第四章 指数函数与对数函数（单元测试）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学必修第一册

中小学教育资源及组卷应用平台
第四章 指数函数与对数函数
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）计算（　　）
A．20 B．21 C．9 D．11
2．（5分）下列函数中定义域与值域相同的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（5分）下列函数关系中，可以看作是指数型函数y＝kax（k∈R，a＞0且a≠1）的模型的是（　　）
A．竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
B．我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系
C．如果某人ts内骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系
D．信件的邮资与其重量间的函数关系
4．（5分）在下列区间中，函数f（x）＝ex+4x﹣3的零点所在的区间为（　　）
A． B． C． D．
5．（5分）函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）与g（x）＝﹣x+a的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a
7．（5分）设函数f（x），则满足f（x）≤2的x的取值范围是（　　）
A．[﹣1，2] B．[0，2] C．[1，+∞） D．[0，+∞）
8．（5分）函数的单调递增区间是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）
9．（5分）已知奇函数，则方程的解x＝　 　 ．
10．（5分）一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过 　 　 分钟，该病毒占据64MB内存（1MB＝210KB）
11．（5分）给出下列函数：
①y＝x2+1；②y＝﹣|x|；③；④y＝log2x．
（1）是定义在R上的偶函数；
（2）对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），有0．
其中同时满足上述两个条件的函数是 　 　 （填序号）．
12．（5分）设0≤x≤2，则函数的最大值是　 　 ，最小值是　 　 ．
三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
13．（8分）计算下列各式的值：
（Ⅰ）log3；
（Ⅱ）．
14．（10分）已知函数f（x）＝log2（x+1），当点（x，y）是函数f（x）图象上的点时，点是函数g（x）图像上的点．
（1）写出函数g（x）的表达式；
（2）当2g（x）﹣f（x） 0时，求x的取值范围．
15．（10分）已知关于x的函数y＝（m+6）x2+2（m﹣1）x+m+1恒有零点．
（1）求m的范围；
（2）若函数有两个不同零点，且其倒数之和为﹣4，求m的值．
16．（12分）某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分）．
（1）求函数y＝f（x）的解析式；
（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
第四章 指数函数与对数函数
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）计算（　　）
A．20 B．21 C．9 D．11
【答案】B
【分析】利用有理数指数幂和对数的运算性质求解．
【解答】解：原式22﹣2lg2﹣2lg5＝9×2+3+2﹣2（lg2+lg5）＝18+3+2﹣2＝21．
故选：B．
【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，是基础题．
2．（5分）下列函数中定义域与值域相同的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】结合基本初等函数的定义域及值域分别检验各选项即可判断．
【解答】解：A：x＞0，f（x）＞1，不符合题意；
B：x＞0，函数的值域为R，不符合题意；
C：由2x﹣1≥0得x≥0，定义域[0，+∞）函数的值域[0，+∞），定义域与值域一致，符合题意；
D：由题意得，解得x≥1，即定义域[1，+∞），函数的值域[0，+∞），不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本初等函数的定义域及值域的求解，属于基础题．
3．（5分）下列函数关系中，可以看作是指数型函数y＝kax（k∈R，a＞0且a≠1）的模型的是（　　）
A．竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
B．我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系
C．如果某人ts内骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系
D．信件的邮资与其重量间的函数关系
【答案】B
【分析】依次判断四个选项中的函数模型，即可判断得到答案．
【解答】解：对于A，竖直向上发射的信号弹，信号弹的高度与时间的关系对应的函数模型为二次函数关系，故选项A错误；
对于B，我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的变化关系，是指数函数关系，故选项B正确；
对于C，如果某人ts内骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系，是反比例函数关系，故选项C错误；
对于D，信件的邮资与其重量间的函数关系，是正比例函数关系，故选项D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是确定符合条件的函数模型，考查了逻辑推理能力，属于中档题．
4．（5分）在下列区间中，函数f（x）＝ex+4x﹣3的零点所在的区间为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据导函数判断函数f（x）＝ex+4x﹣3单调递增，运用零点判定定理，判定区间．
【解答】解：∵函数f（x）＝ex+4x﹣3，
∴f′（x）＝ex+4＞0，
∴函数f（x）＝ex+4x﹣3在（﹣∞，+∞）上为增函数，
∵f（）1﹣3＜0，
f（）2﹣31＞0，
∴f（） f（）＜0，
∴函数f（x）＝ex+4x﹣3的零点所在的区间为（，）
故选：C．
【点评】本题考查了函数零点的判断方法，借助导数判断函数单调性，属于中档题．
5．（5分）函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）与g（x）＝﹣x+a的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，用排除法分析，由g（x）＝﹣x+a的斜率排除CD，又由指数函数的单调性，排除B，即可得答案．
【解答】解：根据题意，用排除法分析：
直线g（x）＝﹣x+a为一次函数，其图象为直线，且其斜率为﹣1，故排除选项C、D，
对于A，g（x）＝﹣x+a与y轴交点在（0，1）上方，则a＞1，f（x）＝ax为增函数，符合题意，
对于B，g（x）＝﹣x+a与y轴交点在（0，1）下方，则0＜a＜1，f（x）＝ax应该为减函数，不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查函数图象的分析，涉及指数函数和一次函数的性质，属于基础题．
6．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a
【答案】B
【分析】利用对数函数和指数函数的性质，即可求解．
【解答】解：∵ ，b＝20.2＞20＝1，0＜c＝0.20.3＜0.20＝1，
∴a＜c＜b．
故选：B．
【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
7．（5分）设函数f（x），则满足f（x）≤2的x的取值范围是（　　）
A．[﹣1，2] B．[0，2] C．[1，+∞） D．[0，+∞）
【答案】D
【分析】分类讨论：①当x≤1时；②当x＞1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．
【解答】解：当x≤1时，21﹣x≤2的可变形为1﹣x≤1，x≥0，
∴0≤x≤1．
当x＞1时，1﹣log2x≤2的可变形为x，
∴x≥1，
故答案为[0，+∞）．
故选：D．
【点评】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．
8．（5分）函数的单调递增区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令t＝﹣x2+x+2，求其减区间，再由复合函数的单调性可得原函数的增区间．
【解答】解：令t＝﹣x2+x+2，则该函数的减区间为（，+∞），
函数y是定义域内的减函数，
由复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间是（，+∞），
故选：C．
【点评】本题考查复合函数的单调性，对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是基础题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）
9．（5分）已知奇函数，则方程的解x＝　log34　 ．
【答案】log34．
【分析】由已知结合奇函数定义可求出a，然后结合指数与对数的相互转化可求方程的解．
【解答】解：由f（x）是奇函数知f（x）+f（﹣x）＝0，
所以aa＝0，整理得2a﹣1＝0，
所以a，
故f（x），
因为f（x），即3x＝4，
解得x＝log34．
故f（x）的解x＝log34．
故答案为：log34．
【点评】本题主要考查了奇函数定义的应用，还考查了指数与对数式的相互转化，属于基础题．
10．（5分）一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过 　45　 分钟，该病毒占据64MB内存（1MB＝210KB）
【答案】见试题解答内容
【分析】每过一个3分钟，所占内存是原来的2倍，故n个3分钟后，所占内存是原来的2n倍，再利用指数的运算性质可解
【解答】解：因为开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，
所以3分钟后占据内存22KB，两个3分钟后占据内存23KB，三个3分钟后占据内存24KB，
故n个3分钟后，所占内存是原来的2n倍，
则应有2n+1＝64×210＝216，∴n＝15，15×3＝45，
故答案为 45
【点评】本题是对指数函数在生活中的应用，把所学知识与日常生活联系在一起，是道基础题．
11．（5分）给出下列函数：
①y＝x2+1；②y＝﹣|x|；③；④y＝log2x．
（1）是定义在R上的偶函数；
（2）对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），有0．
其中同时满足上述两个条件的函数是 　②③　 （填序号）．
【答案】②③．
【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．
【解答】解：y＝log2x的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件．
由任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），有0，则函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，
则y＝x2+1在（0，+∞）上为增函数，不满足条件．
②y＝﹣|x|在（0，+∞）是减函数满足条件，
③当x＞0时，为减函数，满足条件．
故答案为：②③
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键，是基础题．
12．（5分）设0≤x≤2，则函数的最大值是　　 ，最小值是　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】注意到4x＝（2x）2，故可令2x＝t（1≤t≤4）转化为二次函数的最大最小值问题．
【解答】解：令2x＝t（1≤t≤4），则原式转化为：
yt2﹣3t+5（t﹣3）2，1≤t≤4，
所以当t＝3时，函数有最小值，当t＝1时，函数有最大值
故答案为：；
【点评】本题考查指数函数和二次函数的最值问题，考查换元法解题．
三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
13．（8分）计算下列各式的值：
（Ⅰ）log3；
（Ⅱ）．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）直接利用对数的运算性质进行计算即可求出答案；
（Ⅱ）利用指数的运算性质可求出答案．
【解答】解：（Ⅰ）原式．
（Ⅱ）原式．
【点评】本题考查指数与对数的运算性质，考查性质的灵活应用，属于基础题．
14．（10分）已知函数f（x）＝log2（x+1），当点（x，y）是函数f（x）图象上的点时，点是函数g（x）图像上的点．
（1）写出函数g（x）的表达式；
（2）当2g（x）﹣f（x） 0时，求x的取值范围．
【答案】（1）g（x）log2（3x+1）（x）．
（2）[0，+∞）．
【分析】（1）令m，n，则x＝3m，y＝2n，再将点（x，y）代入y＝log2（x+1）即可求解．
（2）先得到log2（3x+1）≥log2（x+1），再利用对数函数的性质求解．
【解答】解：（1）令m，n，则x＝3m，y＝2n，
由点（x，y）在y＝log2（x+1）的图象上可得2n＝log2（3m+1），故nlog2（3m+1），
又（m，n）是函数y＝g（x）的图象上的点，
故g（x）log2（3x+1）（x）．
（2）因为2g（x）﹣f（x）≥0，所以log2（3x+1）≥log2（x+1），
则，解得x≥0．
∴x的取值范围[0，+∞）．
【点评】本题考查函数解析式的求解，考查对数函数的性质，正确转化是关键．
15．（10分）已知关于x的函数y＝（m+6）x2+2（m﹣1）x+m+1恒有零点．
（1）求m的范围；
（2）若函数有两个不同零点，且其倒数之和为﹣4，求m的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）当m+6＝0时，即m＝﹣6时，满足条件．当m+6≠0时，由≥0求得m且m≠﹣6．综合可得m的范围．
（2）设x1，x2是函数的两个零点，由条件并利用一元二次方程根与系数的关系求得m的值．
【解答】解：（1）当m+6＝0时，m＝﹣6，函数为y＝﹣14x﹣5显然有零点．
当m+6≠0时，m≠﹣6，由Δ＝4（m﹣1）2﹣4（m+6）（m+1）＝﹣36m﹣20≥0，得m．
∴当m且m≠﹣6时，二次函数有零点．
综上可得，m，即m的范围为（﹣∞，]．
（2）设x1，x2是函数的两个零点，则有 x1+x2，x1x2．
∵4，即4，
∴4，解得m＝﹣3．
且当m＝﹣3时，m+6≠0，Δ＞0，符合题意，
∴m的值为﹣3．
【点评】本题主要考查函数的零点的定义，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
16．（12分）某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分）．
（1）求函数y＝f（x）的解析式；
（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
【答案】（1）y；（2）当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多．
【分析】（1）利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出该分段函数，是解决该题的关键，注意实际问题中的自变量取值范围；
（2）利用一次函数，二次函数的单调性解决该最值问题是解决本题的关键．注意自变量取值区间上的函数类型．应取每段上最大值的较大的即为该函数的最大值．
【解答】解：（1）当x≤6时，y＝50x﹣115，令50x﹣115＞0，
解得x＞2.3．
∵x∈N*，∴x≥3，∴3≤x≤6，x∈N*，
当x＞6时，y＝[50﹣3（x﹣6）]x﹣115．
令[50﹣3（x﹣6）]x﹣115＞0，有3x2﹣68x+115＜0，
上述不等式的整数解为2≤x≤20（x∈N*），
∴6＜x≤20（x∈N*）．
故y；
（2）对于y＝50x﹣115（3≤x≤6，x∈N*）．
显然当x＝6时，ymax＝185（元），
对于y＝﹣3x2+68x﹣115＝﹣3 （6＜x≤20，x∈N*）．
当x＝11时，ymax＝270（元）．
∵270＞185，
∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多．
【点评】本题考查学生的函数模型意识，注意分段函数模型的应用，将每一段的函数解析式找准相应的函数类型，利用相关的知识进行解决，是中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)