12.1分式培优提升训练（含答案）冀教版2025—2026学年八年级数学上册

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12.1分式培优提升训练冀教版2025—2026学年八年级数学上册
一、选择题
1．分式中，不是最简分式有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．将分式中的x，y都乘2，则分式的值（ ）
A．缩小为原来的 B．不变
C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍
3．下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若式子无意义，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．若分式的值为0，则应满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
6．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ， ， ，…，（n为正整数，且，），则用含t的式子表示的结果为（ ）
A．1 B．t C． D．
8．已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（ ）
A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13
二、填空题
9．若整数m使为正整数，则m的值为 ．
10．若分式的值为0，则的值为 ．
11．已知 ，，，，…，以此类推，则的值为 ．
12．不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为 ．
三、解答题
13．约分
(1)
(2)
(3)
14．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：
；
，
则和都是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）；
①；②；③；④
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________；
(3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？
15．用数学的眼光观察
①等式：．
②若，求代数式的值．
解：因为，所以，所以，所以．
用数学的思维思考并表达：
(1)填空：______；
(2)若，求的值；
(3)已知，求的值．
16．我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，：当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”，例如：，．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如：
；
；
(1)请根据以上信息，任写一个真分式；
(2)将分式化为整式与真分式的和的形式；
(3)如果分式的值为整数，求的整数值．
17．（1）当x取什么值时，分式的值为0；
（2）当x取什么值时，分式的值为正；
（3）当x取什么值时，分式的值为负．
18．（1）观察下列命题完成填空：
①若，则有或，
②若，则有或，
③若，则有或，
④若，则有或，
…
按规律猜想：若（括号内为 ），则有或______；
（2）若把（1）中命题改为：“若，则有或”仍然成立，猜想m，n，k应满足的等量关系式为______，并证明该命题成立；
（3）对于（2）中的m，n，k，若满足，求的值．
参考答案
一、选择题
1．B
2．B
3．D
4．C
5．A
6．B
7．C
8．C
二、填空题
9．0，1，2，5
10．
11．
12．
三、解答题
13．【解】（1）
（2）
（3）
14．【解】（1）解：①；
②；
③；
④，
①③④是“和谐分式”．
故答案为：①③④．
（2）解：
，
．
故答案为：．
（3）解：的值为整数，
当为整数时，的值也要为整数，
当或时，分式的值为整数，
或或或，
即当的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数．
15．【解】（1）解：
，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
由，
∴，
∴．
16．【解】（1）解：∵当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式”
∴分式是真分式，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）解：
；
（3）解：
=
∵分式的值为整数，x为整数，
∴或，
解得或或或，
∴当或或或时，分式的值为整数．
17．【解】解：（1）由，得，
当时，；
∴当时，分式的值为0；
（2）由分式的值为正，得与同号，
∵，
∴，
∴，
解得：
（3）由分式的值为负，得与异号，
∵，
∴，
∴，
解得：，
18．【解】解：（1）对于，等式右边分母为，分子；
对于，等式右边分母为，分子；
对于，等式右边分母为，分子；
对于，等式右边分母为，分子；
…．．
若，
故，则有或．
故答案为：4052，
（2）证明：由（1）可知，
猜想：，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
则或，
即或
（3）∵且，
将代入中，
得到：，
，
整理得：
即．
∴或．
当时，，则
当时，，则．
综上：或．
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