第三章 圆锥曲线的方程（单元测试）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 第三章 圆锥曲线的方程（单元测试）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 523.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-19 14:12:15 | ||
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文档简介
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第三章 圆锥曲线的方程
一、选择题
1．（5分）若有两个相等的根，则圆锥曲线的离心率是（ ）
A．或 B．或 C． D．或10
2．（5分）设双曲线C的方程为1（a＞0，b＞0），过抛物线y2＝4x的焦点和点（0，b）的直线为l．若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（ ）
A．1 B．x21
C．y2＝1 D．x2﹣y2＝1
3．（5分）设双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a＝（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
4．（5分）抛物线y2＝8x的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若x1+x2+4|AB|，则∠AFB的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A，B两点，若3，则k＝（ ）
A．1 B． C． D．2
6．（5分）若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（ ）
A．对任意的a，b，e1＞e2
B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2
C．对任意的a，b，e1＜e2
D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2
8．（5分）如图，椭圆C的方程为，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P、Q是椭圆上位于x轴上方的两点，且PF1∥QF2，则|PF1|+|QF2|的取值范围为（ ）
A．[3，4] B．[3，4） C．[3，5） D．[3，5]
二、多选题
9．（5分）下列四个关于圆锥曲线的命题中，为真命题的是（ ）
A．椭圆与双曲线有相同的焦点
B．设A，B为两个定点，k为非零常数，若|PA|﹣|PB|＝k，则动点P的轨迹为双曲线
C．方程x2﹣3x+2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
D．动圆P过定点F（1，0）且与定直线l：x＝﹣1相切，则圆心P的轨迹方程是y2＝4x
10．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为P，且△PF1F2的面积为b2.双曲线C2和椭圆C1焦点相同，且双曲线C2的离心率为e2，M是椭圆C1与双曲线C2的一个公共点，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．2 D．
11．（5分）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，直线l过点F且与抛物线C交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，其中y1＞0，且，则（ ）
A．直线l的斜率为
B．x1x2＝4
C．|MN|＝9
D．△MON（点O为坐标原点）的面积为6
12．（5分）如图，已知椭圆C1：y2＝1，过抛物线C2：x2＝4y焦点F的直线交抛物线于M，N两点，连接NO，MO并延长分别交C1于A，B两点，连接AB，△OMN与△OAB的面积分别记为S△OMN，S△OAB．则在下列命题中，正确的为（ ）
A．若记直线NO，MO的斜率分别为k1，k2，则k1k2的大小是定值为
B．△OAB的面积S△OAB是定值1
C．线段OA，OB长度的平方和|OA|2+|OB|2是定值5
D．设λ，则λ≥2
三、填空题
13．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线交抛物线于A、B两点，则弦AB长等于 ．
14．（5分）已知F1，F2是椭圆C1：1（a＞b＞0）与双曲线C2：x21的公共焦点，C2的一条渐近线与C1交于一点P，若PF1⊥PF2，则a2+b2＝ ．
15．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴交于点M，过F且斜率大于0的直线l与C交于A，B两点，若，则l的斜率为 ．
16．（5分）已知F1，F2分别是双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，c是双曲线C的半焦距，点A是圆O：x2+y2＝c2上一点，线段F2A交双曲线C的右支于点B，且有|F2A|＝a，，则双曲线C的离心率是 ．
四、解答题
17．（10分）已知椭圆C：x2+2y2＝4．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
18．（12分）著名数学家庞加莱说“我感受到了数学的美、数字和形状的协调，以及几何的优雅”．为了让学生体会数学之美，某校数学组开设了特色校本课程，老师利用两类圆锥曲线构造了一个近似“W”形状的曲线，它由抛物线C1的部分和椭圆C2的一部分构成（如图1），已知在平面直角坐标系xOy中，C1：x2＝2py（p＞0）和C2：（a＞b＞0）交于A，B两点，F1是公共焦点，|OF1|＝1，|AF1|（如图2）．
（1）求C1和C2的方程；
（2）过点F1作直线l与“W”形状曲线依次交于C，D，E，F四点，若|CF|＝λ|DE|，求实数λ的取值范围．
19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，过点P（m，0）（﹣a＜m＜a，m≠0）且不垂直于x轴y轴的直线与椭圆C交于A，B两点，点Q（n，0）为椭圆C外一点，且∠AQP＝∠BQP．
（1）求椭圆C的方程；
（2）mn是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1的左，右顶点和右焦点分别为A，B和F，直线l：x＝my+t与椭圆C交于不同的两点M，N，记直线AM，BM，BN的斜率分别为k1，k2，k3．
（1）求证：k1k2为定值；
（2）若k1＝3k3，求△FMN的周长．
21．（12分）椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，|MN|＝4，D为旋杆上的一点，且在M，N两点之间，且|ND|＝3|MD|，当滑标M在滑槽EF内做往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该椭圆为C．如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A1，A2是椭圆C的左、右顶点，点P为直线x＝6上的动点，直线A1P，A2P分别交椭圆于Q，R两点，求四边形A1QA2R面积的最大值．
22．（12分）在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设点P的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）设过点（1，0）且倾斜角不为0的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求证：直线AM，BN的交点在直线x＝4上．
第三章 圆锥曲线的方程
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5分）若有两个相等的根，则圆锥曲线的离心率是（ ）
A．或 B．或 C． D．或10
【答案】A
【分析】先根据题意求得a＝±9，再分类讨论求离心率即可．
【解答】解：依题意，a2﹣81＝0，解得a＝±9，
当a＝9时，曲线方程为，此时曲线为焦点在y轴上的椭圆，其离心率为；
当a＝﹣9时，曲线方程为，此时曲线为焦点在x轴上的双曲线，其离心率为；
故选：A．
【点评】本题主要考查椭圆、双曲线离心率的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
2．（5分）设双曲线C的方程为1（a＞0，b＞0），过抛物线y2＝4x的焦点和点（0，b）的直线为l．若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（ ）
A．1 B．x21
C．y2＝1 D．x2﹣y2＝1
【答案】D
【分析】先求出直线l的方程和双曲线的渐近线方程，根据直线平行和垂直即可求出a，b的值，可得双曲线的方程．
【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点坐标为（1，0），
则直线l的方程为y＝﹣b（x﹣1），
∵双曲线C的方程为1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，
∵C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，
∴b， （﹣b）＝﹣1，
∴a＝1，b＝1，
∴双曲线C的方程为x2﹣y2＝1，
故选：D．
【点评】本题考查了双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，直线的平行和垂直，属于中档题．
3．（5分）设双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a＝（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【分析】利用双曲线的定义，三角形的面积以及双曲线的离心率，转化求解a即可．
【解答】解：由题意，设PF2＝m，PF1＝n，可得m﹣n＝2a，，m2+n2＝4c2，e，
可得4c2＝16+4a2，可得5a2＝4+a2，
解得a＝1．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义以及勾股定理的应用，考查转化思想以及计算能力．
4．（5分）抛物线y2＝8x的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若x1+x2+4|AB|，则∠AFB的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出∠AFB的最大值．
【解答】解：因为，|AF|+|BF|＝x1+x2+4，所以．
在△AFB中，由余弦定理得：．
又．
所以，∴∠AFB的最大值为，
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的定义，考查余弦定理、基本不等式的运用，属于中档题．
5．（5分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A，B两点，若3，则k＝（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据求得y1和y2关系根据离心率设，b＝t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而根据y1和y2关系求得k．
【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），
∵，∴y1＝﹣3y2，
∵，设，b＝t，
∴x2+4y2﹣4t2＝0①，
设直线AB方程为，代入①中消去x，可得，
∴，，
解得，
故选：B．
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．
6．（5分）若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得，设出点P，代入双曲线方程求得y0的表达式，根据P，F，O的坐标表示出，进而求得的表达式，利用二次函数的性质求得其最小值，则的取值范围可得．
【解答】解：因为F（﹣2，0）是已知双曲线的左焦点，
所以a2+1＝4，即a2＝3，所以双曲线方程为，
设点P（x0，y0），
则有，解得，
因为，，
所以x0（x0+2），
此二次函数对应的抛物线的对称轴为，
因为，
所以当时，取得最小值，
故的取值范围是，
另解：取OF的中点A，则 （） （）
2 （）＝|PA|2﹣1≥（1）2﹣1＝3+2，
故选：B．
【点评】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．
7．（5分）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（ ）
A．对任意的a，b，e1＞e2
B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2
C．对任意的a，b，e1＜e2
D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2
【答案】D
【分析】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论．
【解答】解：由题意，双曲线C1：c2＝a2+b2，e1；
双曲线C2：c′2＝（a+m）2+（b+m）2，e2，
∴，
∴当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2，
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
8．（5分）如图，椭圆C的方程为，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P、Q是椭圆上位于x轴上方的两点，且PF1∥QF2，则|PF1|+|QF2|的取值范围为（ ）
A．[3，4] B．[3，4） C．[3，5） D．[3，5]
【答案】B
【分析】先延长PF1，QF2分别于椭圆相交于点M，N，由椭圆的对称性可知|PF1|＝|NF2|，|MF1|＝|QF2|，然后设出点P，M的坐标，讨论直线PF1的斜率存在与不存在两种情况，分别求出|PF1|+|QF2|的值，进而可以求解．
【解答】解：如图所示：
延长PF1，QF2分别于椭圆相交于点M，N，
由椭圆的对称性可知|PF1|＝|NF2|，|MF1|＝|QF2|，设点P的坐标为（x1，y1），M（x2，y2），
则点Q的坐标为（﹣x2，y2），
①若直线PF1的斜率不存在，则点P，Q的坐标分别为（﹣1，），（1，），
有|PF1|+|QF2|＝3，
②若直线PF1的斜率存在，设直线PF1的方程为y＝k（x+1）（k≠0），
联立方程，消去y可得：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，
则，，
又||，
所以|，所以|PF1|+|QF2|＝443∈（3，4），
综上：|PF1|+|QF2|的取值范围为[3，4），
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到分类讨论思想，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．
二、多选题
9．（5分）下列四个关于圆锥曲线的命题中，为真命题的是（ ）
A．椭圆与双曲线有相同的焦点
B．设A，B为两个定点，k为非零常数，若|PA|﹣|PB|＝k，则动点P的轨迹为双曲线
C．方程x2﹣3x+2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
D．动圆P过定点F（1，0）且与定直线l：x＝﹣1相切，则圆心P的轨迹方程是y2＝4x
【答案】AD
【分析】对于A：1的焦点在x轴上，则c，由于y2＝1焦点在x轴上，则c，即可判断A是否正确；
对于B：根据双曲线的定义，若||PA|﹣|PB||＝k＜|AB|，即可判断B是否正确；
对于C：方程x2﹣3x+2＝0的两个根为x1＝1或x2＝2，根据双曲线和椭圆的性质，即可判断C是否正确；
对于D：根据抛物线的定义可得1，即p＝2，即可判断D是否正确．
【解答】解：对于A：1的焦点在x轴上，
所以c，
所以焦点为（，0），（，0），
因为y2＝1焦点在x轴上，
所以c，
所以焦点为（，0），（，0），故A正确；
对于B：根据双曲线的定义，若||PA|﹣|PB||＝k＜|AB|，
所以动点P的轨迹为双曲线，故B错误；
对于C：方程x2﹣3x+2＝0的两个根为x1＝1或x2＝2，
所以2可作为双曲线的离心率，但1不可作为椭圆的离心率，故C错误；
对于D：根据抛物线的定义可得1，即p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查圆锥曲线的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．
10．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为P，且△PF1F2的面积为b2.双曲线C2和椭圆C1焦点相同，且双曲线C2的离心率为e2，M是椭圆C1与双曲线C2的一个公共点，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．2 D．
【答案】AC
【分析】由三角形的面积公式可得b＝c，由椭圆的离心率公式可得e1，设双曲线的方程为1（m＞0，n＞0），M在第一象限，且|MF1|＝s，|MF2|＝t，运用椭圆和双曲线的定义，可得s，t，（用a，m表示），再在△MF1F2中，运用余弦定理，求得4，进而得到e2，检验即可得到结论．
【解答】解：由题意可得△PF1F2的面积为 b 2c＝b2，
即有b＝c，则e1，
设双曲线的方程为1（m＞0，n＞0），M在第一象限，且|MF1|＝s，|MF2|＝t，
由椭圆的定义可得s+t＝2a，由双曲线的定义可得s﹣t＝2m，
解得s＝a+m，t＝a﹣m，
在△MF1F2中，cos∠F1MF2，
则s2+t2﹣st＝4c2，可得（a+m）2+（a﹣m）2﹣（a+m）（a﹣m）＝a2+3m2＝4c2，
则4，即有4，
由e1，可得e2，
则e1e2，，2，1，
所以选项AC正确；BD错误．
故选：AC．
【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
11．（5分）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，直线l过点F且与抛物线C交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，其中y1＞0，且，则（ ）
A．直线l的斜率为
B．x1x2＝4
C．|MN|＝9
D．△MON（点O为坐标原点）的面积为6
【答案】BC
【分析】设l方程为x＝my+2（m≠0），与抛物线方程联立结合韦达定理可得y1+y2＝8m，y1y2＝﹣16，结合图象可得，据此可得则，，据此可判断AB选项正误；C选项，由抛物线定义可得|MN|＝x1+x2+p；D选项，由图可得．
【解答】解：因为y1＞0，
所以点M在第一象限，
显然直线l不与x轴垂直，设直线：x＝my+2（m≠0），
联立，可得y2﹣8my﹣16＝0，
由韦达定理可得：y1+y2＝8m，y1y2＝﹣16．
作MA，NB垂直于x轴，则△MAF∽△NBF，
得，
则，．
A选项，，
则直线斜率为，故A错误；
B选项，因，
则，故B正确；
C选项，由抛物线定义，|MN|＝|MF|+|NF|＝x1+x2+4，
又x＝my+2，
则，故C正确；
D选项，由图有，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
12．（5分）如图，已知椭圆C1：y2＝1，过抛物线C2：x2＝4y焦点F的直线交抛物线于M，N两点，连接NO，MO并延长分别交C1于A，B两点，连接AB，△OMN与△OAB的面积分别记为S△OMN，S△OAB．则在下列命题中，正确的为（ ）
A．若记直线NO，MO的斜率分别为k1，k2，则k1k2的大小是定值为
B．△OAB的面积S△OAB是定值1
C．线段OA，OB长度的平方和|OA|2+|OB|2是定值5
D．设λ，则λ≥2
【答案】ABCD
【分析】设直线MN斜率为k，联立方程组，利用根与系数的关系和斜率公式判断A；设直线OA方程为y＝mx，联立方程组，求出A，B坐标，计算A到OB的距离，代入面积公式化简判断B；根据A，B的坐标和距离公式判断C；联立方程组，求出M，N的坐标，用m表示出三角形OMN的面积，借助基本不等式即可判断D．
【解答】解：A．F（0，1），设直线MN的方程为y＝kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2）．
联立方程组，消元得：x2﹣4kx﹣4＝0，∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，
∴y1y2＝（kx1+1）（kx2+1）＝k2x1x2+k（x1+x2）+1＝1，
∴k1k2，故A正确；
B．设直线OA的方程为y＝mx（m＞0），则直线OB的方程为yx，
联立方程组，解得x2，不妨设A在第三象限，则A（，），
用替换m可得B（，），
∴A到OB的距离d，
又|OB|，
∴S△OAB 1，故B正确；
C．又|OA|2，|OB|2，
∴|OA|2+|OB|25，故C正确；
D．联立方程组，可得x（x﹣4m）＝0，故N（4m，4m2），∴|ON|＝4m，
替换m可得M（，），
∴M到直线OA的距离h，
∴SOMN |ON| h＝2m（1）＝2m2，当且仅当2m即m时取等号．
∴λSOMN≥2，故D正确．
故选：ABCD．
【点评】本题考查了直线与抛物线、直线与椭圆的位置关系，考查距离公式的应用，考查设而不求法的解题思路，属于中档题．
三、填空题
13．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线交抛物线于A、B两点，则弦AB长等于 4 ．
【答案】4
【分析】首先确定焦点坐标，然后求得点A，B的坐标即可确定弦长．
【解答】解：由题意可知焦点坐标为F（1，0），则xA＝xB＝1，
不妨设点A位于第一象限，点B位于第四象限，
代入抛物线方程可得 yA＝2，yB＝﹣2，
故|AB|＝2﹣（﹣2）＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查直线与抛物线位置关系，抛物线的弦长的求解，属于基础题．
14．（5分）已知F1，F2是椭圆C1：1（a＞b＞0）与双曲线C2：x21的公共焦点，C2的一条渐近线与C1交于一点P，若PF1⊥PF2，则a2+b2＝ 5+4 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】取C2的一条渐近线y＝2x，与椭圆相交于点P（m．n），则m，n满足，且．即可求解．
【解答】解：双曲线C2：x21的焦点（±，0），∴a2﹣b2＝5．
取C2的一条渐近线y＝2x，与椭圆相交于点P（m．n）
∵PF1⊥PF2，∴m，n满足，且．
∴，
∴a2+b2＝5+2b2＝5+4，
故答案为：5+4．
【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴交于点M，过F且斜率大于0的直线l与C交于A，B两点，若，则l的斜率为 1 ．
【答案】1．
【分析】设直线l的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，利用韦达定理求得y1+y2，y1y2，证明kAM+kBM＝0，再根据求得tan∠AMF，再结合抛物线的定义即可得出答案．
【解答】解：设直线l的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线与抛物线方程，化简整理可得，y2﹣2mpy﹣p2＝0，
由韦达定理可得，，
，
∴∠AMF＝∠BMF，
则，
∵∠AMF为锐角，
∴，
作AH⊥x轴于点H，如图所示：
根据抛物线得定义可得|MH|＝|AF|，
则，
∵∠AFH为锐角，
∴，
∴直线l的斜率为tan∠AFH＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合应用，考查转化能力，属于难题．
16．（5分）已知F1，F2分别是双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，c是双曲线C的半焦距，点A是圆O：x2+y2＝c2上一点，线段F2A交双曲线C的右支于点B，且有|F2A|＝a，，则双曲线C的离心率是 ．
【答案】．
【分析】由向量共线定理和双曲线的定义，推得|BF1|＝2aaa，再在直角三角形ABF1中，在直角三角形AF1F2中，分别运用勾股定理，结合离心率公式，可得所求值．
【解答】解：由|F2A|＝a，，可得|AB|a，|BF2|a，
由双曲线的定义可得|BF1|＝2aaa，
在直角三角形ABF1中，|AF1|2＝|BF1|2﹣||AB|2a2a2＝5a2，
在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2+|AF2|2，
即为4c2＝5a2+a2＝6a2，
则e．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的定义和向量共线定理的运用，以及直角三角形的勾股定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
四、解答题
17．（10分）已知椭圆C：x2+2y2＝4．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）2．
【分析】（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2＝4化为标准方程为，求出a，c，即可求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）先表示出线段AB长度，再利用基本不等式，求出最小值．
【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2＝4化为标准方程为，
∴a＝2，b，c，
∴椭圆C的离心率e；
（Ⅱ）设A（t，2），B（x0，y0），x0≠0，则
∵OA⊥OB，
∴0，
∴tx0+2y0＝0，∴t，
∵，
∴|AB|2＝（x0﹣t）2+（y0﹣2）2＝（x0）2+（y0﹣2）2444（04），
因为4（04），当且仅当，即4时等号成立，所以|AB|2≥8．
∴线段AB长度的最小值为2．
【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
18．（12分）著名数学家庞加莱说“我感受到了数学的美、数字和形状的协调，以及几何的优雅”．为了让学生体会数学之美，某校数学组开设了特色校本课程，老师利用两类圆锥曲线构造了一个近似“W”形状的曲线，它由抛物线C1的部分和椭圆C2的一部分构成（如图1），已知在平面直角坐标系xOy中，C1：x2＝2py（p＞0）和C2：（a＞b＞0）交于A，B两点，F1是公共焦点，|OF1|＝1，|AF1|（如图2）．
（1）求C1和C2的方程；
（2）过点F1作直线l与“W”形状曲线依次交于C，D，E，F四点，若|CF|＝λ|DE|，求实数λ的取值范围．
【答案】（1）x2＝4y；1；
（2）λ∈[，）．
【分析】（1）由焦点的坐标求抛物线的方程，及椭圆的焦点坐标，再由|AF1|的值，求出椭圆的方程；
（2）设直线CF的方程，与抛物线联立求出两根C，F的横坐标，与椭圆联立求出两根D，E的横坐标，求出|CF|，|DE|的表达式，由题意可得λ的表达式，由k的范围，求出λ的范围．
【解答】解：（1）因为OF1＝1，所以F1（0，1），则1，可得：p＝2，
所以抛物线C1的方程x2＝4y；
设C2的焦距为2c，则c＝1，
设A（x，y）由抛物线的方程可得AF1＝y+1，得y，
x2＝4y，
，解得：a2＝4，b2＝3，
所以可得C2的方程为：1；
（2）设l：y＝kx+1，
当A（，）时，，则k∈（，），
整理可得：x2﹣4kx﹣4＝0，
可得xC，F＝2k±2，
所以|CF||xC﹣xF|＝4（1+k2），
整理可得：（4+3k）2x2+6kx﹣9＝0，
可得xD，E，
|DE||xD﹣xE|，
λk2，因为k∈（，），
所以k2∈[0，），
可得λ∈[，）．
【点评】本题考查求抛物线椭圆的方程及直线与圆锥曲线的综合，弦长公式的应用，属于中档题．
19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，过点P（m，0）（﹣a＜m＜a，m≠0）且不垂直于x轴y轴的直线与椭圆C交于A，B两点，点Q（n，0）为椭圆C外一点，且∠AQP＝∠BQP．
（1）求椭圆C的方程；
（2）mn是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由．
【答案】（1）．
（2）mn＝4．
【分析】（1）利用抛物线的焦点坐标，结合离心率求解a，b，得到椭圆方程．
（2）设直线AB为x＝py+m，，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，结合∠AQP＝∠BQP，求解mn即可．
【解答】解：（1）由题意椭圆的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，可得c＝1，
，
∴a＝2，a2＝4，b2＝a2﹣c2＝3，
∴椭圆C的方程为．
（2）设直线AB为x＝py+m，
则，（3p2+4）y2+6pmy+3m2﹣12＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，
又∵∠AQP＝∠BQP，
∴，
得y1（py2+m﹣n）+y2（py1+m﹣n）＝0，2py1y2+（m﹣n）（y1+y2）＝0，
将，代入上式
得mn＝4．
【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1的左，右顶点和右焦点分别为A，B和F，直线l：x＝my+t与椭圆C交于不同的两点M，N，记直线AM，BM，BN的斜率分别为k1，k2，k3．
（1）求证：k1k2为定值；
（2）若k1＝3k3，求△FMN的周长．
【答案】（1）证明详见解析．（2）8．
【分析】（1）不妨设M（x1，y1），N（x2，y2），由A，B为椭圆C：1的左，右顶点，可得A（2，0），B（﹣2，0），再结合斜率公式，即可求解．
（2）联立直线l与椭圆方程，化简整理可得，（3m2+4）y2+6mty+3t2﹣12＝0，再结合韦达定理和椭圆的性质，即可求解．
【解答】证明：（1）不妨设M（x1，y1），N（x2，y2），
又∵A，B为椭圆C：1的左，右顶点，
∴A（﹣2，0），B（2，0），
∴，，
∴k1 k2，
∵，
∴，
∴，
故为定值．
（2）联立直线l与椭圆方程，化简整理可得，（3m2+4）y2+6mty+3t2﹣12＝0，
由韦达定理可得，y1+y2， ①，
∵k1＝3k3，
∴，
∴，
∴4y1y2＝﹣（x2﹣2）（x1﹣2）＝﹣x1x2+2（x1+x2）﹣4 ②，
∵x1x2＝（my1+t）（my2+t），x1+x2＝my1+t+my2+t＝m（y1+y2）+2t ③，
∴联立①②③可得﹣12t2+4＝4t2﹣16t+16，即t2﹣t﹣2＝0，解得t＝﹣1或t＝2（舍去），
∴直线x＝my﹣1恒过点（﹣1，0），即椭圆的左焦点，
∴△FMN的周长为4a，
又∵a＝2，
∴△FMN的周长为8．
【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，考查计算能力，属于难题．
21．（12分）椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，|MN|＝4，D为旋杆上的一点，且在M，N两点之间，且|ND|＝3|MD|，当滑标M在滑槽EF内做往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该椭圆为C．如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A1，A2是椭圆C的左、右顶点，点P为直线x＝6上的动点，直线A1P，A2P分别交椭圆于Q，R两点，求四边形A1QA2R面积的最大值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由|MN|的值及|ND|＝3|MD|，可得|MD|，|ND|的值，由题意可得椭圆的长半轴及短半轴长，进而求出椭圆的方程；
（2）由（1）可得A1，A2电子版，由题意设P的坐标，进而求出直线A1P，直线A2P的方程，与椭圆联立分别求出Q，R的坐标，进而求出四边形的面积的表达式，换元由均值不等式可得P的坐标．
【解答】解：（1）由|MN|＝4，D为旋杆上的一点，且在M，N两点之间，且|ND|＝3|MD|，可得|MD|＝1，|ND|＝3
所以椭圆的长半轴a为3，短半轴b为1，
所以椭圆的方程为：y2＝1；
（2）由对称性设P（6，t），其中t＞0，则直线A1P的方程为：y（x+3），直线A2P的方程为：y（x﹣3），设Q（x1，y1），R（x2，y2），
由消x可得（9+t2）y2﹣6ty＝0，由于0，所以y1，
由消x可得（1+t2）y2+2ty＝0，由于0，所以y2，
所以四边形A1QA2R的面积为S|A1A2| |y1﹣y2|
，
由于t＞0，设m，
又y＝m在[2，+∞），所以y＝m，
故S3，
当且仅当m＝2，即t时，四边形A1QA2R的面积的最大值为3．
【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合和均值不等式的应用，属于中档题．
22．（12分）在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设点P的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）设过点（1，0）且倾斜角不为0的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求证：直线AM，BN的交点在直线x＝4上．
【答案】（1）．
（2）根据题意，可设直线MN的方程为：x＝my+1，
由，消去x并整理得（m2+4）y2+2my﹣3＝0．
其中，Δ＝4m2+12（m2+4）＝16m2+48＞0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．
因直线l的倾斜角不为0，故x1，x2不等于±2（y1，y2不为0），
从而可设直线AM的方程为①，
直线BN的方程为②，
所以，直线AM，BN的交点Q（x0，y0）的坐标满足：．
而，
因此，x0＝4，即点Q在直线x＝4上．
【分析】（1）通过，化简求解点P的轨迹方程．
（2）设直线MN的方程为：x＝my+1，联立直线与椭圆方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理则设直线AM的方程为，直线BN的方程为，求出交点坐标，推出交点Q在直线x＝4上．
【解答】解：（1）由点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．
设P（x，y），则，得4y2＝4﹣x2，即．
故轨迹C的方程为：．轨迹是椭圆，不包含椭圆与x轴的交点．
（2）根据题意，可设直线MN的方程为：x＝my+1，
由，消去x并整理得（m2+4）y2+2my﹣3＝0．
其中，Δ＝4m2+12（m2+4）＝16m2+48＞0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．
因直线l的倾斜角不为0，故x1，x2不等于±2（y1，y2不为0），
从而可设直线AM的方程为①，
直线BN的方程为②，
所以，直线AM，BN的交点Q（x0，y0）的坐标满足：．
而，
因此，x0＝4，即点Q在直线x＝4上．
【点评】本小题主要考查轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力和创新意识；考查化归与转化等思想方法．
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第三章 圆锥曲线的方程
一、选择题
1．（5分）若有两个相等的根，则圆锥曲线的离心率是（ ）
A．或 B．或 C． D．或10
2．（5分）设双曲线C的方程为1（a＞0，b＞0），过抛物线y2＝4x的焦点和点（0，b）的直线为l．若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（ ）
A．1 B．x21
C．y2＝1 D．x2﹣y2＝1
3．（5分）设双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a＝（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
4．（5分）抛物线y2＝8x的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若x1+x2+4|AB|，则∠AFB的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A，B两点，若3，则k＝（ ）
A．1 B． C． D．2
6．（5分）若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（ ）
A．对任意的a，b，e1＞e2
B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2
C．对任意的a，b，e1＜e2
D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2
8．（5分）如图，椭圆C的方程为，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P、Q是椭圆上位于x轴上方的两点，且PF1∥QF2，则|PF1|+|QF2|的取值范围为（ ）
A．[3，4] B．[3，4） C．[3，5） D．[3，5]
二、多选题
9．（5分）下列四个关于圆锥曲线的命题中，为真命题的是（ ）
A．椭圆与双曲线有相同的焦点
B．设A，B为两个定点，k为非零常数，若|PA|﹣|PB|＝k，则动点P的轨迹为双曲线
C．方程x2﹣3x+2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
D．动圆P过定点F（1，0）且与定直线l：x＝﹣1相切，则圆心P的轨迹方程是y2＝4x
10．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为P，且△PF1F2的面积为b2.双曲线C2和椭圆C1焦点相同，且双曲线C2的离心率为e2，M是椭圆C1与双曲线C2的一个公共点，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．2 D．
11．（5分）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，直线l过点F且与抛物线C交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，其中y1＞0，且，则（ ）
A．直线l的斜率为
B．x1x2＝4
C．|MN|＝9
D．△MON（点O为坐标原点）的面积为6
12．（5分）如图，已知椭圆C1：y2＝1，过抛物线C2：x2＝4y焦点F的直线交抛物线于M，N两点，连接NO，MO并延长分别交C1于A，B两点，连接AB，△OMN与△OAB的面积分别记为S△OMN，S△OAB．则在下列命题中，正确的为（ ）
A．若记直线NO，MO的斜率分别为k1，k2，则k1k2的大小是定值为
B．△OAB的面积S△OAB是定值1
C．线段OA，OB长度的平方和|OA|2+|OB|2是定值5
D．设λ，则λ≥2
三、填空题
13．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线交抛物线于A、B两点，则弦AB长等于 ．
14．（5分）已知F1，F2是椭圆C1：1（a＞b＞0）与双曲线C2：x21的公共焦点，C2的一条渐近线与C1交于一点P，若PF1⊥PF2，则a2+b2＝ ．
15．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴交于点M，过F且斜率大于0的直线l与C交于A，B两点，若，则l的斜率为 ．
16．（5分）已知F1，F2分别是双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，c是双曲线C的半焦距，点A是圆O：x2+y2＝c2上一点，线段F2A交双曲线C的右支于点B，且有|F2A|＝a，，则双曲线C的离心率是 ．
四、解答题
17．（10分）已知椭圆C：x2+2y2＝4．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
18．（12分）著名数学家庞加莱说“我感受到了数学的美、数字和形状的协调，以及几何的优雅”．为了让学生体会数学之美，某校数学组开设了特色校本课程，老师利用两类圆锥曲线构造了一个近似“W”形状的曲线，它由抛物线C1的部分和椭圆C2的一部分构成（如图1），已知在平面直角坐标系xOy中，C1：x2＝2py（p＞0）和C2：（a＞b＞0）交于A，B两点，F1是公共焦点，|OF1|＝1，|AF1|（如图2）．
（1）求C1和C2的方程；
（2）过点F1作直线l与“W”形状曲线依次交于C，D，E，F四点，若|CF|＝λ|DE|，求实数λ的取值范围．
19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，过点P（m，0）（﹣a＜m＜a，m≠0）且不垂直于x轴y轴的直线与椭圆C交于A，B两点，点Q（n，0）为椭圆C外一点，且∠AQP＝∠BQP．
（1）求椭圆C的方程；
（2）mn是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1的左，右顶点和右焦点分别为A，B和F，直线l：x＝my+t与椭圆C交于不同的两点M，N，记直线AM，BM，BN的斜率分别为k1，k2，k3．
（1）求证：k1k2为定值；
（2）若k1＝3k3，求△FMN的周长．
21．（12分）椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，|MN|＝4，D为旋杆上的一点，且在M，N两点之间，且|ND|＝3|MD|，当滑标M在滑槽EF内做往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该椭圆为C．如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A1，A2是椭圆C的左、右顶点，点P为直线x＝6上的动点，直线A1P，A2P分别交椭圆于Q，R两点，求四边形A1QA2R面积的最大值．
22．（12分）在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设点P的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）设过点（1，0）且倾斜角不为0的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求证：直线AM，BN的交点在直线x＝4上．
第三章 圆锥曲线的方程
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5分）若有两个相等的根，则圆锥曲线的离心率是（ ）
A．或 B．或 C． D．或10
【答案】A
【分析】先根据题意求得a＝±9，再分类讨论求离心率即可．
【解答】解：依题意，a2﹣81＝0，解得a＝±9，
当a＝9时，曲线方程为，此时曲线为焦点在y轴上的椭圆，其离心率为；
当a＝﹣9时，曲线方程为，此时曲线为焦点在x轴上的双曲线，其离心率为；
故选：A．
【点评】本题主要考查椭圆、双曲线离心率的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
2．（5分）设双曲线C的方程为1（a＞0，b＞0），过抛物线y2＝4x的焦点和点（0，b）的直线为l．若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（ ）
A．1 B．x21
C．y2＝1 D．x2﹣y2＝1
【答案】D
【分析】先求出直线l的方程和双曲线的渐近线方程，根据直线平行和垂直即可求出a，b的值，可得双曲线的方程．
【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点坐标为（1，0），
则直线l的方程为y＝﹣b（x﹣1），
∵双曲线C的方程为1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，
∵C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，
∴b， （﹣b）＝﹣1，
∴a＝1，b＝1，
∴双曲线C的方程为x2﹣y2＝1，
故选：D．
【点评】本题考查了双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，直线的平行和垂直，属于中档题．
3．（5分）设双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a＝（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【分析】利用双曲线的定义，三角形的面积以及双曲线的离心率，转化求解a即可．
【解答】解：由题意，设PF2＝m，PF1＝n，可得m﹣n＝2a，，m2+n2＝4c2，e，
可得4c2＝16+4a2，可得5a2＝4+a2，
解得a＝1．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义以及勾股定理的应用，考查转化思想以及计算能力．
4．（5分）抛物线y2＝8x的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若x1+x2+4|AB|，则∠AFB的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出∠AFB的最大值．
【解答】解：因为，|AF|+|BF|＝x1+x2+4，所以．
在△AFB中，由余弦定理得：．
又．
所以，∴∠AFB的最大值为，
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的定义，考查余弦定理、基本不等式的运用，属于中档题．
5．（5分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A，B两点，若3，则k＝（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据求得y1和y2关系根据离心率设，b＝t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而根据y1和y2关系求得k．
【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），
∵，∴y1＝﹣3y2，
∵，设，b＝t，
∴x2+4y2﹣4t2＝0①，
设直线AB方程为，代入①中消去x，可得，
∴，，
解得，
故选：B．
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．
6．（5分）若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得，设出点P，代入双曲线方程求得y0的表达式，根据P，F，O的坐标表示出，进而求得的表达式，利用二次函数的性质求得其最小值，则的取值范围可得．
【解答】解：因为F（﹣2，0）是已知双曲线的左焦点，
所以a2+1＝4，即a2＝3，所以双曲线方程为，
设点P（x0，y0），
则有，解得，
因为，，
所以x0（x0+2），
此二次函数对应的抛物线的对称轴为，
因为，
所以当时，取得最小值，
故的取值范围是，
另解：取OF的中点A，则 （） （）
2 （）＝|PA|2﹣1≥（1）2﹣1＝3+2，
故选：B．
【点评】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．
7．（5分）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（ ）
A．对任意的a，b，e1＞e2
B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2
C．对任意的a，b，e1＜e2
D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2
【答案】D
【分析】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论．
【解答】解：由题意，双曲线C1：c2＝a2+b2，e1；
双曲线C2：c′2＝（a+m）2+（b+m）2，e2，
∴，
∴当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2，
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
8．（5分）如图，椭圆C的方程为，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P、Q是椭圆上位于x轴上方的两点，且PF1∥QF2，则|PF1|+|QF2|的取值范围为（ ）
A．[3，4] B．[3，4） C．[3，5） D．[3，5]
【答案】B
【分析】先延长PF1，QF2分别于椭圆相交于点M，N，由椭圆的对称性可知|PF1|＝|NF2|，|MF1|＝|QF2|，然后设出点P，M的坐标，讨论直线PF1的斜率存在与不存在两种情况，分别求出|PF1|+|QF2|的值，进而可以求解．
【解答】解：如图所示：
延长PF1，QF2分别于椭圆相交于点M，N，
由椭圆的对称性可知|PF1|＝|NF2|，|MF1|＝|QF2|，设点P的坐标为（x1，y1），M（x2，y2），
则点Q的坐标为（﹣x2，y2），
①若直线PF1的斜率不存在，则点P，Q的坐标分别为（﹣1，），（1，），
有|PF1|+|QF2|＝3，
②若直线PF1的斜率存在，设直线PF1的方程为y＝k（x+1）（k≠0），
联立方程，消去y可得：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，
则，，
又||，
所以|，所以|PF1|+|QF2|＝443∈（3，4），
综上：|PF1|+|QF2|的取值范围为[3，4），
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到分类讨论思想，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．
二、多选题
9．（5分）下列四个关于圆锥曲线的命题中，为真命题的是（ ）
A．椭圆与双曲线有相同的焦点
B．设A，B为两个定点，k为非零常数，若|PA|﹣|PB|＝k，则动点P的轨迹为双曲线
C．方程x2﹣3x+2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
D．动圆P过定点F（1，0）且与定直线l：x＝﹣1相切，则圆心P的轨迹方程是y2＝4x
【答案】AD
【分析】对于A：1的焦点在x轴上，则c，由于y2＝1焦点在x轴上，则c，即可判断A是否正确；
对于B：根据双曲线的定义，若||PA|﹣|PB||＝k＜|AB|，即可判断B是否正确；
对于C：方程x2﹣3x+2＝0的两个根为x1＝1或x2＝2，根据双曲线和椭圆的性质，即可判断C是否正确；
对于D：根据抛物线的定义可得1，即p＝2，即可判断D是否正确．
【解答】解：对于A：1的焦点在x轴上，
所以c，
所以焦点为（，0），（，0），
因为y2＝1焦点在x轴上，
所以c，
所以焦点为（，0），（，0），故A正确；
对于B：根据双曲线的定义，若||PA|﹣|PB||＝k＜|AB|，
所以动点P的轨迹为双曲线，故B错误；
对于C：方程x2﹣3x+2＝0的两个根为x1＝1或x2＝2，
所以2可作为双曲线的离心率，但1不可作为椭圆的离心率，故C错误；
对于D：根据抛物线的定义可得1，即p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查圆锥曲线的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．
10．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为P，且△PF1F2的面积为b2.双曲线C2和椭圆C1焦点相同，且双曲线C2的离心率为e2，M是椭圆C1与双曲线C2的一个公共点，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．2 D．
【答案】AC
【分析】由三角形的面积公式可得b＝c，由椭圆的离心率公式可得e1，设双曲线的方程为1（m＞0，n＞0），M在第一象限，且|MF1|＝s，|MF2|＝t，运用椭圆和双曲线的定义，可得s，t，（用a，m表示），再在△MF1F2中，运用余弦定理，求得4，进而得到e2，检验即可得到结论．
【解答】解：由题意可得△PF1F2的面积为 b 2c＝b2，
即有b＝c，则e1，
设双曲线的方程为1（m＞0，n＞0），M在第一象限，且|MF1|＝s，|MF2|＝t，
由椭圆的定义可得s+t＝2a，由双曲线的定义可得s﹣t＝2m，
解得s＝a+m，t＝a﹣m，
在△MF1F2中，cos∠F1MF2，
则s2+t2﹣st＝4c2，可得（a+m）2+（a﹣m）2﹣（a+m）（a﹣m）＝a2+3m2＝4c2，
则4，即有4，
由e1，可得e2，
则e1e2，，2，1，
所以选项AC正确；BD错误．
故选：AC．
【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
11．（5分）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，直线l过点F且与抛物线C交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，其中y1＞0，且，则（ ）
A．直线l的斜率为
B．x1x2＝4
C．|MN|＝9
D．△MON（点O为坐标原点）的面积为6
【答案】BC
【分析】设l方程为x＝my+2（m≠0），与抛物线方程联立结合韦达定理可得y1+y2＝8m，y1y2＝﹣16，结合图象可得，据此可得则，，据此可判断AB选项正误；C选项，由抛物线定义可得|MN|＝x1+x2+p；D选项，由图可得．
【解答】解：因为y1＞0，
所以点M在第一象限，
显然直线l不与x轴垂直，设直线：x＝my+2（m≠0），
联立，可得y2﹣8my﹣16＝0，
由韦达定理可得：y1+y2＝8m，y1y2＝﹣16．
作MA，NB垂直于x轴，则△MAF∽△NBF，
得，
则，．
A选项，，
则直线斜率为，故A错误；
B选项，因，
则，故B正确；
C选项，由抛物线定义，|MN|＝|MF|+|NF|＝x1+x2+4，
又x＝my+2，
则，故C正确；
D选项，由图有，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
12．（5分）如图，已知椭圆C1：y2＝1，过抛物线C2：x2＝4y焦点F的直线交抛物线于M，N两点，连接NO，MO并延长分别交C1于A，B两点，连接AB，△OMN与△OAB的面积分别记为S△OMN，S△OAB．则在下列命题中，正确的为（ ）
A．若记直线NO，MO的斜率分别为k1，k2，则k1k2的大小是定值为
B．△OAB的面积S△OAB是定值1
C．线段OA，OB长度的平方和|OA|2+|OB|2是定值5
D．设λ，则λ≥2
【答案】ABCD
【分析】设直线MN斜率为k，联立方程组，利用根与系数的关系和斜率公式判断A；设直线OA方程为y＝mx，联立方程组，求出A，B坐标，计算A到OB的距离，代入面积公式化简判断B；根据A，B的坐标和距离公式判断C；联立方程组，求出M，N的坐标，用m表示出三角形OMN的面积，借助基本不等式即可判断D．
【解答】解：A．F（0，1），设直线MN的方程为y＝kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2）．
联立方程组，消元得：x2﹣4kx﹣4＝0，∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，
∴y1y2＝（kx1+1）（kx2+1）＝k2x1x2+k（x1+x2）+1＝1，
∴k1k2，故A正确；
B．设直线OA的方程为y＝mx（m＞0），则直线OB的方程为yx，
联立方程组，解得x2，不妨设A在第三象限，则A（，），
用替换m可得B（，），
∴A到OB的距离d，
又|OB|，
∴S△OAB 1，故B正确；
C．又|OA|2，|OB|2，
∴|OA|2+|OB|25，故C正确；
D．联立方程组，可得x（x﹣4m）＝0，故N（4m，4m2），∴|ON|＝4m，
替换m可得M（，），
∴M到直线OA的距离h，
∴SOMN |ON| h＝2m（1）＝2m2，当且仅当2m即m时取等号．
∴λSOMN≥2，故D正确．
故选：ABCD．
【点评】本题考查了直线与抛物线、直线与椭圆的位置关系，考查距离公式的应用，考查设而不求法的解题思路，属于中档题．
三、填空题
13．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线交抛物线于A、B两点，则弦AB长等于 4 ．
【答案】4
【分析】首先确定焦点坐标，然后求得点A，B的坐标即可确定弦长．
【解答】解：由题意可知焦点坐标为F（1，0），则xA＝xB＝1，
不妨设点A位于第一象限，点B位于第四象限，
代入抛物线方程可得 yA＝2，yB＝﹣2，
故|AB|＝2﹣（﹣2）＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查直线与抛物线位置关系，抛物线的弦长的求解，属于基础题．
14．（5分）已知F1，F2是椭圆C1：1（a＞b＞0）与双曲线C2：x21的公共焦点，C2的一条渐近线与C1交于一点P，若PF1⊥PF2，则a2+b2＝ 5+4 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】取C2的一条渐近线y＝2x，与椭圆相交于点P（m．n），则m，n满足，且．即可求解．
【解答】解：双曲线C2：x21的焦点（±，0），∴a2﹣b2＝5．
取C2的一条渐近线y＝2x，与椭圆相交于点P（m．n）
∵PF1⊥PF2，∴m，n满足，且．
∴，
∴a2+b2＝5+2b2＝5+4，
故答案为：5+4．
【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴交于点M，过F且斜率大于0的直线l与C交于A，B两点，若，则l的斜率为 1 ．
【答案】1．
【分析】设直线l的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，利用韦达定理求得y1+y2，y1y2，证明kAM+kBM＝0，再根据求得tan∠AMF，再结合抛物线的定义即可得出答案．
【解答】解：设直线l的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线与抛物线方程，化简整理可得，y2﹣2mpy﹣p2＝0，
由韦达定理可得，，
，
∴∠AMF＝∠BMF，
则，
∵∠AMF为锐角，
∴，
作AH⊥x轴于点H，如图所示：
根据抛物线得定义可得|MH|＝|AF|，
则，
∵∠AFH为锐角，
∴，
∴直线l的斜率为tan∠AFH＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合应用，考查转化能力，属于难题．
16．（5分）已知F1，F2分别是双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，c是双曲线C的半焦距，点A是圆O：x2+y2＝c2上一点，线段F2A交双曲线C的右支于点B，且有|F2A|＝a，，则双曲线C的离心率是 ．
【答案】．
【分析】由向量共线定理和双曲线的定义，推得|BF1|＝2aaa，再在直角三角形ABF1中，在直角三角形AF1F2中，分别运用勾股定理，结合离心率公式，可得所求值．
【解答】解：由|F2A|＝a，，可得|AB|a，|BF2|a，
由双曲线的定义可得|BF1|＝2aaa，
在直角三角形ABF1中，|AF1|2＝|BF1|2﹣||AB|2a2a2＝5a2，
在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2+|AF2|2，
即为4c2＝5a2+a2＝6a2，
则e．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的定义和向量共线定理的运用，以及直角三角形的勾股定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
四、解答题
17．（10分）已知椭圆C：x2+2y2＝4．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）2．
【分析】（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2＝4化为标准方程为，求出a，c，即可求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）先表示出线段AB长度，再利用基本不等式，求出最小值．
【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2＝4化为标准方程为，
∴a＝2，b，c，
∴椭圆C的离心率e；
（Ⅱ）设A（t，2），B（x0，y0），x0≠0，则
∵OA⊥OB，
∴0，
∴tx0+2y0＝0，∴t，
∵，
∴|AB|2＝（x0﹣t）2+（y0﹣2）2＝（x0）2+（y0﹣2）2444（04），
因为4（04），当且仅当，即4时等号成立，所以|AB|2≥8．
∴线段AB长度的最小值为2．
【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
18．（12分）著名数学家庞加莱说“我感受到了数学的美、数字和形状的协调，以及几何的优雅”．为了让学生体会数学之美，某校数学组开设了特色校本课程，老师利用两类圆锥曲线构造了一个近似“W”形状的曲线，它由抛物线C1的部分和椭圆C2的一部分构成（如图1），已知在平面直角坐标系xOy中，C1：x2＝2py（p＞0）和C2：（a＞b＞0）交于A，B两点，F1是公共焦点，|OF1|＝1，|AF1|（如图2）．
（1）求C1和C2的方程；
（2）过点F1作直线l与“W”形状曲线依次交于C，D，E，F四点，若|CF|＝λ|DE|，求实数λ的取值范围．
【答案】（1）x2＝4y；1；
（2）λ∈[，）．
【分析】（1）由焦点的坐标求抛物线的方程，及椭圆的焦点坐标，再由|AF1|的值，求出椭圆的方程；
（2）设直线CF的方程，与抛物线联立求出两根C，F的横坐标，与椭圆联立求出两根D，E的横坐标，求出|CF|，|DE|的表达式，由题意可得λ的表达式，由k的范围，求出λ的范围．
【解答】解：（1）因为OF1＝1，所以F1（0，1），则1，可得：p＝2，
所以抛物线C1的方程x2＝4y；
设C2的焦距为2c，则c＝1，
设A（x，y）由抛物线的方程可得AF1＝y+1，得y，
x2＝4y，
，解得：a2＝4，b2＝3，
所以可得C2的方程为：1；
（2）设l：y＝kx+1，
当A（，）时，，则k∈（，），
整理可得：x2﹣4kx﹣4＝0，
可得xC，F＝2k±2，
所以|CF||xC﹣xF|＝4（1+k2），
整理可得：（4+3k）2x2+6kx﹣9＝0，
可得xD，E，
|DE||xD﹣xE|，
λk2，因为k∈（，），
所以k2∈[0，），
可得λ∈[，）．
【点评】本题考查求抛物线椭圆的方程及直线与圆锥曲线的综合，弦长公式的应用，属于中档题．
19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，过点P（m，0）（﹣a＜m＜a，m≠0）且不垂直于x轴y轴的直线与椭圆C交于A，B两点，点Q（n，0）为椭圆C外一点，且∠AQP＝∠BQP．
（1）求椭圆C的方程；
（2）mn是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由．
【答案】（1）．
（2）mn＝4．
【分析】（1）利用抛物线的焦点坐标，结合离心率求解a，b，得到椭圆方程．
（2）设直线AB为x＝py+m，，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，结合∠AQP＝∠BQP，求解mn即可．
【解答】解：（1）由题意椭圆的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，可得c＝1，
，
∴a＝2，a2＝4，b2＝a2﹣c2＝3，
∴椭圆C的方程为．
（2）设直线AB为x＝py+m，
则，（3p2+4）y2+6pmy+3m2﹣12＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，
又∵∠AQP＝∠BQP，
∴，
得y1（py2+m﹣n）+y2（py1+m﹣n）＝0，2py1y2+（m﹣n）（y1+y2）＝0，
将，代入上式
得mn＝4．
【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1的左，右顶点和右焦点分别为A，B和F，直线l：x＝my+t与椭圆C交于不同的两点M，N，记直线AM，BM，BN的斜率分别为k1，k2，k3．
（1）求证：k1k2为定值；
（2）若k1＝3k3，求△FMN的周长．
【答案】（1）证明详见解析．（2）8．
【分析】（1）不妨设M（x1，y1），N（x2，y2），由A，B为椭圆C：1的左，右顶点，可得A（2，0），B（﹣2，0），再结合斜率公式，即可求解．
（2）联立直线l与椭圆方程，化简整理可得，（3m2+4）y2+6mty+3t2﹣12＝0，再结合韦达定理和椭圆的性质，即可求解．
【解答】证明：（1）不妨设M（x1，y1），N（x2，y2），
又∵A，B为椭圆C：1的左，右顶点，
∴A（﹣2，0），B（2，0），
∴，，
∴k1 k2，
∵，
∴，
∴，
故为定值．
（2）联立直线l与椭圆方程，化简整理可得，（3m2+4）y2+6mty+3t2﹣12＝0，
由韦达定理可得，y1+y2， ①，
∵k1＝3k3，
∴，
∴，
∴4y1y2＝﹣（x2﹣2）（x1﹣2）＝﹣x1x2+2（x1+x2）﹣4 ②，
∵x1x2＝（my1+t）（my2+t），x1+x2＝my1+t+my2+t＝m（y1+y2）+2t ③，
∴联立①②③可得﹣12t2+4＝4t2﹣16t+16，即t2﹣t﹣2＝0，解得t＝﹣1或t＝2（舍去），
∴直线x＝my﹣1恒过点（﹣1，0），即椭圆的左焦点，
∴△FMN的周长为4a，
又∵a＝2，
∴△FMN的周长为8．
【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，考查计算能力，属于难题．
21．（12分）椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，|MN|＝4，D为旋杆上的一点，且在M，N两点之间，且|ND|＝3|MD|，当滑标M在滑槽EF内做往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该椭圆为C．如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A1，A2是椭圆C的左、右顶点，点P为直线x＝6上的动点，直线A1P，A2P分别交椭圆于Q，R两点，求四边形A1QA2R面积的最大值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由|MN|的值及|ND|＝3|MD|，可得|MD|，|ND|的值，由题意可得椭圆的长半轴及短半轴长，进而求出椭圆的方程；
（2）由（1）可得A1，A2电子版，由题意设P的坐标，进而求出直线A1P，直线A2P的方程，与椭圆联立分别求出Q，R的坐标，进而求出四边形的面积的表达式，换元由均值不等式可得P的坐标．
【解答】解：（1）由|MN|＝4，D为旋杆上的一点，且在M，N两点之间，且|ND|＝3|MD|，可得|MD|＝1，|ND|＝3
所以椭圆的长半轴a为3，短半轴b为1，
所以椭圆的方程为：y2＝1；
（2）由对称性设P（6，t），其中t＞0，则直线A1P的方程为：y（x+3），直线A2P的方程为：y（x﹣3），设Q（x1，y1），R（x2，y2），
由消x可得（9+t2）y2﹣6ty＝0，由于0，所以y1，
由消x可得（1+t2）y2+2ty＝0，由于0，所以y2，
所以四边形A1QA2R的面积为S|A1A2| |y1﹣y2|
，
由于t＞0，设m，
又y＝m在[2，+∞），所以y＝m，
故S3，
当且仅当m＝2，即t时，四边形A1QA2R的面积的最大值为3．
【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合和均值不等式的应用，属于中档题．
22．（12分）在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设点P的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）设过点（1，0）且倾斜角不为0的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求证：直线AM，BN的交点在直线x＝4上．
【答案】（1）．
（2）根据题意，可设直线MN的方程为：x＝my+1，
由，消去x并整理得（m2+4）y2+2my﹣3＝0．
其中，Δ＝4m2+12（m2+4）＝16m2+48＞0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．
因直线l的倾斜角不为0，故x1，x2不等于±2（y1，y2不为0），
从而可设直线AM的方程为①，
直线BN的方程为②，
所以，直线AM，BN的交点Q（x0，y0）的坐标满足：．
而，
因此，x0＝4，即点Q在直线x＝4上．
【分析】（1）通过，化简求解点P的轨迹方程．
（2）设直线MN的方程为：x＝my+1，联立直线与椭圆方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理则设直线AM的方程为，直线BN的方程为，求出交点坐标，推出交点Q在直线x＝4上．
【解答】解：（1）由点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．
设P（x，y），则，得4y2＝4﹣x2，即．
故轨迹C的方程为：．轨迹是椭圆，不包含椭圆与x轴的交点．
（2）根据题意，可设直线MN的方程为：x＝my+1，
由，消去x并整理得（m2+4）y2+2my﹣3＝0．
其中，Δ＝4m2+12（m2+4）＝16m2+48＞0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．
因直线l的倾斜角不为0，故x1，x2不等于±2（y1，y2不为0），
从而可设直线AM的方程为①，
直线BN的方程为②，
所以，直线AM，BN的交点Q（x0，y0）的坐标满足：．
而，
因此，x0＝4，即点Q在直线x＝4上．
【点评】本小题主要考查轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力和创新意识；考查化归与转化等思想方法．
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