专题课:电磁感应中的电路与电荷量问题
[科学推理] (1)逆时针 (2)
(3)ACB部分是电源,ADB部分为外电路,B点相当于电源的正极,等效电路图如图所示.
(4)B点电势高,A、B两点间的电压为路端电压,U=.
例1 从N流向M Bav
[解析] 把切割磁感线的金属棒看成电源,两个半圆环看成两个并联电阻,画出等效电路图如图所示.
金属棒经过圆心O时,等效电源的电动势为E=Blv=2Bav
外电路的总电阻为R外==R
金属棒中的电流大小为I===
金属棒中的电流方向为从N流向M
根据电路结构和分压原理可知,金属棒两端的电压为UMN=·E=Bav.
变式1 D [解析] 根据右手定则可知,回路中的感应电流方向为b→a,故A错误;由法拉第电磁感应定律可知,圆盘产生的感应电动势为E=BL=BL=BL2ω,因C处的电势比D处的电势低,故C、D两端的电势差为UCD=-E=-BL2ω,故B错误;根据欧姆定律可知电路中的电流为I==,则定值电阻消耗的电功率为P=I2R=,故C错误;圆盘转一圈的过程中,回路中产生的焦耳热为Q=EIT=,故D正确.
例2 (1)NBL (2)
[解析] (1)线框从开始释放到进入磁场前瞬间,由机械能守恒定律得mgH=mv2
解得v=
则线框刚进入磁场瞬间产生的感应电动势E=NBLv=NBL
(2)线框进入磁场的过程中,穿过线圈的磁通量的变化量ΔΦ=NBS=NBL2
根据法拉第电磁感应定律得=N
由闭合电路欧姆定律得=
通过线框某截面的电荷量q=Δt
联立解得q=
变式2 C [解析] 将闭合金属圆环从有界磁场中拉出的过程中,通过金属圆环某截面的电荷量q=Δt=Δt=Δt=,两次拉出的过程中穿过金属圆环的磁通量的变化量相等,则两次拉出的过程中通过金属圆环某截面的电荷量不变,即q1∶q2=1∶1,故C正确.
例3 (1)20π V (2)2.5π C
[解析] (1)根据法拉第电磁感应定律得E=n=n=nπ·
由题图乙可知= T/s=1 T/s
根据闭合电路欧姆定律得I=
则电压表的示数为U=IR
联立解得U=20π V
(2)根据法拉第电磁感应定律可知,平均感应电动势为=n=nBπ
根据闭合电路欧姆定律可知,平均感应电流为=
通过定值电阻R的电荷量为q=Δt
联立解得q=2.5π C
随堂巩固
1.D [解析] 设整个圆环的电阻为r,当位于题图所示位置时,电路的外电阻是圆环总电阻的,圆环切割磁感线的有效长度是R,感应电动势E=B·R·v,根据闭合电路欧姆定律可得Uab=E=BRv,选项D正确.
2.A [解析] 设线圈的长边长度为l1,短边长度为l2,线圈的电阻为R,线圈运动的速度为v,磁场的磁感应强度为B,第一次将线圈匀速拉出磁场的过程中,线圈中产生的感应电流I1==,将线圈全部拉出磁场区域所用的时间t1=,则线圈产生的电热Q1=Rt1=,同理,第二次将线圈匀速拉出磁场的过程中,线圈中产生的电热Q2=Rt2=,由于l1>l2,所以Q1>Q2;将线圈拉出磁场的过程中,通过导线横截面的电荷量q=Δt=Δt=Δt=,由于两次将线圈拉出磁场的过程中穿过线圈的磁通量变化量相等,所以两次通过导线横截面的电荷量相等,即q1=q2,选项A正确.
3.BD [解析] 根据楞次定律可知,线圈中产生的感应电流方向为顺时针,则闭合S2,电路稳定后,通过R2的电流由a流向b,选项A错误;根据法拉第电磁感应定律得E=nS=100××0.2 V=4 V,则闭合S2,电路稳定后,通过R2的电流大小为I== A=0.4 A,选项B正确;闭合S2,电路稳定后,电容器上极板带正电,则当断开S1时,电容器放电,通过R2的电流由a流向b,选项C错误;电路稳定后,电容器所带电荷量Q=CUR2=CIR2=3×10-6×0.4×6 C=7.2×10-6 C,则电路稳定后再断开S1,通过R2的电荷量为7.2×10-6 C,选项D正确.专题课:电磁感应中的电路与电荷量问题
学习任务一 电磁感应中的电路问题
[科学推理] 用均匀导线做成的正方形线圈边长为l,正方形线圈的一半放在垂直于纸面向里的匀强磁场中,
如图所示.当磁感应强度以的变化率增大时,思考下列问题:
(1)感应电流的方向为 (选填“顺时针”或“逆时针”).
(2)感应电动势为 .
(3)整个闭合回路中哪部分电路是电源 哪部分是外电路 哪个位置相当于电源的正极 画出等效电路图.
(4)A、B两点哪点电势高 A、B两点间的电压为多大
例1 把总电阻为2R的均匀电阻丝焊接成一半径为a的圆环,水平固定在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中,如图所示.一长度为2a、电阻为R、粗细均匀的金属棒MN放在圆环上,它与圆环始终保持良好接触,当金属棒以恒定速度v向右移动经过圆心O时,求金属棒中的电流大小和方向及金属棒两端的电压UMN.
变式1 [2024·黑龙江哈尔滨期末] 1831年10月28日,法拉第展示了人类历史上第一台发电机——法拉第圆盘发电机,其原理如图所示,水平向右的匀强磁场垂直于盘面,圆盘绕水平轴C以角速度ω匀速转动,铜片D与圆盘的边缘接触,圆盘、导线和阻值为R的定值电阻组成闭合回路.已知圆盘半径为L,圆盘接入CD间的电阻为r=,其他电阻均可忽略不计.下列说法正确的是 ( )
A.回路中的感应电流方向为a→b
B.C、D两端的电势差为UCD=BL2ω
C.定值电阻消耗的电功率为
D.圆盘转一圈的过程中,回路中产生的焦耳热为
【要点总结】
1.处理电磁感应中电路问题的一般思路
(1)明确“角色”:确定“电源”和外电路.哪部分电路或导体产生感应电动势,该部分电路或导体就相当于电源,其他部分是外电路.
(2)画等效电路图:分清内、外电路.
(3)求感应电动势:用法拉第电磁感应定律E=n或E=Blv确定感应电动势的大小,用楞次定律或右手定则确定感应电流的方向.
(4)对闭合回路进行分析、计算:运用闭合电路欧姆定律、串并联电路特点,计算电流、电压、电功率、电热等物理量.
2.电磁感应中电路的五个等效问题
学习任务二 电磁感应中的电荷量问题
[物理建模] 闭合回路中磁通量发生变化时,电荷发生定向移动而形成感应电流,在Δt时间内通过某一截面的电荷量(感应电荷量)q=·Δt=·Δt=n·=.
例2 [2023·河南洛阳期中] 如图所示,有界匀强磁场垂直于纸面,磁场的上下两条边界线之间的距离为L.竖直面内有一个N匝正方形闭合线框,将线框从其底边与磁场上边界距离为H处由静止释放.已知线框的边长为L、质量为m、总电阻为R,重力加速度为g,磁感应强度为B,空气阻力不计.求:
(1)线框刚进入磁场瞬间产生的感应电动势;
(2)线框进入磁场的过程中通过线框某截面的电荷量.
变式2 [2023·广东惠阳实验中学月考] 如图所示,将一个闭合金属圆环从有界磁场中匀速拉出,第一次速度为v,通过金属圆环某截面的电荷量为q1,第二次速度为2v,通过金属圆环某截面的电荷量为q2,则 ( )
A.q1∶q2=1∶2
B.q1∶q2=1∶4
C.q1∶q2=1∶1
D.q1∶q2=2∶1
例3 [2024·河南信阳期末] 如图甲所示,水平放置的线圈匝数n=200匝,半径r1=0.5 m,电阻r=6 Ω,线圈与阻值R=10 Ω的定值电阻相连.在线圈的中央有一个半径r2=0.4 m的有界匀强磁场,磁感应强度按如图乙所示规律变化.圆周率用π表示.
(1)求电压表的示数U;
(2)若撤去原磁场,在图中虚线的右侧空间沿相同方向加磁感应强度B=0.8 T的匀强磁场,把整个装置向左完全移出匀强磁场区域,求这一过程中通过定值电阻R的电荷量q.
1.(电磁感应中的电路问题)如图所示,由均匀导线制成的半径为R的圆环以速度v匀速进入一磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的有直线边界(图中竖直虚线)的匀强磁场.当圆环运动到图示位置(∠aOb=90°)时,a、b两点的电势差为( )
A.BRv B.BRv
C.BRv D.BRv
2.(电磁感应中的电荷量问题)[2023·湖北当阳一中期中] 如图所示,先后两次将同一个矩形线圈从匀强磁场中匀速拉出,两次拉动的速度相同.第一次线圈长边与磁场边界平行,将线圈全部拉出磁场区域,线圈产生的电热为Q1,通过导线横截面的电荷量为q1; 第二次线圈短边与磁场边界平行,将线圈全部拉出磁场区域,线圈产生的电热为Q2,通过导线横截面的电荷量为q2,则 ( )
A.Q1>Q2,q1=q2
B.Q1=Q2,q1>q2
C.Q1D.Q1>Q2,q1>q2
3.(电磁感应中的电荷量问题)(多选)如图甲所示,线圈A(图中实线,共100匝)的横截面积为0.3 m2,总电阻r=2 Ω,A右侧所接电路中,电阻R1=2 Ω,R2=6 Ω,电容器的电容C=3 μF,开关S1闭合.A中有横截面积为0.2 m2的区域M(图中虚线),M内有图乙所示的变化磁场,t=0时刻,磁场方向垂直于线圈平面向里.下列判断正确的是( )
A.闭合S2,电路稳定后,通过R2的电流由b流向a
B.闭合S2,电路稳定后,通过R2的电流大小为0.4 A
C.闭合S2,电路稳定后再断开S1,通过R2的电流由b流向a
D.闭合S2,电路稳定后再断开S1,通过R2的电荷量为7.2×10-6 C专题课:电磁感应中的电路与电荷量问题
1.B [解析] 磁场中切割磁感线的边相当于电源,外电路可看作由三个相同电阻串联而成,选项A、C、D中ab两端电势差的绝对值为外电路中一个电阻两端的电压,即U=E=,选项B中ab两端电势差的绝对值为路端电压,即U'=E=,B正确.
2.A [解析] 当摆到竖直位置时,导体棒产生的感应电动势为E=BL=B·2a·=Bav,在竖直位置时,外电阻R外=,电路电流I==,故AB两端的电压大小为U=I·=,故A正确.
3.BD [解析] 设磁感应强度为B,CD边长度为L,AD边长为L',线圈电阻为R,线圈进入磁场过程中,产生的感应电动势为E=BLv,感应电流为I==,即感应电流I与速度v成正比,所以第一次进入与第二次进入时线圈中的电流之比为I1∶I2=v∶3v=1∶3,A错误,B正确;通过线圈某截面的电荷量为q=IΔt=Δt=,即电荷量与速度无关,所以第一次进入与第二次进入时通过线圈某截面的电荷量之比为1∶1,C错误,D正确.
4.D [解析] 由题图乙可知,0~1 s时间内,磁感应强度增大,根据楞次定律可知,金属圆环中产生俯视逆时针方向的电流,1~3 s时间内,磁感应强度减小,根据楞次定律可知,金属圆环中产生俯视顺时针方向的电流,两段时间内金属圆环中感应电流的方向相反,选项A错误;由题图乙可知,0~1 s时间内与1~3 s时间内,磁感应强度的变化量相同,磁感应强度变化率的绝对值之比为2∶1,根据法拉第电磁感应定律可知E==S,根据闭合电路欧姆定律可知I==,则两段时间内金属圆环中感应电流的大小之比为I1∶I2=2∶1,根据焦耳定律可知Q=I2Rt,则两段时间内金属圆环中产生的焦耳热之比Q1∶Q2=(Δt1)∶(Δt1)=2∶1,根据电荷量公式q=IΔt,则两段时间内通过金属圆环某一截面的电荷量之比q1∶q2=(I1Δt1)∶(I2Δt1)=1∶1,选项B、C错误,D正确.
5.D [解析] 磁感应强度均匀增加,回路中产生的感应电流的方向为逆时针方向,Q板带正电,P板带负电,选项A错误;由L=2πR,得R=,感应电动势E=·S=k·πR2,解得E=,电容器上的电荷量Q=CE=,选项B、C错误,选项D正确.
6.C [解析] 根据题意可知,线框右半部分所在处的磁感应强度不变,左半部分所在处的磁感应强度均匀增大,由法拉第电磁感应定律可知,t0时刻,线框中产生的感应电动势大小为E==S=·=,线框中的感应电流为I==,由楞次定律可知,线框中电流为逆时针方向,由左手定则可知,线框上下两边框对称位置受到的安培力等大反向,合力为零,线框左右两边框受到的安培力方向均向右,大小均为F=IdB0=,所以线框受到的安培力大小为F合=2F=,故A、B错误;2t0时刻,线框中产生的感应电动势仍为E=,线框中的感应电流仍为I=,线框上下两边框受到的安培力的合力仍为零,线框右边框受到的安培力方向仍向右,大小为F1=IdB0=,线框左边框受到的安培力方向仍向右,大小为F2=Id·2B0=,所以线框受到的安培力大小为F合'=F1+F2=,故C正确;在0~2t0时间内,线框中的感应电流始终为I=,所以通过线框导线横截面的电荷量为q=I·2t0=,故D错误.
7.B [解析] 由于在圆环内存在磁感应强度为B的匀强磁场,圆环外无磁场,所以金属棒的有效切割长度为r,金属棒切割磁感线产生的感应电动势为E=Br=Br=Br2ω,故A错误;电阻消耗的电功率为P==,故B正确;带电微粒处于静止状态,由平衡条件得q=mg,解得微粒的电荷量与质量之比=,故C错误;电容器所带的电荷量为Q=CE=CBr2ω,故D错误.
8.-
[解析] 由法拉第电磁感应定律得E=·=kπa2
闭合电路的总电阻R=(6+π)ar
则闭合回路中的电流I==r
由楞次定律可知,闭合回路中的电流方向为逆时针方向,Q点电势比N点电势高,所以N、Q间的电势差为UNQ=-I·6ar=-.
9.(1) 顺时针方向 (2) 顺时针
[解析] (1)线圈中产生的感应电动势E=B0r=B0ωr2,
线圈的总电阻R=(2r+πr)R0
则线圈的发热功率P===
由右手定则可知,感应电流的方向为顺时针方向.
(2)要使线框的发热功率不变,则感应电动势不变,则
E=B0ωr2=·πr2,
解得=
由楞次定律可知,线框中的感应电流方向为顺时针.
10.(1)B0Lv (2)B0Lv
[解析] (1)CF边则进入磁场时,CF边切割磁感线,相当于电源,内阻为R,等效电路图如图甲所示
感应电动势为E1=B0Lv
外电路的电阻RCF=+2R=R
电路总电阻为R1=RCF+R=R
由串、并联电路中的电压分配规律可知,CF两端的电压为U1=E1=B0Lv
(2)CF边刚离开磁场时,BE边刚进入磁场切割磁感线,BE边相当于电源,内阻为R,等效电路图如图乙所示
感应电动势为E2=B0Lv
外电路的电阻RBE==R
电路总电阻R2=RBE+R=R
BE两端电压为U2=E2=B0Lv
CF两端的电压为U3=U2=B0Lv.专题课:电磁感应中的电路与电荷量问题
◆ 知识点一 电磁感应中的电路问题
1.粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中,磁场方向垂直于线框平面向里,其边界与正方形线框的某条边平行.现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场,如图所示,则在移出过程中线框的ab边两端电势差的绝对值最大的是 ( )
2.[2024·湖北孝感中学月考] 如图所示,竖直平面内有一金属环,半径为 a,总电阻为 R,磁感应强度为 B 的匀强磁场垂直穿过环平面,在环的最高点 A,用铰链连接的长度为 2a、电阻为的导体棒 AB 由水平位置紧贴环面摆下,当摆到竖直位置时,B 点的线速度大小为 v,则这时AB两端的电压大小为( )
A.
B.
C.
D.Bav
◆ 知识点二 电磁感应中的电荷量问题
3.(多选)[2023·广东深圳月考] 如图所示,在光滑绝缘水平面上有一单匝线圈ABCD,在水平外力作用下第一次以大小为v的速度向右匀速进入竖直向上的匀强磁场,第二次以大小为3v的速度向右匀速进入该匀强磁场,则下列说法正确的是 ( )
A.第一次进入与第二次进入时线圈中的电流之比为3∶1
B.第一次进入与第二次进入时线圈中的电流之比为1∶3
C.第一次进入与第二次进入时通过线圈某截面的电荷量之比为1∶3
D.第一次进入与第二次进入时通过线圈某截面的电荷量之比为1∶1
4.[2023·湖北黄冈期中] 如图甲所示,一金属圆环放在磁场中,磁场方向与金属圆环平面垂直,磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示,则在0~1 s时间内与1~3 s时间内 ( )
A.金属圆环中感应电流的方向相同
B.金属圆环中感应电流的大小之比为1∶2
C.通过金属圆环中某一截面的电荷量之比为2∶1
D.金属圆环中产生的焦耳热之比为2∶1
5.[2024·广东广州一中月考] 如图所示,长为L的金属导线弯成一圆环,导线的两端接在电容为C的平行板电容器上,P、Q为电容器的两个极板.磁场方向垂直于环面向里,磁感应强度B=B0+kt(k>0).t=0时,P、Q两极板电势相等,两极板间的距离远小于环的半径,经时间t',电容器的P极板 ( )
A.不带电
B.所带电荷量与t'成正比
C.带正电,所带电荷量是
D.带负电,所带电荷量是
6.[2022·河南信阳期末] 如图甲所示,边长为d的单匝正方形导线框固定在水平纸面内,线框的电阻为R.虚线MN恰好将线框分为左右对称的两部分,在虚线MN左侧的空间内存在与纸面垂直的匀强磁场,规定垂直于纸面向里为磁场的正方向,磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示;虚线MN右侧存在垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小恒为B0.下列说法正确的是 ( )
A.t0时刻,线框中产生的感应电动势大小为
B.t0时刻,线框受到的安培力大小为0
C.2t0时刻,线框受到的安培力大小为
D.在0~2t0内,通过线框导线横截面的电荷量为
7.如图所示,固定在水平面上的半径为r的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场,圆环外无磁场.长为l的金属棒一端与圆环接触良好,另一端固定在竖直导电转轴OO'上,随轴以角速度ω匀速转动.在圆环的A点和电刷间接有阻值为R的电阻和电容为C、两板间距为d的平行板电容器,有一带电微粒在电容器两板间处于静止状态.已知重力加速度为g,不计其他电阻和摩擦,下列说法正确的是 ( )
A.金属棒产生的电动势为Bl2ω
B.电阻消耗的电功率为
C.微粒的电荷量与质量之比为
D.电容器所带的电荷量为CBr2ω
8.如图所示,一个有三条边的正方形水平固定导线框PMNQ和半径为a的半圆环构成一个闭合回路,已知半圆环中磁感应强度随时间按B=B0+kt(k>0)变化,磁场方向垂直纸面向里,导线框和半圆环单位长度的电阻均为r,则N、Q两点间的电势差为多少
9.如图所示,在水平线MN的上方有一磁感应强度大小为B0的匀强磁场(上方无边界),方向垂直纸面向里,有一半径为r的半圆形金属线框,置于水平线MN上,金属线框由一段半圆和一条直径连接组成(均为同种材料),直径与MN重合,设金属线框单位长度的电阻为R0.现在让线框在竖直平面内绕圆心O沿逆时针方向匀速转动半周,角速度为ω.不计线框的重力.
(1)求线框的发热功率及线框中的感应电流的方向.
(2)如果线框固定不动,让磁场的磁感应强度随时间均匀减小,要使线框的发热功率不变,求磁感应强度的变化率以及此时线框中的电流方向.
10.如图所示,7根长为L、电阻均为R的导体棒焊接成两个对接的正方形导体框,在拉力作用下以速率v匀速通过有界匀强磁场,磁场宽度等于L,磁感应强度大小为B0,方向垂直于导体框平面向里,求:
(1)CF边刚进入磁场时,其两端的电压;
(2)CF边刚离开磁场时,其两端的电压.(共46张PPT)
专题课：电磁感应中的电路与电荷量问题
学习任务一 电磁感应中的电路问题
学习任务二 电磁感应中的电荷量问题
随堂巩固
练习册
◆
备用习题
学习任务一 电磁感应中的电路问题
［科学推理］ 用均匀导线做成的正方形线圈边长为，正方形线圈的一半放在垂直于纸面向里的匀强磁场中，如图所示.当磁感应强度以的变化率增大时，思考下列问题：
(1) 感应电流的方向为________(选填“顺时针”或“逆时针”).
(2) 感应电动势为_ ____.
逆时针
(3) 整个闭合回路中哪部分电路是电源 哪部分是外电路 哪个位置相当于电源的正极？画出等效电路图.
[答案] 部分是电源，部分为外电路，点相当于电源的正极，等效电路图如图所示.
(4) 、两点哪点电势高 、两点间的电压为多大
[答案] 点电势高，、两点间的电压为路端电压，.
例1 把总电阻为的均匀电阻丝焊接成一半径为的圆环，水平固定在方向竖直向下、磁感应强度大小为的匀强磁场中，如图所示.一长度为、电阻为、粗细均匀的金属棒放在圆环上，它与圆环始终保持良好接触，当金属棒以恒定速度向右移动经过圆心时，求金属棒中的电流大小和方向及金属棒两端的电压.
[答案] ; 从流向;
[解析] 把切割磁感线的金属棒看成电源，两个半圆环看成两个并联电阻，画出等效电路图如图所示.
金属棒经过圆心时，等效电源的电动势为
外电路的总电阻为
金属棒中的电流大小为
金属棒中的电流方向为从流向
根据电路结构和分压原理可知，金属棒两端的电压为.
变式1 [2024·黑龙江哈尔滨期末] 1831年10月28日，法拉第展示了人类历史上第一台发电机——法拉第圆盘发电机，其原理如图所示，水平向右的匀强磁场垂直于盘面，圆盘绕水平轴以角速度 匀速转动，铜片与圆盘的边缘接触，圆盘、导线和阻值为的定值电阻组成闭合回路.已知圆盘半径为，圆盘接入间的电阻为，其他电阻均可忽略不计.下列说法正确的是( )
D
A.回路中的感应电流方向为
B.、两端的电势差为
C.定值电阻消耗的电功率为
D.圆盘转一圈的过程中，回路中产生的焦耳热为
[解析] 根据右手定则可知，回路中的感应电流方向为，故A错误；由法拉第电磁感应定律可知，圆盘产生的感应电动势为 ，因C处的电势比D处的电势低，故C、D两端的电势差为 ，故B错误；根据欧姆定律可知电路中的电流为，则定值电阻消耗的电功率为
，故C错误；圆盘转一圈的过程中，回路中产生的焦耳热为，故D正确.
【要点总结】
1.处理电磁感应中电路问题的一般思路
(1)明确“角色”：确定“电源”和外电路.哪部分电路或导体产生感应电动势，该部分电路或导体就相当于电源，其他部分是外电路.
(2)画等效电路图：分清内、外电路.
(3)求感应电动势：用法拉第电磁感应定律或确定感应电动势的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电流的方向.
(4)对闭合回路进行分析、计算：运用闭合电路欧姆定律、串并联电路特点，计算电流、电压、电功率、电热等物理量.
2.电磁感应中电路的五个等效问题
学习任务二 电磁感应中的电荷量问题
［物理建模］ 闭合回路中磁通量发生变化时，电荷发生定向移动而形成感应电流，在时间内通过某一截面的电荷量(感应电荷量).
例2 [2023·河南洛阳期中] 如图所示，有界匀强磁场垂直于纸面，磁场的上下两条边界线之间的距离为.竖直面内有一个匝正方形闭合线框，将线框从其底边与磁场上边界距离为处由静止释放.已知线框的边长为、质量为、总电阻为，重力加速度为，磁感应强度为，空气阻力不计.求：
(1) 线框刚进入磁场瞬间产生的感应电动势；
[答案]
[解析] 线框从开始释放到进入磁场前瞬间，由机械能守恒定律得
解得
则线框刚进入磁场瞬间产生的感应电动势
(2) 线框进入磁场的过程中通过线框某截面的电荷量.
[答案]
[解析] 线框进入磁场的过程中，穿过线圈的磁通量的变化量
根据法拉第电磁感应定律得
由闭合电路欧姆定律得
通过线框某截面的电荷量
联立解得
变式2 [2023·广东惠阳实验中学月考] 如图所示，将一个闭合金属圆环从有界磁场中匀速拉出，第一次速度为，通过金属圆环某截面的电荷量为，第二次速度为，通过金属圆环某截面的电荷量为，则( )
C
A. B. C. D.
[解析] 将闭合金属圆环从有界磁场中拉出的过程中，通过金属圆环某截面的电荷量，两次拉出的过程中穿过金属圆环的磁通量的变化量相等，则两次拉出的过程中通过金属圆环某截面的电荷量不变，即，故C正确.
例3 [2024·河南信阳期末] 如图甲所示，水平放置的线圈匝数匝，半径，电阻 ，线圈与阻值 的定值电阻相连.在线圈的中央有一个半径的有界匀强磁场，磁感应强度按如图乙所示规律变化.圆周率用 表示.
(1) 求电压表的示数；
[答案]
[解析] 根据法拉第电磁感应定律得
由题图乙可知
根据闭合电路欧姆定律得
则电压表的示数为
联立解得
(2) 若撤去原磁场，在图中虚线的右侧空间沿相同方向加磁感应强度的匀强磁场，把整个装置向左完全移出匀强磁场区域，求这一过程中通过定值电阻的电荷量.
[答案]
[解析] 根据法拉第电磁感应定律可知，平均感应电动势为
根据闭合电路欧姆定律可知，平均感应电流为
通过定值电阻的电荷量为
联立解得
1. 如图所示,用相同导线制成的边长为L或2L的4个单匝闭合线框以相同的速度先后沿垂直于磁场边界的方向穿过正方形匀强磁场区域,磁场方向垂直于纸面向外,区域宽度大于2L,则进入磁场过程中,电流最大的回路是 ( )
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
C
[解析] 线框进入磁场过程中,做切割磁感线运动,设切割磁感线的有效长度为d,产生的感应电动势E=Bdv,根据电阻定律可知,线框的电阻R=ρ,由闭合电路欧姆定律可知,回路中的感应电流I=,联立得I=·,所以线框切割磁感线的有效长度d越长,线框周长l越短,其感应电流越大,对照4种图形可知,C正确.
[解析] 当ab棒运动到圆环的直径位置时,产生感应电动势大小为
E=Bdv,ab棒相当于电源,两个金属半圆环并联后,再与ab棒串联,则电路的总电阻为R=+=r,ab棒中的电流为I==.
2. 一直径为d、电阻为r的均匀光滑金属圆环水平放置在方向竖直向下的匀强磁场中,磁场的磁感应强度大小为B,如图所示.一根长为d、电阻为的金属棒ab始终在圆环上以速度v(方向与棒垂直)匀速平动,与圆环接触良好.当ab棒运动到圆环的直径位置时,ab棒中的电流为 ( )
A. B. C. D.
B
1.(电磁感应中的电路问题)如图所示，由均匀导线制成的半径为的圆环以速度匀速进入一磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向里的有直线边界(图中竖直虚线)的匀强磁场.当圆环运动到图示位置时，、两点的电势差为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 设整个圆环的电阻为，当位于题图所示位置时，电路的外电阻是圆环总电阻的，圆环切割磁感线的有效长度是，感应电动势，根据闭合电路欧姆定律可得，选项D正确.
2.(电磁感应中的电荷量问题)[2023·湖北当阳一中期中] 如图所示，先后两次将同一个矩形线圈从匀强磁场中匀速拉出，两次拉动的速度相同．第一次线圈长边与磁场边界平行，将线圈全部拉出磁场区域，线圈产生的电热为，通过导线横截面的电荷量为；第二次线圈短边与磁场边界平行，将线圈全部拉出磁场区域，线圈产生的电热为，通过导线横截面的电荷量为，则( )
A
A.， B.， C.， D.，
[解析] 设线圈的长边长度为，短边长度为，线圈的电阻为，线圈运动的速度为，磁场的磁感应强度为B，第一次将线圈匀速拉出磁场的过程中，线圈中产生的感应电流，将线圈全部拉出磁场区域所用的时间，则线圈产生的电热，同理，第二次
将线圈匀速拉出磁场的过程中，线圈中产生的电热，由于，所以；将线圈拉出磁场的过程中，通过导线横截面的电荷量，由于两次将线圈拉出磁场的过程中穿过线圈的磁通量变化量相等，所以两次通过导线横截面的电荷量相等，即，选项A正确.
3.(电磁感应中的电荷量问题)(多选)如图甲所示，线圈(图中实线，共100匝)的横截面积为，总电阻 ，右侧所接电路中，电阻 ， ，电容器的电容，开
BD
A.闭合，电路稳定后，通过的电流由流向
B.闭合，电路稳定后，通过的电流大小为
C.闭合，电路稳定后再断开，通过的电流由流向
D.闭合，电路稳定后再断开，通过的电荷量为
关闭合.中有横截面积为的区域(图中虚线)，内有图乙所示的变化磁场，时刻，磁场方向垂直于线圈平面向里.下列判断正确的是( )
[解析] 根据楞次定律可知，线圈中产生的感应电流方向为顺时针，则闭合，电路稳定后，通过的电流由流向，选项A错误；根据法拉第电磁感应定律得
，则闭合，电路稳定后，通过的电流大小为，选项B正确；闭合，电路稳定后，电容器上极板带正电，则当断开时，电容器放电，通过的电流由流向，选项C错误；电路稳定后，电容器所带电荷量，则电路稳定后再断开，通过的电荷量为，选项D正确.
知识点一 电磁感应中的电路问题
1.粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面向里，其边界与正方形线框的某条边平行.现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如图所示，则在移出过程中线框的边两端电势差的绝对值最大的是( )
B
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 磁场中切割磁感线的边相当于电源，外电路可看作由三个相同电阻串联而成，选项A、C、D中两端电势差的绝对值为外电路中一个电阻两端的电压，即，选项B中两端电势差的绝对值为路端电压，即，B正确.
2.[2024·湖北孝感中学月考] 如图所示，竖直平面内有一金属环，半径为，总电阻为，磁感应强度为的匀强磁场垂直穿过环平面，在环的最高点，用铰链连接的长度为、电阻为的导体棒由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，点的线速度大小为，则这时两端的电压大小为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 当摆到竖直位置时，导体棒产生的感应电动势为,在竖直位置时，外电阻，电路电流,故两端的电压大小为，故A正确.
知识点二 电磁感应中的电荷量问题
3.(多选)[2023·广东深圳月考] 如图所示，在光滑绝缘水平面上有一单匝线圈，在水平外力作用下第一次以大小为的速度向右匀速进入竖直向上的匀强磁场，第二次以大小为的速度向右匀速进入该匀强磁场，则下列说法正确的是( )
BD
A.第一次进入与第二次进入时线圈中的电流之比为
B.第一次进入与第二次进入时线圈中的电流之比为
C.第一次进入与第二次进入时通过线圈某截面的电荷量之比为
D.第一次进入与第二次进入时通过线圈某截面的电荷量之比为
[解析] 设磁感应强度为B，边长度为，边长为，线圈电阻为，线圈进入磁场过程中，产生的感应电动势为，感应电流为，即感应电流与速度成正比，所以第一次进入与第二次进入时线圈中的电流之比为，A错误，B正确；通过线圈某截面的电荷量为，即电荷量与速度无关，所以第一次进入与第二次进入时通过线圈某截面的电荷量之比为，C错误，D正确.
4.[2023·湖北黄冈期中] 如图甲所示，一金属圆环放在磁场中，磁场方向与金属圆环平面垂直，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示，则在时间内与时间内( )
D
A.金属圆环中感应电流的方向相同
B.金属圆环中感应电流的大小之比为
C.通过金属圆环中某一截面的电荷量之比为
D.金属圆环中产生的焦耳热之比为
[解析] 由题图乙可知，时间内，磁感应强度增大，根据楞次定律可知，金属圆环中产生俯视逆时针方向的电流，时间内，磁感应强度减小，根据楞次定律可知，金属圆环中产生俯视顺时针方向的电流，两段时间内金属圆环中感应电流的方向相反，选项A错误；由题图乙可知，时间内与时间内，磁感应强度的变化量相同，磁感应强度变化率的绝对值之比为，根据法拉第电磁感应定律可知，根据闭合电路欧姆定律可知，则两段时间内金属圆环中感应电流的大小之比为，根据焦耳定律可知，则两段时间内金属圆环中产生的焦耳热之比，根据电荷量公式，则两段时间内通过金属圆环某一截面的电荷量之比，选项B、C错误，D正确.
5.[2024·广东广州一中月考] 如图所示,长为的金属导线弯成一圆环,导线的两端接在电容为的平行板电容器上,、为电容器的两个极板.磁场方向垂直于环面向里,磁感应强度时,、两极板电势相等,两极板间的距离远小于环的半径，经时间,电容器的极板 ( )
D
A.不带电 B.所带电荷量与成正比
C.带正电,所带电荷量是 D.带负电,所带电荷量是
[解析] 磁感应强度均匀增加,回路中产生的感应电流的方向为逆时针方向,板带正电,板带负电,选项A错误;由,得,感应电动势,解得,电容器上的电荷量,选项B、C错误,选项D正确.
6.[2023·河南信阳期末] 如图甲所示，边长为的单匝正方形导线框固定在水平纸面内，线框的电阻为.虚线恰好将线框分为左右对称的两部分，在虚线左侧的空间内存在与纸面垂直的匀强磁场，规定垂直于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示;虚线右侧存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小恒为.下列说法正确的是( )
A.时刻，线框中产生的感应电动势大小为
B.时刻，线框受到的安培力大小为0
C.时刻，线框受到的安培力大小为
D.在内，通过线框导线横截面的电荷量为
C
[解析] 根据题意可知，线框右半部分所在处的磁感应强度不变，左半部分所在处的磁感应强度均匀增大，由法拉第电磁感应定律可知，时刻，线框中产生的感应电动势大小为，线框中的感应电流为，由楞次定律可知，线框中电流为逆时针方向，由左手定则可知，线框上下两边框对称位置受到的安培力等大反向，合力为零，线框左右两边框受到的安培力方向均向右，大小均为
，所以线框受到的安培力大小为，故A、B错误；时刻，线框中产生的感应电动势仍为,线框中的感应电流仍为,线框上下两边框受到的安培力的合力仍为零，线框右边框受到的安培力方向仍向右，大小为，线框左边框受到的安培力方向仍向右，大小为，所以线框受到的安培力大小为，故C正确；在时间内，线框中的感应电流始终为，所以通过线框导线横截面的电荷量为，故D错误.
7.如图所示，固定在水平面上的半径为的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为的匀强磁场，圆环外无磁场.长为的金属棒一端与圆环接触良好，另一端固定在竖直导电转轴上，随轴以角速度 匀速转动.在圆环的点和电刷间接有阻值为的电阻和电容为、两板间距为的平行板电容器，有一带电微粒在电容器两板间处于静止状态.已知重力加速度为，不计其他电阻和摩擦，下列说法正确的是( )
B
A.金属棒产生的电动势为 B.电阻消耗的电功率为
C.微粒的电荷量与质量之比为 D.电容器所带的电荷量为
[解析] 由于在圆环内存在磁感应强度为B的匀强磁场，圆环外无磁场，所以金属棒的有效切割长度为，金属棒切割磁感线产生的感应电动势为 ，故A错误；电阻消耗的电功率为，故B正确；带电微粒处于静止状态，由平衡条件得，解得微粒的电荷量与质量之
比，故C错误；电容器所带的电荷量为 ，故D错误.
8.如图所示，一个有三条边的正方形水平固定导线框和半径为的半圆环构成一个闭合回路，已知半圆环中磁感应强度随时间按变化，磁场方向垂直纸面向里，导线框和半圆环单位长度的电阻均为，则、两点间的电势差为多少？
[答案]
[解析] 由法拉第电磁感应定律得
闭合电路的总电阻
则闭合回路中的电流
由楞次定律可知，闭合回路中的电流方向为逆时针方向，点电势比点电势高，所以、间的电势差为.
9.如图所示，在水平线的上方有一磁感应强度大小为的匀强磁场(上方无边界)，方向垂直纸面向里，有一半径为的半圆形金属线框，置于水平线上，金属线框由一段半圆和一条直径连接组成(均为同种材料)，直径与重合，设金属线框单位长度的电阻为.现在让线框在竖直平面内绕圆心沿逆时针方向匀速转动半周，角速度为 .不计线框的重力.
(1) 求线框的发热功率及线框中的感应电流的方向.
[答案] ; 顺时针方向
[解析] 线圈中产生的感应电动势，
线圈的总电阻
则线圈的发热功率
由右手定则可知，感应电流的方向为顺时针方向.
(2) 如果线框固定不动，让磁场的磁感应强度随时间均匀减小，要使线框的发热功率不变，求磁感应强度的变化率以及此时线框中的电流方向.
[答案] ; 顺时针
[解析] 要使线框的发热功率不变，则感应电动势不变，则
，
解得
由楞次定律可知，线框中的感应电流方向为顺时针.
10.如图所示，7根长为、电阻均为的导体棒焊接成两个对接的正方形导体框，在拉力作用下以速率匀速通过有界匀强磁场，磁场宽度等于，磁感应强度大小为，方向垂直于导体框平面向里，求：
(1) 边刚进入磁场时，其两端的电压；
[答案]
[解析] 边则进入磁场时，边切割磁感线，相当于电源，内阻为，等效电路图如图甲所示
感应电动势为
外电路的电阻
电路总电阻为
由串、并联电路中的电压分配规律可知，两端的电压为
(2) 边刚离开磁场时，其两端的电压.
[答案]
[解析] 边刚离开磁场时，边刚进入磁场切割磁感线，边相当于电源，内阻为，等效电路图如图乙所示
感应电动势为
外电路的电阻
电路总电阻
两端电压为
两端的电压为.
