第24章 圆(单元培优.含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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第24章 圆
一、选择题
1．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC＝30°，则弦AB的长为（　　）
A． B．5 C． D．5
2．如图，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC＝50°，则∠BCD等于（　　）
A．65° B．115° C．120° D．125°
4．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，AD＝5，则CD的长度为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．如图，已知⊙O过正方形ABCD的顶点A、B，且与CD边相切，若正方形的边长为4，则⊙O的半径为（　　）
A． B．5 C． D．
7．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA＝4，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B．2 C． D．2
8．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C，D为半径OA，OB的中点，点E为的中点，连接CE，DE，若OA＝4，则阴影部分的面积为（　　）
A．2π﹣2 B．4π﹣4 C．2π+2 D．4π+4
二、填空题
9．如图，已知过A、C、D三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，如果∠A＝57°，那么∠ABC＝　 　 °．
10．如图，在⊙O中，∠ACB＝∠D＝60°，AC＝3，则⊙O的直径为　 　 ．
11．已知线段PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C为PB延长线上一点，CD⊥PC于C，线段CD与⊙O相切于点D，且PA＝4，PC＝6，则⊙O的半径R＝　 　 ．
12．如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PM切⊙O于点M．若OA＝a，PMa，PB＝2﹣a，则△PMB的周长等于　 　 ．
13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙O的半径为3cm，∠A＝110°，则劣弧的长为 　 　 cm．
14．如图所示，AB、AC切⊙O于B、C，D为⊙O上一点，且∠A＝2∠D，若BC为10，则AB的长为　 　 ．
三、解答题
15．如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）当AB＝5，AC＝8时，求cos∠E的值．
16．如图， ABCD中，⊙O过点A、C、D，交BC于E，连接AE，∠BAE＝∠ACE．
（1）求证：AE＝CD；
（2）求证：直线AB是⊙O的切线．
17．如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．
（1）求证：OP⊥CD；
（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC交于点M、N．
（1）过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；
（2）连接MD，求证：MD＝NB
19．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．
（1）求证：EA是⊙O的切线；
（2）判断BD与CF的数量关系？说明理由．
20．已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝40°．
（1）如图1，若D为弧AB的中点，求∠ABC和∠ABD的度数；
（2）如图2，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的度数．
第24章 圆
参考答案与试题解析
一、选择题
1．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC＝30°，则弦AB的长为（　　）
A． B．5 C． D．5
【答案】D
【分析】连接OC、OA，利用圆周角定理得出∠AOC＝60°，再利用垂径定理得出AB即可．
【解答】解：连接OC、OA，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵AB为弦，点C为的中点，
∴OC⊥AB，
在Rt△OAE中，OA＝5，∠AOE＝60°，
∴∠OAE＝30°，OE＝0.5OA＝2.5，
由勾股定理得，AE，
∴AB，
故选：D．
【点评】此题考查圆周角定理，关键是利用圆周角定理得出∠AOC＝60°．
2．如图，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】连接OA，先根据⊙O的直径CD＝10求出半径OA的长，再根据垂径定理求出AM的长，在Rt△AOM中根据勾股定理即可求出OM的长，根据DM＝OD+OM即可得出结论．
【解答】解：连接OA，如图所示：
∵⊙O的直径CD＝10，
∴OA＝5，
∵弦AB＝8，AB⊥CD，
∴AMAB8＝4，
在Rt△AOM中，
OM3，
∴DM＝OD+OM＝5+3＝8；
故选：D．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
3．如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC＝50°，则∠BCD等于（　　）
A．65° B．115° C．120° D．125°
【答案】B
【分析】首先连接BD，由点D是的中点，∠ABC＝50°，可求得∠ABD的度数，又由AB是半圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB的度数，继而求得∠A的度数，然后由圆的内接四边形的性质，求得∠DCB的度数．
【解答】解：连接BD，
∵点D是的中点，
∴，
∴∠ABD＝∠CBD∠ABC50°＝25°，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝65°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝115°．
故选：B．
【点评】此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
4．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．
【解答】解：过O作OC⊥AB于C，
∵OC过O，
∴AC＝BCAB＝12，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC5．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．
5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，AD＝5，则CD的长度为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】连接OD，由圆周角定理可得∠DOC＝60°，根据三角函数可求OD的长，即可求AB的长．
【解答】解：连接OD，
∵∠DOC＝2∠A＝2×30°，
∴∠DOC＝60°，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC＝90°，∠C＝30°，
∴AD＝DC＝5，
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
6．如图，已知⊙O过正方形ABCD的顶点A、B，且与CD边相切，若正方形的边长为4，则⊙O的半径为（　　）
A． B．5 C． D．
【答案】D
【分析】作OM⊥AB于点M，连接OB，在直角△OBM中根据勾股定理即可得到一个关于半径的方程，即可求得．
【解答】解：作OM⊥AB于点M，连接OB，
设圆的半径是x，
则在直角△OBM中，OM＝4﹣x，BM＝2，
∵OB2＝OM2+BM2，
∴x2＝（4﹣x）2+4
∴x
故选：D．
【点评】本题主要考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理，在圆的有关半径、弦长、弦心距之间的计算一般要转化为直角三角形的计算．
7．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA＝4，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B．2 C． D．2
【答案】B
【分析】连接OE、AE，根据点C为OC的中点可得∠CEO＝30°，继而可得△AEO为等边三角形，求出扇形AOE的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COD的面积，再减去S空白AEC即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接OE、AE，
∵点C为OA的中点，
∴EO＝2OC，
∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，
∴△AEO为等边三角形，
∴S扇形AOE，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）
（）
＝4π﹣π2
2
故选：B．
【点评】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：S．
8．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C，D为半径OA，OB的中点，点E为的中点，连接CE，DE，若OA＝4，则阴影部分的面积为（　　）
A．2π﹣2 B．4π﹣4 C．2π+2 D．4π+4
【答案】B
【分析】根据题意和图形可以求得阴影部分的面积，从而可以解答本题．
【解答】解：连接OE，作EF⊥OA于点F，作EG⊥OB于点G，如图所示，
由题意可得，
∠AOB＝90°，∠AOE＝∠BOE＝45°，
∵OA＝4，
∴OE＝4，
∴EF＝EG＝2，
∴阴影部分的面积是：4π﹣4，
故选：B．
【点评】本题考查扇形的面积的计算，解答本题的关键是明确扇形面积的计算公式，利用数形结合的思想解答．
二、填空题
9．如图，已知过A、C、D三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，如果∠A＝57°，那么∠ABC＝　22　 °．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接EC、ED，如图，设∠B＝x，根据等腰三角形的性质由EA＝EC得∠A＝∠ACE，再根据三角形内角和定理得到∠4＝180°﹣2∠A＝66°，而DB＝DE，则∠1＝∠B＝x，利用三角形外角性质得∠2＝∠1+∠B＝2x，再利用EC＝ED得到∠3＝∠2＝2x，然后根据三角形外角性质得到2x+x＝66°，即得x＝22°．
【解答】解：连接EC、ED，如图，设∠B＝x，
∵EA＝EC，
∴∠A＝∠ACE，
∴∠4＝180°﹣2∠A＝180°﹣2×57°＝66°，
∵DB＝DE，
∴∠1＝∠B＝x，
∴∠2＝∠1+∠B＝2x，
而EC＝ED，
∴∠3＝∠2＝2x，
∵∠4＝∠3+∠B，
∴2x+x＝66°，即得x＝22°，
即∠ABC＝22°．
故答案为22．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
10．如图，在⊙O中，∠ACB＝∠D＝60°，AC＝3，则⊙O的直径为　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】如图，作OE⊥BC于E，连接OC．在Rt△OEC中，根据sin60°计算即可．
【解答】解：如图，作OE⊥BC于E，连接OC．
∵∠A＝∠D＝60°，∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝3，
∵OE⊥BC，
∴BE＝EC，
∵∠EOC＝60°，
∴sin60°，
∴OC，
∴⊙O直径为2．
【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理、锐角三角函数、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
11．已知线段PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C为PB延长线上一点，CD⊥PC于C，线段CD与⊙O相切于点D，且PA＝4，PC＝6，则⊙O的半径R＝　2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接OB、OD，如图，根据切线长定理PB＝PA＝4，根据切线的性质得OB⊥PC，CD⊥PC，易得四边形ODCB为矩形，则OD＝BC，再利用BC＝PC﹣PB计算出BC＝2，于是得到OD＝2．
【解答】解：连接OB、OD，如图，
∵线段PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴PB＝PA＝4，OB⊥PC，
∴∠OBC＝90°，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴∠ODC＝90°，
∵CD⊥PC，
∴∠DCB＝90°，
∴四边形ODCB为矩形，
∴OD＝BC，
而BC＝PC﹣PB＝6﹣4＝2，
∴OD＝2，
即⊙O的半径R为2．
故答案为2．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了切线长定理．
12．如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PM切⊙O于点M．若OA＝a，PMa，PB＝2﹣a，则△PMB的周长等于　2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接OM，由PM为圆的切线，利用切线的性质得到PM垂直于OM，在直角三角形OPM中，利用勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出MB为斜边上的中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出MB的长，即可确定出三角形PMB的周长．
【解答】解：连接OM，
∵PM为圆O的切线，
∴OM⊥PM，即∠PMO＝90°，
在Rt△OPM中，OP＝OB+PB＝a+2﹣a＝2，OM＝OA＝a，PMa，
根据勾股定理得：OP2＝MP2+OM2，即4＝3a2+a2，
解得：a＝1，
∴MP，BP＝OB＝1，即MB为斜边上的中线，
∴MB＝1，
则△PMB的周长为2．
故答案为：2
【点评】此题考查了切线的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙O的半径为3cm，∠A＝110°，则劣弧的长为 　　 cm．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接OB、OD，首先根据圆周角定理求出∠BOD的度数，然后根据弧长公式求解．
【解答】解：连接OB、OD，
∵∠A＝110°，
∴∠C＝70°，
∴∠BOD＝140°，
则劣弧．
故答案为：．
【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是根据圆周角定理求出∠BOD的度数，注意掌握弧长公式．
14．如图所示，AB、AC切⊙O于B、C，D为⊙O上一点，且∠A＝2∠D，若BC为10，则AB的长为　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据切线的性质定理计算．
【解答】解：连接OB，OC，
根据切线的性质定理得∠ABO＝∠ACO＝90°，
∴∠A+∠BOC＝180°；
∵∠A＝2∠D，∠BOC＝2∠D，
∴∠A＝∠BOC＝90°，
∴AB＝AC＝5．
【点评】此题综合运用了切线的性质定理、切线长定理、四边形的内角和定理、圆周角定理以及勾股定理．
三、解答题
15．如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）当AB＝5，AC＝8时，求cos∠E的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接圆心和切点，利用平行，OF⊥CB可证得∠ODF＝90°；
（2）把∠E在相应的直角三角形中进行转移，求出其邻边与斜边即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，BD（1分）
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠90°，
∴BD⊥AC；（2分）
∵AB＝BC，
∴AD＝DC；（3分）
∵OA＝OB，
∴OD∥BC，（5分）
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD．
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）解：作DH⊥AB，垂足为H，则∠EDH+∠E＝90°，
又DE⊥OD，
∴∠ODH+∠EDH＝90°．
∴∠E＝∠ODH．
∵AD＝DC，AC＝8，
∴AD＝4．
在Rt△ADB中，BD3，
由三角形面积公式得：AB DH＝DA DB．
即5 DH＝3×4，DH．
在Rt△ODH中，cos∠ODH，
∴cos∠E．
【点评】当题中已有垂直时，证直线为圆的切线，通常选用平行来进行证明；而求相关角的余弦值，应根据所给条件进行适当转移，注意利用直角三角形面积的不同方式求解．
16．如图， ABCD中，⊙O过点A、C、D，交BC于E，连接AE，∠BAE＝∠ACE．
（1）求证：AE＝CD；
（2）求证：直线AB是⊙O的切线．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意可求AB＝CD，∠B＝∠ADC，根据圆的内接四边形的性质可得∠D＝∠AEB，即∠B＝∠AEB，则AE＝AB＝CD；
（2）连接AO，并延长AO交⊙O交于点F，连接EF．由题意可得∠AEF＝90°，即可得∠EAF+∠AFE＝90°，根据圆周角定理可得∠AFE＝∠ACE＝∠BAE，即可得∠BAE+∠EAF＝90°，则可证直线AB是⊙O的切线．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD，∠B＝∠ADC
∵四边形ADCE是⊙O内接四边形
∴∠ADC+∠AEC＝180°
∵∠AEC+∠AEB＝180°
∴∠ADC＝∠AEB
∴∠B＝∠AEB
∴AE＝CD
（2）如图：连接AO，并延长AO交⊙O交于点F，连接EF．
∵AF是直径
∴∠AEF＝90°
∴∠AFE+∠EAF＝90°
∵∠BAE＝∠ECA，∠AFE＝∠ACE
∴∠AFE＝∠BAE
∴∠BAE+∠EAF＝90°
∴∠BAF＝90°且AO是半径
∴直线AB是⊙O的切线
【点评】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，圆周角定理，添加恰当辅助线是本题的关键．
17．如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．
（1）求证：OP⊥CD；
（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先判断出Rt△ODP≌Rt△OCP，得出∠DOP＝∠COP，即可得出结论；
（2）先求出∠COD＝60°，得出△OCD是等边三角形，最后用锐角三角函数即可得出结论．
【解答】解：（1）连接OC，OD，
∴OC＝OD，
∵PD，PC是⊙O的切线，
∵∠ODP＝∠OCP＝90°，
在Rt△ODP和Rt△OCP中，
，
∴Rt△ODP≌Rt△OCP（HL），
∴∠DOP＝∠COP，
∵OD＝OC，
∴OP⊥CD；
（2）如图，连接OD，OC，
∴OA＝OD＝OC＝OB＝2，
∴∠OCB＝∠CBA＝70°，∠ODA＝∠OAD＝50°，
∴∠BOC＝40°，∠AOD＝80°，
∴∠COD＝180°﹣∠BOC﹣∠AOD＝60°，
∵∠ODP＝∠OCP＝90°，
∵OD＝OC，
∴△COD是等边三角形，
由（1）知，∠DOP＝∠COP＝30°，
在Rt△ODP中，OP．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，切线的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，正确作出辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC交于点M、N．
（1）过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；
（2）连接MD，求证：MD＝NB
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接ON，如图，根据斜边上的中线等于斜边的一半得到CD＝AD＝DB，则∠1＝∠B，再证明∠2＝∠B得到ON∥DB，接着根据切线的性质得到ON⊥NE，然后利用平行线的性质得到结论；
（2）连接DN，如图，根据圆周角定理得到∠CMD＝∠CND＝90°，则可判断四边形CMDN为矩形，所以DM＝CN，然后证明CN＝BN，从而得到MD＝NB．
【解答】证明：（1）连接ON，如图，
∵CD为斜边AB上的中线，
∴CD＝AD＝DB，
∴∠1＝∠B，
∵OC＝ON，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠B，
∴ON∥DB，
∵NE为切线，
∴ON⊥NE，
∴NE⊥AB；
（2）连接DN，如图，
∵CD为直径，
∴∠CMD＝∠CND＝90°，
而∠MCB＝90°，
∴四边形CMDN为矩形，
∴DM＝CN，
∵DN⊥BC，∠1＝∠B，
∴CN＝BN，
∴MD＝NB．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和直角三角形斜边上的中线．
19．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．
（1）求证：EA是⊙O的切线；
（2）判断BD与CF的数量关系？说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）如图，连接AO，根据⊙O是等边三角形ABC的外接圆，可得AO平分∠BAC，再根据AE∥BC，可得∠CAE＝∠BCA＝60°，进而可以证明EA是⊙O的切线；
（2）根据圆内接四边形的性质和等边三角形ABC可以证明△ADF为等边三角形，再证明△BAD≌△CAF，即可得BD与CF的数量关系．
【解答】解：（1）证明：如图，连接AO，
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴AO平分∠BAC，
∴，
∵AE∥BC，
∴∠CAE＝∠BCA＝60°，
∴∠OAE＝∠OAC+∠CAE＝90°，
∴OA⊥AE，
∴EA为⊙O的切线；
（2）BD＝CF，理由如下：
∵△ABC为正三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°；
∵A、B、C、D四边共圆，
∴∠ADF＝∠ABC＝60°，
∵DF＝DA，
∴△ADF为正三角形，
∴∠DAF＝60°＝∠BAC，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAF，
在△BAD与△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD＝CF．
所以BD与CF的数量关系为相等．
【点评】本题考查了切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形外接圆与外心，解决本题的关键是综合运用以上知识．
20．已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝40°．
（1）如图1，若D为弧AB的中点，求∠ABC和∠ABD的度数；
（2）如图2，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的度数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据圆周角和圆心角的关系和图形可以求得∠ABC和∠ABD的大小；
（2）根据题意和平行线的性质、切线的性质可以求得∠OCD的大小．
【解答】解：（1）如图1，连接OD，
∵AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝40°，
∴∠ACB＝90°．
∴∠ABC＝∠ACB﹣∠BAC＝90°﹣40°＝50°．
∵D为弧AB的中点，∠AOB＝180°，
∴∠AOD＝90°，
∴∠ABD＝45°；
（2）如图2，连接OD，
∵DP切⊙O于点D，
∴OD⊥DP，即∠ODP＝90°．
由DP∥AC，又∠BAC＝40°，
∴∠P＝∠BAC＝40°．
∵∠AOD是△ODP的一个外角，
∴∠AOD＝∠P+∠ODP＝130°．
∴∠ACD＝65°．
∵OC＝OA，∠BAC＝40°，
∴∠OCA＝∠BAC＝40°．
∴∠OCD＝∠ACD﹣∠OCA＝65°﹣40°＝25°．
【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
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