1.5 全称量词与存在量词
【题型1】全称量词与全称量词命题 3
【题型2】存在量词与存在量词命题 5
【题型3】依据含量词命题的真假求参数范围 6
【题型4】全称量词命题的否定 8
【题型5】存在量词命题的否定 9
【题型6】利用含有量词的命题的真假性求参数 10
1.全称量词与全称量词命题 全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给等符号表示 全称量词命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为 x∈M,p(x)
2.全称量词命题: x∈M,p(x),它的否定: x∈M, p(x).也就是说,全称量词命题的否定是存在量词 命题. 3.常见词语的否定形式 原词语否定词语原词语否定词语是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有 (n－1)个小于不小于至多有 n个至少有 (n＋1)个任意的某个能不能所有的某些等于不等于
4.存在量词命题: x∈M,p(x),它的否定: x∈M, p(x).也就是说,存在量词命题的否定是 全称量词命题.
1.(1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题. (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需要把它补充出来. 2.存在量词与存在量词命题 存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的等
符号表示 存在量 词命题含有存在量词的命题形式“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为 x∈M,p(x).
3.写出全称量词命题的否定:一是改写量词,二是结论要进行否定.
【题型1】全称量词与全称量词命题
判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，若是，用符号表示，并判断其真假．
（1）存在，为正实数，使；
（2）对所有的实数，，方程都有唯一解；
（3）存在实数，使得．
【答案】（1）答案见解析；
（2）答案见解析；
（3）答案见解析．
【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义判断，然后用符号表示，判断真假即可．
【解答】解：（1）是存在量词命题，用符号表示为“，为正实数，使”，是假命题；
（2）是全称量词命题，用符号表示为“，，方程都有唯一解”，是假命题；
（3）是存在量词命题，用符号表示为“，”，是假命题．
方法点拨 判断一个语句是全称量词命题以及真假的思路 1.判断一个命题是否为全称量词命题,主要看命题中是否有“所有的,任意一个,一切”等表示全体的量词,有些命题的全称量词是隐藏的,要仔细辨别. 2.判断真假时用直接法或间接法,直接法就是对陈述的集合中每一个元素都要使结论成立,间接法就是找到一个元素使结论不成立.
【变式1】判断下列命题是否为全称量词命题，写出这些命题的否定，并判断它们的真假：
（1）：每个正数的立方根都是正数；
（2），；
（3）三角形的内角和为
【变式2】判断下列语句是否是全称量词命题或存在量词命题，若是，则用数学符号“”或“”表示．
（1）对任意实数，都有；
（2）任何数与0相乘结果都是0；
（3）有些三角形是直角三角形；
（4）存在实数，使得．
【变式3】判断下列语句是否是全称量词命题或存在量词命题，若是，则用数学符号“”或“”表示．
（1）证明是无理数；
（2）对任何实数，，，方程都有解；
（3）存在一个无理数，它的立方是有理数．
【题型2】存在量词与存在量词命题
判断下列命题是否为存在量词命题，写出这些命题的否定，并判断它们的真假：
（1），；
（2）：有的三角形是等边三角形；
（3）：有一个偶数是素数．
【答案】解：（1）存在量词命题，命题的否定为：，，假命题；
（2）存在量词命题，命题的否定为：所有的三角形都不是等边三角形，假命题．
（3）存在量词命题，命题的否定为：任意一个偶数都不是素数，假命题．
【分析】（1）（3）结合命题否定的定义，以及存在量词命题的定义，即可求解．
【解答】解：（1），；存在量词命题，命题的否定为：，，真命题；
（2）：有的三角形是等边三角形，存在量词命题，命题的否定为：所有的三角形都不是等边三角形，假命题．
（3）：有一个偶数是素数，存在量词命题，命题的否定为：任意一个偶数都不是素数，假命题．
方法点拨 1.判断一个命题是否为存在量词命题,主要看命题中是否有表示部分的量词,有些命题的存在量词是隐藏的,要仔细辨别. 2.要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x使p(x)成立即可;否则,这个存在量词命题就是假命题.
【变式1】（2021秋 东莞市校级月考）判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，如果是，写出这些命题的否定，并说明这否定的真假，不必证明；如果不是全称量词命题和存在量词命题，则只需判断命题真假，并给出证明．
（1）存在实数，使得；
（2）有些三角形是等边三角形；
（3）方程的每一个根都不是奇数；
【变式2】（2020秋 邹城市期中）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假：
（Ⅰ）：对任意的，都成立；
（Ⅱ），使．
【变式3】（2023 袁州区校级开学）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．
（1）至少有一个整数，既能被11整除，又能被9整除；
（2），；
（3），使为29的约数；
（4），．
【题型3】依据含量词命题的真假求参数范围
（2025春 清江浦区校级期中）若命题“，使”为假命题，则实数的取值范围是
A．， B．
C．，， D．，，
【答案】
【分析】命题，使为真命题，结合函数性质对的范围进行分类讨论即可求解．
【解答】解：若命题“，使”为假命题，
则命题，使为真命题，
当时，恒成立，
当时，，解得，
故的范围为，．
故选：．
方法点拨 依据含量词命题的真假求参数范围: (1)首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意. (2)其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题,再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围.
【变式1】（2025春 镇雄县月考）若命题，为真命题，则实数的取值范围为 ．
【变式2】（2026春 山东校级期末）已知“，使不等式成立”是假命题，则的取值范围为
A．， B．， C． D．，
【变式3】（2025春 牡丹江校级期末）命题“，，”为假命题的一个充分不必要条件为
A． B．， C． D．，
【题型4】全称量词命题的否定
（2025春 廊坊期中）命题“，”的否定是
A．， B．，
C．， D．，
【答案】
【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解．
【解答】解：命题，为全称量词命题，
根据全称量词命题的否定可得“，”．
故选：．
方法点拨 全称量词命题否定的关注点 (1)全称量词命题p: x∈M,p(x),它的否定: x∈M, p(x). (2)全称量词命题的否定是存在量词命题,对省略全称量词的全称量词命题可以补上量词后进行否定.
【变式1】（2025 柳州二模）命题“，”的否定是
A．， B．，
C．， D．，
【变式2】（2025 河南模拟）若命题，，则
A．是真命题，且，
B．是真命题，且，
C．是假命题，且，
D．是假命题，且，
【变式3】（2024秋 汕头校级期末）设命题，的否定为
A． B．，
C． D．，
【题型5】存在量词命题的否定
（2025春 阜南县校级期中）命题“，”的否定是
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】含有量词命题的否定为“改量词，否结论”，据此求解．
【解答】解：由命题的否定定义可知，命题“，”的否定是，．
故选：．
方法点拨 存在量词命题的否定的关注点 (1)存在量词命题的否定是全称量词命题,写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词. (2)对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定.
【变式1】（2025 四川模拟）命题：“，”的否定是
A．， B．， C．， D．，
【变式2】（2024秋 商洛期末）设命题，，则的否定为
A．， B．， C．， D．，
【变式3】（2025 大武口区校级模拟）命题“，”的否定是
A．， B．，
C．， D．，
【题型6】利用含有量词的命题的真假性求参数
（2024秋 西峰区校级月考）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是
A． B．， C．， D．
【答案】
【分析】由已知结合全称量词命题的真假关系即可求解．
【解答】解：若命题“，”是假命题，
即存在，，
则，
又因为，
所以，即实数的取值范围是，．
故选：．
方法点拨 1.注意p与 p的真假性只能一真一假,解决问题时可以相互转化. 2.求参数范围问题,通常根据相关全称量词或存在量词命题的意义列出不等式(组)求解.
【变式1】（2023 鹰潭一模）使，的否定为假命题的一个充分不必要条件是
A． B． C． D．
【变式2】（2023秋 滨海新区校级期中）已知，，若的否定为真命题，则的取值范围是
A． B． C． D．
【变式3】（2022秋 哈尔滨期末）若“，”的否定是假命题，则实数的取值范围是 ．1.5 全称量词与存在量词
【题型1】全称量词与全称量词命题 3
【题型2】存在量词与存在量词命题 6
【题型3】依据含量词命题的真假求参数范围 9
【题型4】全称量词命题的否定 11
【题型5】存在量词命题的否定 13
【题型6】利用含有量词的命题的真假性求参数 15
1.全称量词与全称量词命题 全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给等符号表示 全称量词命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为 x∈M,p(x)
2.全称量词命题: x∈M,p(x),它的否定: x∈M, p(x).也就是说,全称量词命题的否定是存在量词 命题. 3.常见词语的否定形式 原词语否定词语原词语否定词语是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有 (n－1)个小于不小于至多有 n个至少有 (n＋1)个任意的某个能不能所有的某些等于不等于
4.存在量词命题: x∈M,p(x),它的否定: x∈M, p(x).也就是说,存在量词命题的否定是 全称量词命题.
1.(1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题. (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需要把它补充出来. 2.存在量词与存在量词命题 存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的等
符号表示 存在量 词命题含有存在量词的命题形式“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为 x∈M,p(x).
3.写出全称量词命题的否定:一是改写量词,二是结论要进行否定.
【题型1】全称量词与全称量词命题
判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，若是，用符号表示，并判断其真假．
（1）存在，为正实数，使；
（2）对所有的实数，，方程都有唯一解；
（3）存在实数，使得．
【答案】（1）答案见解析；
（2）答案见解析；
（3）答案见解析．
【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义判断，然后用符号表示，判断真假即可．
【解答】解：（1）是存在量词命题，用符号表示为“，为正实数，使”，是假命题；
（2）是全称量词命题，用符号表示为“，，方程都有唯一解”，是假命题；
（3）是存在量词命题，用符号表示为“，”，是假命题．
方法点拨 判断一个语句是全称量词命题以及真假的思路 1.判断一个命题是否为全称量词命题,主要看命题中是否有“所有的,任意一个,一切”等表示全体的量词,有些命题的全称量词是隐藏的,要仔细辨别. 2.判断真假时用直接法或间接法,直接法就是对陈述的集合中每一个元素都要使结论成立,间接法就是找到一个元素使结论不成立.
【变式1】判断下列命题是否为全称量词命题，写出这些命题的否定，并判断它们的真假：
（1）：每个正数的立方根都是正数；
（2），；
（3）三角形的内角和为
【答案】（1）答案见解析；
（2）答案见解析；
（3）答案见解析．
【分析】首先要分析命题中的量词，然后才能正确判断命题是否是全称量词命题，根据全称量词的否定形式写出命题的否定并判断其真假即可．
【解答】解：（1）命题含有全称量词“每个“，所以它是全称量词命题，命题的否定：存在一个正数的立方根不是正数，命题的否定为假命题；
（2）命题含有全称量词“任意“，所以它是全称量词命题，命题的否定：，，命题的否定为真命题；
（3）命题隐含全称量词“任意“，所以它是全称量词命题，命题的否定：存在一个三角形的内角和不是，命题的否定为假命题．
【变式2】判断下列语句是否是全称量词命题或存在量词命题，若是，则用数学符号“”或“”表示．
（1）对任意实数，都有；
（2）任何数与0相乘结果都是0；
（3）有些三角形是直角三角形；
（4）存在实数，使得．
【答案】（1）全称量词命题，“，”；
（2）全称量词命题，“，”；
（3）存在量词命题，“是三角形，是直角三角形”；
（4）存在全称命题，“，”．
【分析】（1）（2）（3）（4）根据全称量词命题和存在量词命题的定义求解．
【解答】解：（1）全称量词命题，“，”；
（2）全称量词命题，“，”；
（3）存在量词命题，“是三角形，是直角三角形”；
（4）存在量词命题，“，”．
【变式3】判断下列语句是否是全称量词命题或存在量词命题，若是，则用数学符号“”或“”表示．
（1）证明是无理数；
（2）对任何实数，，，方程都有解；
（3）存在一个无理数，它的立方是有理数．
【答案】（1）证明是无理数不是命题；
（2）全称量词命题，，，，方程都有解；
（3）存在量词命题，，．
【分析】结合全称量词命题及存在量词命题的定义即可求解．
【解答】解：（1）证明是无理数不是命题；
（2）对任何实数，，，方程都有解为全称量词命题，，，，方程都有解；
（3）存在一个无理数，它的立方是有理数为存在量词命题，，．
【题型2】存在量词与存在量词命题
判断下列命题是否为存在量词命题，写出这些命题的否定，并判断它们的真假：
（1），；
（2）：有的三角形是等边三角形；
（3）：有一个偶数是素数．
【答案】解：（1）存在量词命题，命题的否定为：，，假命题；
（2）存在量词命题，命题的否定为：所有的三角形都不是等边三角形，假命题．
（3）存在量词命题，命题的否定为：任意一个偶数都不是素数，假命题．
【分析】（1）（3）结合命题否定的定义，以及存在量词命题的定义，即可求解．
【解答】解：（1），；存在量词命题，命题的否定为：，，真命题；
（2）：有的三角形是等边三角形，存在量词命题，命题的否定为：所有的三角形都不是等边三角形，假命题．
（3）：有一个偶数是素数，存在量词命题，命题的否定为：任意一个偶数都不是素数，假命题．
方法点拨 1.判断一个命题是否为存在量词命题,主要看命题中是否有表示部分的量词,有些命题的存在量词是隐藏的,要仔细辨别. 2.要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x使p(x)成立即可;否则,这个存在量词命题就是假命题.
【变式1】（2021秋 东莞市校级月考）判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，如果是，写出这些命题的否定，并说明这否定的真假，不必证明；如果不是全称量词命题和存在量词命题，则只需判断命题真假，并给出证明．
（1）存在实数，使得；
（2）有些三角形是等边三角形；
（3）方程的每一个根都不是奇数；
【答案】详见解析过程．
【分析】（1）（2）（3）根据全称量词命题或存在量词命题，命题的否定判断即可．
【解答】解：（1）存在实数，使得；是特称命题；
命题的否定为：对任意的，使得，为真命题；
（2）有些三角形是等边三角形；是特称命题，
命题的否定为：所有的三角形不为等边三角形；为假命题；
（3）方程的每一个根都是奇数；为全称命题；
命题的否定为：方程至少有一个根是奇数；为假命题．
【变式2】（2020秋 邹城市期中）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假：
（Ⅰ）：对任意的，都成立；
（Ⅱ），使．
【答案】（Ⅰ）全称量词命题．其否定是：存在一个，使成立，此命题为假命题．
（Ⅱ）存在量词命题，否定是：对任意一个实数，都有成立，此命题是真命题．
【分析】判断命题是特称命题还是全称命题，然后利用否定形式写出命题的否定，进而判断真假即可．
【解答】解：（Ⅰ）由于命题中含有全称量词“任意的”，
因此，该命题是全称量词命题．
又因为“任意的”的否定为“存在一个”，
所以其否定是：存在一个，使成立，
即“，使．”
因为△，所以方程无实数解，
此命题为假命题．
（Ⅱ）由于“：”表示存在一个实数，即命题中含有存在量词“存在一个”，
因此，该命题是存在量词命题．
又因为“存在一个”的否定为“任意一个”，
所以其否定是：对任意一个实数，都有成立．
即“，有”．
因为△，所以对，总成立，
此命题是真命题．
【变式3】（2023 袁州区校级开学）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．
（1）至少有一个整数，既能被11整除，又能被9整除；
（2），；
（3），使为29的约数；
（4），．
【答案】（1）存在量词命题，真命题；
（2）全称量词命题，真命题；
（3）存在量词命题，真命题；
（4）全称量词命题，假命题．
【分析】利用全称量词命题与存在量词命题的概念，及不等式的性质，举例子分别判断各命题．
【解答】解：（1）命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题，
99既能被11整除，又能被9整除，故该命题为真命题．
（2）命题中含有全称量词“”，故是全称量词命题，
因为，所以恒成立，故该命题为真命题．
（3）命题中含有存在量词“”，故是存在量词命题，
当时，为29的约数，所以该命题为假命题．
（4）命题中含有全称量词“”，故是全称量词命题，
当时，，所以该命题为假命题．
【题型3】依据含量词命题的真假求参数范围
（2025春 清江浦区校级期中）若命题“，使”为假命题，则实数的取值范围是
A．， B．
C．，， D．，，
【答案】
【分析】命题，使为真命题，结合函数性质对的范围进行分类讨论即可求解．
【解答】解：若命题“，使”为假命题，
则命题，使为真命题，
当时，恒成立，
当时，，解得，
故的范围为，．
故选：．
方法点拨 依据含量词命题的真假求参数范围: (1)首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意. (2)其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题,再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围.
【变式1】（2025春 镇雄县月考）若命题，为真命题，则实数的取值范围为 ．
【答案】．
【分析】根据一元二次不等式恒成立，数形结合得到参数不等式，求解即得．
【解答】解：命题，为真命题，
由题意可得△，解得：，
故实数的取值范围为．
故答案为：．
【变式2】（2026春 山东校级期末）已知“，使不等式成立”是假命题，则的取值范围为
A．， B．， C． D．，
【答案】
【分析】先写出命题的否定，再利用二次函数的图象与性质即可求解．
【解答】解：“，使不等式成立”是假命题，
则命题的否定为：，不等式恒成立是真命题，
△，，
的取值范围为，．
故选：．
【变式3】（2025春 牡丹江校级期末）命题“，，”为假命题的一个充分不必要条件为
A． B．， C． D．，
【答案】
【分析】由“，，”为真命题，从而得，即可求解．
【解答】解：由题意可得“，，”为真命题，
则，因，所以，所以，
所以原命题为假命题的一个充分必要条件是．
故选：．
【题型4】全称量词命题的否定
（2025春 廊坊期中）命题“，”的否定是
A．， B．，
C．， D．，
【答案】
【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解．
【解答】解：命题，为全称量词命题，
根据全称量词命题的否定可得“，”．
故选：．
方法点拨 全称量词命题否定的关注点 (1)全称量词命题p: x∈M,p(x),它的否定: x∈M, p(x). (2)全称量词命题的否定是存在量词命题,对省略全称量词的全称量词命题可以补上量词后进行否定.
【变式1】（2025 柳州二模）命题“，”的否定是
A．， B．，
C．， D．，
【答案】
【分析】任意改存在，将结论取反，即可求解．
【解答】解：命题“，”的否定是：，．
故选：．
【变式2】（2025 河南模拟）若命题，，则
A．是真命题，且，
B．是真命题，且，
C．是假命题，且，
D．是假命题，且，
【答案】
【分析】结合含有量词的命题的真假关系及否定即可求解．
【解答】解：命题，为假命题，，．
故选：．
【变式3】（2024秋 汕头校级期末）设命题，的否定为
A． B．，
C． D．，
【答案】
【分析】根据题意，由全称量词命题、存在量词命题的关系，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，命题，的否定为，
故选：．
【题型5】存在量词命题的否定
（2025春 阜南县校级期中）命题“，”的否定是
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】含有量词命题的否定为“改量词，否结论”，据此求解．
【解答】解：由命题的否定定义可知，命题“，”的否定是，．
故选：．
方法点拨 存在量词命题的否定的关注点 (1)存在量词命题的否定是全称量词命题,写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词. (2)对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定.
【变式1】（2025 四川模拟）命题：“，”的否定是
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．
【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，
命题，，则命题的否定是：，．
故选：．
【变式2】（2024秋 商洛期末）设命题，，则的否定为
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】存在改任意，将结论取反，即可求解．
【解答】解：命题，，
则的否定为：，．
故选：．
【变式3】（2025 大武口区校级模拟）命题“，”的否定是
A．， B．，
C．， D．，
【答案】
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：，”的否定是：，．
故选：．
【题型6】利用含有量词的命题的真假性求参数
（2024秋 西峰区校级月考）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是
A． B．， C．， D．
【答案】
【分析】由已知结合全称量词命题的真假关系即可求解．
【解答】解：若命题“，”是假命题，
即存在，，
则，
又因为，
所以，即实数的取值范围是，．
故选：．
方法点拨 1.注意p与 p的真假性只能一真一假,解决问题时可以相互转化. 2.求参数范围问题,通常根据相关全称量词或存在量词命题的意义列出不等式(组)求解.
【变式1】（2023 鹰潭一模）使，的否定为假命题的一个充分不必要条件是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据题意，若的否定为假命题，则为真命题，由基本不等式分析为真命题的充分必要条件，由此分析选项，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若，的否定为假命题，则为真命题，
当时，，当且仅当时等号成立，
若为真命题，必有，反之也成立，即为真命题的充分必要条件为，
由此分析选项：
对于，是为真命题的既不充分也不必要条件，不符合题意；
对于，是为真命题的充分必要条件，不符合题意；
对于，是为真命题的既不充分也不必要条件，不符合题意；
对于，是为真命题充分不必要条件，符合题意．
故选：．
【变式2】（2023秋 滨海新区校级期中）已知，，若的否定为真命题，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据已知条件，结合命题否定的定义，即可求解．
【解答】解：若为真命题，
则，解得，
由于的否定为真命题，
则为假命题，
故的取值范围为．
故选：．
【变式3】（2022秋 哈尔滨期末）若“，”的否定是假命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】．
【分析】先推出，为真命题，再转化为求值域的问题，即可求解．
【解答】解：“，”的否定是假命题，
则，为真命题，
故实数的集合为二次函数的值域，即．
故答案为：．
