3.3 模拟方法——概率的应用 课时检测（含答案）

3.3
模拟方法—概率的应用
一、选择题
1．在500
mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2
mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是(　　)
A．0.5
B.0.4
C．0.004
D.不能确定
[答案]　C
[解析]　由于取水样的随机性，所求事件A：“在取出2
mL的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比，即＝0.004.
2.如图所示，ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为(　　)
A.
B.1－
C.
D.1－
[答案]　B
[解析]　根据几何概型概率公式所得求概率为P＝＝＝1－.故选B.
3.如图，在地面上放置一个塑料圆盘，吉克将一粒玻璃球丢到该圆盘中，则玻璃球落在A区域内的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.1
[答案]　A
[解析]　玻璃球丢在该圆盘内，玻璃球落在各个区域内是随机的，也是等可能的，并且在该圆盘的任何位置是无限多种，因此该问题是几何概型．由于A区域占整个圆形区域面积的，所以玻璃球落入A区的概率为.
4．在长为10
cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25
cm2与49
cm2之间的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
[答案]　B
[解析]　可以判断属于几何概型．记正方形的面积介于25
cm2与49
cm2之间为事件A，那么正方形的边长为[5,7]内，则事件A构成的区域长度是7－5＝2(cm)，全部试验结果构成的区域长度是10
cm，则P(A)＝＝.
5．在5万km2的某海域里有表面积达40km2的大陆架储藏着石油．若在这海域里随意选定一点钻探，则钻到石油的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
[答案]　A
[解析]　P＝＝.
6.将一个长与宽不等的矩形沿对角线分成四个区域(如右图)，并涂上四种颜色，中间装个指针，使其可以自由转动．对该指针在各区域停留的可能性下列说法正确的是(　　)
A．一样大
B．蓝白区域大
C．红黄区域大
D．由指针转动圈数决定
[答案]　B
[解析]　由题意可知这是一个几何概型问题，因为指针自由转动时，指向哪个区域是等可能的，但由于矩形的长与宽不等，显然蓝白相对的角度比红黄相对的角度大些，据几何概型概率公式，可知指针落在蓝白区域的概率要大于指针落在红黄区域的概率．
二、填空题
7．(2015·重庆文，15)在区间[0,5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．
[答案]　
[解析]　方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的充要条件是即8．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________.
[答案]　
[解析]　如图，
点B可落在优弧上，其弧长为2，由几何概型知概率为.
三、解答题
9．已知单位正方形ABCD，在正方形内(包括边界)任取一点M，求：
(1)△AMB面积大于等于的概率；
(2)AM的长度不小于1的概率．
[解析]　(1)如图，取BC、AD的中点E、F，连接EF，当M在CEFD内运动时，△ABM的面积大于等于，由几何概型定义得P＝＝.
(2)如图，以AB为半径作圆弧，M在阴影部分时，AM的长度大于等于1，由几何概率的意义知P＝＝1－×π×12＝1－.
10．用橡皮泥做成一个直径为6
cm的小球，假设橡皮泥中混入了一个很小的砂粒，试求这个砂粒距离球心不小于1
cm的概率．
[解析]　设“砂粒距离球心不小于1
cm”为事件A，球心为O，砂粒位置为M，则事件A发生，即OM≥1
cm.
设R＝3，r＝1，则
n＝R3，m＝R3－r3.
∴P(A)＝＝1－()3＝1－＝.
故砂粒距离球心不小于1
cm的概率为.
一、选择题
1．在区间[－1,1]上随机地任取两个数x、y，则满足x2＋y2<的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
[答案]　A
[解析]　由于在区间[－1,1]上任取两数x，y有无限种不同的结果，且每种结果出现的机率是均等的，因此，本题为几何概型．
由条件知－1≤x≤1，－1≤y≤1，∴点(x，y)落在边长为2的正方形内部及边界上，即Ω＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，∴μΩ＝4.记事件A＝“x2＋y2<”，则μA＝，∴P(A)＝＝，故选A.
2.(2015·山东文，7)在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
[答案]　A
[解析]　由－1≤log(x＋)≤1得，log2≤log(x＋)≤log，≤x＋≤2,0≤x≤，所以，由几何概型概率的计算公式得，P＝＝，故选A.
二、填空题
3．在直角坐标系xOy中，设集合Ω＝{(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1}，在区域Ω内任取一点P(x，y)，则满足x＋y≤1的概率等于________．
[答案]　
[解析]　集合Ω＝{(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1}所表示的平面区域是边长为1的正方形及其内部的点，如图所示，其面积为1，点P所表示的平面区域为等腰直角三角形及其内部的点，其直角边长为1，面积为，则满足x＋y≤1的概率为P＝.
4．欧阳修《卖油翁》中写道：(翁)及取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，卖油翁的技巧让人叹为观止．若铜钱是直径为3
cm的圆，中间有边长为1
cm的正方形孔．若你随机向铜钱上滴一滴油，则油正好落入孔中的概率是________(油滴的大小忽略不计)．
[答案]　
[解析]　S正方形＝1
cm2，S圆＝π()2＝(cm2)，∴P＝＝.
三、解答题
5．(1)向面积为6的△ABC内任投一点P，求△PBC的面积小于2的概率．
(2)在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，求△PBC的面积大于的概率．
[解析]　(1)取△ABC边BC上的高AE的三等分点M，过点M作BC的平行线，当点P落在图中阴影部分时，△PBC的面积小于2，故概率为＝.
(2)据题意基本事件空间可用线段AB的长度来度量，事件“△PBC的面积大于”可用距离A长为AB的线段的长度来度量，故其概率为＝.
6.设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是4
cm，现用直径等于2
cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．
[解析]　记A＝{硬币落下后与格线没有公共点}，如右图所示，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为1，则小等边三角形的边长为4－2＝2，由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.
7.如图所示，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为·S，假设正方形ABCD的边长为2，M的面积为1，并向正方形ABCD中随机投掷10
000个点，求落入M中的点的数目．
[解析]　记“点落入M中”为事件A，则有P(A)＝＝，
所以向正方形ABCD中随机投掷10
000个点，落入M中的点的数目为：
10
000×＝25
00.
也可由S′＝·S直接代入，即S′＝1，S＝4，n＝10
000，
所以m＝＝＝2
500.
答：落入M中的点的数目为2
500.