2.2 基本不等式
【题型1】基本不等式的证明与理解 2
【题型2】利用基本不等式求简单式子的最值 5
【题型3】配凑法求最值 7
【题型4】巧用“1”的代换求最值问题 9
【题型5】分离消元法求最值 11
【题型6】利用基本不等式证明不等式 13
一、基本不等式的证明与理解 (1)如果a>0，b>0，则，当且仅当a=b时，等号成立. (2)其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. (3)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
利用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”缺一不可，尤其是“当且仅当，等号成立”.
【题型1】基本不等式的证明与理解
下列说法中正确的有 （填序号）．
①对任意，，， 均成立；
②若，则；
③若，，，则的最小值为2．
【答案】③．
【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：对于①，当，时，不满足，故①错误；
对于②，当时，不成立，故②错误；
对于③，，，，
则，即，当且仅当，即时，等号成立，故③正确．
故答案为：③．
方法点拨 利用基本不等式时要注意a>0，b>0和取等号的条件是否满足.
【变式1】（2024秋 雁塔区期中）下列命题中正确的是
A．若，，且，则
B．若，则
C．若，，则
D．对任意，，均成立
【答案】
【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案．
【解答】解：选项，若，，，则，当且仅当时等号成立，选项正确．
选项，当时，，选项错误．
选项，当，时，，选项错误．
选项，当，时，，不成立，所以选项错误．
故选：．
【变式2】（2023秋 永安市期中）下列命题中正确的是
A．对任意，，、均成立
B．若，则
C．若，，则
D．若，，且，则
【答案】
【分析】根据重要不等式和基本不等式的成立条件判断选项的正误．
【解答】解：对于，当，时，才能成立，错误；
对于，当时才能使用基本不等式求最大值，错误；
对于，因为，所以，即，正确；
对于，，，所以，正确．
故选：．
【变式3】（2023秋 双流区月考）下列结论表述不正确的是
A．若，，则恒成立
B．若，，则成立
C．若，，则恒成立
D．函数的最小值为3
【答案】
【分析】根据基本不等式的性质判断、、、的结论．
【解答】解：对于选项，若，，则，恒成立，故正确，
对于选项：对于转换为，，，，，故正确，
对于选项，若，则，若，则，若，则无意义，故错误，
对于选项，，则，，
当且仅当，即时等号成立，因此的最小值是5，故错误．
故选：．
【题型2】利用基本不等式求简单式子的最值
（2025 上海模拟）设，则下列选项中正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】由已知结合基本不等式的条件检验各选项即可求解．
【解答】解：当时，显然错误；
因为，当且仅当时取等号，正确；
当时，错误；
当时，错误．
故选：．
方法点拨 利用基本不等式求最值的注意点 (1)一正：各项必须为正. (2)二定：各项之和或各项之积为定值. (3)三相等：必须验证取等号时的条件是否具备.
【变式1】（2025 广东模拟）已知，且，则的最小值为
A．4 B．6 C． D．8
【答案】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值．
【解答】解：，且，则，
当且仅当，即，时取等号，
所以当，时，的最小值为8．
故选：．
【变式2】（2025 郴州模拟）函数的最小值为
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】由题意可得，注意等号成立的条件即可．
【解答】解：，，
当且仅当即时取等号，
故函数的最小值为：8
故选：．
【变式3】（2025春 内蒙古期末）的最小值为
A． B． C．6 D．24
【答案】
【分析】将变形为，再利用基本不等式求其最小值即可．
【解答】解：因为，
当且仅当，即时，等号成立．
故选：．
【题型3】配凑法求最值
（2025春 金安区月考）已知，则的最小值为
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】
【分析】原式可变为，利用基本不等式求解．
【解答】解：当时，由，
当且仅当时取等号，即时取等号．
故选：．
方法点拨 通过配凑法利用基本不等式求最值的策略 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求最值应注意以下几个方面：①配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换；②代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.
【变式1】（2025春 龙湖区期末）已知，的最小值为
A．3 B．4 C． D．5
【答案】
【分析】由题意有，利用均值不等式即可求解．
【解答】解：，所以，
所以，当且仅当，即时取等号．
故选：．
【变式2】（2025春 山西期末）若，则的最小值为
A．6 B．7 C．12 D．49
【答案】
【分析】根据已知有且，，再应用基本不等式“1”的代换求最小值．
【解答】解：若，
所以，
当且仅当，即，时取等号．
故选：．
【变式3】（2025春 白城期末）已知实数、满足，且，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由已知结合基本不等式即可求解．
【解答】解：，，
则，
．
当且仅当时，等号成立．
故选：．
【题型4】巧用“1”的代换求最值问题
（2025 凉州区模拟）若正数，满足，则的最小值为
A．2 B． C．3 D．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得．
【解答】解：由正数，满足，
得，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．
故选：．
方法点拨 常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.
【变式1】（2025春 开远市期中）设，，且，则的最小值为
A． B． C．5 D．4
【答案】
【分析】根据基本不等式中“1”的妙用计算即可得出其最小值．
【解答】解：由题意知，
故，
当且仅当且，即时，等号成立．
故选：．
【变式2】（2024秋 浏阳市期末）已知，为正实数且，则的最小值为
A． B． C． D．3
【答案】
【分析】由已知可知，利用基本不等式即可求解．
【解答】解：因为，为正实数且，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为3．
故选：．
【变式3】（2025 安徽开学）设，，且，则的最小值为
A．3 B． C． D．
【答案】
【分析】由已知结合基本不等式即可求解．
【解答】解：，，且，
则，
当且仅当，即，即，时取等号．
故选：．
【题型5】分离消元法求最值
（2024秋 官渡区期末）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是
A． B．，，
C． D．，，
【答案】
【分析】由已知利用乘1法结合基本不等式先求出的最小值，然后结合存在性问题与最值关系进行转化，解二次不等式可求．
【解答】解：因为，即，
则，
当且仅当且，即，时取等号，
不等式有解，则，
所以，
解得或．
故选：．
方法点拨 对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题.
【变式1】（2025春 长春期末）已知正实数，满足，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先将等式转化为等式右边为常数的形式，然后根据基本不等式的性质进行求解即可．
【解答】解：化为，
所以，
当且仅当，即，时等号成立．
故选：．
【变式2】（2025春 湘阴县期末）已知，且，则的最小值为
A． B． C．4 D．6
【答案】
【分析】由得，可得，进而结合基本不等式求解即可．
【解答】解：由，得，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为．
故选：．
【变式3】（2025春 南安市月考）已知，且，则的最小值为
A． B． C．2 D．4
【答案】
【分析】先由已知等式得到，再由基本不等式求解可得．
【解答】解：，，且，，其中，
，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为．
故选：．
【题型6】利用基本不等式证明不等式
（2025春 廊坊期中）已知，，且．
（1）证明：．
（2）求的最小值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）16．
【分析】（1）由基本不等式即可直接求证；
（2）由乘“1”法及基本不等式即可求解．
【解答】（1）证明：由基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，
因为，，且，所以，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，所以，
即，当且仅当时，等号成立；
（2）解：因为，，，可得，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
即的最小值是16．
方法点拨 利用基本不等式证明不等式的注意点 (1)此类问题的关键是：所证不等式中大多有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果. (2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到.
【变式1】（2024秋 吉林期末）已知，，且．
（1）证明：；
（2）求的最小值．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）．
【分析】（1）由基本不等式得到，从而得到，证明出结论；
（2）变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值．
【解答】解：（1）证明：，，且，
解得，
当且仅当，即时，等号成立；
（2）因为，，且，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为．
【变式2】（2024秋 青秀区月考）已知，都是正数，且，求证：
（1）；
（2）．
【分析】（1）通过通分，利用重要不等式证明即可．
（2）利用基本不等式，直接证明不等式即可．
【解答】证明：（1），都是负数，且，，当且仅当时，等号成立．因为，
所以；
（2），都是正数，且，，当且仅当是等号成立，
因为，
所以．
【变式3】（2024秋 静安区期中）（1）已知，求证：；
（2）已知正数、满足，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）运用作差比较法作差通分整理后即可证明；
（2）利用常值代换法和基本不等式即可求得的最小值，从而得证．
【解答】解：（1）因为，
则，
即；
（2）因为，，，
则，当且仅当，即时取等号，
故得证．2.2 基本不等式
【题型1】基本不等式的证明与理解 2
【题型2】利用基本不等式求简单式子的最值 4
【题型3】配凑法求最值 5
【题型4】巧用“1”的代换求最值问题 6
【题型5】分离消元法求最值 7
【题型6】利用基本不等式证明不等式 9
一、基本不等式的证明与理解 (1)如果a>0，b>0，则，当且仅当a=b时，等号成立. (2)其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. (3)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
利用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”缺一不可，尤其是“当且仅当，等号成立”.
【题型1】基本不等式的证明与理解
下列说法中正确的有 （填序号）．
①对任意，，， 均成立；
②若，则；
③若，，，则的最小值为2．
【答案】③．
【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：对于①，当，时，不满足，故①错误；
对于②，当时，不成立，故②错误；
对于③，，，，
则，即，当且仅当，即时，等号成立，故③正确．
故答案为：③．
方法点拨 利用基本不等式时要注意a>0，b>0和取等号的条件是否满足.
【变式1】（2024秋 雁塔区期中）下列命题中正确的是
A．若，，且，则
B．若，则
C．若，，则
D．对任意，，均成立
【变式2】（2023秋 永安市期中）下列命题中正确的是
A．对任意，，、均成立
B．若，则
C．若，，则
D．若，，且，则
【变式3】（2023秋 双流区月考）下列结论表述不正确的是
A．若，，则恒成立
B．若，，则成立
C．若，，则恒成立
D．函数的最小值为3
【题型2】利用基本不等式求简单式子的最值
（2025 上海模拟）设，则下列选项中正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】由已知结合基本不等式的条件检验各选项即可求解．
【解答】解：当时，显然错误；
因为，当且仅当时取等号，正确；
当时，错误；
当时，错误．
故选：．
方法点拨 利用基本不等式求最值的注意点 (1)一正：各项必须为正. (2)二定：各项之和或各项之积为定值. (3)三相等：必须验证取等号时的条件是否具备.
【变式1】（2025 广东模拟）已知，且，则的最小值为
A．4 B．6 C． D．8
【变式2】（2025 郴州模拟）函数的最小值为
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式3】（2025春 内蒙古期末）的最小值为
A． B． C．6 D．24
【题型3】配凑法求最值
（2025春 金安区月考）已知，则的最小值为
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】
【分析】原式可变为，利用基本不等式求解．
【解答】解：当时，由，
当且仅当时取等号，即时取等号．
故选：．
方法点拨 通过配凑法利用基本不等式求最值的策略 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求最值应注意以下几个方面：①配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换；②代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.
【变式1】（2025春 龙湖区期末）已知，的最小值为
A．3 B．4 C． D．5
【变式2】（2025春 山西期末）若，则的最小值为
A．6 B．7 C．12 D．49
【变式3】（2025春 白城期末）已知实数、满足，且，则的最小值为
A． B． C． D．
【题型4】巧用“1”的代换求最值问题
（2025 凉州区模拟）若正数，满足，则的最小值为
A．2 B． C．3 D．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得．
【解答】解：由正数，满足，
得，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．
故选：．
方法点拨 常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.
【变式1】（2025春 开远市期中）设，，且，则的最小值为
A． B． C．5 D．4
【变式2】（2024秋 浏阳市期末）已知，为正实数且，则的最小值为
A． B． C． D．3
【变式3】（2025 安徽开学）设，，且，则的最小值为
A．3 B． C． D．
【题型5】分离消元法求最值
（2024秋 官渡区期末）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是
A． B．，，
C． D．，，
【答案】
【分析】由已知利用乘1法结合基本不等式先求出的最小值，然后结合存在性问题与最值关系进行转化，解二次不等式可求．
【解答】解：因为，即，
则，
当且仅当且，即，时取等号，
不等式有解，则，
所以，
解得或．
故选：．
方法点拨 对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题.
【变式1】（2025春 长春期末）已知正实数，满足，则的最小值为
A． B． C． D．
【变式2】（2025春 湘阴县期末）已知，且，则的最小值为
A． B． C．4 D．6
【变式3】（2025春 南安市月考）已知，且，则的最小值为
A． B． C．2 D．4
【题型6】利用基本不等式证明不等式
（2025春 廊坊期中）已知，，且．
（1）证明：．
（2）求的最小值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）16．
【分析】（1）由基本不等式即可直接求证；
（2）由乘“1”法及基本不等式即可求解．
【解答】（1）证明：由基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，
因为，，且，所以，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，所以，
即，当且仅当时，等号成立；
（2）解：因为，，，可得，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
即的最小值是16．
方法点拨 利用基本不等式证明不等式的注意点 (1)此类问题的关键是：所证不等式中大多有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果. (2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到.
【变式1】（2024秋 吉林期末）已知，，且．
（1）证明：；
（2）求的最小值．
【变式2】（2024秋 青秀区月考）已知，都是正数，且，求证：
（1）；
（2）．
【变式3】（2024秋 静安区期中）（1）已知，求证：；
（2）已知正数、满足，求证：．
