第三章 圆锥曲线的方程（单元测试）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学选择性必修第一册
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| 名称 | 第三章 圆锥曲线的方程（单元测试）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 156.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-19 14:12:15 | ||
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文档简介
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第三章 圆锥曲线的方程
一、单选题
1．双曲线1的焦点坐标是（ ）
A．（0，±1） B．（±1，0） C． D．
2．椭圆1的离心率是（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线y2＝﹣2x的准线方程为（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C． D．
4．已知平面α和两条异面直线a，b满足a α，b⊥α，平面α内的动点M到两条直线a，b的距离相等，则点M的轨迹是（ ）
A．两条直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
5．设F是双曲线C：的右焦点，l是双曲线C的一条渐近线，过F作一条直线垂直于l，垂足为P，则sin∠OFP的值为（ ）
A． B． C． D．
6．直线2x+3y＝0是双曲线的一条渐近线，则实数a的值为（ ）
A． B．3 C． D．
7．已知双曲线C与椭圆1有共同的焦点，且焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线C的方程为（ ）
A．1 B．y21
C．1 D．y21
8．已知F1，F2是椭圆的左，右焦点，点A是椭圆上的一个动点，则△AF1F2的内切圆的半径的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
二、多选题
9．过点（0，1）且与抛物线y2＝x有且仅有一个公共点的直线是（ ）
A．x＝0 B．y＝0 C．x＝1 D．y＝1
10．若椭圆的一个焦点坐标为（0，1），则下列结论中正确的是（ ）
A．m＝2 B．C的长轴长为
C．C的短轴长为4 D．C的离心率为
11．已知m为3与5的等差中项，n为4与16的等比中项，则下列对曲线描述正确的是（ ）
A．曲线C可表示为焦点在y轴的椭圆
B．曲线C可表示为焦距是4的双曲线
C．曲线C可表示为离心率是的椭圆
D．曲线C可表示为渐近线方程式的双曲线
12．关于椭圆3x2+4y2＝12有以下结论，其中正确的有（ ）
A．离心率为
B．长轴长是2
C．焦点在y轴上
D．焦点坐标为（﹣1，0），（1，0）
三、填空题
13．若P（4，1）为抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，抛物线C的焦点为F，则|PF|＝ ．
14．已知点A（3，0），椭圆C：1（a＞0）的右焦点为F，若线段AF的中点恰好在椭圆C上，则椭圆C的长轴长为 ．
15．已知A，F是离心率为2的双曲线的右顶点和右焦点，记A，F到直线bx﹣ay＝0的距离分别为d1，d2，则 ．
16．双曲线1的渐近线方程为 ．
17．画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为x2+y2＝8，则b2＝ ．
18．已知圆C：x2+y2+8x+ay﹣5＝0经过抛物线E：x2＝4y的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长为 ．
四、解答题
19．求适合下列条件的椭圆标准方程：
（1）与椭圆y2＝1有相同的焦点，且经过点（1，）；
（2）经过A（2，），B（，）两点．
20．已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点A（x1，y1）在抛物C上，设D（﹣x1，0），其中x1≠0．
（Ⅰ）求焦点F的坐标；
（Ⅱ）试判断直线AD与抛物线C的位置关系，并加以证明．
21．已知椭圆C：的离心率为，且过点（2，1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点，倾斜角为60°的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB的面积．
22．设椭圆C：过点（0，4）离心率为．
（1）求C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段中点坐标．
23．如图，椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率是，短轴长为2，椭圆的左、右顶点为A1、A2.过椭圆与抛物线的公共焦点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，与抛物线E相交于P，Q两点，点M为PQ的中点．
（1）求椭圆C和抛物线E的方程；
（2）记△ABA1的面积为S1，△MA2Q的面积为S2，若S1≥3S2，求直线l在y轴上截距的范围．
第三章 圆锥曲线的方程
参考答案与试题解析
一、单选题
1．双曲线1的焦点坐标是（ ）
A．（0，±1） B．（±1，0） C． D．
【答案】D
【分析】利用双曲线的标准方程，求解c，即可得到选项．
【解答】解：双曲线1，可得c，
所以双曲线1的焦点坐标是（，0）．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，焦点坐标的求法，是基础题．
2．椭圆1的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的标准方程求出a，b的值，根据椭圆中c2＝a2﹣b2就可求出c，再利用离心率e得到离心率．
【解答】解：由椭圆方程为1可知，a2＝9，b2＝4，∴c2＝a2﹣b2＝5，∴c
∴椭圆的离心率e
故选：A．
【点评】本题主要考查椭圆的标准方程与离心率的求法，易错点是把椭圆中a，b，c的关系与双曲线中a，b，c的关系记混．
3．抛物线y2＝﹣2x的准线方程为（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C． D．
【答案】D
【分析】先根据抛物线方程求得p，进而根据抛物线的性质，求得准线方程．
【解答】解：∵抛物线y2＝﹣2x，
∴抛物线的焦点在x轴上，开口向左，且p＝1，
∴准线方程是x
故选：D．
【点评】本题的考点是抛物线的简单性质，主要考查根据抛物线的标准方程求准线方程，属于基础题．
4．已知平面α和两条异面直线a，b满足a α，b⊥α，平面α内的动点M到两条直线a，b的距离相等，则点M的轨迹是（ ）
A．两条直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】D
【分析】b⊥α，设垂足为B，则M到直线b的距离即为M到定点B的距离，然后根据抛物线的定义进行判定即可．
【解答】解：b⊥α，设垂足为B，则M到直线b的距离即为M到定点B的距离，
即动点M在平面α内到一定直线距离与一定点的距离相等，
符合抛物线性质，则M的轨迹是抛物线，
故选：D．
【点评】本题主要考查了抛物线的定义，解题的关键是熟练掌握抛物线的定义，同时考查了推理能力，属于基础题．
5．设F是双曲线C：的右焦点，l是双曲线C的一条渐近线，过F作一条直线垂直于l，垂足为P，则sin∠OFP的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】双曲线C：的右焦点，F（5，0），双曲线C的一条渐近线l的方程为4x+3y＝0．利用点到直线的距离公式，求出|PF|，由此能求出sin∠OFP．
【解答】解：∵F是双曲线C：的右焦点，
∴F（5，0），
∵l是双曲线C的一条渐近线，
∴l的方程可以为3x+4y＝0．
利用点到直线的距离公式，知|PF|3，
∵|OF|＝5，
∴sin∠OFP．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，解题时要认真审题，恰当运用数形结合思想，注意合理地进行等价转化．
6．直线2x+3y＝0是双曲线的一条渐近线，则实数a的值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】由双曲线方程求得渐近线方程，结合已知得答案．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为，化为2x±ay＝0，
又2x+3y＝0是双曲线的一条渐近线，∴a＝3．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查双曲线的渐近线，是基础题．
7．已知双曲线C与椭圆1有共同的焦点，且焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线C的方程为（ ）
A．1 B．y21
C．1 D．y21
【答案】A
【分析】根据椭圆的方程可得双曲线的焦点在y轴上，且c＝2，然后设双曲线的方程，并求出渐近线方程，最后由焦点到该双曲线渐近线的距离等于b及双曲线中a2+b2＝c2即可求解．
【解答】解：因为椭圆的方程为，所以椭圆的焦点坐标为（0，±2），
由题意，双曲线C的焦点在y轴上，且c＝2，
设双曲线C的方程为，则有a2+b2＝c2＝4，
其渐近线方程为，即ax±by＝0，
又焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则有，所以a2＝c2﹣b2＝3，
所以双曲线C的方程为．
故选：A．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
8．已知F1，F2是椭圆的左，右焦点，点A是椭圆上的一个动点，则△AF1F2的内切圆的半径的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】找出△AF1F2内切圆半径与A点纵坐标的关系，要使△AF1F2内切圆半径最大可得A点的纵坐标最大，由此求得△AF1F2内切圆半径的最大值．
【解答】解：由椭圆，得a2＝4，b2＝3，∴c2＝a2﹣b2＝1，则c＝1，
如图，
∵|F1F2| |yA|（|AF1|+|AF2|+|F1F2|） r，
∴2c |yA|＝（2a+2c） r，则r|yA|，
要使△PF1F2内切圆半径最大，则需|yA|最大，
∵|yA|≤b，
∴△PF1F2内切圆半径的最大值为．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了数学转化思想方法，是中档题．
二、多选题
9．过点（0，1）且与抛物线y2＝x有且仅有一个公共点的直线是（ ）
A．x＝0 B．y＝0 C．x＝1 D．y＝1
【答案】AD
【分析】本题是求一条直线的方程，常规方法是直接设直线的方程，然后建立相关方程，然后解出来即可，本题由于是选择题，则直接用选项来检验是否满足题意即可得出答案．
【解答】解：点（0，1）在抛物线外，过此点且与抛物线有一个公共点的直线共有3条：其中两条是抛物线的切线；一条平行于抛物线的对称轴；
可得：直线x＝0是过（0，1）且与抛物线相切的直线，
直线y＝1是过（0，1）且平行于抛物线的对称轴的直线，
BC选项的直线不满足条件．
故选：AD．
【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系，属于基础题．
10．若椭圆的一个焦点坐标为（0，1），则下列结论中正确的是（ ）
A．m＝2 B．C的长轴长为
C．C的短轴长为4 D．C的离心率为
【答案】AB
【分析】利用椭圆方程结合已知条件，列出方程，求解m，推出a，b，即可判断选项．
【解答】解：由已知可得，解得m＝2或m＝﹣1（舍去），
∴，
故选：AB．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
11．已知m为3与5的等差中项，n为4与16的等比中项，则下列对曲线描述正确的是（ ）
A．曲线C可表示为焦点在y轴的椭圆
B．曲线C可表示为焦距是4的双曲线
C．曲线C可表示为离心率是的椭圆
D．曲线C可表示为渐近线方程式的双曲线
【答案】ACD
【分析】由于m为3与5的等差中项，n为4与16的等比中项，解得m，n，进而可得曲线C的方程，再结合性质，即可得出答案．
【解答】解：因为m为3与5的等差中项，n为4与16的等比中项，
所以2m＝3+5，n2＝4×16，
解得m＝4，n＝±8，
则曲线C的方程为1或1，
其中1表示焦点在y轴的椭圆，
此时它的离心率为e，故A正确，C正确；
1表示焦点在x轴的双曲线，
焦距为2c＝224，
渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x，故B不正确，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查圆锥曲线的方程，性质，属于中档题．
12．关于椭圆3x2+4y2＝12有以下结论，其中正确的有（ ）
A．离心率为
B．长轴长是2
C．焦点在y轴上
D．焦点坐标为（﹣1，0），（1，0）
【答案】AD
【分析】将椭圆的方程化为标准方程，然后对应各个选项求解即可．
【解答】解：将椭圆方程化为标准方程为，
所以该椭圆的焦点在x轴上，C错误；
焦点坐标为（﹣1，0），（1，0），D正确；
a＝2，长轴长是4，B错误；
因为，所以c＝1，离心率正确，
故选：AD．
【点评】本题考查了椭圆的方程与性质，考查了学生的运算能力，属于中档题．
三、填空题
13．若P（4，1）为抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，抛物线C的焦点为F，则|PF|＝ 5 ．
【答案】5
【分析】由P在抛物线上可得p的值，由到焦点的距离到准线的距离可得|PF|的值．
【解答】解：由P（4，1）为抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，
得42＝2p×1，可得p＝8，
由抛物线的性质：到焦点的距离等于到直线的距离，
准线方程为：y，则．
故答案为：5．
【点评】本题考查抛物线的到焦点的距离等于到直线的距离，属于基础题．
14．已知点A（3，0），椭圆C：1（a＞0）的右焦点为F，若线段AF的中点恰好在椭圆C上，则椭圆C的长轴长为 4 ．
【答案】4．
【分析】求出AF的中点，根据AF的中点在椭圆上，求出a和c的关系，进而求解a，即可得到结论．
【解答】解：设椭圆的右焦点F（c，0），
∵点A（3，0），
∴AF的中点为（，0），
∵线段AF的中点恰好在椭圆C上，
∴a c＝2a﹣3，①
∵c2＝a2﹣b2＝a2﹣3，②
联立①②解得a＝2，
∴椭圆C的长轴长为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质，是基础题．
15．已知A，F是离心率为2的双曲线的右顶点和右焦点，记A，F到直线bx﹣ay＝0的距离分别为d1，d2，则 ．
【答案】
【分析】求出A，F的坐标，利用点到直线的距离公式进行计算即可．
【解答】解：A（a，0），F（c，0），
则d1，d2b，
则，
故答案为：．
【点评】本题主要考查点到直线的距离的计算，求出点的坐标，利用距离公式是解决本题的关键，是基础题．
16．双曲线1的渐近线方程为 y＝±2x ．
【答案】见试题解答内容
【分析】令双曲线方程右边为0，即可得到双曲线的渐近线方程．
【解答】解：由0可得y＝±2x，即双曲线1的渐近线方程是y＝±2x．
故答案为：y＝±2x
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程，利用双曲线方程右边为0，得到双曲线的渐近线方程是关键．
17．画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为x2+y2＝8，则b2＝ 2 ．
【答案】2．
【分析】利用椭圆的蒙日圆的定义，转化求解即可．
【解答】解：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆．
若椭圆的蒙日圆为x2+y2＝8，则b2＝8﹣6＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查新定义的应用，椭圆的简单性质的应用，是基础题．
18．已知圆C：x2+y2+8x+ay﹣5＝0经过抛物线E：x2＝4y的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长为 4 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出抛物线E：x2＝4y的焦点为（0，1），准线为y＝﹣1，确定圆的方程，即可求出抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长．
【解答】解：抛物线E：x2＝4y的焦点为（0，1），准线为y＝﹣1．
（0，1）代入圆C：x2+y2+8x+ay﹣5＝0，可得1+a﹣5＝0，∴a＝4
∴圆C：x2+y2+8x+4y﹣5＝0，即（x+4）2+（y+2）2＝25，
∴圆心到直线的距离为d＝1，
∴抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长为24．
故答案为：4．
【点评】本题考查圆的方程，考查抛物线的性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．
四、解答题
19．求适合下列条件的椭圆标准方程：
（1）与椭圆y2＝1有相同的焦点，且经过点（1，）；
（2）经过A（2，），B（，）两点．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先求出已知椭圆的焦点坐标（±1，0），则可设出所求椭圆方程，代入已知点即可求解，（2）待定系数法设出椭圆方程，代入已知点即可求解．
【解答】解：（1）由已知椭圆方程可得焦点坐标为（±1，0），则可设所求的椭圆方程为：，
代入点（1，），解得m＝4或（舍），
所以所求椭圆方程为：，
（2）设所求的椭圆方程为：，
代入已知两点可得：，解得m＝8，n＝1，
故所求的椭圆方程为：．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程以及焦点相同和不确定的问题的椭圆方程的设法，属于基础题．
20．已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点A（x1，y1）在抛物C上，设D（﹣x1，0），其中x1≠0．
（Ⅰ）求焦点F的坐标；
（Ⅱ）试判断直线AD与抛物线C的位置关系，并加以证明．
【答案】（I）（1，0）；（II）相切，证明见解析．
【分析】（I）求出p的值，可得焦点F的坐标；
（II）分别求出直线AD的斜率与抛物线C：y2＝4x上过点A（x1，y1）的切线的斜率，可得其相等，可证明直线AD与抛物线C相切．
【解答】解：（I）由抛物线C：y2＝4x，可得：2p＝4，p＝2，可得焦点F的坐标为（1，0）；
（II）直线AD与抛物线C相切，证明如下：
由点A（x1，y1）及点D（﹣x1，0），可得，
又y2＝4x，可得，
可得，
同时由抛物线，所以过A（x1，y1）的切线的斜率为：，
所以直线AD与抛物线C相切．
【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
21．已知椭圆C：的离心率为，且过点（2，1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点，倾斜角为60°的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB的面积．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据离心率可得a，c的关系，再代入已知点求出a，b的关系，然后根据a，b，c的恒等式即可求解；
（2）由题意可求出直线AB的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出A，B两点的横坐标之间的距离，进而可以求解．
【解答】解：（1）由题，∴b2＝a2﹣c2＝c2，
把点（2，1）代入椭圆C：，得c2＝3，
故椭圆C的方程为：；
（2）过右焦点，斜率的直线方程：，
联立，化简得7x2﹣12x+12＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，所以|x1﹣x2|，
故．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到面积问题，属于中档题．
22．设椭圆C：过点（0，4）离心率为．
（1）求C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段中点坐标．
【答案】（1）；
（2）（，）．
【分析】（1）由题意可知：b＝4，根据椭圆离心率公式即可求得b的值，求得椭圆方程；
（2）由点斜式方程求得直线AB方程，代入椭圆方程，求得A和B点坐标，利用中点坐标公式，即可求得AB的中点坐标．
【解答】解：（1）由椭圆C：过点（0，4），则b＝4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
椭圆离心率为e，则a＝5，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
∴C的方程为；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
（2）过点（3，0）且斜率为的直线方程为y（x﹣3），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线方程y（x﹣3）代入C的方程，得x2﹣3x﹣8＝0，解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
x1，x2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
∴AB的中点M（x0，y0）坐标x0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
y0（x1+x1﹣6），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
即中点为（，）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．
23．如图，椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率是，短轴长为2，椭圆的左、右顶点为A1、A2.过椭圆与抛物线的公共焦点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，与抛物线E相交于P，Q两点，点M为PQ的中点．
（1）求椭圆C和抛物线E的方程；
（2）记△ABA1的面积为S1，△MA2Q的面积为S2，若S1≥3S2，求直线l在y轴上截距的范围．
【答案】（1）椭圆，抛物线E：y2＝4x；
（2）．
【分析】（1）依题意得到方程组，求出a，b的值，即可求出椭圆方程，再根据抛物线的焦点求出抛物线方程；
（2）设l：x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），联立l与椭圆，利用韦达定理及弦长公式，点到直线的距离，求出三角形的面积S1，S2，再根据S1 3S2得到不等式，解得即可．
【解答】解：（1）根据题意得：，解得，抛物线焦点F（1，0），
因此椭圆，抛物线E：y2＝4x；
（2）设：x＝ty+1（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），
联立l与椭圆，
整理得：（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，判别式：Δ＝（6t）2﹣4（3t2+4）（﹣9）＝144（t2+1），
弦长公式：，所以，
联立l与抛物线，整理得：y2﹣4ty﹣4＝0，判别式：Δ＝（﹣4t）2﹣4（﹣4）＝16（t2+1），
弦长公式：，
所以，
因为S1 3S2，因此，解得：，
在y轴上截距或，
因此在y轴上截距取值范围是．
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用，属于中档题．
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第三章 圆锥曲线的方程
一、单选题
1．双曲线1的焦点坐标是（ ）
A．（0，±1） B．（±1，0） C． D．
2．椭圆1的离心率是（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线y2＝﹣2x的准线方程为（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C． D．
4．已知平面α和两条异面直线a，b满足a α，b⊥α，平面α内的动点M到两条直线a，b的距离相等，则点M的轨迹是（ ）
A．两条直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
5．设F是双曲线C：的右焦点，l是双曲线C的一条渐近线，过F作一条直线垂直于l，垂足为P，则sin∠OFP的值为（ ）
A． B． C． D．
6．直线2x+3y＝0是双曲线的一条渐近线，则实数a的值为（ ）
A． B．3 C． D．
7．已知双曲线C与椭圆1有共同的焦点，且焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线C的方程为（ ）
A．1 B．y21
C．1 D．y21
8．已知F1，F2是椭圆的左，右焦点，点A是椭圆上的一个动点，则△AF1F2的内切圆的半径的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
二、多选题
9．过点（0，1）且与抛物线y2＝x有且仅有一个公共点的直线是（ ）
A．x＝0 B．y＝0 C．x＝1 D．y＝1
10．若椭圆的一个焦点坐标为（0，1），则下列结论中正确的是（ ）
A．m＝2 B．C的长轴长为
C．C的短轴长为4 D．C的离心率为
11．已知m为3与5的等差中项，n为4与16的等比中项，则下列对曲线描述正确的是（ ）
A．曲线C可表示为焦点在y轴的椭圆
B．曲线C可表示为焦距是4的双曲线
C．曲线C可表示为离心率是的椭圆
D．曲线C可表示为渐近线方程式的双曲线
12．关于椭圆3x2+4y2＝12有以下结论，其中正确的有（ ）
A．离心率为
B．长轴长是2
C．焦点在y轴上
D．焦点坐标为（﹣1，0），（1，0）
三、填空题
13．若P（4，1）为抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，抛物线C的焦点为F，则|PF|＝ ．
14．已知点A（3，0），椭圆C：1（a＞0）的右焦点为F，若线段AF的中点恰好在椭圆C上，则椭圆C的长轴长为 ．
15．已知A，F是离心率为2的双曲线的右顶点和右焦点，记A，F到直线bx﹣ay＝0的距离分别为d1，d2，则 ．
16．双曲线1的渐近线方程为 ．
17．画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为x2+y2＝8，则b2＝ ．
18．已知圆C：x2+y2+8x+ay﹣5＝0经过抛物线E：x2＝4y的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长为 ．
四、解答题
19．求适合下列条件的椭圆标准方程：
（1）与椭圆y2＝1有相同的焦点，且经过点（1，）；
（2）经过A（2，），B（，）两点．
20．已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点A（x1，y1）在抛物C上，设D（﹣x1，0），其中x1≠0．
（Ⅰ）求焦点F的坐标；
（Ⅱ）试判断直线AD与抛物线C的位置关系，并加以证明．
21．已知椭圆C：的离心率为，且过点（2，1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点，倾斜角为60°的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB的面积．
22．设椭圆C：过点（0，4）离心率为．
（1）求C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段中点坐标．
23．如图，椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率是，短轴长为2，椭圆的左、右顶点为A1、A2.过椭圆与抛物线的公共焦点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，与抛物线E相交于P，Q两点，点M为PQ的中点．
（1）求椭圆C和抛物线E的方程；
（2）记△ABA1的面积为S1，△MA2Q的面积为S2，若S1≥3S2，求直线l在y轴上截距的范围．
第三章 圆锥曲线的方程
参考答案与试题解析
一、单选题
1．双曲线1的焦点坐标是（ ）
A．（0，±1） B．（±1，0） C． D．
【答案】D
【分析】利用双曲线的标准方程，求解c，即可得到选项．
【解答】解：双曲线1，可得c，
所以双曲线1的焦点坐标是（，0）．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，焦点坐标的求法，是基础题．
2．椭圆1的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的标准方程求出a，b的值，根据椭圆中c2＝a2﹣b2就可求出c，再利用离心率e得到离心率．
【解答】解：由椭圆方程为1可知，a2＝9，b2＝4，∴c2＝a2﹣b2＝5，∴c
∴椭圆的离心率e
故选：A．
【点评】本题主要考查椭圆的标准方程与离心率的求法，易错点是把椭圆中a，b，c的关系与双曲线中a，b，c的关系记混．
3．抛物线y2＝﹣2x的准线方程为（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C． D．
【答案】D
【分析】先根据抛物线方程求得p，进而根据抛物线的性质，求得准线方程．
【解答】解：∵抛物线y2＝﹣2x，
∴抛物线的焦点在x轴上，开口向左，且p＝1，
∴准线方程是x
故选：D．
【点评】本题的考点是抛物线的简单性质，主要考查根据抛物线的标准方程求准线方程，属于基础题．
4．已知平面α和两条异面直线a，b满足a α，b⊥α，平面α内的动点M到两条直线a，b的距离相等，则点M的轨迹是（ ）
A．两条直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】D
【分析】b⊥α，设垂足为B，则M到直线b的距离即为M到定点B的距离，然后根据抛物线的定义进行判定即可．
【解答】解：b⊥α，设垂足为B，则M到直线b的距离即为M到定点B的距离，
即动点M在平面α内到一定直线距离与一定点的距离相等，
符合抛物线性质，则M的轨迹是抛物线，
故选：D．
【点评】本题主要考查了抛物线的定义，解题的关键是熟练掌握抛物线的定义，同时考查了推理能力，属于基础题．
5．设F是双曲线C：的右焦点，l是双曲线C的一条渐近线，过F作一条直线垂直于l，垂足为P，则sin∠OFP的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】双曲线C：的右焦点，F（5，0），双曲线C的一条渐近线l的方程为4x+3y＝0．利用点到直线的距离公式，求出|PF|，由此能求出sin∠OFP．
【解答】解：∵F是双曲线C：的右焦点，
∴F（5，0），
∵l是双曲线C的一条渐近线，
∴l的方程可以为3x+4y＝0．
利用点到直线的距离公式，知|PF|3，
∵|OF|＝5，
∴sin∠OFP．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，解题时要认真审题，恰当运用数形结合思想，注意合理地进行等价转化．
6．直线2x+3y＝0是双曲线的一条渐近线，则实数a的值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】由双曲线方程求得渐近线方程，结合已知得答案．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为，化为2x±ay＝0，
又2x+3y＝0是双曲线的一条渐近线，∴a＝3．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查双曲线的渐近线，是基础题．
7．已知双曲线C与椭圆1有共同的焦点，且焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线C的方程为（ ）
A．1 B．y21
C．1 D．y21
【答案】A
【分析】根据椭圆的方程可得双曲线的焦点在y轴上，且c＝2，然后设双曲线的方程，并求出渐近线方程，最后由焦点到该双曲线渐近线的距离等于b及双曲线中a2+b2＝c2即可求解．
【解答】解：因为椭圆的方程为，所以椭圆的焦点坐标为（0，±2），
由题意，双曲线C的焦点在y轴上，且c＝2，
设双曲线C的方程为，则有a2+b2＝c2＝4，
其渐近线方程为，即ax±by＝0，
又焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则有，所以a2＝c2﹣b2＝3，
所以双曲线C的方程为．
故选：A．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
8．已知F1，F2是椭圆的左，右焦点，点A是椭圆上的一个动点，则△AF1F2的内切圆的半径的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】找出△AF1F2内切圆半径与A点纵坐标的关系，要使△AF1F2内切圆半径最大可得A点的纵坐标最大，由此求得△AF1F2内切圆半径的最大值．
【解答】解：由椭圆，得a2＝4，b2＝3，∴c2＝a2﹣b2＝1，则c＝1，
如图，
∵|F1F2| |yA|（|AF1|+|AF2|+|F1F2|） r，
∴2c |yA|＝（2a+2c） r，则r|yA|，
要使△PF1F2内切圆半径最大，则需|yA|最大，
∵|yA|≤b，
∴△PF1F2内切圆半径的最大值为．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了数学转化思想方法，是中档题．
二、多选题
9．过点（0，1）且与抛物线y2＝x有且仅有一个公共点的直线是（ ）
A．x＝0 B．y＝0 C．x＝1 D．y＝1
【答案】AD
【分析】本题是求一条直线的方程，常规方法是直接设直线的方程，然后建立相关方程，然后解出来即可，本题由于是选择题，则直接用选项来检验是否满足题意即可得出答案．
【解答】解：点（0，1）在抛物线外，过此点且与抛物线有一个公共点的直线共有3条：其中两条是抛物线的切线；一条平行于抛物线的对称轴；
可得：直线x＝0是过（0，1）且与抛物线相切的直线，
直线y＝1是过（0，1）且平行于抛物线的对称轴的直线，
BC选项的直线不满足条件．
故选：AD．
【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系，属于基础题．
10．若椭圆的一个焦点坐标为（0，1），则下列结论中正确的是（ ）
A．m＝2 B．C的长轴长为
C．C的短轴长为4 D．C的离心率为
【答案】AB
【分析】利用椭圆方程结合已知条件，列出方程，求解m，推出a，b，即可判断选项．
【解答】解：由已知可得，解得m＝2或m＝﹣1（舍去），
∴，
故选：AB．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
11．已知m为3与5的等差中项，n为4与16的等比中项，则下列对曲线描述正确的是（ ）
A．曲线C可表示为焦点在y轴的椭圆
B．曲线C可表示为焦距是4的双曲线
C．曲线C可表示为离心率是的椭圆
D．曲线C可表示为渐近线方程式的双曲线
【答案】ACD
【分析】由于m为3与5的等差中项，n为4与16的等比中项，解得m，n，进而可得曲线C的方程，再结合性质，即可得出答案．
【解答】解：因为m为3与5的等差中项，n为4与16的等比中项，
所以2m＝3+5，n2＝4×16，
解得m＝4，n＝±8，
则曲线C的方程为1或1，
其中1表示焦点在y轴的椭圆，
此时它的离心率为e，故A正确，C正确；
1表示焦点在x轴的双曲线，
焦距为2c＝224，
渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x，故B不正确，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查圆锥曲线的方程，性质，属于中档题．
12．关于椭圆3x2+4y2＝12有以下结论，其中正确的有（ ）
A．离心率为
B．长轴长是2
C．焦点在y轴上
D．焦点坐标为（﹣1，0），（1，0）
【答案】AD
【分析】将椭圆的方程化为标准方程，然后对应各个选项求解即可．
【解答】解：将椭圆方程化为标准方程为，
所以该椭圆的焦点在x轴上，C错误；
焦点坐标为（﹣1，0），（1，0），D正确；
a＝2，长轴长是4，B错误；
因为，所以c＝1，离心率正确，
故选：AD．
【点评】本题考查了椭圆的方程与性质，考查了学生的运算能力，属于中档题．
三、填空题
13．若P（4，1）为抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，抛物线C的焦点为F，则|PF|＝ 5 ．
【答案】5
【分析】由P在抛物线上可得p的值，由到焦点的距离到准线的距离可得|PF|的值．
【解答】解：由P（4，1）为抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，
得42＝2p×1，可得p＝8，
由抛物线的性质：到焦点的距离等于到直线的距离，
准线方程为：y，则．
故答案为：5．
【点评】本题考查抛物线的到焦点的距离等于到直线的距离，属于基础题．
14．已知点A（3，0），椭圆C：1（a＞0）的右焦点为F，若线段AF的中点恰好在椭圆C上，则椭圆C的长轴长为 4 ．
【答案】4．
【分析】求出AF的中点，根据AF的中点在椭圆上，求出a和c的关系，进而求解a，即可得到结论．
【解答】解：设椭圆的右焦点F（c，0），
∵点A（3，0），
∴AF的中点为（，0），
∵线段AF的中点恰好在椭圆C上，
∴a c＝2a﹣3，①
∵c2＝a2﹣b2＝a2﹣3，②
联立①②解得a＝2，
∴椭圆C的长轴长为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质，是基础题．
15．已知A，F是离心率为2的双曲线的右顶点和右焦点，记A，F到直线bx﹣ay＝0的距离分别为d1，d2，则 ．
【答案】
【分析】求出A，F的坐标，利用点到直线的距离公式进行计算即可．
【解答】解：A（a，0），F（c，0），
则d1，d2b，
则，
故答案为：．
【点评】本题主要考查点到直线的距离的计算，求出点的坐标，利用距离公式是解决本题的关键，是基础题．
16．双曲线1的渐近线方程为 y＝±2x ．
【答案】见试题解答内容
【分析】令双曲线方程右边为0，即可得到双曲线的渐近线方程．
【解答】解：由0可得y＝±2x，即双曲线1的渐近线方程是y＝±2x．
故答案为：y＝±2x
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程，利用双曲线方程右边为0，得到双曲线的渐近线方程是关键．
17．画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为x2+y2＝8，则b2＝ 2 ．
【答案】2．
【分析】利用椭圆的蒙日圆的定义，转化求解即可．
【解答】解：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆．
若椭圆的蒙日圆为x2+y2＝8，则b2＝8﹣6＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查新定义的应用，椭圆的简单性质的应用，是基础题．
18．已知圆C：x2+y2+8x+ay﹣5＝0经过抛物线E：x2＝4y的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长为 4 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出抛物线E：x2＝4y的焦点为（0，1），准线为y＝﹣1，确定圆的方程，即可求出抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长．
【解答】解：抛物线E：x2＝4y的焦点为（0，1），准线为y＝﹣1．
（0，1）代入圆C：x2+y2+8x+ay﹣5＝0，可得1+a﹣5＝0，∴a＝4
∴圆C：x2+y2+8x+4y﹣5＝0，即（x+4）2+（y+2）2＝25，
∴圆心到直线的距离为d＝1，
∴抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长为24．
故答案为：4．
【点评】本题考查圆的方程，考查抛物线的性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．
四、解答题
19．求适合下列条件的椭圆标准方程：
（1）与椭圆y2＝1有相同的焦点，且经过点（1，）；
（2）经过A（2，），B（，）两点．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先求出已知椭圆的焦点坐标（±1，0），则可设出所求椭圆方程，代入已知点即可求解，（2）待定系数法设出椭圆方程，代入已知点即可求解．
【解答】解：（1）由已知椭圆方程可得焦点坐标为（±1，0），则可设所求的椭圆方程为：，
代入点（1，），解得m＝4或（舍），
所以所求椭圆方程为：，
（2）设所求的椭圆方程为：，
代入已知两点可得：，解得m＝8，n＝1，
故所求的椭圆方程为：．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程以及焦点相同和不确定的问题的椭圆方程的设法，属于基础题．
20．已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点A（x1，y1）在抛物C上，设D（﹣x1，0），其中x1≠0．
（Ⅰ）求焦点F的坐标；
（Ⅱ）试判断直线AD与抛物线C的位置关系，并加以证明．
【答案】（I）（1，0）；（II）相切，证明见解析．
【分析】（I）求出p的值，可得焦点F的坐标；
（II）分别求出直线AD的斜率与抛物线C：y2＝4x上过点A（x1，y1）的切线的斜率，可得其相等，可证明直线AD与抛物线C相切．
【解答】解：（I）由抛物线C：y2＝4x，可得：2p＝4，p＝2，可得焦点F的坐标为（1，0）；
（II）直线AD与抛物线C相切，证明如下：
由点A（x1，y1）及点D（﹣x1，0），可得，
又y2＝4x，可得，
可得，
同时由抛物线，所以过A（x1，y1）的切线的斜率为：，
所以直线AD与抛物线C相切．
【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
21．已知椭圆C：的离心率为，且过点（2，1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点，倾斜角为60°的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB的面积．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据离心率可得a，c的关系，再代入已知点求出a，b的关系，然后根据a，b，c的恒等式即可求解；
（2）由题意可求出直线AB的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出A，B两点的横坐标之间的距离，进而可以求解．
【解答】解：（1）由题，∴b2＝a2﹣c2＝c2，
把点（2，1）代入椭圆C：，得c2＝3，
故椭圆C的方程为：；
（2）过右焦点，斜率的直线方程：，
联立，化简得7x2﹣12x+12＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，所以|x1﹣x2|，
故．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到面积问题，属于中档题．
22．设椭圆C：过点（0，4）离心率为．
（1）求C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段中点坐标．
【答案】（1）；
（2）（，）．
【分析】（1）由题意可知：b＝4，根据椭圆离心率公式即可求得b的值，求得椭圆方程；
（2）由点斜式方程求得直线AB方程，代入椭圆方程，求得A和B点坐标，利用中点坐标公式，即可求得AB的中点坐标．
【解答】解：（1）由椭圆C：过点（0，4），则b＝4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
椭圆离心率为e，则a＝5，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
∴C的方程为；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
（2）过点（3，0）且斜率为的直线方程为y（x﹣3），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线方程y（x﹣3）代入C的方程，得x2﹣3x﹣8＝0，解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
x1，x2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
∴AB的中点M（x0，y0）坐标x0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
y0（x1+x1﹣6），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
即中点为（，）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．
23．如图，椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率是，短轴长为2，椭圆的左、右顶点为A1、A2.过椭圆与抛物线的公共焦点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，与抛物线E相交于P，Q两点，点M为PQ的中点．
（1）求椭圆C和抛物线E的方程；
（2）记△ABA1的面积为S1，△MA2Q的面积为S2，若S1≥3S2，求直线l在y轴上截距的范围．
【答案】（1）椭圆，抛物线E：y2＝4x；
（2）．
【分析】（1）依题意得到方程组，求出a，b的值，即可求出椭圆方程，再根据抛物线的焦点求出抛物线方程；
（2）设l：x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），联立l与椭圆，利用韦达定理及弦长公式，点到直线的距离，求出三角形的面积S1，S2，再根据S1 3S2得到不等式，解得即可．
【解答】解：（1）根据题意得：，解得，抛物线焦点F（1，0），
因此椭圆，抛物线E：y2＝4x；
（2）设：x＝ty+1（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），
联立l与椭圆，
整理得：（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，判别式：Δ＝（6t）2﹣4（3t2+4）（﹣9）＝144（t2+1），
弦长公式：，所以，
联立l与抛物线，整理得：y2﹣4ty﹣4＝0，判别式：Δ＝（﹣4t）2﹣4（﹣4）＝16（t2+1），
弦长公式：，
所以，
因为S1 3S2，因此，解得：，
在y轴上截距或，
因此在y轴上截距取值范围是．
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用，属于中档题．
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