率P＝＝.
1．这是一道与体积有关的几何概型题，事件的全部结果对应的区域就是棱长为1的正方体，所求事件须满足VM－ABCD<，结合体积公式可确定点M在正方体内的位置，从而解决问题．
2．体积型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：
P(A)＝.
在棱长为3的正方体内任意取一点，求这个点到各面的距离都大于棱长的概率．
【解】 依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离都大于棱长(即大于1)，则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的定义，可得满足题意的概率为P＝＝.
选错几何度量致误
在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM＜AC的概率．
【错解】 设“AM＜AC”为事件A.在边AB上取AC′＝AC，在∠ACB内任作射线CM可看作是在线段AC′上任取一点M，过点C、M作射线CM，则概率为P(A)＝＝＝.
【错因分析】 虽然在线段上任取一点是等可能的，但过点C和任取的点所作的射线是不均匀的，因而不能把等可能取点看作等可能作射线，因此不满足几何概型的条件．
【防范措施】 弄清基本事件的度量是正确解答本题的关键，本题基本事件的度量是∠ACB的大小而不是线段AB的长度．
【正解】 设“AM＜AC”为事件A，在∠ACB内的射线CM是均匀分布的，所以射线CM在任何位置都是等可能的，在AB上取AC′＝AC，则∠ACC′＝67.5°，故满足条件的概率为P(A)＝＝0.75.
几何概型的计算步骤：
判断是否为几何概型
↓
确定并计算基本事件空间
↓
计算事件A所含基本事件
对应的区域的几何度量
↓
代入公式计算
图3－3－1
1．如图3－3－1所示，在地面上水平放置一个塑料圆盘，某人将一个玻璃球随意丢到该圆盘中，则玻璃球落在A区域的概率应为( )
A. B.
C.
D．1
【解析】 总区域是圆的整个区域，A对应区域占整个圆的，所以球落在A区域的概率为，故选A.
【答案】 A
2．在两根相距6
m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂上一盏灯，则灯与木杆两端的距离都大于2
m的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 把绳子三等分，当灯挂在中间一段绳上时，灯与木杆两端的距离都大于2
m，故所求概率为.
【答案】 A
3．已知地铁列车每10
min一班，在车站停1
min，则乘客到达站台即乘上车的概率是________．
【解析】 总的时间段长为10
min，在车站停1
min，
∴P＝.
【答案】
4．在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有带麦锈病的种子的概率是多少？
【解】 记D＝{取出10毫升种子中含有带麦锈病的种子}，
则P(D)＝＝＝0.01.
一、选择题
1．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为( )
A．0.008 B．0.004 C．0.002 D．0.005
【解析】 大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出的2毫升水样中有大肠肝菌为事件A，则事件A构成区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P(A)＝＝0.005.
【答案】 D
2．(2012·辽宁高考)在长为12
cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32
cm2的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 设AC＝x，CB＝12－x，所以x(12－x)<32，解得x<4或x>8.又x>0,12－x>0，所以0【答案】 C
图3－3－2
3．(2013·临沂检测)如图3－3－2，在直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 设A＝{射线OA落在∠xOT内}，则A的几何度量为60°，而区域的总几何度量为360°，故P(A)＝＝.
【答案】 D
4．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体容器内自由飞行，若小蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则小蜜蜂“安全飞行”的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 小蜜蜂若要“安全飞行”，则需控制在以正方体中心为中心的棱长为1的小正方体内部，所以“安全飞行”的概率为两者体积之比，即为.
【答案】 C
图3－3－3
5．如图3－3－3，矩形ABCD中，点E为边CD的中点．若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 不妨设矩形的长、宽分别为a、b，于是S矩形＝ab，S△ABE＝ab，由几何概率的定义可知P＝＝.
【答案】 C
二、填空题
6．在区间[－2,2]上，随机地取一个数x，则x2位于0到1之间的概率是________．
【解析】 x2位于0到1之间时x∈[－1,1]，∴P＝＝.
【答案】
图3－3－4
7．如图3－3－4所示，在一个边长为3
cm的正方形内部画一个边长为2
cm的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是________．
【解析】 因为小正方形的面积与大正方形的面积的比值为.
所以所投的点落入小正方形内的概率是.
【答案】
8．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为________．
【解析】 P＝＝π.
【答案】 π
三、解答题
9．设m在[0,5]上随机地取值，求方程x2＋mx＋＋＝0有实数根的概率．
【解】 方程有实数根 Δ＝m2－4(＋)≥0 m≤－1或m≥2.
又∵m∈[0,5]，
∴方程x2＋mx＋＋＝0有实数根的m的取值范围为[2,5]．
∴方程x2＋mx＋＋＝0有实数根的概率为P＝＝.
10．已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.
(1)若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求f(x)有零点的概率；
(2)若a，b都是从区间[0,4]上任取的一个数，求f(1)＞0的概率．
【解】 (1)a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，则基本事件的总数为5×5＝25.
f(x)有零点的条件为Δ＝a2－4b≥0.即a2≥4b；而事件“a2≥4b”包含12个基本事件：(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以f(x)有零点的概率P1＝.
(2)a，b都是从区间[0,4]上任取的一个数，
f(1)＝－1＋a－b＞0，
即a－b＞1，
由右图可知f(1)＞0的概率P2＝＝.
图3－3－5
11．如图3－3－5所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦的长度不超过1的概率．
【解】 弦长不超过1，即|OQ|≥，而点Q在直径AB上，是随机的，事件A＝{弦长超过1}．
由几何概型的概率公式，得P(A)＝＝.
∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－.
(教师用书独具)
利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y＝2x与x轴，x＝±1围成的部分)的面积．
【自主解答】 (1)利用计算器或计算机产生一组－1～1之间和一组0～2之间的随机数a，b，其中a，b分别是随机点的横坐标和纵坐标；
(2)统计出落在正方形内的点数N和落在阴影部分的点数N1；
(3)计算频率，即为点(a，b)落在阴影部分的概率的近似值；
(4)设阴影部分的面积为S，
用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P＝.
∴≈.
∴S＝即为阴影部分面积的近似值．
如图，在长为4、宽为2的矩形中有一个以矩形的长为直径的半圆．试用随机模拟法近似估计π的值．
【解】 设“随机向矩形内投点，所投的点落在半圆内”为事件A.
(1)利用计算机或计算器产生一组－2～2之间和一组0～2之间的随机数a，b，其中a，b分别是随机点的横坐标和纵坐标；
(2)统计出试验总次数N和满足条件x2＋y2<4的点(x，y)的个数N1；
(3)计算频率fn(A)＝，即为概率P(A)的近似值．半圆的面积为S1＝2π，矩形的面积为S＝8.由几何概型的概率公式得P(A)＝，
所以≈，所以即为π的近似值．
模拟方法——概率的应用
教案
●三维目标
1．知识与技能
使学生了解模拟方法估计概率的实际应用，初步体会几何概型的意义；并能够运用模拟方法估计概率．
2．过程与方法
培养学生实践能力、协调能力、创新意识和处理数据能力以及应用数学意识．
3．情感、态度与价值观
鼓励学生动手试验，探索、发现规律并解决实际问题，激发学生学习的兴趣．
●重点难点
重点：借助模拟方法来估计某些事件发生的概率；
几何概型的概念及应用；
体会随机模拟中的统计思想：用样本估计总体．
难点：设计和操作一些模拟试验，对从试验中得出的数据进行统计、分析；应用随机数解决各种实际问题．
●教学建议
本节课是在采用信息技术和数学知识整合的基础上从生活实际中提炼数学素材，使学生在熟悉的背景下、在认知冲突中展开学习，通过试验活动的开展，使学生在试验、探究活动中获取原始数据，进而通过数与形的类比，在老师的引导、启发下感悟出模拟的数学结论，通过结论的运用提升为数学模型并加以应用，它实现了学生在学习过程中对知识的探究、发现的创作经历，调动了学生学习的积极性和主动性，同学们在亲身经历知识结论的探究中获得了对数学价值的新认识．
本课是使学生通过试验掌握用模拟方法估计概率，主要是用分组合作试验、探究方法研究数学知识，因此评价时更注重探究和解决问题的全过程，鼓励学生的探索精神，引导学生对问题的正确分析与思考，关注学生提出问题、参与解决问题的全过程，关注学生的创新精神和实践能力．
●教学流程
创设问题情境，引出问题：用试验的方法怎么模拟面积型几何概型 引导学生从实物进行试验模拟，通过试验发现利弊，进而激发学生思考其他方法 通过引导学生回答所提问题理解几何概型的条件、特征，讨论由几何概型能够解决的问题 通过例1及其变式训练，使学生掌握与长度有关的几何概型问题的解题方法
通过例2及其变式训练，使学生掌握与面积有关的几何概型问题的解题策略 通过例3及其变式训练阐明与体积有关的几何概型问题，使学生明确用几何概型解决问题的基本模式 归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正
课标解读
1.记住几何概型的概念和特点(重点)．2．掌握几何概型的计算方法和步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题(重点、难点)．3．了解模拟方法的基本思想，会利用这种思想解决某些具体问题，如求某些不规则图形的近似面积等(难点).
知识1
模拟方法与几何概型
【问题导思】
我们做这样一个试验：往一个圆木盘上随意的掷飞镖，飞镖可能落在圆盘上的任何一个位置．
1．本试验的结果有多少个？
【提示】 无数个．
2．每个试验结果出现的可能性均等吗？
【提示】 均等．
3．它与古典概型有何区别？
【提示】 古典概型中的结果是有限的，而本试验的结果是无限的．
1．模拟方法
模拟方法是一种非常有效而且应用广泛的方法，所以我们常常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率，用模拟方法可以在短时间内完成大量的重要试验．
2．几何概型
向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1?G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即
P(点M落在G1)＝，
则称这种模型为几何概型．
几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．
知识2
几何概型的适用情况以及计算步骤
1.适用情况
几何概型用来计算事件发生的概率时适用于无限多个试验结果的情况，每种结果的出现也要求必须是等可能的．而且事件发生在一个有明确范围的区域中，其概率与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例．
2．计算步骤
①判断是否是几何概型，尤其是判断等可能性；
②计算基本事件空间与事件A所含的基本事件对应的区域的几何度量(长度、面积或体积)n和m.这是计算的难点；
③利用概率公式P(A)＝计算.
类型1
与长度有关的几何概型
取一根长为3
m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不少于1
m的概率有多大？
【思路探究】 先确定概率模型为几何模型，再计算．
【自主解答】 如图所示，记A＝{剪得的两段绳子长都不小于1
m}，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生．
全部试验结果构成的区域长度是绳子的长度3
m，事件A包含的结果构成的区域长度是中间一段的长度，为3×＝1
m，
故事件A发生的概率P(A)＝.
1．解决本题借助图形更容易理解．
2．如果试验的全部结果所构成的区域的几何度量能转化为实际意义上的线段长度，这种模型称为长度型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：
P(A)＝.
函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，则任取一点x0，求使f(x0)≤0成立的概率．
【解】 令f(x)≤0，即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2，所以当所取的点x0满足－1≤x0≤2时，f(x0)≤0成立．又区间[－5,5]的长度为10，区间[－1,2]的长度为3，因此在区间[－5,5]上任取一点x0，
使f(x0)≤0成立的概率为.
类型2
与面积有关的几何概型
向面积为9的△ABC内投一点P，求△PBC的面积小于3的概率．
【思路探究】 先利用图形找到点P所落的区域，再利用面积比求概率．
【自主解答】 如图，作AD⊥BC，垂足为D，设ED＝AD，则AE＝AD.过E作MN∥BC，则MN＝BC.
∴S△AMN＝MN·AE＝×BC×AD＝×BC·AD＝S△ABC.
设事件A：“△PBC的面积小于3”，而点P落在△ABC内任一点的概率相同，当点P落在MN上时，
S△PBC＝S△ABC＝3.
当点P落在线段MN上部时，S△PBC>S△ABC＝3.
当P落在线段MN下部时，S△PBC
∴P(A)＝＝＝.
如果试验的全部结果所构成的区域的几何度量能转化为平面图形的面积，这种模型称为面积型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：
P(A)＝.
一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30
m，宽20
m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2
m的概率．
【解】 海豚在水中自由游弋，其在水池中的哪个位置是等可能的，故为几何概型，如图所示：
区域Ω是长30
m，宽20
m的长方形，图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2
m”．问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m2)，阴影部分的面积30×20－26×16＝184(m2)．
P(A)＝＝≈0.31，即海豚嘴尖离岸边不超过2
m的概率数为0.31.
类型3
与体积有关的几何概型
已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，求使四棱锥M－ABCD的体积小于的概率．
【思路探究】 解答本题的关键是结合几何图形分析出概率模型．
【自主解答】 如图，正方体
ABCD－A1B1C1D1.
设M－ABCD的高为h，
则×SABCD×h<.
又SABCD＝1，
∴h<，即点M在正方体的下半部分，∴所求概率P＝＝.
1．这是一道与体积有关的几何概型题，事件的全部结果对应的区域就是棱长为1的正方体，所求事件须满足VM－ABCD<，结合体积公式可确定点M在正方体内的位置，从而解决问题．
2．体积型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：
P(A)＝.
在棱长为3的正方体内任意取一点，求这个点到各面的距离都大于棱长的概率．
【解】 依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离都大于棱长(即大于1)，则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的定义，可得满足题意的概率为P＝＝.
选错几何度量致误
在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM＜AC的概率．
【错解】 设“AM＜AC”为事件A.在边AB上取AC′＝AC，在∠ACB内任作射线CM可看作是在线段AC′上任取一点M，过点C、M作射线CM，则概率为P(A)＝＝＝.
【错因分析】 虽然在线段上任取一点是等可能的，但过点C和任取的点所作的射线是不均匀的，因而不能把等可能取点看作等可能作射线，因此不满足几何概型的条件．
【防范措施】 弄清基本事件的度量是正确解答本题的关键，本题基本事件的度量是∠ACB的大小而不是线段AB的长度．
【正解】 设“AM＜AC”为事件A，在∠ACB内的射线CM是均匀分布的，所以射线CM在任何位置都是等可能的，在AB上取AC′＝AC，则∠ACC′＝67.5°，故满足条件的概率为P(A)＝＝0.75.
几何概型的计算步骤：
判断是否为几何概型
↓
确定并计算基本事件空间
↓
计算事件A所含基本事件
对应的区域的几何度量
↓
代入公式计算
图3－3－1
1．如图3－3－1所示，在地面上水平放置一个塑料圆盘，某人将一个玻璃球随意丢到该圆盘中，则玻璃球落在A区域的概率应为( )
A. B.
C.
D．1
【解析】 总区域是圆的整个区域，A对应区域占整个圆的，所以球落在A区域的概率为，故选A.
【答案】 A
2．在两根相距6
m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂上一盏灯，则灯与木杆两端的距离都大于2
m的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 把绳子三等分，当灯挂在中间一段绳上时，灯与木杆两端的距离都大于2
m，故所求概率为.
【答案】 A
3．已知地铁列车每10
min一班，在车站停1
min，则乘客到达站台即乘上车的概率是________．
【解析】 总的时间段长为10
min，在车站停1
min，
∴P＝.
【答案】
4．在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有带麦锈病的种子的概率是多少？
【解】 记D＝{取出10毫升种子中含有带麦锈病的种子}，
则P(D)＝＝＝0.01.
一、选择题
1．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为( )
A．0.008 B．0.004 C．0.002 D．0.005
【解析】 大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出的2毫升水样中有大肠肝菌为事件A，则事件A构成区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P(A)＝＝0.005.
【答案】 D
2．(2012·辽宁高考)在长为12
cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32
cm2的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 设AC＝x，CB＝12－x，所以x(12－x)<32，解得x<4或x>8.又x>0,12－x>0，所以0
图3－3－2
3．(2013·临沂检测)如图3－3－2，在直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 设A＝{射线OA落在∠xOT内}，则A的几何度量为60°，而区域的总几何度量为360°，故P(A)＝＝.
【答案】 D
4．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体容器内自由飞行，若小蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则小蜜蜂“安全飞行”的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 小蜜蜂若要“安全飞行”，则需控制在以正方体中心为中心的棱长为1的小正方体内部，所以“安全飞行”的概率为两者体积之比，即为.
【答案】 C
图3－3－3
5．如图3－3－3，矩形ABCD中，点E为边CD的中点．若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 不妨设矩形的长、宽分别为a、b，于是S矩形＝ab，S△ABE＝ab，由几何概率的定义可知P＝＝.
【答案】 C
二、填空题
6．在区间[－2,2]上，随机地取一个数x，则x2位于0到1之间的概率是________．
【解析】 x2位于0到1之间时x∈[－1,1]，∴P＝＝.
【答案】
图3－3－4
7．如图3－3－4所示，在一个边长为3
cm的正方形内部画一个边长为2
cm的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是________．
【解析】 因为小正方形的面积与大正方形的面积的比值为.
所以所投的点落入小正方形内的概率是.
【答案】
8．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为________．
【解析】 P＝＝π.
【答案】 π
三、解答题
9．设m在[0,5]上随机地取值，求方程x2＋mx＋＋＝0有实数根的概率．
【解】 方程有实数根 Δ＝m2－4(＋)≥0 m≤－1或m≥2.
又∵m∈[0,5]，
∴方程x2＋mx＋＋＝0有实数根的m的取值范围为[2,5]．
∴方程x2＋mx＋＋＝0有实数根的概率为P＝＝.
10．已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.
(1)若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求f(x)有零点的概率；
(2)若a，b都是从区间[0,4]上任取的一个数，求f(1)＞0的概率．
【解】 (1)a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，则基本事件的总数为5×5＝25.
f(x)有零点的条件为Δ＝a2－4b≥0.即a2≥4b；而事件“a2≥4b”包含12个基本事件：(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以f(x)有零点的概率P1＝.
(2)a，b都是从区间[0,4]上任取的一个数，
f(1)＝－1＋a－b＞0，
即a－b＞1，
由右图可知f(1)＞0的概率P2＝＝.
图3－3－5
11．如图3－3－5所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦的长度不超过1的概率．
【解】 弦长不超过1，即|OQ|≥，而点Q在直径AB上，是随机的，事件A＝{弦长超过1}．
由几何概型的概率公式，得P(A)＝＝.
∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－.
(教师用书独具)
利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y＝2x与x轴，x＝±1围成的部分)的面积．
【自主解答】 (1)利用计算器或计算机产生一组－1～1之间和一组0～2之间的随机数a，b，其中a，b分别是随机点的横坐标和纵坐标；
(2)统计出落在正方形内的点数N和落在阴影部分的点数N1；
(3)计算频率，即为点(a，b)落在阴影部分的概率的近似值；
(4)设阴影部分的面积为S，
用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P＝.
∴≈.
∴S＝即为阴影部分面积的近似值．
如图，在长为4、宽为2的矩形中有一个以矩形的长为直径的半圆．试用随机模拟法近似估计π的值．
【解】 设“随机向矩形内投点，所投的点落在半圆内”为事件A.
(1)利用计算机或计算器产生一组－2～2之间和一组0～2之间的随机数a，b，其中a，b分别是随机点的横坐标和纵坐标；
(2)统计出试验总次数N和满足条件x2＋y2<4的点(x，y)的个数N1；
(3)计算频率fn(A)＝，即为概率P(A)的近似值．半圆的面积为S1＝2π，矩形的面积为S＝8.由几何概型的概率公式得P(A)＝，
所以≈，所以即为π的近似值．