第二章 一元二次函数、方程和不等式（单元测试）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学必修第一册

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第二章 一元二次函数、方程和不等式
一、单选题
1．下列命题中，正确的是（　　）
A．若ac＜bc，则a＜b
B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
C．若a＞b＞0，则a2＞b2
D．若a＜b，c＜d，则a﹣c＜b﹣d
2．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，若x满足不等式2x2﹣13x+15＜0，则[x]的取值范围是（　　）
A．（，5） B．{2，3，4，5} C．{1，2，3，4} D．{1，2，3，4，5}
3．已知：﹣1＜b＜0，a＜0，那么下列不等式成立的是（　　）
A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a C．ab＞a＞ab2 D．ab＞ab2＞a
4．已知a，b∈R+，2a+b＝2，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
5．若不等式ax2+bx+c＞0的解为m＜x＜n（其中m＜0＜n），则不等式cx2﹣bx+a＞0的解为（　　）
A．x＞﹣m或x＜﹣n B．﹣n＜x＜﹣m
C．x或x D．
6．若关于x的不等式2x2﹣8x﹣4+a≤0在1≤x≤3内有解，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≤12 B．a≥12 C．a≤10 D．a≥10
7．某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元．设购买2只玫瑰花所需费用为A元，购买3只康乃馨所需费用为B元，则A，B的大小关系是（　　）
A．A＞B
B．A＜B
C．A＝B
D．A，B的大小关系不确定
8．已知正实数p，q，r满足：（1+p）（1+q）＝（1+r）2，，，，则以下不等式正确的是（　　）
A．r≤a B．a≤r≤b C．b≤r≤c D．r≥c
二、多选题
（多选）9．若非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式不一定成立的是（　　）
A．1 B．2
C． D．a2+a＜b2+b
（多选）10．若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有实数根x1，x2，且x1＜x2，则下列结论中正确的说法是（　　）
A．当m＝0时，x1＝2，x2＝3 B．
C．当m＞0时，2＜x1＜x2＜3 D．当m＞0时，x1＜2＜3＜x2
（多选）11．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），则（　　）
A．a＞0
B．不等式bx+c＞0的解集是{x|x＜﹣6}
C．a+b+c＞0
D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为或
（多选）12．下列说法正确的是（　　）
A．的最小值是2
B．的最小值是
C．的最小值是2
D．的最大值是
三、填空题
13．若不等式ax2+2ax﹣1＜0解集为R，则a的范围是　 　 ．
14．若0，则下列不等式：①a+b＜ab；②|a|＞|b|；③2；④b＞a，正确的有　 　
15．已知，，则2α﹣β的取值范围是　 　
16．已知实数x，y满足x＞0，y＞0，x+2y＝2，则x2+4y2+xy的最小值是　 　 ．
四、解答题
17．若实数x＞0，y＞0，且满足x+y＝8﹣xy．
（1）求xy的最大值；
（2）求x+y的最小值
18．设a＞0，b＞0，比较与的大小．
19．已知函数f（x）＝ax2+bx+2．
（Ⅰ）若f（x）＞0的解集为，解不等式x2+2ax+b＜0；
（Ⅱ）若a＞0，b＝﹣2a﹣1，解不等式f（x）＜0．
20．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB上，N在AD上，且对角线MN过C点，已知AB＝4米，AD＝3米，设AN的长为x米（x＞3）．
（1）要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？
（2）求当AM、AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小面积．
21．设x＞1，且x1的最小值为m．
（1）求m；
（2）若关于x的不等式ax2﹣ax+m≥0的解集为R，求a的取值范围．
22．已知二次函数f（x）＝x2﹣2ax+5，其中a＞1．
（Ⅰ）若函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（﹣∞，2]上单调递减，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤3成立，求实数a的取值范围．
第二章 一元二次函数、方程和不等式
参考答案与试题解析
一、单选题
1．下列命题中，正确的是（　　）
A．若ac＜bc，则a＜b
B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
C．若a＞b＞0，则a2＞b2
D．若a＜b，c＜d，则a﹣c＜b﹣d
【答案】C
【分析】根据不等式的基本性质，对选项中的命题判断正误即可．
【解答】解：对于A，由ac＜bc，c＞0时，a＜b；c＜0时，a＞b，所以A错误；
对于B，当a＞b＞0，c＞d＞0时，有ac＞bd，所以B错误；
对于C，当a＞b＞0时，有a2＞b2，所以C正确；
对于D，由a＜b，c＜d，得出﹣d＜﹣c，所以a﹣d＜b﹣c，D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质与应用问题，是基础题．
2．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，若x满足不等式2x2﹣13x+15＜0，则[x]的取值范围是（　　）
A．（，5） B．{2，3，4，5} C．{1，2，3，4} D．{1，2，3，4，5}
【答案】C
【分析】求出不等式2x2﹣13x+15＜0的解集，再根据题意求出[x]的取值范围．
【解答】解：不等式2x2﹣13x+15＜0可化为（x﹣5）（2x﹣3）＜0，
解得x＜5；
又[x]表示不大于x的最大整数，
所以[x]的取值范围是{1，2，3，4}．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了新定义的理解与应用问题，是基础题．
3．已知：﹣1＜b＜0，a＜0，那么下列不等式成立的是（　　）
A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a C．ab＞a＞ab2 D．ab＞ab2＞a
【答案】D
【分析】利用不等式的性质和“作差法”即可得出．
【解答】解：∵﹣1＜b＜0，a＜0，∴ab＞0，b＜0＜1．b2＜1．
∴ab﹣ab2＝ab（1﹣b）＞0，ab2﹣a＝a（b2﹣1）＞0．
∴ab＞ab2＞a．
故选：D．
【点评】熟练掌握不等式的性质和“作差法”是解题的关键．
4．已知a，b∈R+，2a+b＝2，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把式子变形，利用基本不等式，求出它的最小值．
【解答】解：由a，b∈R+，2a+b＝2，∴，
（当且仅当即，时取等号），
故则的最小值为1，
故选：B．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，式子的变形是解题的关键，属于基础题，
5．若不等式ax2+bx+c＞0的解为m＜x＜n（其中m＜0＜n），则不等式cx2﹣bx+a＞0的解为（　　）
A．x＞﹣m或x＜﹣n B．﹣n＜x＜﹣m
C．x或x D．
【答案】C
【分析】由题意用m、n表示出a、b和c，再把不等式cx2﹣bx+a＞0化为以m、n为系数的不等式，求出解集即可．
【解答】解：不等式ax2+bx+c＞0的解为m＜x＜n，所以a＜0，且；
所以b＝﹣a（m+n），c＝amn，
所以不等式cx2﹣bx+a＞0，可化为amnx2+a（m+n）x+a＞0；
又a＜0，
所以mnx2+（m+n）x+1＜0，
即（mx+1）（nx+1）＜0；
又m＜0＜n，
所以不等式化为（x）（x）＞0，且；
所以解不等式得x或x，
即不等式cx2﹣bx+a＜0的解集是（﹣∞，）∪（，+∞）．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了转化与运算能力，是中档题．
6．若关于x的不等式2x2﹣8x﹣4+a≤0在1≤x≤3内有解，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≤12 B．a≥12 C．a≤10 D．a≥10
【答案】A
【分析】原不等式化为a≤﹣2x2+8x+4，问题等价于a小于或等于y＝﹣2x2+8x+4在[1，3]内的最大值时即可．
【解答】解：原不等式2x2﹣8x﹣4+a≤0化为：a≤﹣2x2+8x+4，
设函数y＝﹣2x2+8x+4，其中1≤x≤3；
对称轴x＝2，
则x＝2时函数y＝﹣2x2+8x+4取得最大值为是12，
所以实数a的取值范围是a≤12．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了等价转化思想，是基础题．
7．某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元．设购买2只玫瑰花所需费用为A元，购买3只康乃馨所需费用为B元，则A，B的大小关系是（　　）
A．A＞B
B．A＜B
C．A＝B
D．A，B的大小关系不确定
【答案】A
【分析】设1只玫瑰的价格x元，1只康乃馨的价格y元，根据题意列出x、y所满足的关系式，以及x、y与A、B的关系，进而消去x、y，得到A、B的关系式，最后利用不等式的性质求解即可．
【解答】解：设1只玫瑰的价格x元，1只康乃馨的价格y元，
由题意得，2x＝A，3y＝B，
整理得x，y，
，
将A8乘以﹣2与2AB＜22相加，解得B＜6，
将B＜6代入A＞8中，解得A＞6，
故A＞B，
故选：A．
【点评】本题考查利用函数知识解决应用题以及解不等式的有关知识．新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．
8．已知正实数p，q，r满足：（1+p）（1+q）＝（1+r）2，，，，则以下不等式正确的是（　　）
A．r≤a B．a≤r≤b C．b≤r≤c D．r≥c
【答案】B
【分析】利用基本不等式的性质、配方法即可比较出大小关系．
【解答】解：∵（1+r）2＝（1+p）（1+q）＝1+p+q+pq，
得：，
又（1+r）2＝（1+p）（1+q）＝1+p+q+pq，
得：，
故选：B．
【点评】本题考查了基本不等式的性质、配方法、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
二、多选题
（多选）9．若非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式不一定成立的是（　　）
A．1 B．2
C． D．a2+a＜b2+b
【答案】ABD
【分析】当a＜b＜0时，1不成立可判断A；当时，不成立可判断B；利用作差可判断C，D．
【解答】解：当a＜b＜0时，1不成立，
当时，不成立，
因为0，则一定成立，
因为a2﹣b2+a﹣b＝（a﹣b）（a+b+1）符号不定，故a2+a＜b2+b不一定成立．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了不等式的性质的灵活应用，解题的关键是基本知识的熟练掌握．
（多选）10．若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有实数根x1，x2，且x1＜x2，则下列结论中正确的说法是（　　）
A．当m＝0时，x1＝2，x2＝3 B．
C．当m＞0时，2＜x1＜x2＜3 D．当m＞0时，x1＜2＜3＜x2
【答案】ABD
【分析】令f（x）＝（x﹣2）（x﹣3）﹣m，画图可得所给的命题的真假．
【解答】解：A中，m＝0时，方程为（x﹣2）（x﹣3）＝0，解为：x1＝2，x2＝3，所以A正确；
B中，方程整理可得：x2﹣5x+6﹣m＝0，由不同两根的条件为：Δ＝25﹣4（6﹣m）＞0，可得m，所以B正确．
当m＞0时，即（x﹣2）（x﹣3）＞0，函数f（x）＝（x﹣2）（x﹣3）﹣m与x轴的交点（x1，0），（x2，0），如图可得x1＜2＜3＜x2，所以D正确，C不正确；
故选：ABD．
【点评】考查一元二次方程根的分步，属于基础题．
（多选）11．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），则（　　）
A．a＞0
B．不等式bx+c＞0的解集是{x|x＜﹣6}
C．a+b+c＞0
D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为或
【答案】ABD
【分析】由不等式ax2+bx+c＞0与方程ax2+bx+c＝0之间的关系及题设条件得到a，b，c之间的关系，然后逐项研究选出正确选项．
【解答】解：由题设条件知：a＞0，且方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣2与3，
∴﹣2+3，﹣2×3，整理得：b＝﹣a，c＝﹣6a，故选项A正确；
又∵不等式bx+c＞0可化为：﹣ax﹣6a＞0，∵a＞0，∴x＜﹣6，故选项B正确；
∵a+b+c＝﹣6a＜0，∴选项C不正确；
∵不等式cx2﹣bx+a＜0可化为：﹣6ax2+ax+a＜0，又a＞0，
∴原不等式可化为：6x2﹣x﹣1＞0，解得：x或x，故选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于中档题．
（多选）12．下列说法正确的是（　　）
A．的最小值是2
B．的最小值是
C．的最小值是2
D．的最大值是
【答案】AB
【分析】由已知结合基本不等式，检验各选项的成立条件是否成立即可判断．
【解答】解：由基本不等式可知，x＞0时，x2，当且仅当x即x＝1时取等号，故A正确；
B：，当x＝0时取得等号，故B正确；
C：，令t，则t≥2，
因为在[2，+∞）上单调递增，当t＝2时，取得最小值，故C错误；
D：在x＜0时，没有最大值，故D错误．
故选：AB．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用条件的判断，要注意一正，二定，三相等条件的检验．
三、填空题
13．若不等式ax2+2ax﹣1＜0解集为R，则a的范围是　﹣1＜a≤0　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】讨论a＝0和a≠0时，求出不等式ax2+2ax﹣1＜0解集为R时a的取值范围．
【解答】解：a＝0时，不等式ax2+2ax﹣1＜0化为﹣1＜0，解集为R；
a≠0时，不等式ax2+2ax﹣1＜0解集为R时，
应满足，
解得﹣1＜a＜0；
所以实数a的取值范围是﹣1＜a≤0．
故答案为：﹣1＜a≤0．
【点评】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．
14．若0，则下列不等式：①a+b＜ab；②|a|＞|b|；③2；④b＞a，正确的有　①③　
【答案】见试题解答内容
【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论．
【解答】解：0，∴b＜a＜0．
则下列不等式：①a+b＜0＜ab，正确；
②|a|＞|b|，不正确；
③22，正确；
④b＞a，不正确．
正确的有①③．
故答案为：①③．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15．已知，，则2α﹣β的取值范围是　　
【答案】见试题解答内容
【分析】令x＝α+β∈（π，），y＝α﹣β∈（﹣π，），解出α，β后代入到2α﹣β后变成，再利用x，y的范围可求得．
【解答】解：令x＝α+β∈（π，），y＝α﹣β∈（﹣π，），则，β，
∴2α﹣β＝x+y∈（﹣π，）
故答案为：（﹣π，）．
【点评】本题考查了不等关系与不等式，属基础题．
16．已知实数x，y满足x＞0，y＞0，x+2y＝2，则x2+4y2+xy的最小值是　　 ．
【答案】
【分析】先利用基本不等式可求xy的最大值，然后即可求解．
【解答】解：因为x，y满足x＞0，y＞0，x+2y＝2，
由基本不等式可得，xyx （2y），
当且仅当x＝2y＝1即x＝1，y时取等号，
则x2+4y2+xy＝（x+2y）2﹣3xy
故答案为：
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．
四、解答题
17．若实数x＞0，y＞0，且满足x+y＝8﹣xy．
（1）求xy的最大值；
（2）求x+y的最小值
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用基本不等式可得xy的最大值；（2）由基本不等式可得x+y的最小值，也可由（1）中结论计算可得x+y的最小值．
【解答】解：（1）∵x＞0，y＞0，
∴，
即，解得xy≤4（x＝y＝2取等号）
∴xy的最大值为4．
（2）法一：
∴[（x+y）+8][（x+y）﹣4]≥0
∴x+y≥4（当x＝y＝2取等号）
法二：由（1）可得x+y＝8﹣xy≤8﹣4＝4（x＝y＝2取等号），
即x+y的最小值为4．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．
18．设a＞0，b＞0，比较与的大小．
【答案】见试题解答内容
【分析】a＞b＞0，利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：设a＞0，b＞0，
，
根据均值不等式可得，
2，①
2，②
当且仅当a＝b时取等号，
所以由①+②可得
2（），
即
则与的大小为
．
【点评】本题考查了不等式的性质、基本不等式的计算，属于基础题．
19．已知函数f（x）＝ax2+bx+2．
（Ⅰ）若f（x）＞0的解集为，解不等式x2+2ax+b＜0；
（Ⅱ）若a＞0，b＝﹣2a﹣1，解不等式f（x）＜0．
【答案】见试题解答内容
【分析】（I）结合二次不等式的解集与二次方程的根的关系，结合方程的根与系数关系可求；
（II）结合二次不等式的解法，对a进行分类讨论即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，，
解得a＝﹣2，b＝3，得x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜3，
所以不等式解集为{x|1＜x＜3}．
（Ⅱ）f（x）＝ax2﹣（2a+1）x+2＝（ax﹣1）（x﹣2）＝a（x）（x﹣2）．
①当2，即a时，；
②当2，即a时，无解；
③当2，即0＜a时，2＜x．
综上所述：当a时，不等式解集为{x|}；当a时，不等式解集为 ；
当0＜a时，不等式解集为{x|2＜x}．
【点评】本题主要考查含有参数的二次不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用．
20．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB上，N在AD上，且对角线MN过C点，已知AB＝4米，AD＝3米，设AN的长为x米（x＞3）．
（1）要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？
（2）求当AM、AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）求出矩形AMPN的长与宽，计算其面积，利用面积大于54平方米，建立不等式，即可求得AN的长的范围；
（2）利用换元法，再利用基本不等式，即可求得面积的最小值．
【解答】解：设AN的长为x米（x＞3）
∵ABCD是矩形，∴，∴|AM|
∴SAMPN＝|AN| |AM| （x＞3）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（1）由SAMPN＞54，得 54，
∵x＞3，∴（2x﹣9）（x﹣9）＞0
∴3＜x或x＞9
∴AN长的取值范围是）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
（2）令y，令t＝x﹣3（t＞0）），则x＝t+3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
∴y48
当且仅当t（t＞0），即t＝3时取等号．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）
此时AN＝6，AM＝8，最小面积为48平方米．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（16分）
【点评】本题考查矩形面积的计算，考查解不等式，考查基本不等式的运用，解题的关键是构建函数模型，属于中档题．
21．设x＞1，且x1的最小值为m．
（1）求m；
（2）若关于x的不等式ax2﹣ax+m≥0的解集为R，求a的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）直接利用基本不等式即可求得x1的最小值；
（2）不等式ax2﹣ax+m≥0的解集为R，分a＝0与a≠0进行分类讨论，再结合二次函数的图象与性质列不等式求解即可．
【解答】解：（1）因为x＞1，所以x﹣1＞0，
所以，
当且仅当，即，也即时等号成立，
故．
（2）由（1）知 ，
若不等式 的解集为 R，则
当a＝0 时 恒成立，满足题意；
当a≠0时，，
解得，
综上，，
所以a的取值范围为 ．
【点评】本题考查基本不等式的应用，二次函数的图象及其性质，主要考查学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．
22．已知二次函数f（x）＝x2﹣2ax+5，其中a＞1．
（Ⅰ）若函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（﹣∞，2]上单调递减，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤3成立，求实数a的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）求出f（x）的单调性，求出函数的最值，得到关于a的方程，解出即可；
（Ⅱ）先由函数的解析式求出其对称轴及单调区间；然后根据f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，得出a的一个取值范围；
再对任意的x1，x2∈[1，a+1]，|f（x1）﹣f（x2）|max＝|f（a）﹣f（1）|≤3，又可求出a的一个取值范围；最后两者取交集，则问题解决
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝x2﹣2ax+5，开口向上，对称轴是x＝a＞1，
∴f（x）在[1，a]递减，
∴f（x）max＝f（1）＝6﹣2a＝a，f（x）min＝f（a）＝5﹣a2＝1，
故a＝2；
（Ⅱ）函数f（x）＝x2﹣2ax+5的对称轴是x＝a，则其单调减区间为（﹣∞，a]，
因为f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，所以2≤a，即a≥2．
则|a﹣1|≥|（a+1）﹣a|＝1，
因此任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤3，只需|f（a）﹣f（1）|≤3即可，
即|（a2﹣2a2+5）﹣（1﹣2a+5）|＝|a2﹣2a+1|＝（a﹣1）2≤3，亦即a﹣1，
解得：1a≤1，又a≥2，
因此a∈[2，1]．
【点评】本题主要考查二次函数的单调性，及跨对称轴的区间上的值域问题．
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