第一章 空间向量与立体几何（单元测试）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学选择性必修第一册

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第一章 空间向量与立体几何
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OB，AC的中点，点G在线段MN上，2，现用基向量，，表示向量，设xyz，则x，y，z的值分别是（　　）
A．x，y，z B．x，y，z
C．x，y，z D．x，y，z
2．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，．点P在A1C上，且A1P：PC＝2：3，则（　　）
A． B．
C． D．
3．（5分）已知E、F分别为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，设α为二面角D﹣AE﹣D1的平面角，求sinα＝（　　）
A． B． C． D．
4．（5分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中错误的是（　　）
A．AC⊥SB
B．平面SCD⊥平面SAD
C．SA和SC与平面SBD所成的角相等
D．异面直线AB与SC所成的角和异面直线CD与SA所成的角相等
5．（5分）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧，则直线B1C与平面AOC所成的角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝BC＝1，BB1＝2，点P在长方体的侧面BCC1B1上运动，AP⊥BD1，则二面角P﹣AD﹣B的平面角正切值的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）如图，已知圆柱OO1，A在圆O上，AO＝1，OO1，P，Q在圆O1上，且满足PQ，则直线AO1与平面OPQ所成角的正弦值的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．[0，1]
8．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E在棱AA1上，AE＝3A1E，点G是棱CD的中点，点F满足（0＜λ），当平面EFG与平面ABCD所成（锐）二面角的余弦值为时，经过E，F，G三点的截面的面积为（　　）
A．2 B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E，F分别是棱AD，CD上的动点，满足AE＝DF，则（　　）
A．四棱锥B1﹣BEDF的体积为定值
B．四面体D1DEF表面积为定值
C．异面直线B1E和AF所成角为90°
D．二面角D1﹣EF﹣B1始终小于60°
10．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AA1＝2，BC1与B1C交于点F，点E是线段A1B1上的动点，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．存在点E，使得AF⊥BE
C．三棱锥B﹣AEF的体积为
D．直线AF与平面BCC1B1所成角的余弦值为
11．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C运动，则（　　）
A．三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值
B．异面直线AP与A1D所成的角的取值范围为[45°，90°]
C．直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为
D．过P作直线l∥AD1，则l⊥DP
12．（5分）如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是（　　）
A．AB⊥AC
B．AB⊥DC
C．BD⊥AC
D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为底面ABCD上一点，则的最小值为 　 　 ．
14．（5分）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱A1A上的动点，N是棱BC的中点．当平面D1MN与底面ABCD所成的锐二面角最小时，A1M＝　 　 ．
15．（5分）如图，在矩形ABCD中，2AB＝BC＝2，AE＝CF＝1．将A，C分别沿BE，DF向上翻折至A′，C′，则A′C′取最小值时，二面角A′﹣EF﹣C′的正切值是 　 　 ．
16．（5分）如图，从长、宽、高分别为a，b，c的长方体AEBF﹣GCHD中截去部分几何体后，所得几何体为三棱锥A﹣BCD．下列四个结论中，所有正确结论的序号是　 　 ．
①三棱锥A﹣BCD的体积为；
②三棱锥A﹣BCD的每个面都是锐角三角形；
③三棱锥A﹣BCD中，二面角A﹣CD﹣B不会是直二面角；
④三棱锥A﹣BCD中，三条侧棱与底面所成的角分别记为α，β，γ，则sin2α+sin2β+sin2γ≤2．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等腰直角三角形，PA＝PD，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝2，∠ABC＝120°，G是PB的中点，H为AC的中点．
（1）求证：GH∥平面PAD；
（2）求二面角D﹣AG﹣C的余弦值．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，PA＝PB＝PD，顶点P在底面上的投影为O，侧棱PB与底面ABCD所成角的正切值为．
（1）证明：BC⊥平面POB；
（2）若点E为PC的中点，求二面角A﹣DE﹣B的大小．
19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为矩形，AD＝2AB，M为BC中点，平面A1D1DA⊥ABCD，AA1⊥A1D且A1A＝A1D．
（1）证明：∠B1A1D＝90°．
（2）若此四棱柱的体积为2，求二面角A﹣A1B﹣M的正弦值．
20．（12分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1．
（1）证明：BF⊥DE；
（2）当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD＝3，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝3．点M在棱PD上，且DM＝2MP，点N为BC中点．
（1）证明：直线MN∥平面PAB；
（2）求二面角C﹣PD﹣N的正弦值．
22．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，BC＝BC1，CC1＝2，AB＝3．
（1）求证：C1B⊥平面ABC；
（2）若E是BB1的中点，求二面角A﹣C1E﹣C的余弦值．
第一章 空间向量与立体几何
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OB，AC的中点，点G在线段MN上，2，现用基向量，，表示向量，设xyz，则x，y，z的值分别是（　　）
A．x，y，z B．x，y，z
C．x，y，z D．x，y，z
【答案】C
【分析】根据条件，可得，然后由xyz，得到x，y，z的值．
【解答】解：∵M、N分别是OB、AC的中点，
∴，（），
∴（）
（）
，
∵xyz，
∴x，y，z．
故选：C．
【点评】本题主要考查空间向量的线性运算，熟练掌握向量的三角形法则及平行四边形法则是解题的关键，属于基础题．
2．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，．点P在A1C上，且A1P：PC＝2：3，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知及空间向量的线性运算即可求解．
【解答】解：因为点P在A1C上，且A1P：PC＝2：3，
所以A1PA1C，所以，
所以
（）
（）
．
故选：B．
【点评】本题主要考查空间向量及其线性运算，属于基础题．
3．（5分）已知E、F分别为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，设α为二面角D﹣AE﹣D1的平面角，求sinα＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立空间坐标系，求出平面AEFD1的法向量和平面AECD的一个法向量，代入向量夹角问题，是解答的关键．
【解答】解：建立如图所示的空间坐标系，
令正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，
则（2，1，0），（0，2，2），
设平面AEFD1的法向量为（x，y，z），
则由得，
令x＝1，则y＝﹣2，z＝2，
故（1，﹣2，2），
又由（0，0，2）为平面AECD的一个法向量，
α为D﹣AE﹣D的平面角，
∴cosα，
故sinα，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．
4．（5分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中错误的是（　　）
A．AC⊥SB
B．平面SCD⊥平面SAD
C．SA和SC与平面SBD所成的角相等
D．异面直线AB与SC所成的角和异面直线CD与SA所成的角相等
【答案】D
【分析】对于A，由AC⊥BD，AC⊥SD，得AC⊥平面SBD，从而AC⊥SB；对于B，由AD⊥CD，SD⊥CD，得CD⊥平面ASD，从而平面SCD⊥平面SAD；对于C，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出民SA和SC与平面SBD所成的角相等；对于D，利用向量法能求出异面直线AB与SC所成的角和异面直线CD与SA所成的角不相等．
【解答】解：四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，
对于A，由题意得AC⊥BD，AC⊥SD，
∵BD∩SD＝D，BD、SD 平面SBD，∴AC⊥平面SBD，
∵SB 平面SBD，∴AC⊥SB，故A正确；
对于B，由题意知AD⊥CD，SD⊥CD，
AD∩SD＝D，AD，SD 平面ASD，∴CD⊥平面ASD，
∵CD 平面SCD，∴平面SCD⊥平面SAD，故B正确；
对于C，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB＝1，DS＝t，则S（0，0，t），A（1，0，0），
C（0，1，0），B（1，1，0），D（0，0，0），
（1，1，0），（0，0，t），（1，0，﹣t），（0，1，﹣t），
设平面SBD的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，﹣1，0），
设SA和SC与平面SBD所成的角分别为α，β，
则sinα，
sinβ，
∴SA和SC与平面SBD所成的角相等，故C正确；
对于D，由C得（0，1，0），（0，1，﹣t），
（0，﹣1，0），（1，0，﹣t），
cos，
cos0，
∴异面直线AB与SC所成的角和异面直线CD与SA所成的角不相等，故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题．
5．（5分）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧，则直线B1C与平面AOC所成的角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立合适的空间直角坐标系，写出所需点的坐标，然后在直角三角形中求解即可．
【解答】解：以O为坐标原点，OA为x轴，OO1为z轴建立空间直角坐标系，
则，
则，
又点B1到平面AOC的距离为1，
故直线B1C与平面AOC所成的角的正弦值为．
故选：B．
【点评】本题考查了线面角的求解，用几何法求线面角，可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
6．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝BC＝1，BB1＝2，点P在长方体的侧面BCC1B1上运动，AP⊥BD1，则二面角P﹣AD﹣B的平面角正切值的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立合适的空间直角坐标系，设点P（x，1，z），求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用平面向量垂直的坐标表示，求出点P在平面BB1C1C上的轨迹，当点P与点C重合时，二面角P﹣AD﹣B最小，点P在BB1的四等分点（靠近B点）时，二面角P﹣AD﹣B最大，分别求解正切值即可．
【解答】解：以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
设点P（x，1，z），B（1，1，0），D1（0，0，2），A（1，0，0），
所以（1，1，﹣2），，
因为，
则x﹣1+1﹣2z＝x﹣2z＝0，
故点P在平面BB1C1C上的轨迹为由点C到BB1的四等分点（靠近B点）的一条线段，
点P在点C到BB1的四等分点（靠近B点）移动的过程中，二面角P﹣AD﹣B逐渐增大，
所以当点P与点C重合时，二面角P﹣AD﹣B最小，此时正切值为0，
当点P在BB1的四等分点（靠近B点）时，二面角P﹣AD﹣B最大，
因为AD⊥平面ABB1A1，又AP 平面ABB1A1，
所以AD⊥AP，又AD⊥AB，
所以∠PAB即为二面角P﹣AD﹣B的平面角，
则tan∠PAB．
综上可得，二面角P﹣AD﹣B的平面角正切值的取值范围是．
故选：B．
【点评】本题考查了二面角的取值范围的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
7．（5分）如图，已知圆柱OO1，A在圆O上，AO＝1，OO1，P，Q在圆O1上，且满足PQ，则直线AO1与平面OPQ所成角的正弦值的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．[0，1]
【答案】A
【分析】用向量法求直线AO1与平面OPQ所成角的正弦值，再根据cosθ值域判定．
【解答】解：取PQ中点M，连O1M，OM，过O1作O1N⊥MO，O1N⊥面OPQ，因为PQ，O1Q＝OA＝1，所以O1M，tan∠MOO1，所以∠MOO1＝30°，
O1N，
建立如图所示的空间直角坐标系，N（，0，），设A（cosθ，sinθ，），其中θ为OA与x轴正向所成角，
于是平面OPQ的法向量为（，0，），直线AO1的方向向量为（cosθ，sinθ，），
所以直线AO1与平面OPQ所成角的正弦值为，
故选：A．
【点评】本题考查了直线与平面成角计算问题，考查了函数值域问题，属于中档题．
8．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E在棱AA1上，AE＝3A1E，点G是棱CD的中点，点F满足（0＜λ），当平面EFG与平面ABCD所成（锐）二面角的余弦值为时，经过E，F，G三点的截面的面积为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，由空间向量结合平面EFG与平面ABCD所成（锐）二面角的余弦值为求得λ，画出截面图，求出截面五边形的边长，再由等腰三角形及等腰梯形的面积作和得答案．
【解答】解：如图，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
G（0，1，0），E（2，0，），F（2，2，2λ），
则，，
设平面EFG的一个法向量为，
由，取z＝1，可得，
平面ABCD的一个法向量，
由题意，||，解得或（舍），
∴F为四等分点（靠近B），
延长EF，AB，设EF∩AB＝I，连接IG，交BC于K，延长IG，交AD的延长线于L，
连接EL，交DD1于H，则五边形EFKGH为截面图形，
由题意求得EF，FK，GK，HG，EH，FH＝2，
摘出五边形EFKGH如图，
求解三角形可得等腰三角形EFH底边FH上的高为，等腰梯形HGKF的高为，
则截面面积为S．
故选：B．
【点评】本题考查二面角的平面角及其求法，考查平面的基本性质及推理，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E，F分别是棱AD，CD上的动点，满足AE＝DF，则（　　）
A．四棱锥B1﹣BEDF的体积为定值
B．四面体D1DEF表面积为定值
C．异面直线B1E和AF所成角为90°
D．二面角D1﹣EF﹣B1始终小于60°
【答案】ABC
【分析】A，利用S＝SABCD﹣S△ABE﹣S△BCF＝1FC＝1（AE+BF），即可判断；
B，过D作DH⊥EF，连接D1H，则D1H⊥EF，设AE＝DF＝x，四面体D1DEF表面积为Sx×11即可判断；
C，建立空间直角坐标系，设AE＝x，利用x﹣x+0＝0，即可判断；
D，取AE＝DF验证，即可判定．
【解答】解：对于A，因为四边形BEDF的面积为S＝SABCD﹣S△ABE﹣S△BCF＝1FC＝1（AE+BF）＝1（定值）．
∴四棱锥B1﹣BEDF的体积为定值，故正确；
对于B，过D作DH⊥EF，连接D1H，则D1H⊥EF，设AE＝DF＝x，则DH，
∴D1H，S，
∴四面体D1DEF表面积为Sx×11，∴四面体D1DEF表面积为定值，故正确．
对于C，如图建立空间直角坐标系，设AE＝x，则E（1﹣x，0，0），F（0，x，0），B1（1，1，1），A（1，0，0），
则，，
∴x﹣x+0＝0，∴异面直线B1E和AF所成角为90°，故正确；
对于D，当AE＝DF时，可得二面角D1﹣EF﹣D就是∠DHD1，二面角B1﹣EF﹣B就是∠BHB1，
则tan∠DHD1＝2，tan∠bHb1，
tan（∠DHD1+∠BHB1），
此时二面角D1﹣EF﹣B1的正切值为，故错．
故选：ABC．
【点评】本题考查了空间里的线面、面面位置关系，以及空间体积、角的计算，属于中档题．
10．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AA1＝2，BC1与B1C交于点F，点E是线段A1B1上的动点，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．存在点E，使得AF⊥BE
C．三棱锥B﹣AEF的体积为
D．直线AF与平面BCC1B1所成角的余弦值为
【答案】AC
【分析】A利用空间向量运算求解判断；B利用空间向量运算求解判断；C利用等体积法求解判断；D利用线面角的求解判断．
【解答】解：由题意可得，画出正三棱柱ABC﹣A1B1C1，
如图所示，向量（）
（），故A正确；
假设存在点E，设λ，0≤λ≤1，
所以λ（λ﹣1），
因为AF⊥BE，
所以 （） [（λ﹣1）]
（λ﹣1）22（λ﹣1） λ
（λ﹣1）22（λ﹣1）×1×10，
解得λ，故B错误；
因为正三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以AB∥A1B1，
所以V三棱锥E﹣ABF
1×12，
所以V三棱锥B﹣AEF＝V三棱锥E﹣ABF，故C正确；
设BC中点为O，所以AO⊥BC，
又三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，
所以AO⊥平面BB1C1C，
所以∠AFO即AF与平面BB1C1C所成的角，
cos∠AFO，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了空间向量基本定理，立体几何线面位置关系，棱锥的体积和直线与平面所成的角，属于中档题．
11．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C运动，则（　　）
A．三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值
B．异面直线AP与A1D所成的角的取值范围为[45°，90°]
C．直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为
D．过P作直线l∥AD1，则l⊥DP
【答案】ACD
【分析】在A中，由B1C∥平面 A1C1D，得到P到平面A1C1D的距离为定值，再由△A1C1D的面积是定值，从而三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值；
在B中，异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[60°，90°]；
在C中，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，P到平面平面A1C1D的距离为h，用等体积法求出h，直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值为 ，只需求得C1P的最小值即可；
在D中，由l∥BC1，DP⊥BC1，即可判断．
【解答】解：在A中，∵A1D∥B1C，A1D 平面A1C1D，B1C 平面A1C1D，
∴B1C∥平面 A1C1D，
∵点P在线段B1C上运动，∴P到平面A1C1D的距离为定值，
又△A1C1D的面积是定值，∴三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值，故A正确；
在B中，异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[60°，90°]，故B错误；
在C中，不妨设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，设P到平面平面A1C1D的距离为h，用等体积法求出h，直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值为 ，C1P的最小值为，所以直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为，故C正确．
在D中，过P作直线l∥AD1，则l∥BC1，∵DP⊥BC1，∴l⊥DP，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查命题真假的判断，空间图形中直线与直线、平面的位置关系，异面直线的判断，基本知识与定理的灵活运用，属于中档题．
12．（5分）如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是（　　）
A．AB⊥AC
B．AB⊥DC
C．BD⊥AC
D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直
【答案】BC
【分析】以D为坐标原点，DB，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，分别向量的数量积即可判断A，B，C，
求出平面ABC的法向量，根据向量的数量积即可判断．
【解答】解：以D为坐标原点，DB，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设折叠前的等腰直角三角形ABC的斜边BC＝2，
则D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（0，0，1），
则，，，，
从而有，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
易知平面ADC的一个法向量为，
设平面ABC的一个法向量为，则，
即，令y＝1，
则x＝1，z＝1，故，，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了折叠前后线线，线面，面面关系的应用问题，解题时要前后对应，是中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为底面ABCD上一点，则的最小值为 　　 ．
【答案】．
【分析】先利用空间向量基本定理将转化为，由空间向量的数量积定义以及基本不等式求解最值即可．
【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为底面ABCD上一点，
则||||，
当反向时，且时取等号，
所以的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了空间向量的理解与应用，空间向量数量积的运用，空间向量基本定理的运用，利用基本不等式求解最值的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
14．（5分）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱A1A上的动点，N是棱BC的中点．当平面D1MN与底面ABCD所成的锐二面角最小时，A1M＝　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】建立合适的空间直角坐标系，MA＝k，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面D1MN的法向量，利用向量的夹角公式表示出二面角的关系式，由余弦函数的单调性以及二次函数的性质求解即可．
【解答】解：以D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
设MA＝k，则D1（0，0，4），C（0，4，0），N（2，3，0），M（4，0，k），
所以，
设平面D1MN的法向量为，
则有，即，
令z＝8，则x＝8﹣2k，y＝4+k，故，
平面ABCD的一个法向量为，
设平面D1MN与底面ABCD所成的锐二面角为α，
则，
锐二面角α越小，则cosα越大，
所以求5k2﹣24k+144的最小值，
令f（k）＝5k2﹣24k+144，
所以当k时，α有最小值，此时．
故答案为：．
【点评】本题考查了二面角的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
15．（5分）如图，在矩形ABCD中，2AB＝BC＝2，AE＝CF＝1．将A，C分别沿BE，DF向上翻折至A′，C′，则A′C′取最小值时，二面角A′﹣EF﹣C′的正切值是 　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先确定|A′C′|取最小值时A′与C′的位置坐标，再用向量数量积计算二面角余弦值，进而求解．
【解答】解：取BE中点O，DF中点N，连接OA′、OF，连接NE、NC′，过A′作A′M⊥OF于M，过C′作C′H⊥NE于H，
建立如图所示的空间直角坐标系，设∠A′OF＝α，∠C′NE＝β，（α，β∈（0，π）），
A′（cosα，0，sinα），C′（，，sinβ），
|A′C′|2＝（cosα）2+（0）2+（sinβsinα）2，
（（1﹣cosβ﹣cosα）2+1+（sinβ﹣sinα）2），
当1﹣cosβ﹣cosα＝0，且sinβ﹣sinα＝0时|A′C′|最小，于是当α＝β时，|A′C′|最小，
A′（，0，），C′（，，），
（，，0），（，0，），（，，），
设平面EFA′和平面EFC′的法向量分别为（x，y，z），（u，v，w），
，令x，（，，1），
，令u，（，，﹣1），
设二面角A′﹣EF﹣C′的大小为θ，
由图知θ为锐角，所以cosθ，tanθ．
故答案为：．
【点评】本题考查了空间两点间距离最小值问题，考查了二面角计算问题，属于中档题．
16．（5分）如图，从长、宽、高分别为a，b，c的长方体AEBF﹣GCHD中截去部分几何体后，所得几何体为三棱锥A﹣BCD．下列四个结论中，所有正确结论的序号是　①②④　 ．
①三棱锥A﹣BCD的体积为；
②三棱锥A﹣BCD的每个面都是锐角三角形；
③三棱锥A﹣BCD中，二面角A﹣CD﹣B不会是直二面角；
④三棱锥A﹣BCD中，三条侧棱与底面所成的角分别记为α，β，γ，则sin2α+sin2β+sin2γ≤2．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出三棱锥A﹣BCD的体积判断①；由余弦定理的推论判断②；利用空间向量判断③；直接证明sin2α+sin2β+sin2γ≤2判断④．
【解答】解：对于①，长方体的体积为abc，
三棱锥A﹣BCD的体积为abc﹣4，故①正确；
对于②，三棱锥A﹣BCD的每一个面的三边长都可以用过一个顶点的三条侧棱表示，
不妨以△ACD为例，AD2＝a2+c2，AC2＝b2+c2，CD2＝a2+b2，
∵AD2+AC2＞CD2，AD2+CD2＞AC2，AC2+CD2＞AD2，
∴△ACD一定是锐角三角形，同理可得△ABC，△ABD，△BCD为锐角三角形，
则三棱锥A﹣BCD的每个面都是锐角三角形，故②正确；
对于③，如图，以F为坐标原点，分别以FA、FB、FD所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则A（a，0，0），E（a，b，0），B（0，b，0），F（0，0，0），G（a，0，c），
C（a，b，c），D（0，0，c），
，，，
设平面ACD的一个法向量为，
由，取y＝1，则，
同理可得平面BCD的一个法向量为，
，取a＝b，c＝1时，，可得二面角A﹣CD﹣B是直二面角，故③错误；
对于④，不妨设AB与底面所成角为α，AC与底面所成角为β，AD与底面所成角为γ，
由③可知，平面BCD的一个法向量为，，
sinβ，
．
同理可得，sin2α，sin2γ，
则sin2α+sin2β+sin2γ，故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查空间角与多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等腰直角三角形，PA＝PD，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝2，∠ABC＝120°，G是PB的中点，H为AC的中点．
（1）求证：GH∥平面PAD；
（2）求二面角D﹣AG﹣C的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）取AD的中点为O，连接OP、OB、OC，利用中位线定理证明GH∥OP，即可证明GH∥平面PAD；
（2）根据PA＝PD，O为AD的中点，得出PO⊥AD；根据平面PAD⊥平面ABCD，得出PO⊥平面ABCD；取BC的中点E，得出OE⊥AD；以O为坐标原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，求出平面DAG、平面CAG的法向量，利用向量求二面角D﹣AG﹣C的余弦值．
【解答】（1）证明：取AD的中点为O，连接OP、OB、OC，
因为AD∥BC，AB＝BC＝CD＝2，∠ABC＝120°，
所以AB＝BC＝CDAD；
又因为四边形ABCO与四边形OBCD都是菱形，且H为AC的中点，
所以H为OB的中点，GH∥OP；
又因为GH 平面PAD，OP 平面PAD，
所以GH∥平面PAD；
（2）解：因为PA＝PD，O为AD的中点，所以PO⊥AD；
又因为平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD；
取BC的中点为E，因为ABCD为等腰梯形，所以OE⊥AD；
以O为坐标原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
则P（0，0，2），A（0，﹣2，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），G（，，1）；
所以（0，4，0），（，，1），（，3，0）；
设平面DAG的一个法向量为（x，y，z），由，得，求得（2，0，）；
设平面CAG的一个法向量为（a，b，c），由，得，求得（，﹣1，0）；
计算cos，，
所以二面角D﹣AG﹣C的余弦值为．
【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了利用空间向量求二面角的余弦值应用问题，是中档题．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，PA＝PB＝PD，顶点P在底面上的投影为O，侧棱PB与底面ABCD所成角的正切值为．
（1）证明：BC⊥平面POB；
（2）若点E为PC的中点，求二面角A﹣DE﹣B的大小．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）由底面ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，得出△ABD是等边三角形；判断三棱锥P﹣ABD是正三棱锥，点P在底面上的投影为O为正△ABD的中心，得出BC⊥OB，再由BC⊥PO，证明BC⊥平面POB；
（2）以O为原点，，的方向为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz，用坐标表示向量，求出平面ADE、平面BDE的法向量，再求二面角A﹣DE﹣B的大小．
【解答】（1）证明：因为四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，
所以△ABD是边长为2的等边三角形；
因为PA＝PB＝PD，所以三棱锥P﹣ABD是正三棱锥，
所以顶点P在底面上的投影为O为正△ABD的中心；
又AD∥BC，所以BC⊥OB；
因为BC⊥PO，PO∩BO＝O，所以BC⊥平面POB；
（2）解：由（1）知，∠PBO是侧棱PB与底面ABCD所成的角，
所以tan∠PBO，所以OP＝4；
以O为原点，，的方向为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz，
如图所示：
则A（，，0），D（，，0），E（，，2），B（0，2，0），
所以（﹣2，0，0），（0，2，2），（，，﹣2），
设平面ADE的法向量为（x，y，z），
则，令y＝1，得（0，1，）；
设平面BDE的法向量为（a，b，c），
则，令b＝1，得（，1，）；
cos，，
因为二面角A﹣DE﹣B是锐角，所以二面角A﹣DE﹣B的大小为．
【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了利用向量求二面角的应用问题，是中档题．
19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为矩形，AD＝2AB，M为BC中点，平面A1D1DA⊥ABCD，AA1⊥A1D且A1A＝A1D．
（1）证明：∠B1A1D＝90°．
（2）若此四棱柱的体积为2，求二面角A﹣A1B﹣M的正弦值．
【答案】（1）证明过程见解答．
（2）．
【分析】（1）推导出AB⊥平面A1D1DA，A1B1⊥平面A1D1DA，从而A1B1⊥A1D，由此能证明∠B1A1D＝90°．
（2）取AD中点O，连接A1O，则A1O⊥AD，推导出A1O⊥平面ABCD，由四棱柱的体积求出AB＝1，以O为坐标原点，，，为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣A1B﹣M的正弦值．
【解答】解：（1）证明：因为平面A1D1DA⊥平面ABCD，
平面A1D1DA∩平面ABCD＝AD，AB 平面ABCD，AB⊥AD，
所以AB⊥平面A1D1DA，
因为AB∥A1B1，所以A1B1⊥平面A1D1DA，
又因为A1D 平面A1D1DA
所以A1B1⊥A1D，即∠B1A1D＝90°．
（2）取AD中点O，连接A1O，因为A1A＝A1D，所以A1O⊥AD，
又因为平面A1D1DA⊥平面ABCD，
平面A1D1DA∩平面ABCD＝AD，
所以A1O⊥平面ABCD，
所以A1O为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高，
设AB＝a，则AD＝2a，OA1＝a，
所以四棱柱的体积，
解得a＝1，
以O为坐标原点，，，为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A（0，﹣1，0），B（1，﹣1，0），C（1，1，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），M（1，0，0），，，，
因为AB⊥平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，又A1D⊥A1A，A1A∩AB＝A，
所以A1D⊥平面A1B1BA，所以平面AA1B的一个法向量，
设平面A1BM的一个法向量为，
令x＝1，则．
设二面角A﹣A1B﹣M的平面角为θ，
则，
所以，
即二面角A﹣A1B﹣M的正弦值为．
【点评】本题考查直角的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．
20．（12分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1．
（1）证明：BF⊥DE；
（2）当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？
【答案】（1）证明：连接AF，
∵E，F分别为直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱AC和CC1的中点，且AB＝BC＝2，
∴CF＝1，BF，
∵BF⊥A1B1，AB∥A1B1，
∴BF⊥AB
∴AF3，AC，
∴AC2＝AB2+BC2，即BA⊥BC，
故以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B（0，0，0），C（0，2，0），E（1，1，0），F（0，2，1），
设B1D＝m，则D（m，0，2），
∴（0，2，1），（1﹣m，1，﹣2），
∴ 0，即BF⊥DE．
（2）B1D时，所成的二面角的正弦值最小．
【分析】（1）连接AF，易知CF＝1，BF，由BF⊥A1B1，BF⊥AB，再利用勾股定理求得AF和AC的长，从而证明BA⊥BC，然后以B为原点建立空间直角坐标系，证得 0，即可；
（2）易知平面BB1C1C的一个法向量为（1，0，0），求得平面DEF的法向量，再由空间向量的数量积可得cos，，从而知当m时，得解．
【解答】（1）证明：连接AF，
∵E，F分别为直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱AC和CC1的中点，且AB＝BC＝2，
∴CF＝1，BF，
∵BF⊥A1B1，AB∥A1B1，
∴BF⊥AB
∴AF3，AC，
∴AC2＝AB2+BC2，即BA⊥BC，
故以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B（0，0，0），C（0，2，0），E（1，1，0），F（0，2，1），
设B1D＝m，则D（m，0，2），
∴（0，2，1），（1﹣m，1，﹣2），
∴ 0，即BF⊥DE．
（2）解：∵AB⊥平面BB1C1C，∴平面BB1C1C的一个法向量为（1，0，0），
由（1）知，（1﹣m，1，﹣2），（﹣1，1，1），
设平面DEF的法向量为（x，y，z），则，即，
令x＝3，则y＝m+1，z＝2﹣m，∴（3，m+1，2﹣m），
∴cos，，
∴当m时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的余弦值最大，此时正弦值最小，
故当B1D时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小．
【点评】本题考查空间中线与线的垂直关系，二面角的求法，熟练掌握利用空间向量证明线线垂直和求二面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD＝3，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝3．点M在棱PD上，且DM＝2MP，点N为BC中点．
（1）证明：直线MN∥平面PAB；
（2）求二面角C﹣PD﹣N的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明过程见解答；（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）以A为原点，分别以方向为x，y，z轴方向建立空间直角坐标系，求出平面ABP的一个法向量，通过，得到，即可证明直线MN∥平面PAB．
（Ⅱ）求出平面PCD的法向量，平面PDN的法向量，利用向量法求解二面角C﹣PD﹣N的正弦值即可．
【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，以A为原点，分别以方向为x，y，z轴方向建立空间直角坐标系，
由题意，可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），
D（0，3，0），P（0，0，3），M（0，1，2），N（2，1，0）．
显然，是平面ABP的一个法向量，，
故，即，
又因为MN 平面PAB，故直线MN∥平面PAB．
（Ⅱ）设平面PCD的法向量为，
又，
由，得取z＝2，可得．
由已知，可得．
设平面PDN的法向量为，有，
取z＝1，可得．
所以，
因此．
所以二面角C﹣PD﹣N的正弦值为．
【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理，二面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
22．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，BC＝BC1，CC1＝2，AB＝3．
（1）求证：C1B⊥平面ABC；
（2）若E是BB1的中点，求二面角A﹣C1E﹣C的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）利用AB⊥平面BB1C1C，可得AB⊥BC1，再利用勾股定理证明BC⊥BC1，由线面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面AC1E的法向量，由向量的夹角公式求解即可．
【解答】（1）证明：因为AB⊥平面BB1C1C，BC1 平面BB1C1C，则AB⊥BC1，
又，则，
所以BC⊥BC1，又AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，
故BC1⊥平面ABC；
（2）解：以B为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设为平面AC1E的法向量，
则，即，
令z＝3，则，
因为AB⊥平面BB1C1C，
所以在方向上取平面CC1E的法向量，
所以，
故二面角A﹣C1E﹣C的余弦值为．
【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
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