第25章 概率初步(单元培优.含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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第25章 概率初步
一、选择题
1．（3分）下列事件中，属于不可能事件的是（　　）
A．某个数的绝对值大于0
B．某个数的相反数等于它本身
C．任意一个五边形的外角和等于540°
D．长分别为3，4，6的三条线段能围成一个三角形
2．（3分）在一个不透明的袋子中装有黑球m个、白球n个、红球3个，除颜色外无其它差别，任意摸出一个球是红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）在“践行生态文明，你我一起行动”主题有奖竞赛活动中，903班共设置“生态知识、生态技能、生态习惯、生态文化”四个类别的竞赛内容，如果参赛同学抽到每一类别的可能性相同，那么小宇参赛时抽到“生态知识”的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）一袋中装有形状、大小都相同的五个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是2、3、4、5、6．现从袋中任意摸出一个小球，则摸出的小球上的数恰好是方程x2﹣5x﹣6＝0的解的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）在综合实践活动中，小明、小亮、小颖、小静四位同学用投掷图钉的方法估计针尖朝上的概率，他们的实验次数分别为20次、50次、150次、200次．其中哪位同学的实验相对科学（　　）
A．小明 B．小亮 C．小颖 D．小静
8．（3分）如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字2，1，0，﹣1，若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时，不计，重转），则记录的两个数字都是正数的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出了如图所示的频率分布折线图，则符合这一结果的试验可能是（　　）
A．抛掷一枚硬币，出现正面朝上
B．掷一枚正六面体骰子，向上一面的点数是3
C．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D．从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
10．（3分）在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有1，2，3，4四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙玩猜数字游戏，游戏规则如下：甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m；再由乙从袋中剩下的小球中任意摸出一个，将小球上的数字记为n．如果满足m与n的和为偶数，则称甲、乙两人“心有灵犀”，则甲、乙两人“心有灵犀”的概率是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2分）袋中装有除颜色外其余都相同的8个红球和6个白球．从袋中任意摸出一个球，则摸出的球是白球的概率为 　 　 ．
12．（2分）在一个不透明的袋子中装有除了颜色外其余均相同的8个小球，其中红球3个，黑球5个，若再放入m个一样的黑球并摇匀，此时，随机摸出一个球是黑球的概率等于，则m的值为 　 　 ．
13．（2分）盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字2，3，4，从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是 　 　 ．
14．（2分）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是 　 　 ．
15．（2分）现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6，同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的而数字为掷得的结果，那么所得结果之积为12的概率是　 　 ．
16．（2分）从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率　 　 ．
17．（2分）对于 ABCD，从以下五个关系式中任取一个作为条件：①AB＝BC；②∠BAD＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD；⑤∠DAB＝∠ABC，能判定 ABCD是矩形的概率是　 　 ．
18．（2分）如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，小球只在点阵中的小正方形ABCD内自由滚动时，则小球停留在阴影区域的概率为　 　 ．
三、解答题
19．（10分）只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都表示为两个素数的和”．如20＝3+17．
（1）从7、11、13、17这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是 　 　 ．
（2）从7、11、13、17这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于24的概率．
20．（8分）图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字1，2，3，4，图②是一个正六边形棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的A点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．
（1）随机掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和共有几种情况？请一一写出；
（2）随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点C处的概率．
21．（8分）有4张印有“青”、“山”、“绿”、“水”字样的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同），放在一个不透明的盒子中，将卡片洗匀．
（1）从盒子中任意取出一张卡片，恰好取出印有“青”字的卡片的概率为 　 　 ；
（2）先从盒子中任意取出一张卡片，记录后放回并搅匀，再从其中任意取出一张卡片，求取出的两张卡片中，至少有1张印有“青”字的卡片的概率（请画树状图或列表等方法求解）．
22．（8分）如图是2个可以随机转动的转盘，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在两个扇形的交线上时，视为指针向右边的扇形）．
（1）用树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果；
（2）求两个数字的积为偶数的概率．
23．（10分）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
（1）甲同学随机选择两天，请用画树状图（或列表）的方法求其中有一天是星期二的概率？
（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是　 　 ．
24．（10分）小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字1，2，3，4的4个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同．从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字．若两次数字差的绝对值小于2，则小明获胜，否则小刚获胜．这个游戏对两人公平吗？请说明理由．
25．（10分）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴﹣3和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动．
①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；
②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；
③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．
（1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率P；
（2）从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对n次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值；
（3）从如图的位置开始，若进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接写出k的值．
第25章 概率初步
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）下列事件中，属于不可能事件的是（　　）
A．某个数的绝对值大于0
B．某个数的相反数等于它本身
C．任意一个五边形的外角和等于540°
D．长分别为3，4，6的三条线段能围成一个三角形
【答案】C
【分析】直接利用随机事件以及确定事件的定义分析得出答案．
【解答】解：A、某个数的绝对值大于0，是随机事件，故此选项错误；
B、某个数的相反数等于它本身，是随机事件，故此选项错误；
C、任意一个五边形的外角和等于540°，是不可能事件，故此选项正确；
D、长分别为3，4，6的三条线段能围成一个三角形，是必然事件，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了随机事件以及确定事件，正确把握相关定义是解题关键．
2．（3分）在一个不透明的袋子中装有黑球m个、白球n个、红球3个，除颜色外无其它差别，任意摸出一个球是红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用红球的个数除以球的总个数即可得．
【解答】解：∵袋子中一共有（m+n+3）个小球，其中红球有3个，
∴任意摸出一个球是红球的概率是，
故选：B．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
3．（3分）在“践行生态文明，你我一起行动”主题有奖竞赛活动中，903班共设置“生态知识、生态技能、生态习惯、生态文化”四个类别的竞赛内容，如果参赛同学抽到每一类别的可能性相同，那么小宇参赛时抽到“生态知识”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用概率公式计算得出答案．
【解答】解：∵共设置“生态知识、生态技能、生态习惯、生态文化”四个类别的竞赛内容，参赛同学抽到每一类别的可能性相同，
∴小宇参赛时抽到“生态知识”的概率是：．
故选：B．
【点评】此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键．
4．（3分）正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率．
【解答】解：如图，连接PA、PB、OP；
则S半圆O，S△ABP2×1＝1，
由题意得：图中阴影部分的面积＝4（S半圆O﹣S△ABP）
＝4（1）＝2π﹣4，
∴米粒落在阴影部分的概率为，
故选：A．
【点评】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积，难度不大．
5．（3分）一袋中装有形状、大小都相同的五个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是2、3、4、5、6．现从袋中任意摸出一个小球，则摸出的小球上的数恰好是方程x2﹣5x﹣6＝0的解的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先求出方程x2﹣5x﹣6＝0的解，再根据概率公式求出答案即可．
【解答】解：方程x2﹣5x﹣6＝0的解为x1＝6，x2＝﹣1，
则数字2、3、4、5、6中只有6是该方程的解，
故摸出的小球上的数恰好是方程x2﹣5x﹣6＝0的解的概率是，
故选：A．
【点评】此题考查概率的求法以及因式分解法求出一元二次方程的解，解本题的关键要掌握：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）．
6．（3分）一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【解答】解：列表得：
黑 白 白
黑 （黑，黑） （黑，白） （黑，白）
白 （白，黑） （白，白） （白，白）
白 （白，黑） （白，白） （白，白）
∵共9种等可能的结果，两次都是黑色的情况有1种，
∴两次摸出的球都是黑球的概率为，
故选：D．
【点评】本题考查了列表法与树状图法的知识，解决本题时采用了两个独立事件同时发生的概率等于两个独立事件单独发生的概率的积，难度不大．
7．（3分）在综合实践活动中，小明、小亮、小颖、小静四位同学用投掷图钉的方法估计针尖朝上的概率，他们的实验次数分别为20次、50次、150次、200次．其中哪位同学的实验相对科学（　　）
A．小明 B．小亮 C．小颖 D．小静
【答案】D
【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值．
【解答】解：根据模拟实验的定义可知，实验相对科学的是次数最多的小静．
故选：D．
【点评】考查了利用频率估计概率，用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
8．（3分）如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字2，1，0，﹣1，若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时，不计，重转），则记录的两个数字都是正数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个数字都是正数的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画出树状图如图所示，
由图可知，共有16种等可能的结果，其中两个数字都是正数的结果有4种，
∴两个数字都是正数的概率为．
故选：C．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复、不遗漏地列出所有可能的结果；列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
9．（3分）某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出了如图所示的频率分布折线图，则符合这一结果的试验可能是（　　）
A．抛掷一枚硬币，出现正面朝上
B．掷一枚正六面体骰子，向上一面的点数是3
C．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D．从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
【答案】D
【分析】利用折线统计图可得出试验的频率在0.33左右，进而得出答案．
【解答】解：A、抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为0.5，故本选项不符合题意；
B、掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上为，故本选项不符合题意；
C、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃，故本选项不符合题意；
D、从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，正确求出各试验的概率是解题关键．
10．（3分）在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有1，2，3，4四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙玩猜数字游戏，游戏规则如下：甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m；再由乙从袋中剩下的小球中任意摸出一个，将小球上的数字记为n．如果满足m与n的和为偶数，则称甲、乙两人“心有灵犀”，则甲、乙两人“心有灵犀”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先列表得出所有等可能的情况数，再找出数字之和为偶数的情况数，即可求出所求概率．
【解答】解：列表如下：
1 2 3 4
1 ﹣﹣﹣ （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） ﹣﹣﹣ （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） ﹣﹣﹣ （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） ﹣﹣﹣
所有等可能的情况有12种，两个小球上的数字和为偶数的为（3，1），（4，2），（1，3），（2，4）共4种，
则P（m与n的和为偶数），
故选：B．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
二、填空题
11．（2分）袋中装有除颜色外其余都相同的8个红球和6个白球．从袋中任意摸出一个球，则摸出的球是白球的概率为 　　 ．
【答案】．
【分析】用白球的个数除以球的总个数即可求出摸到白球的概率．
【解答】解：∵袋中装有除颜色外其余均相同的8个红球和6个白球，共有14个球，
∴从袋中任意摸出一个球，则摸出的球是白球的概率为：．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．（2分）在一个不透明的袋子中装有除了颜色外其余均相同的8个小球，其中红球3个，黑球5个，若再放入m个一样的黑球并摇匀，此时，随机摸出一个球是黑球的概率等于，则m的值为 　7　 ．
【答案】7．
【分析】由概率＝所求情况数与总情况数之比，根据随机摸出一个球是黑球的概率等于可得方程，继而求得答案．
【解答】解：根据题意得：，
解得：m＝7．
故答案为：7．
【点评】此题考查了概率公式的应用，正确记忆概率＝所求情况数与总情况数之比是解题关键．
13．（2分）盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字2，3，4，从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是 　　 ．
【答案】．
【分析】列表法求出概率即可．
【解答】解：由题意，列表如下：
2 3 4
2 5 6
3 5 7
4 6 7
共有6种等可能的结果，其中和为奇数的结果有4种，
∴两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是；
故答案为：．
【点评】本题考查列表法求概率．熟练掌握列表法求概率，是解题的关键．注意放回和不放回的区别．
14．（2分）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是 　　 ．
【答案】．
【分析】由题意可知，两次共有4种等可能结果，其中蚂蚁获得食物的有2种结果，
【解答】解：观察图可得：第一次选择，它有2种路径；第二次选择，每次又都有2种路径；
∴两次共有4种等可能结果，其中蚂蚁获得食物的有2种结果，
∴蚂蚁获得食物的概率是，
故答案为：．
【点评】此题考查了树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（2分）现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6，同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的而数字为掷得的结果，那么所得结果之积为12的概率是　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出两数之积为12的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有36种等可能的结果数，其中两数之积为12的结果数为4，
所以所得结果之积为12的概率．
故答案为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
16．（2分）从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲被选中的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，甲被选中的有4种情况，
∴甲被选中的概率为：．
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．（2分）对于 ABCD，从以下五个关系式中任取一个作为条件：①AB＝BC；②∠BAD＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD；⑤∠DAB＝∠ABC，能判定 ABCD是矩形的概率是　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意可知添加②③⑤可以判断平行四边形是矩形，求出概率即可．
【解答】解：由题意可知添加②③⑤可以判断平行四边形是矩形，
∴能判定 ABCD是矩形的概率是，
故答案为．
【点评】本题考查概率公式、矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．（2分）如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，小球只在点阵中的小正方形ABCD内自由滚动时，则小球停留在阴影区域的概率为　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】如图所示，AD与直线的交点为E，AB与直线的交点为F，分别求出AE、AF所占边长的比例即可解答．
【解答】解：如图所示，AD与直线的交点为E，AB与直线的交点为F，
根据题意可知，
根据相似三角形的性质可得，
∴AB，
∴，
∴小球停留在阴影区域的概率为：1．
故答案为：
【点评】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率＝相应的面积与总面积之比．
三、解答题
19．（10分）只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都表示为两个素数的和”．如20＝3+17．
（1）从7、11、13、17这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是 　　 ．
（2）从7、11、13、17这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于24的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）列表得出共有12种等可能的情况，其中抽到的两个素数之和等于24的有4种情况，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）从7、11、13、17这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：
7 11 13 17
7 * 18 20 24
11 18 * 24 28
13 20 24 * 30
17 24 28 30 *
共有12种等可能的情况，其中抽到的两个素数之和等于24的有4种情况，
∴抽到的两个素数之和等于24的概率为．
【点评】此题考查的是用列表法求概率以及数学常识．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（8分）图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字1，2，3，4，图②是一个正六边形棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的A点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．
（1）随机掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和共有几种情况？请一一写出；
（2）随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点C处的概率．
【答案】（1）6，7，8，9；
（2）．
【分析】（1）由题意计算即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，和为14可以到达点C，有3种结果，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）随机掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和共有4种情况，
即1+2+3＝6，1+2+4＝7，3+4+1＝8，2+3+4＝9；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，和为14可以到达点C，有3种结果，
∴棋子最终跳动到点C处的概率为．
【点评】此题考查了树状图法求概率．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）有4张印有“青”、“山”、“绿”、“水”字样的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同），放在一个不透明的盒子中，将卡片洗匀．
（1）从盒子中任意取出一张卡片，恰好取出印有“青”字的卡片的概率为 　　 ；
（2）先从盒子中任意取出一张卡片，记录后放回并搅匀，再从其中任意取出一张卡片，求取出的两张卡片中，至少有1张印有“青”字的卡片的概率（请画树状图或列表等方法求解）．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16个等可能的结果，其中取出的两张卡片中，至少有1张印有“青”字的卡片的结果有7个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）从盒子中任意取出一张卡片，恰好取出印有“青”字的卡片的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
由图可知，共有16个等可能的结果，其中取出的两张卡片中，至少有1张印有“青”字的卡片的结果有7个，
∴取出的两张卡片中，至少有1张印有“青”字的卡片的概率为．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）如图是2个可以随机转动的转盘，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在两个扇形的交线上时，视为指针向右边的扇形）．
（1）用树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果；
（2）求两个数字的积为偶数的概率．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先根据题意画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由树状图得出两个数字的积为奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）画树状图得：
则共有12种等可能的结果；
（2）共有12种等可能的结果，其中两个数字的积为偶数有8种情况，
∴两个数字的积为偶数的概率是：．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（10分）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
（1）甲同学随机选择两天，请用画树状图（或列表）的方法求其中有一天是星期二的概率？
（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是　　 ．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由树状图得出共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，由概率公式即可得出结果；
（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；其中有一天是星期二的结果有2个，由概率公式即可得出结果．
【解答】解：（1）把星期一、星期二、星期三、星期四分别记为：1、2、3、4，
画树状图如图所示：
由树状图可知，共有12个等可能的结果，甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的结果有6个，
∴甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为；
（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；
其中有一天是星期二的结果有2个，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），
∴乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是，
故答案为：．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．解题的关键是根据题意列表或画树状图，注意列表法与树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．（10分）小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字1，2，3，4的4个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同．从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字．若两次数字差的绝对值小于2，则小明获胜，否则小刚获胜．这个游戏对两人公平吗？请说明理由．
【答案】不公平．
理由：列表如下：
1 2 3 4
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4）
所有等可能的情况有16种，其中两次数字差的绝对值小于2的情况有（1，1），（2，1），（1，2），（2，2），（3，2），（2，3），（3，3），（4，3），（3，4），（4，4）共10种，
故小明获胜的概率为：，则小刚获胜的概率为：，
∵，
∴这个游戏对两人不公平．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次数字差的绝对值小于2的情况数，分别求出两人获胜的概率，比较即可得到游戏公平与否．
【解答】解：这个游戏对双方不公平．
理由：列表如下：
1 2 3 4
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4）
所有等可能的情况有16种，其中两次数字差的绝对值小于2的情况有（1，1），（2，1），（1，2），（2，2），（3，2），（2，3），（3，3），（4，3），（3，4），（4，4）共10种，
故小明获胜的概率为：，则小刚获胜的概率为：，
∵，
∴这个游戏对两人不公平．
【点评】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
25．（10分）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴﹣3和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动．
①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；
②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；
③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．
（1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率P；
（2）从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对n次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值；
（3）从如图的位置开始，若进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接写出k的值．
【答案】（1）．
（2）m＝25﹣6n，n＝4．
（3）k＝3或5．
【分析】（1）利用概率公式计算即可．
（2）根据题意可知乙答了10次，答对了n次，则打错了（10﹣n）次，再根据平移的规则推算出结果即可；
（3）刚开始的距离是8，根据三种情况算出缩小的距离，即可算出缩小的总距离，分别除以2即可得到结果．
【解答】解：（1）∵经过第一次移动游戏，甲的位置停留在正半轴上，
∴必须甲对乙错，
因为一共有四种情形，都对或都错，甲对乙错，甲错乙对，
∴P甲对乙错．
（2）根据题意可得，n次答对，向西移动4n，（10﹣n）次答错，向东移了2（10﹣n），
∴m＝5﹣4n+2（10﹣n）＝25﹣6n．
n＝4时，离原点最近．
（3）起初，甲乙的距离是8，
易知，当甲乙一对一错时，二者之间距离缩小2，
当甲乙同时答对答错时，二者之间的距离缩小2，
∴当进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位时，共缩小了6个单位或10个单位，
∴6÷2＝3或10÷2＝5，
∴k＝3或k＝5．
【点评】本题考查概率公式，数轴，代数式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
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