3.3 模拟方法——概率的应用 学案1（含答案）

3.3模拟方法—概率的应用
学案
[读教材·填要点]
1．模拟方法
在大量重复试验的前提下，可以用随机事件发生的频率来估计其发生的概率，但确定随机事件发生的频率常常需要人工做大量的重复试验，既费时又费力，并且有时很难实现．因此我们可以借助于模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．
2．几何概型
(1)定义：向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1?G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即
P(点M落在G1)＝，则称这种模型为几何概型．
(2)说明：几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．
[小问题·大思维]
1．几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗？
提示：几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有关，而与构成事件的区域形状无关．
2．在几何概型中，如果A为随机事件，若P(A)＝0，则A一定为不可能事件；若P(A)＝1，则A一定为必然事件，这种说法正确吗？
提示：这种说法不正确．如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，显然它不是不可能事件；如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件．
[研一题]
[例1]　取一根长为3
m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1
m的概率有多大？
[自主解答]　如图所示，记事件A＝{剪得两段绳子长都不小于1
m}，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生．
全部试验结果构成的区域长度是绳子的长度3
m，
事件A包含的结果构成的区域长度是中间一段的长度为3×＝1(m)，故事件A发生的概率P(A)＝.
[悟一法]
在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率．
[通一类]
1．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．
解析：由|x|≤1得，－1≤x≤1，
故易知所求概率为＝.
答案：
[研一题]
[例2]　假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6∶30～7∶30把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间是7∶00～8∶00，问你父亲在离开家前能拿到报纸(称为事件A)的概率是多少？
[自主解答]　如图，送报人到达的时间是6∶30～7∶30的任一时刻，父亲离开家去工作的时间是7∶00～8∶00的任一时刻，如果在直角坐标系内以x轴表示报纸送到的时间，y轴表示父亲离开家的时间，因为报纸送到的时间和父亲离开家的时间都是随机的，所以随机试验的所有结果(x，y)是图中所示正方形中等可能的任意一点．事件A(父亲离开家前能拿到报纸)发生须x≤y，即正方形内阴影部分，事件A发生的概率只与阴影部分的面积大小有关，这符合几何概型的条件．
μA＝12－××＝，μΩ＝1，所以P(A)＝＝.
[悟一法]
在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时，常借助于区域的面积来计算概率的值．此时，只需分清各自区域特征，分别计算其面积，
以公式P(A)＝计算事件的概率即可．
[通一类]
2．在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率为________．
解析：如图所示，区域D表示边长为4的正方形的内部(含边界)，区域E表示单位圆及其内部，因此P＝＝.
答案：
[研一题]
[例3]　有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．
[自主解答]　把判断这个细菌所在的位置看成一次试验，设所取的0.1升水中含有这个细菌为事件A，
则事件A构成的区域体积是0.1升，全部试验结果构成的区域体积是2升，所以P(A)＝＝0.05.
[悟一法]
如果试验的结果所成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总体积及事件A所分布的体积．其概率的计算P(A)＝.
[通一类]
3．在棱长为3的正方体内任意取一个点，求这个点到各面的距离均大于1的概率．
解：记事件A为“点到各面的距离均大于1”，则满足题意的点构成的区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体的内部．由几何概型的计算公式，可得满足题意的概率为P(A)＝＝.
[研一题]
[例4]　设A为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点与A连结，求弦长超过半径的倍的概率．
[自主解答]　如图所示，在⊙O上有一定点A，任取一点B与A连结，则弦长超过半径的倍，即为∠AOB的度数大于90°，而小于270°.
记“弦长超过半径的倍”为事件C，
则C表示的范围是∠AOB∈(，)．
则由几何概型概率的公式，得
P(C)＝＝.
[悟一法]
如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率的计算公式为
P(A)＝.
[通一类]
4．在转盘游戏中，假设转盘有三种颜色：红、绿、蓝．当转盘停止时，如果指针指向红色为赢，绿色为平，蓝色为输．若每种颜色被平均分成四块，不同颜色相间排列，要使赢的概率为，输的概率为，求每个绿色扇形的圆心角为多少度(假设转盘停止位置都是等可能的)．
解：由于转盘停止旋转时，指针指向每个位置都是等可能的，并且位置是无限多的，所以符合几何概型的特点，问题转化为求圆盘角度或周期问题．
因为赢的概率为，故红色所占角度为周角的，即P1＝＝72°.同理，蓝色占周角的，即P2＝＝120°，
所以绿色的角度P3＝360°－120°－72°＝168°.
再将P3分成四等份，得P3÷4＝168°÷4＝42°，
即每个绿色扇形的圆心角为42°.
如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM[错解]　在AB上截取线段AC′，使AC′＝AC.
则P(AM[错因]　因为该题所涉及的基本事件是与角度有关的，而不是在线段AB上取点，即该题是与角度有关的几何概型，而不是与长度有关的几何概型．
[正解]　在AB上取AC′＝AC，
则∠ACC′＝＝67.5°.
∴P(AM1．在500
mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2
mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率为(　　)
A．0　　　　　　　　　　
B．0.002
C．0.004
D．1
解析：由几何概型公式得：P＝＝0.004.
答案：C
2．(2012·辽宁高考)在长为12
cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20
cm2的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：设|AC|＝x
cm,0cm，要使矩形面积大于20
cm2，只要x(12－x)>20，则x2－12x＋20<0,2答案：C
3．在长为10
cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25
cm2与49
cm2之间的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：可以判断属于几何概型．记正方形面积介于25
cm2与49
cm2之间为事件A，那么正方形的边长在[5,7]内，则事件A构成的区域长度是7－5＝2
(cm)，全部试验结果构成的区域长度是10
cm，则事件A发生的概率P(A)＝＝.
答案：B
4．如图所示，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，射线OA落在∠xOT内的概率为________．
解析：记B＝{射线OA落在∠xOT内}，
∵∠xOT＝60°，
∴P(B)＝＝.
答案：
5．两根相距6
m的木杆系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2
m的概率是________．
解析：由题意P＝＝.
答案：
6．国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30
min长的磁带上，从开始30
s处起，有10
s长的一段内容包含两间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？
解：记A＝{按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A的发生就是在0到
min时间段内按错键．P(A)＝＝.
一、选择题
1．在区间[0,3]上任取一点，则此点落在区间[2,3]上的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：区间[2,3]长度为1，总区间[0,3]的长度为3，∴P＝.
答案：A
2．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为(　　)
A.
B.
C.
D．无法计算
解析：由几何概型的公式知：＝，又：S正方形＝4，∴S阴影＝.
答案：B
3．有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为(　　)
解析：A游戏盘的中奖概率为，B游戏盘的中奖概率为，C游戏盘的中奖概率为＝，D游戏盘的中奖概率为＝，A游戏盘的中奖概率最大．
答案：A
4．A是圆上的一定点，在圆上其他位置任取一点B，连接A、B两点，它是一条弦，则它的长度大于等于半径长度的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：如图，当取点落在B、C两点时，弦长等于半径；当取点落在劣弧上时，弦长小于半径；当取点落在优弧上时，弦长大于半径．所以弦长超过半径的概率P＝＝.
答案：B
5．在区间[0,1]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0,1]内的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：设在[0,1]内取出的数为a，b，若a2＋b2也在[0,1]内，则有0≤a2＋b2≤1.如图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形，满足a2＋b2在[0,1]内的点在单位圆内(如阴影部分所示)，故所求概率为＝.
答案：A
二、填空题
6．函数f(x)＝x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0∈[－5,5]，使f(x0)≤0的概率是________．
解析：由f(x0)≤0得x0－2≤0，x0≤2，又x0∈[－5,5]，∴x0∈[－5,2]．
设使f(x0)≤0为事件A，则事件A构成的区域长度是2－(－5)＝7，全部结果构成的区域长度是5－(－5)＝10，则P(A)＝.
答案：
7．圆上的任意两点间的距离大于圆的内接正三角形边长的概率是________．
解析：如图所示，从点A出发的弦中，当弦的另一个端点落在劣弧B上的时候，满足已知条件，当弦的另一个端点在劣弧A或劣弧A上的时候不能满足已知条件．又因为△ABC是正三角形，所以弦长大于正三角形边长的概率是.
答案：
8．已知点P是边长为4的正方形内任一点，则P到四个顶点的距离均大于2的概率是________．
解析：如图所示，边长为4的正方形ABCD，分别以A、B、C、D为圆心，并以2为半径画圆截正方形ABCD后剩余部分是阴影部分．
则阴影部分的面积是
42－4××π×22＝16－4π，
所以所求概率是＝1－.
答案：1－
三、解答题
9．在△ABC内任取一点P，求△ABP与△ABC的面积之比大于的概率．
解：设P点、C点到AB的距离分别为dP、dC，
则S△ABP＝AB·dP，S△ABC＝AB·dC，
所以＝，要使>，
只需使P点落在某条与AB平行的直线的上方，
当然P点应在△ABC之内，而这条与AB平行的直线EF与AB的距离要大于dC的.
由几何概率公式，得P＝＝()2＝.
10．甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他安排，若他早到则不需等待．求甲、乙两人能见面的概率．
解：用x轴、y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间．
若甲早到，当y－x≤30时，两人仍可见面；若乙早到，则两人不可能见面，因此，必须有x≤y.
如图，事件A“两人可以见面”的可能结果是阴影部分的区域．
故P(A)＝＝.