第21章 一元二次方程(单元培优.含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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第21章 一元二次方程
一、选择题
1．一元二次方程x2﹣5x+3＝0的二次项系数是（　　）
A．3 B．2 C．﹣2 D．1
2．下列式子是一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣2x﹣3 B．x2+1＝y
C．5﹣x（x﹣1）＝5 D．2x﹣1＝0
3．下列将一元二次方程（x+2）（x﹣3）＝5化成一般形式正确的是（　　）
A．x2+x﹣11＝0 B．x2﹣x﹣11＝0 C．x2﹣x﹣6＝0 D．x2+x﹣6＝0
4．方程4x2﹣12x＝3的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
5．若a是方程x2+3x﹣1＝0的一个根，则a2+3a+2022＝（　　）
A．﹣2021 B．2023 C．2021 D．2022
6．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧．已知第一天票房约为2亿元，前三天票房累计约10亿元．若每天票房的增长率都为x，依题意可列方程为（　　）
A．2（1+x）＝10
B．2（1+x）2＝10
C．2+2（1+x）2＝10
D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝10
7．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≤2且k≠1 B．k＜2且k≠1 C．k≤2 D．k＜2
8．△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2﹣8x+15＝0的根，则△ABC的周长是（　　）
A．8 B．10 C．8或10 D．7
9．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？依题意得，长比宽多（　　）步．
A．15 B．12 C．9 D．6
10．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于（　　）
A．0.5 cm B．1 cm C．1.5 cm D．2 cm
二、填空题
11．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有实数根，则k的取值范围是 　 　 ．
12．若一元二次方程x2﹣6x+1＝0可以配成（x+p）2+q＝0的形式，则代数式p+q的值为 　 　 ．
13．关于x的方程x2+px+q＝0的两个根分别为﹣1、4，则p+q的值为　 　 ．
14．如图是一个数值运算的程序，若输出y的值为2．则输入的值 　 　 ．
15．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{1，3}＝3，按照这个规定，方程Max{1，x}＝x2﹣6的解为 　 　 ．
三、解答题
16．用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣8x﹣1＝0；
（2）2x2﹣4x﹣5＝0；
（3）（y﹣1）2+2y（1﹣y）＝0．
17．已知关于x的一元二次方程：2x2+（m﹣2）x﹣m＝0．
（1）求证：不论m为何实数，方程总有实数根；
（2）当m＝﹣7时，此方程的两个根分别是菱形ABCD两条对角线长，求菱形ABCD的面积．
18．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
19．如图，某城建部门计划在新修的城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为1200m2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为50m，宽为40m．
（1）求通道的宽度；
（2）某公司希望用80万元的承包金额承揽修建广场的工程，城建部门认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以51.2万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
20．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售 　 　 件，每件盈利 　 　 元；（用x的代数式表示）
（2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元；
（3）平均每天盈利1300元，可能吗？请说明理由．
21．探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次．
（1）若参加聚会的人数为3，则共握手　 　 次；若参加聚会的人数为6，则共握手　 　 次；
（2）若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手　 　 次；
（3）若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数．
拓展：
嘉嘉给琪琪出题：
“若在直角∠AOB的内部由顶点O引出m条射线（不含OA、OB边），角的总数为20，求m的值．”
琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20．”琪琪的思考对吗？若不对，请求出m的值；若对，请说明理由．
第21章 一元二次方程
参考答案与试题解析
一、选择题
1．一元二次方程x2﹣5x+3＝0的二次项系数是（　　）
A．3 B．2 C．﹣2 D．1
【答案】D
【分析】根据一元二次方程系数的定义解答即可．
【解答】解：方程x2﹣5x+3＝0的二次项系数为1．
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2．下列式子是一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣2x﹣3 B．x2+1＝y
C．5﹣x（x﹣1）＝5 D．2x﹣1＝0
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、x2﹣2x﹣3是代数式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．
3．下列将一元二次方程（x+2）（x﹣3）＝5化成一般形式正确的是（　　）
A．x2+x﹣11＝0 B．x2﹣x﹣11＝0 C．x2﹣x﹣6＝0 D．x2+x﹣6＝0
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），可得答案．
【解答】解：去括号，得
x2﹣x﹣6＝5，
移项，合并同类项，得
x2﹣x﹣11＝0，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
4．方程4x2﹣12x＝3的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
【答案】A
【分析】求出一元二次方程根的判别式的值，进而可得出结论．
【解答】解：原方程可化为4x2﹣12x﹣3＝0，
∵Δ＝（﹣12）2﹣4×4×（﹣3）＝144+48＝192＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
5．若a是方程x2+3x﹣1＝0的一个根，则a2+3a+2022＝（　　）
A．﹣2021 B．2023 C．2021 D．2022
【答案】B
【分析】由a是方程x2+3x﹣1＝0的一个根可得a2+3a＝1，再将其整体代入所求式子中计算即可求解．
【解答】解：∵a是方程x2+3x﹣1＝0的一个根，
∴a2+3a﹣1＝0，
∴a2+3a＝1，
∴a2+3a+2022＝1+2022＝2023．
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解，解题关键是熟知：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
6．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧．已知第一天票房约为2亿元，前三天票房累计约10亿元．若每天票房的增长率都为x，依题意可列方程为（　　）
A．2（1+x）＝10
B．2（1+x）2＝10
C．2+2（1+x）2＝10
D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝10
【答案】D
【分析】根据第一天的票房收入及前三天的票房收入，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝10．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≤2且k≠1 B．k＜2且k≠1 C．k≤2 D．k＜2
【答案】A
【分析】先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，
∴，
解得k≤2且k≠1．
故选：A．
【点评】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的定义，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系式解答此题的关键．
8．△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2﹣8x+15＝0的根，则△ABC的周长是（　　）
A．8 B．10 C．8或10 D．7
【答案】A
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝3，x2＝5，再根据三角形三边的关系可判断△ABC的第三边长为3，然后计算△ABC的周长．
【解答】解：∵x2﹣8x+15＝0，
∴（x﹣3）（x﹣5）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝3，x2＝5，
∵2+3≠5，
∴△ABC的第三边长为3，
∴△ABC的周长为2+3+3＝8．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．
9．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？依题意得，长比宽多（　　）步．
A．15 B．12 C．9 D．6
【答案】D
【分析】设长为x步，则宽为（60﹣x）步，根据矩形田地的面积为891平方步，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合长不短于宽，可确定矩形田地的长，再将其代入x﹣（60﹣x）中即可求出结论．
【解答】解：设长为x步，则宽为（60﹣x）步，
依题意得：x（60﹣x）＝891，
解得：x1＝33，x2＝27．
又∵x≥60﹣x，
∴x≥30，
∴x＝33，
∴x﹣（60﹣x）＝33﹣（60﹣33）＝6，
∴长比宽多6步．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于（　　）
A．0.5 cm B．1 cm C．1.5 cm D．2 cm
【答案】B
【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝2﹣x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．
【解答】解：设AC交A′B′于H，
∵∠A＝45°，∠D＝90°
∴△A′HA是等腰直角三角形
设AA′＝x cm，则阴影部分的底长为x cm，高A′D＝2﹣x（cm）
∴x （2﹣x）＝1
∴x＝1
即AA′＝1cm．
故选：B．
【点评】此题考查正方形的性质，解决本题关键是抓住平移后图形的特点，利用方程方法解题．
二、填空题
11．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有实数根，则k的取值范围是 　k≥﹣1　 ．
【答案】k≥﹣1．
【分析】根据方程有实数根得出△≥0，据此列出不等式求解即可求出k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有实数根，
∴Δ＝22﹣4×1×（﹣k）≥0，
解得k≥﹣1，
故答案为：k≥﹣1．
【点评】此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0 方程没有实数根是解决问题的关键．
12．若一元二次方程x2﹣6x+1＝0可以配成（x+p）2+q＝0的形式，则代数式p+q的值为 　﹣11　 ．
【答案】﹣11．
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤得出p、q的值，据此可得答案．
【解答】解：∵x2﹣6x+1＝0，
∴x2﹣6x＝﹣1，
∴x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8，
∴p＝﹣3，q＝﹣8，
则p+q＝﹣3﹣8＝﹣11，
故答案为：﹣11．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
13．关于x的方程x2+px+q＝0的两个根分别为﹣1、4，则p+q的值为　﹣7　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据根与系数的关系得到﹣1+4＝﹣p，﹣1×4＝q，然后解方程即可得到p和q的值，即可得到结论．
【解答】解：根据题意得﹣1+4＝﹣p，﹣1×4＝q，
所以p＝﹣3，q＝﹣4．
故p+q＝﹣7．
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1 x2．
14．如图是一个数值运算的程序，若输出y的值为2．则输入的值 　　 ．
【答案】．
【分析】根据程序框图列出方程，求解即可．
【解答】解：设输入为x，根据题意得：
，
解得x．
故答案为：．
【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题关键是读懂程序并根据题意正确列方程，然后准确解方程．
15．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{1，3}＝3，按照这个规定，方程Max{1，x}＝x2﹣6的解为 　x＝3或　 ．
【答案】x＝3或．
【分析】分类讨论x的范围，利用题中的新定义，列出方程，解方程即可．
【解答】解：当x＞1时，方程为：x2﹣6＝x，
即x2﹣x﹣6＝0，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝3；
∴此时x＝3，
当x＜1时，方程为：x2﹣6＝1，
解得：（舍去），，
∴．
故答案为：x＝3或．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，新定义实数运算，解题的关键是理解题意，列出方程求解．
三、解答题
16．用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣8x﹣1＝0；
（2）2x2﹣4x﹣5＝0；
（3）（y﹣1）2+2y（1﹣y）＝0．
【答案】（1），；
（2），；
（3）y1＝1，y2＝﹣1．
【分析】（1）方程用配方法求解即可；
（2）方程利用公式法求解即可；
（3）方程利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣8x﹣1＝0，
x2﹣8x＝1，
x2﹣8x+16＝1+16，
（x﹣4）2＝17，
x﹣4，
∴，；
（2）2x2﹣4x﹣5＝0，
∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣5，
∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣5）＝56＞0，
∴x，
即，；
（3）（y﹣1）2+2y（1﹣y）＝0，
（1﹣y）2+2y（1﹣y）＝0，
（1﹣y）（1﹣y+2y）＝0，
1﹣y＝0或1﹣y+2y＝0，
解得y1＝1，y2＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握配方法，因式分解法以及求根公式是解答本题的关键．
17．已知关于x的一元二次方程：2x2+（m﹣2）x﹣m＝0．
（1）求证：不论m为何实数，方程总有实数根；
（2）当m＝﹣7时，此方程的两个根分别是菱形ABCD两条对角线长，求菱形ABCD的面积．
【答案】（1）见解答；
（2）．
【分析】（1）先计算判别式的值，再利用配方法得到Δ＝（m+2）2，则△≥0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）当m＝﹣7时，方程为2x2﹣9x+7＝0，设方程的两根分别为x1，x2，则根据根与系数关系可得x1x2，
然后根据菱形的面积公式求解．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（m﹣2）2﹣4×2（﹣m）
＝m2﹣4m+4+8m
＝（m+2）2≥0，
∴不论m为何实数，方程总有实数根；
（2）解：当m＝﹣7时，方程为2x2﹣9x+7＝0，
设方程的两根分别为x1，x2，
由根与系数关系得x1x2，
S菱形ABCDx1x2．
所以菱形ABCD的面积是．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式和菱形的性质．
18．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）△ABC是等腰三角形，理由见解析；
（2）△ABC是直角三角形，理由见解析．
【分析】（1）直接将x＝﹣1代入方程，得出关于a，c的等式，进而判断△ABC的形状；
（2）利用根的判别式得出关于a，b，c的等式，然后判断△ABC的形状．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵x＝﹣1一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0的根，
∴（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，
a+b﹣2c+b﹣a＝0，
b﹣c＝0，
∴b＝c，
∴△ABC是等腰三角形．
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查的是根的判别式及一元二次方程，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
19．如图，某城建部门计划在新修的城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为1200m2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为50m，宽为40m．
（1）求通道的宽度；
（2）某公司希望用80万元的承包金额承揽修建广场的工程，城建部门认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以51.2万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设通道的宽度为x米．由题意（50﹣2x）（40﹣2x）＝1500，解方程即可；
（2）可先列出第一次降价后承包金额的代数式，再根据第一次的承包金额列出第二次降价的承包金额的代数式，然后令它等于51.2即可列出方程．
【解答】解：（1）设通道宽度为x m，
依题意得（50﹣2x）（40﹣2x）＝1200，即x2﹣45x+200＝0
解得x1＝5，x2＝40（舍去）
答：通道的宽度为5m．
（2）设每次降价的百分率为x，
依题意得80（1﹣x）2＝51.2
解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（舍去）
答：每次降价的百分率为20%．
【点评】本题考查一元二次方程及分式方程的应用，解题的关键是正确寻找等量关系，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
20．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售 　（20+2x）　 件，每件盈利 　（40﹣x）　 元；（用x的代数式表示）
（2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元；
（3）平均每天盈利1300元，可能吗？请说明理由．
【答案】（1）（20+2x），（40﹣x）；
（2）每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元；
（3）不可能每天盈利1300元．
【分析】（1）若每件童装降价x元，则每天可销售（20+2x）件，每件盈利（120﹣x﹣80）＝（40﹣x）元；
（2）设每件童装降价y元，则每件盈利（40﹣y）元，每天的销售量为（20+2y）件，利用每天的销售利润＝每件的利润×每天的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，再结合“为了扩大销售量，尽快减少库存”，即可确定每件童装降低的价格；
（3）设每件童装降价m元，则每件盈利（40﹣m）元，每天的销售量为（20+2m）件，利用每天的销售利润＝每件的利润×每天的销售量，即可得出关于m的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣100＜0，即可得出不可能每天盈利1300元．
【解答】解：（1）若每件童装降价x元，则每天可销售（20+2x）件，每件盈利（120﹣x﹣80）＝（40﹣x）元．
故答案为：（20+2x）；（40﹣x）．
（2）设每件童装降价y元，则每件盈利（40﹣y）元，每天的销售量为（20+2y）件，
依题意得：（40﹣y）（20+2y）＝1200，
整理得：y2﹣30y+200＝0，
解得：y1＝10，y2＝20．
又∵为了扩大销售量，尽快减少库存，
∴y＝20．
答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元．
（3）不可能，理由如下：
设每件童装降价m元，则每件盈利（40﹣m）元，每天的销售量为（20+2m）件，
依题意得：（40﹣m）（20+2m）＝1300，
整理得：m2﹣30m+250＝0．
∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×250＝﹣100＜0，
∴方程无实数解，即不可能每天盈利1300元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
21．探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次．
（1）若参加聚会的人数为3，则共握手　3　 次；若参加聚会的人数为6，则共握手　15　 次；
（2）若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手　n（n﹣1）　 次；
（3）若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数．
拓展：
嘉嘉给琪琪出题：
“若在直角∠AOB的内部由顶点O引出m条射线（不含OA、OB边），角的总数为20，求m的值．”
琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20．”琪琪的思考对吗？若不对，请求出m的值；若对，请说明理由．
【答案】（1）3，15；
（2）；
（3）10；
拓展：不可能有20个角．
【分析】探究：（1）根据握手次数＝参会人数×（参会人数﹣1）÷2，即可求出结论；
（2）由（1）的结论结合参会人数为n，即可得出结论；
（3）由（2）的结论结合共握手45次，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
拓展：根据题意即可得出关于m的一元二次方程，解之由该方程的解均不为整数可得出琪琪的思考对．
【解答】解：（1）参加聚会的人数为3，则共握手3×2＝3（次）；
若参加聚会的人数为6，则共握手6×5＝15（次）；
故答案为：3，15；
（2）参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手n（n﹣1）次．
故答案为：；
（3）设有x 人参加聚会，根据题意得，
，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去），
答：参加聚会的有10人．
拓展：解：琪琪的思考对，理由如下：
设从点O共引出m条射线，若共有20个角，
则有：（m+1）（m+2）＝20，
解得：m（负值舍去），
∴m与m为正整数矛盾，
所以不可能有20个角．
【点评】本题考查了一元二次次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含n的代数式表示出握手总数；（3）（拓展）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
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