3.3 模拟方法——概率的应用 学案2（含答案）

3.3　模拟方法——概率的应用
学案
1．了解模拟方法估计概率的实际应用，初步体会几何概型的意义．
2．初步学会求一些简单的几何概型中事件的概率．
3．能够运用模拟方法估计概率．
几何概型
(1)定义：向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1?G的概率与G1的面积成______，而与G的形状、位置无关，即
P(点M落在G1)＝____________，
则称这种模型为几何概型．
(2)说明：几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是________之比或________之比．
几何概型的两个特点．一是无限性，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．
【做一做1】判断下列试验中事件发生的概率模型是古典概型还是几何概型．
(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4点”的概率；
(2)如图所示，图中有一个转盘，甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率．
【做一做2】在两根相距6
m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂上一盏灯，则灯与木杆两端的距离都大于2
m的概率是(　　)．
A．
B．
C．
D．
如何判断一个概率模型属于古典概型还是属于几何概型？
剖析：几何概型的特征：一是无限性，试验中所有出现的结果(基本事件)有无限个，即有无限个不同的基本事件；二是等可能性，每个结果出现的可能性是均等的．而古典概型的特征是：一是有限性，指在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；二是等可能性，指每个结果出现的可能性(概率)是均等的．
因此判断一个概率模型属于古典概型还是属于几何概型的步骤是：
①确定一次试验中每个结果(基本事件)出现的可能性(概率)是否均等，如果不均等，那么既不属于古典概型又不属于几何概型；
②如果试验中每个结果出现的可能性是均等时，再判断试验结果的有限性，当试验结果有有限个时，这个概率模型属于古典概型；当试验结果有无限个时，这个概率模型属于几何概型．
题型一
与长度有关的几何概型
【例题1】公共汽车在0～5
min内随机地到达车站．求汽车在1～3
min之间到达的概率．
反思：(1)求与长度有关的几何概型的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示所确定的线段的长度．
(2)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率
P(A)＝.
题型二
与面积有关的几何概型
【例题2】假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间是7：00～8：00，问你父亲在离开家前能拿到报纸(称为事件A)的概率是多少？
分析：利用直角坐标系将题目中的条件转化为平面图形的面积，然后利用几何概型求解．
反思：解决本题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化为平面图形中的面积型几何概型问题．如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为平面图形的面积，这种概率模型称为面积型的几何概型，则可按下列公式来计算其概率：
P(A)＝.
题型三
与体积有关的几何概型
【例题3】有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．
分析：这个细菌所在的位置有无限个，属于几何概型．
反思：如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为几何体的体积，这种概率模型称为体积型的几何概型，则可按下列公式来计算其概率：
P(A)＝.
题型四
与角度有关的几何概型
【例题4】如图所示，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在∠xOT内的概率．
分析：以O为起点作射线OA是随机的，因而射线OA落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT内的概率只与∠xOT的大小有关，符合几何概型的条件．
反思：解答此题的关键是弄清过O作射线OA可以在平面内任意的位置上，而且是均匀的，因而基本事件的发生是等可能的．
题型五
易错辨析
【例题5】在等腰直角△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM＜AC的概率．
错解：设“AM＜AC”为事件A.如图，在AB边上取AC′＝AC.在
∠ACB内任作射线CM，可以看作在线段AB上任取一点M，以C为端点过M作射线．
故P(A)＝＝＝.
错因分析：虽然在线段上任取一点是等可能的，但以C为端点过任取的点所作的射线是不均匀的(反之，在角内作的射线是均匀的，但射线与边AB的交点是不均匀的)，因而不能把等可能取点看作等可能作射线．因此在确定基本事件时，一定要注意选择好观察角度，注意判断基本事件发生的等可能性．本题的几何度量应为角度，而不是长度．
1向如图所示的方砖上随机投掷一粒豆子，则该豆子落在阴影部分的概率是(　　)．
A．
B．
C．
D．
2在数轴上的区间[0,3]上任取一点，则此点坐标大于1的概率为(　　)．
A．
B．
C．
D．
3在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积不小于的概率是(　　)．
A．
B．
C．
D．
4如图所示，转盘上有8个面积相等的扇形，转动转盘，则转盘停止时指针落在阴影部分的概率是__________．
5如图，射箭比赛的箭靶上涂有5个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛中靶面直径是122
cm，靶心直径是12.2
cm，运动员在70米外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，那么射中“黄心”的概率是多少？
答案：
基础知识·梳理
(1)正比　　(2)体积　长度
【做一做1】解：(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，出现的可能结果有6×6＝36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型．
(2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”的概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型．
【做一做2】A　把绳子三等分，当灯挂在中间一段绳子上时，灯与木杆两端的距离都大于2
m，故所求概率为.
典型例题·领悟
【例题1】解：将0～5
min这段时间看作是一段长度为5个单位长度的线段，则1～3
min是这一线段中的2个单位长度．设“汽车在1～3
min之间到达”为事件A，则P(A)＝＝0.4.
【例题2】解：如图，送报人到达的时间是6：30～7：30的任一时刻，父亲离开家去工作的时间是7：00～8：00的任一时刻，如果在直角坐标系内以x轴表示报纸送到的时间，y轴表示父亲离开家的时间，因为报纸送到的时间和父亲离开家的时间都是随机的，所以随机试验的所有结果(x，y)是图中所示正方形中等可能的任意一点．事件A(父亲离开家前能拿到报纸)发生需x≤y，即正方形内阴影部分，事件A发生的概率只与阴影部分的面积大小有关，这符合几何概型的条件．μA＝12－××＝，μΩ＝1，所以P(A)＝＝.
【例题3】解：把判断这个细菌所在的位置看成一次试验，设所取的0.1升水中含有这个细菌为事件A，
则事件A构成的区域体积是0.1升，全部试验结果构成的区域体积是2升，所以P(A)＝＝0.05.
【例题4】解：记B表示“射线OA落在∠xOT内”，
∵∠xOT＝60°，∴P(B)＝＝.
【例题5】正解：设“AM＜AC”为事件A.
如错解中的图，在AB边上取AC′＝AC.以C为端点作射线CM是随机的，因而射线CM落在∠ACB内任何位置都是等可能的，落在∠ACC′内的概率只与∠ACB和∠ACC′的大小有关，符合几何概型的条件．
试验的全部结果构成的区域是90°的角∠ACB，构成事件A的区域是∠ACC′，∠ACC′＝＝67.5°，所以P(A)＝＝0.75.
随堂练习·巩固
1．C　2.B
3．C　如图，在AB边上取点P′，使＝，则点P应在线段AP′上运动，则所求概率为＝.故选C.
4．
5．解：记射中“黄心”为事件B，由于中靶点随机地落在面积为×π×1222
cm2的大圆内，而当中靶点落在面积为×π×12.22
cm2的黄心时，事件B发生，于是事件B发生的概率为P(B)＝＝0.01.
即射中“黄心”的概率是0.01.