3.2.1 单调性与最大（小）值
【题型1】函数的单调性与函数图象的特征 3
【题型2】利用定义证明函数的单调性 5
【题型3】求函数的单调区间 7
【题型4】由函数的单调性求解函数或参数 8
【题型5】求函数的最值 10
【题型6】由函数的最值求解函数或参数 12
一、直观感知函数的单调性 1.函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I D：如果 x1，x2∈I，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 2.单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间. 二、直观感知函数的最大值和最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1) x∈D，都有f(x)≤M； (2) x0∈D，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1) x∈D，都有f(x)≥M； (2) x0∈D，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值.
1.(1)区间I可以是整个定义域D，也可以是定义域的真子集.即应在函数的定义域内研究单调性. (2)同区间性，即x1，x2∈I. (3)任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替. (4)有序性，即要规定x1，x2的大小. (5)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一. (6)单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质. 2.(1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标. (2)并不是所有的函数都有最大(小)值，比如y=x，x∈R. (3)一个函数至多有一个最大(小)值，但取得最大(小)值时的x0可以有多个. (4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性. (5)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)=M时，M才是函数的最大(小)值，否则不是.比如f(x)=-x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值.
【题型1】函数的单调性与函数图象的特征
（2024秋 双流区期中）已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为
A．，， B．，，
C．， D．，
【答案】
【分析】由图象上升下降的情况判断即可．
【解答】解：函数的图象在区间和是上升的，在区间和是上升的，
故该函数的减区间为，．
故选：．
方法点拨 (1)求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间. (2)若函数不是上述常见函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间. (3)一个函数有多个单调区间时，区间不能用“∪”连接，而要用“和”或“，”连接.
【变式1】（2024秋 灵丘县期中）作出函数的图象，并指出函数的单调区间．
【变式2】（2024秋 察右前旗期中）设函数，若，．
（1）求函数的解析式；
（2）画出函数的图象，并指出函数的定义域、值域、单调区间．
【变式3】（2024秋 颍泉区期中）设函数，若，
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）画出函数的图象，并说出函数的单调区间．
【题型2】利用定义证明函数的单调性
（2024秋 吉林期末）已知函数，且（1）．
（1）求；
（2）判断函数在，上的单调性，并用定义法证明；
（3）求函数在区间，上的最大值和最小值．
【分析】（1）直接由（1）代入，即可求得；
（2）利用定义法作差计算，即可证明函数的单调性；
（3）利用函数的单调性计算最值即可．
【解答】解：（1）根据题意，函数，且（1），
则有，解可得．
（2）根据题意，函数在，上单调递增，
证明如下：
由（1）知，，
设，则，
由，则，，，
所以，即，
所以函数在，上单调递增．
（3）由（2）可知在，上单调递减，
所以，
则函数在，上的最大值为，最小值为6．
方法点拨 利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值并规定大小：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1【变式1】（2024秋 吕梁期末）已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的单调性，并用定义证明；
（3）解不等式．
【变式2】（2024秋 邢台期末）已知函数．
（1）证明：函数在区间上是增函数；
（2）当，，求函数的值域．
【变式3】（2024秋 龙岩期末）已知函数．
（1）用定义法证明函数在区间，上单调递增；
（2）对任意的，都有成立，求实数的取值范围．
【题型3】求函数的单调区间
（2024秋 无锡期中）函数的单调增区间是（ ）
A．（2，+∞） B．（﹣∞，2）
C．（﹣2，2） D．（﹣∞，2），（2，+∞）
【答案】D
【分析】求出函数的定义域，根据反比例函数的性质及函数的变换规则判断即可．
【解答】解：函数的定义域为{x|x≠2}，
又的图象是由向右平移2个单位得来，
的单调递增区间为（﹣∞，0），（0，+∞），
所以的单调递减区间为（﹣∞，2），（2，+∞）．
故选：D．
方法点拨 1.常用方法： 图象法：作出函数图象，根据图象的升降趋势直接确定单调区间． 定义法：按定义判断函数在各子区间的单调性，进而确定单调区间． 性质法：利用基本初等函数的单调性及复合函数、分段函数的单调性规则推导： 复合函数：“同增异减”（内外层函数单调性相同则复合函数递增，相反则递减）． 分段函数：分别判断各分段区间的单调性，注意衔接点处的函数值大小关系． 2.注意事项：单调区间需用区间表示，多个同类单调区间不合并，用逗号分隔．
【变式1】（2024秋 北京期中）下列函数中，在上单调递增的是
A． B． C． D．
【变式2】（2024秋 新城区期中）已知函数在上单调递减，则函数的增区间为
A． B． C． D．
【变式3】（2024秋 孝义市月考）函数的单调增区间为
A． B．
C．，， D．，
【题型4】由函数的单调性求解函数或参数
（2024秋 眉山期末）已知函数满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由对成立，可知函数在定义域内单调递减，结合分段函数单调性可列不等式，即可求解．
【解答】解：对任意的实数，都有成立，
函数在上单调递减．
当时，单调递减，，解得；
当时，单调递减，，即；
又函数在上单调递减，，解得，
综上所述，实数的取值范围是．
故选：．
方法点拨 1.求解函数： 根据单调性特征（如增函数满足x 【变式1】（2025 芙蓉区一模）已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是
A．， B． C．， D．，
【变式2】（2025春 凌源市月考）已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围为
A． B． C．， D．
【变式3】（2024秋 莆田期末）已知函数满足对任意的，，恒成立，则实数的取值范围是
A．， B． C． D．，
【题型5】求函数的最值
已知函数．
（1）判断并证明函数在上的单调性；
（2）求函数在，上的最值．
【答案】（1）函数在上是减函数，证明见解析
（2）最大值为（1），最小值为．
【分析】（1）先判断再用定义法证明单调性；
（2）由（1）知，函数在，上是减函数，进而可求出在，上的最大值与最小值．
【解答】解：（1）根据题意，函数在上是减函数，证明如下：
设，是区间上的任意两个实数，且，
则，
因为，
所以，且，
所以，
所以函数在区间上是减函数．
（2）由（1）知，函数在，上是减函数，
因此，函数在区间，的两个端点上分别取得最大值与最小值，
即最大值为（1），最小值为．
方法点拨 (1)利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性.②利用单调性写出最值. (2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b). ②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a). ③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值.
【变式1】（2025春 讷河市期中）函数在，上的最大值是 2 ．
【变式2】（2024秋 遵义期末）若函数，则的最小值是 ．
【变式3】（2024秋 喀什市期末）已知函数．
（1）判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的结论；
（2）若，，求函数的最大值和最小值．
【题型6】由函数的最值求解函数或参数
（2025 赤峰模拟）已知函数在，上的最大值比最小值大，则 1 ．
【答案】1．
【分析】根据函数的奇偶性和和对勾函数的性质可知在上单调减，在上单调递增，分和两种情况讨论，求出最值即可求解．
【解答】解：因为，
所以为奇函数，且在，上的最大值比最小值大，
所以在，上的最大值比最小值大．
由对勾函数的性质可得在上单调增，在上单调递增．
当时，即时，在，上单调递增．
则，
解得．
当时，即时，在上单调递减，在上单调递增．
，
因为，所以（2）（1），
所以，
解得（舍去）或9（舍去）．
综上，
故答案为：1．
方法点拨 1.求解函数： 根据最值的数值及对应的自变量值，结合函数类型（如二次函数顶点坐标）确定函数解析式． 利用最值与函数表达式的关系（如最值公式）反推函数的未知系数． 2.求解参数： 表示出函数的最值（含参数），根据已知最值建立关于参数的方程或不等式． 结合函数定义域及单调性对参数的限制，求解参数值或取值范围，验证解的合理性．
【变式1】（2025春 嘉定区月考）若在上的最大值为，则实数的最大值为 ．
【变式2】（2025 焦作一模）若函数的最小值为，则实数的取值范围为 ．
【变式3】（2024秋 杨浦区期末）已知函数，，的最小值为，则 ．3.2.1 单调性与最大（小）值
【题型1】函数的单调性与函数图象的特征 3
【题型2】利用定义证明函数的单调性 7
【题型3】求函数的单调区间 12
【题型4】由函数的单调性求解函数或参数 14
【题型5】求函数的最值 17
【题型6】由函数的最值求解函数或参数 20
一、直观感知函数的单调性 1.函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I D：如果 x1，x2∈I，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 2.单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间. 二、直观感知函数的最大值和最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1) x∈D，都有f(x)≤M； (2) x0∈D，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1) x∈D，都有f(x)≥M； (2) x0∈D，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值.
1.(1)区间I可以是整个定义域D，也可以是定义域的真子集.即应在函数的定义域内研究单调性. (2)同区间性，即x1，x2∈I. (3)任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替. (4)有序性，即要规定x1，x2的大小. (5)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一. (6)单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质. 2.(1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标. (2)并不是所有的函数都有最大(小)值，比如y=x，x∈R. (3)一个函数至多有一个最大(小)值，但取得最大(小)值时的x0可以有多个. (4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性. (5)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)=M时，M才是函数的最大(小)值，否则不是.比如f(x)=-x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值.
【题型1】函数的单调性与函数图象的特征
（2024秋 双流区期中）已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为
A．，， B．，，
C．， D．，
【答案】
【分析】由图象上升下降的情况判断即可．
【解答】解：函数的图象在区间和是上升的，在区间和是上升的，
故该函数的减区间为，．
故选：．
方法点拨 (1)求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间. (2)若函数不是上述常见函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间. (3)一个函数有多个单调区间时，区间不能用“∪”连接，而要用“和”或“，”连接.
【变式1】（2024秋 灵丘县期中）作出函数的图象，并指出函数的单调区间．
【分析】根据分段函数画出图象即可，并由图象得到函数的单调区间．
【解答】解：函数的图象如图所示：
由图象可知，函数在，和，上单调递增，在上单调递增．
【变式2】（2024秋 察右前旗期中）设函数，若，．
（1）求函数的解析式；
（2）画出函数的图象，并指出函数的定义域、值域、单调区间．
【分析】（1）由题意可得，，解方程可得，，进而得到的解析式；
（2）由分段函数的画法，可得的图象，进而得到定义域、值域、单调区间．
【解答】解：（1）由，，
即有，，
解得：，，
则；
（2）图象见图所示：
由图象可知：函数的定义域：，；
值域：，；
单调增区间：，单调减区间：，．
【变式3】（2024秋 颍泉区期中）设函数，若，
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）画出函数的图象，并说出函数的单调区间．
【分析】（Ⅰ）根据分段函数的解析式，结合，，列出方程组，求解即可得到答案；
（Ⅱ）根据分段函数解析式分段画出函数图象，根据图象即可得到函数的单调区间．
【解答】解：函数，且，，
，且，
解得，，
，
作出函数图象如图所示，
由图象可知单调区间为：，，，，，
其中增区间为，，增区间为，，．
【题型2】利用定义证明函数的单调性
（2024秋 吉林期末）已知函数，且（1）．
（1）求；
（2）判断函数在，上的单调性，并用定义法证明；
（3）求函数在区间，上的最大值和最小值．
【分析】（1）直接由（1）代入，即可求得；
（2）利用定义法作差计算，即可证明函数的单调性；
（3）利用函数的单调性计算最值即可．
【解答】解：（1）根据题意，函数，且（1），
则有，解可得．
（2）根据题意，函数在，上单调递增，
证明如下：
由（1）知，，
设，则，
由，则，，，
所以，即，
所以函数在，上单调递增．
（3）由（2）可知在，上单调递减，
所以，
则函数在，上的最大值为，最小值为6．
方法点拨 利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值并规定大小：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1【变式1】（2024秋 吕梁期末）已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的单调性，并用定义证明；
（3）解不等式．
【答案】（1）；
（2）是单调递减函数，证明见解析；
（3）或．
【分析】（1）根据根式以及分式的性质即可求解，
（2）根据单调性的定义即可求解，
（3）根据单调性以及定义域，列不等式求解．
【解答】解：（1）要使函数有意义，
则且，即，
所以函数定义域为；
（2）是单调递增函数．
证明如下：
设，，且，
则
．
因为，
所以，
所以．
所以，
即．
所以是单调递减函数．
（3）函数的定义域为且单调递减，
所以由，
得，
解得或．
所以不等式的解集为或．
【变式2】（2024秋 邢台期末）已知函数．
（1）证明：函数在区间上是增函数；
（2）当，，求函数的值域．
【答案】（1）证明见解析；
（2），．
【分析】（1）利用函数的单调性的定义证明即得；
（2）利用已证的函数单调性，即可求得函数在给定区间上的值域．
【解答】解：（1）证明：函数，
任取，，且，
由，
因，故，，故，
即函数在区间上是增函数；
（2）由（1）的结论：函数在，上也是增函数，
则（2）（6），即，
故函数的值域为，．
【变式3】（2024秋 龙岩期末）已知函数．
（1）用定义法证明函数在区间，上单调递增；
（2）对任意的，都有成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2），，
【分析】（1）利用单调性的定义按照步骤证明即可；
（2）结合函数的单调性求出，，然后利用基本不等式求得，最后解一元二次不等式即可得解．
【解答】解：（1）证明：取任意，，，且，
有，
由，可得，，
所以，即，
所以在区间，上单调递增．
（2）依题意得，，
由（1）知在，上单调递增，
可得在，上，，，
又，当且仅当，
即，即时取等号，
所以，即，解得，，，
所以实数的取值范围是，，．
【题型3】求函数的单调区间
（2024秋 无锡期中）函数的单调增区间是（ ）
A．（2，+∞） B．（﹣∞，2）
C．（﹣2，2） D．（﹣∞，2），（2，+∞）
【答案】D
【分析】求出函数的定义域，根据反比例函数的性质及函数的变换规则判断即可．
【解答】解：函数的定义域为{x|x≠2}，
又的图象是由向右平移2个单位得来，
的单调递增区间为（﹣∞，0），（0，+∞），
所以的单调递减区间为（﹣∞，2），（2，+∞）．
故选：D．
方法点拨 1.常用方法： 图象法：作出函数图象，根据图象的升降趋势直接确定单调区间． 定义法：按定义判断函数在各子区间的单调性，进而确定单调区间． 性质法：利用基本初等函数的单调性及复合函数、分段函数的单调性规则推导： 复合函数：“同增异减”（内外层函数单调性相同则复合函数递增，相反则递减）． 分段函数：分别判断各分段区间的单调性，注意衔接点处的函数值大小关系． 2.注意事项：单调区间需用区间表示，多个同类单调区间不合并，用逗号分隔．
【变式1】（2024秋 北京期中）下列函数中，在上单调递增的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用反比例函数、对勾函数、二次函数单调性依次判断即可．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，函数，是反比例函数，在上单调递减，不符合题意；
对于，函数，是对勾函数，在上单调递减，在上单调递增，不符合题意；
对于，函数，是二次函数，在上单调递增，符合题意；
对于，函数在上单调递减，在上单调递增，不符合题意．
故选：．
【变式2】（2024秋 新城区期中）已知函数在上单调递减，则函数的增区间为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由题意可知，，再利用二次函数的单调性质可得答案．
【解答】解：函数在上单调递减，
，
为开口向下的二次函数，其对称轴方程为，
在上单调递增，
即函数的增区间为，
故选：．
【变式3】（2024秋 孝义市月考）函数的单调增区间为
A． B．
C．，， D．，
【答案】
【分析】先分离常数，再结合复合函数的单调性求解即可．
【解答】解：函数，定义域为，
且的单调递减区间为，，
故函数的单调增区间为，，
故选：．
【题型4】由函数的单调性求解函数或参数
（2024秋 眉山期末）已知函数满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由对成立，可知函数在定义域内单调递减，结合分段函数单调性可列不等式，即可求解．
【解答】解：对任意的实数，都有成立，
函数在上单调递减．
当时，单调递减，，解得；
当时，单调递减，，即；
又函数在上单调递减，，解得，
综上所述，实数的取值范围是．
故选：．
方法点拨 1.求解函数： 根据单调性特征（如增函数满足x 【变式1】（2025 芙蓉区一模）已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是
A．， B． C．， D．，
【答案】
【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得答案．
【解答】解：根据题意，函数是上的增函数，
则，解可得，即的取值范围为，．
故选：．
【变式2】（2025春 凌源市月考）已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围为
A． B． C．， D．
【答案】
【分析】根据题意，由函数在上单调递增，列出不等式，代入计算，即可得到结果．
【解答】解：根据题意，函数，在上单调递增，
则，解得，
所以实数的取值范围为，．
故选：．
【变式3】（2024秋 莆田期末）已知函数满足对任意的，，恒成立，则实数的取值范围是
A．， B． C． D．，
【答案】
【分析】根据条件得到在定义域上单调递减，结合函数的解析式可得关于的不等式，解可得答案．
【解答】解：根据题意，函数满足对任意的，，恒成立，
在上单调递减，
函数，
当时，在区间上单调递减，所以，
当时，，，为增函数，
又，解得，
综上：，即的取值范围为，．
故选：．
【题型5】求函数的最值
已知函数．
（1）判断并证明函数在上的单调性；
（2）求函数在，上的最值．
【答案】（1）函数在上是减函数，证明见解析
（2）最大值为（1），最小值为．
【分析】（1）先判断再用定义法证明单调性；
（2）由（1）知，函数在，上是减函数，进而可求出在，上的最大值与最小值．
【解答】解：（1）根据题意，函数在上是减函数，证明如下：
设，是区间上的任意两个实数，且，
则，
因为，
所以，且，
所以，
所以函数在区间上是减函数．
（2）由（1）知，函数在，上是减函数，
因此，函数在区间，的两个端点上分别取得最大值与最小值，
即最大值为（1），最小值为．
方法点拨 (1)利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性.②利用单调性写出最值. (2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b). ②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a). ③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值.
【变式1】（2025春 讷河市期中）函数在，上的最大值是 2 ．
【答案】2．
【分析】利用函数的单调性求解即可．
【解答】解：令，，，设，，，且，
，
当，，，且时，，，，
所以，即，
所以在，上单调递减，即函数在，上单调递减，
所以当时，函数取得最大值，最大值为2．
故答案为：2．
【变式2】（2024秋 遵义期末）若函数，则的最小值是 2 ．
【答案】2．
【分析】通过换元法求出的表达式，再根据二次函数的性质求其最小值．
【解答】解：令，则，将代入中，
可得，
把换成，即，
对称轴为，把代入，
得（3），所以的最小值是2．
故答案为：2．
【变式3】（2024秋 喀什市期末）已知函数．
（1）判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的结论；
（2）若，，求函数的最大值和最小值．
【答案】（1）减函数，证明见解析；
（2），．
【分析】（1）利用函数单调性定义即可证明得出结论；
（2）由单调性代入即可得出其最值．
【解答】解：（1）函数在上是减函数，证明如下：
任取，，且，所以，，
则，
所以，即，
所以在区间上是减函数．
（2）因为函数在区间，上是减函数，
所以，．
【题型6】由函数的最值求解函数或参数
（2025 赤峰模拟）已知函数在，上的最大值比最小值大，则 1 ．
【答案】1．
【分析】根据函数的奇偶性和和对勾函数的性质可知在上单调减，在上单调递增，分和两种情况讨论，求出最值即可求解．
【解答】解：因为，
所以为奇函数，且在，上的最大值比最小值大，
所以在，上的最大值比最小值大．
由对勾函数的性质可得在上单调增，在上单调递增．
当时，即时，在，上单调递增．
则，
解得．
当时，即时，在上单调递减，在上单调递增．
，
因为，所以（2）（1），
所以，
解得（舍去）或9（舍去）．
综上，
故答案为：1．
方法点拨 1.求解函数： 根据最值的数值及对应的自变量值，结合函数类型（如二次函数顶点坐标）确定函数解析式． 利用最值与函数表达式的关系（如最值公式）反推函数的未知系数． 2.求解参数： 表示出函数的最值（含参数），根据已知最值建立关于参数的方程或不等式． 结合函数定义域及单调性对参数的限制，求解参数值或取值范围，验证解的合理性．
【变式1】（2025春 嘉定区月考）若在上的最大值为，则实数的最大值为 3 ．
【答案】3．
【分析】解方程可得出，分、两种情况讨论，结合可求得实数的取值范围，即可得解．
【解答】解：由可得，解得或，
由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数在上单调递减，此时；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
由题意可得，此时，．
综上，，因此，实数的最大值为3．
故答案为：3．
【变式2】（2025 焦作一模）若函数的最小值为，则实数的取值范围为 ， ．
【答案】，．
【分析】根据分段函数解析式由二次函数单调性以及基本不等式求得两部分取得最小值的表达式，解不等式即可得出结果．
【解答】解：又因为当时，函数，当且仅当时等号成立；
如果最小值为可得，所以，解得；
当时，函数关于直线对称，
如果最小值为，可知，所以．
综上可知，实数的取值范围为，．
故答案为：，．
【变式3】（2024秋 杨浦区期末）已知函数，，的最小值为，则 或3 ．
【答案】或3．
【分析】根据给定条件，按，，分类讨论求出最小值即可得解．
【解答】解：根据题意，函数，，的最小值为，
当时，在，上单调递增，
当时，，解得，故，
当时，，，解得或，无解，
当时，在，上单调递减，
当时，，解得，因此，
则或．
故答案为：或3．
