山东省青岛市2026届高三年级入学适应性考试数学试题（含答案）

山东省青岛市2026届高三年级入学适应性考试
数学试题及参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
. . . .
2.复数在复平面内所对应的点位于（ ）
.第一象限 .第二象限 .第三象限 .第四象限
3.内角的对边分别为，若，，则的面积为（ ）
. . . .
4.已知命题，命题，则命题是命题的（ ）
.充分不必要条件 .必要不充分条件
.充要条件 .既不充分也不必要条件
5.两个单位向量与满足，则向量与的夹角为（ ）
.30° .60° .120° .150°
6.设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
. . . .
7.已知定义在上的奇函数满足，当时，,则（ ）
. . . .
8.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（ ）
.24对 .30对 .48对 .60对
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
.常数项是1120 .第四项和第六项的系数相等
.各项的二项式系数之和为256 .各项的系数之和为256
10.函数在一个周期内的图象可以是（ ）
11.已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素.若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”.记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（ ）
.
.将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集
.若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为
.若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若，，则 .
13.点在函数的图像上，点在函数的图像上，则的最小值为 .
14.已知动圆过点且与直线相切，直线与轴交于，点为动圆圆心的轨迹上任意一点，的角平分线与轴交点为，则最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）如图，在四面体中，平面平面，，，.
（1）求四面体的体积；
（2）求二面角的平面角的正切值.
16.（15分）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在上恰有两个零点，求的取值范围.
17.（15分）某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有四个问题，规则如下：
①每位参加者积分器的初始分均为10分，答对问题分别加1分，2分，3分，6分，答错任一题减2分；
②每回答一题，计分器显示累计分式，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；
当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；③每位参加者按问题顺序作答，直至答题结束.假设甲同学对问题回答正确的概率依次为，且回答正确与否相互之间没有影响.
（1）求甲同学能进入下一轮的概率；
（2）用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学期望.
18.（17分）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64，是公比大于0的等比数列，，.
（1）求和的通项公式；
（2）记.
（ⅰ）证明：是等比数列；（ⅱ）证明：.
19.（17分）定义：设三角形的内角的对边分别为，若其所在平面内一点满足，则称点为三角形的正弦分点.
（1）证明：点为三角形的内心；
（2）已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中均为常数，动点的轨迹称为曲线.
（ⅰ）已知曲线为曲线，其左顶点为，右焦点为，若点是曲线右支上的一点，三角形的正弦分点为，证明：点在曲线上；
（ⅱ）已知曲线为曲线，其焦点分别为，若点是曲线上的一点，三角形的正弦分点为，则是否存在两定点，使得恒为定值，若存在，求出此定值，若不存在，则说明理由.
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
B B A A D C A C
二、选择题
9 10 11
AC AC ABD
三、填空题
12. 13. 14.
四、解答题
15.解：（1）如图，过作，垂足为，
由平面平面，
可得平面，
即是四边体的面上的高，
设为边的中点，由，可得，
则.
由可得，.
在中，，.
故四面体的体积.
（2）如图，过作，垂足为，连接，
由（1）知平面，由三垂线定理可得，
故为二面角的平面角，
在中，，
在中，，从而，可得.
在中，.
则二面角的平面角的正切值为.
16.解：（1）由函数，得，则，，
∴曲线在点处的切线方程为，即.
（2）令，则，
令，则，
令，则，令，则，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
∴，
，当时，，当时，，
如图，作出函数的大致图象，
∵函数在上恰有两个零点，
∴函数，的图象恰有两个交点，
∴的取值范围为.
17.解：（1）记“甲同学能进入下一轮”为事件，
，
.
（2）由题意，随机变量的可能取值为2,3,4.由于每题答题结果相互独立，
∴，，.
随机变量的分布列为：
∴.
18.解：（1）∵是公差为2的等差数列，其前8项和为64，
∴，∴，∴.
设等比数列的公比为，
∴，解得（负值舍去），
∴.
（2）（ⅰ）由题意，，
∴，
∴，且，∴数列是等比数列.
（ⅱ）由题意知，，
∴，∴，
设，
则，
两式相减得，
∴，∴.
19.解：（1）由正弦定理可知：，
则.
记，
由于，
∴在直线上，且，
∴在角的角平分线上，
又∵，∴三点共线，即在角的角平分线上，
同理可得在角，角的角平分线上，∴点为三角形的内心.
（2）（ⅰ），，则，
即：，，，
设，则，，
设直线，直线，
由，得，，
代入可得.
显然，否则三点共线构成不了三角形.
故，即①
由（1）可知为的内心，不妨设在第一象限，
故，，代入①可得，
则（舍去）或者，
即，整理得.
（ⅱ），即：，，，
设，，
则，，
，，，
则，
即，
解得，，
则，
即的轨迹为椭圆，则.