4.2 向心力与向心加速度 同步练习（含答案解析） (3)

4.2
向心力与向心加速度
同步练习
1．细绳一端系一物体，使物体绕另一端在光滑水平面上做匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　)
A．线速度一定时，线长容易断
B．向心加速度一定时，线短容易断
C．角速度一定时，线短容易断
D．周期一定时，线长容易断
解析：选D.v一定时，F＝m∝，即线越长，线的拉力越小，越不易断；a一定时，F＝ma，即F与l无关；
ω一定时，F＝mlω2∝l，即线长易断．
T一定时，F＝ml∝l，即线长易断．
2．一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4
m/s，转动周期为2
s，则以下结论错误的是(　　)
A．角速度为0.5
rad/s
B．转速为0.5
r/s
C．轨道半径为
m
D．加速度大小为4π
m/s2
解析：选A.已知v＝4
m/s，T＝2
s，由v＝得，r＝＝m＝m，选项C正确；由ω＝得ω＝＝π
rad/s，选项A错误；转速n＝＝
r/s，选项B正确；由a＝＝m/s2＝4π
m/s2知选项D正确．
3．如图4－2－6所示，在匀速转动的圆筒内壁上有一物体随圆筒一起转动而未滑动．若圆筒和物体以更大的角速度做匀速转动，下列说法正确的是(　　)
图4－2－6
A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大
B．物体所受弹力增大，摩擦力减小
C．物体所受弹力减小，摩擦力也减小
D．物体所受弹力增大，摩擦力不变
解析：选D.物体受力如图所示．其中f＝G，F提供物体做圆周运动的向心力，根据F＝mrω2，当ω增大时，F增大，所以，只有D是正确的．
图4－2－7
4．如图4－2－7所示，半径为R的圆盘绕过圆心的竖直轴OO′匀速转动，在距轴为r处有一竖直杆，杆上用长为L的细线悬挂一小球．当圆盘以角速度ω匀速转动时，小球也以同样的角速度做匀速圆周运动，这时细线与竖直方向夹角为θ，则小球的向心加速度大小为(　　)
A．ω2R　
B．ω2r
C．ω2Lsinθ
D．ω2(r＋Lsinθ)
解析：选D.小球运动的轨迹是水平面内的圆，如题图中虚线所示，其圆心是水平面与转轴OO′的交点，所以圆运动的半径为r＋Lsinθ，正确选项为D.
图4－2－8
5．如图4－2－8所示，在光滑的圆锥顶用长为l的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角为2θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧锥面．此时绳的张力是多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？
解析：对小球进行受力分析如图所示，根据牛顿第二定律，指向圆心的方向上，即x方向上有：
T·sin
θ－N·cos
θ＝mω2r①
y方向上应有：
N·sin
θ＋T·cos
θ－mg＝0②
因为r＝l·sin
θ③
由①②③式可得：T＝mgcos
θ＋mω2lsin2
θ④
当小球刚好离开锥面时N＝0(临界条件)
则有T·sin
θ＝mω2r⑤
T·cos
θ－mg＝0⑥
由⑤⑥可知：ω＝
，即小球角速度至少为
.
答案：mgcosθ＋mω2lsin2θ　　
一、单项选择题
1．做匀速圆周运动的物体是处于(　　)
A．平衡状态　
B．不平衡状态
C．速度不变的状态
D．周期改变的状态
解析：选B.做匀速圆周运动的物体，其速度方向随时改变，所以受向心力作用，不是平衡状态，A错、B对、C错；匀速圆周运动的周期是不变的，D错．
2．一质量为m的小物块，由碗边滑向碗底，该碗的内表面是半径为R的圆弧且粗糙程度不同，由于摩擦力的作用，物块的运动速率恰好保持不变，则(　　)
A．物块的加速度为零
B．物块所受合力为零
C．物块所受合力大小一定，方向改变
D．物块所受合力大小、方向均一定
解析：选C.由题意可知，物块沿碗内表面(半径为R的圆弧)做匀速圆周运动，由匀速圆周运动的特点知，物块所受合力及加速度均不为零，合外力即向心力，大小不变，方向时刻变化，始终指向圆心，所以C正确．A、B、D错误．
3．关于向心力，下列说法正确的是(　　)
A．向心力是一种效果力
B．向心力是一种具有某种性质的力
C．向心力既可以改变线速度的方向，又可以改变线速度的大小
D．向心力不改变线速度的方向，只改变线速度的大小
解析：选A.向心力是按作用效果命名的，是一种效果力，它可以由重力、弹力、摩擦力等性质的力提供，所以A正确，B错误．由于向心力始终沿半径指向圆心，与线速度的方向垂直，即向心力对做圆周运动的物体始终不做功，不改变线速度的大小，只改变线速度的方向．因此C、D错误．
4．关于匀速圆周运动的向心加速度，下列说法中正确的是(　　)
A．由于a＝，所以线速度大的物体向心加速度大
B．由于a＝，所以向心加速度与旋转半径成反比
C．由于a＝rω2，所以角速度大的物体向心加速度大
D．以上结论都不正确
解析：选D.由三个物理量组成的关系式中，只有明确了一个量的情况，才能确定另外两个量之间的关系．
5．一小球被一细绳拴着，在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，向心加速度为a，则以下结论错误的是(　　)
A．小球的角速度ω＝
B．小球在时间t内通过的路程为s＝t
C．小球做匀速圆周运动的周期T＝
D．小球在时间t内可能发生的最大位移为2R
解析：选C.小球做圆周运动的线速度为v、角速度为ω，则有a＝＝Rω2，由此可得v＝，ω＝，周期T＝＝2π
.所以小球在时间t内通过的路程为s＝vt＝t
，小球在时间t内可能发生的最大位移应该等于直径．正确选项为A、B、D.
图4－2－9
6．一质量为m的物体，沿半径为R的向下凹的圆形轨道滑行，如图4－2－9所示，经过轨道最低点的速度为v，物体与轨道间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时受到的摩擦力为(　　)
A．μmg　
B.
C．μm(g＋)
D．μm(g－)
解析：选C.当物体滑至最低点时，对物体进行受力分析．如图所示，物体受重力、支持力、摩擦力作用．
沿半径方向上的合力提供向心力，由向心力公式F＝可得
N－mg＝，即N＝mg＋
再由滑动摩擦力公式f＝μN得f＝μ(mg＋)＝
μm(g＋)，故选C.
7．质量不计的轻质弹性杆P插在桌面上，杆上端套有一个质量为m的小球，现使小球沿水平方向做半径为R的匀速圆周运动，角速度为ω，如图4－2－10所示，则杆的上端受到的作用力大小是(　　)
图4－2－10
A．mω2R
B.
C.
D．不能确定
解析：选C.对小球受力分析如图所示，N为杆对球的作用力，mg和N的合力提供小球做圆周的向心力，F合＝mω2R
∴N＝.故杆的上端受到的作用力大小为，C正确．
图4－2－11
8．甲、乙两名溜冰运动员，M甲＝80
kg，M乙＝40
kg，面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演，如图4－2－11所示，两人相距0.9
m，弹簧秤的示数为9.2
N，下列判断中正确的是(　　)
A．两人的线速度相同，约为40
m/s
B．两人的角速度相同，为6
rad/s
C．两人的运动半径相同，都是0.45
m
D．两人的运动半径不同，甲为0.3
m，乙为0.6
m
解析：选D.甲、乙两人绕共同的圆心做圆周运动，他们之间的拉力互为向心力，他们的角速度相同，半径之和为两人的距离．设甲、乙两人所需要的向心力为F向，角速度为ω，半径分别为r甲、r乙，
则
F向＝M甲
ω2r甲＝M乙
ω2r乙＝9.2
N①
r甲＋r乙＝0.9
m②
由①②得r甲＝0.3
m，r乙＝0.6
m．故D正确．
图4－2－12
9．如图4－2－12中所示的装置绕竖直轴以角速度ω匀速转动，在装置的水平光滑的横杆上穿有质量分别为m1和m2的两个小球，两球之间通过轻绳相连接，则以下结论正确的是(　　)
A．只要轻绳不断裂，增大ω，两球做圆周运动的半径r1和r2将保持不变
B．若已知m1、m2及ω，则可以算出绳长
C．若m1＞m2，则增大ω时，两球将左移
D．用钉子在转轴处把轻绳固定，若r1＜r2，则增大ω时，r2那段绳将先被拉断
解析：选A.对m1和m2分别受力分析之后，找出提供m1、m2做匀速圆周运动的向心力及这两个向心力的关系是解答本题的关键．对m1可知F向1＝m1r1ω2，对m2可知F向2＝m2r2ω2.又因为F向1和F向2均由绳子拉力提供，所以F向1＝F向2，即m1r1ω2＝m2r2ω2，简化为m1r1＝m2r2，与ω无关，可得A选项正确．由已知可得绳长L＝r1＋r2，若已知m1、m2及ω，不知向心力，则不能算出r1和r2，故B选项错误．若m1＞m2，由m1r1＝m2r2，与ω无关，则增大ω，不影响m1r1＝m2r2，且m1、m2质量已确定，只能分析出r1＜r2，且r1、r2关系不变，不能得出两球将左移，C错误．用钉子在转轴处把轻绳固定，则两段绳子拉力不能认为时时相等，若r1＜r2，增大ω，因为不知m1、m2的关系，不能得出哪个球的向心力大，所以不能确定哪段绳子先断，D错误．
图4－2－13
10．如图4－2－13所示，天车下吊着两个质量都是m的工件A和B，系A的吊绳较短，系B的吊绳较长，若天车匀速运动到某处突然停止，则该时刻两吊绳所受拉力FA、FB及两工件的加速度aA与aB的大小关系是(　　)
A．FA＞FB　
B．aA＜aB
C．FA＝FB＝mg
D．aA＝aB
解析：选A.两工件的线速度大小相同，则有：a＝，由于rA＜rB，故aA＞aB，B、D错误；对工件F－mg＝m，即F＝mg＋m
，结合rA＜rB得：FA＞FB，C错误，A正确．
二、非选择题
图4－2－14
11．如图4－2－14所示，光滑的水平桌面上钉有同样的铁钉A、B，相距l0＝0.1
m．长l＝1
m的柔软细线一端拴在A上，另一端拴住一个质量为500
g的小球．小球的初始位置在AB连线上A的一侧．把细线拉直，给小球以2
m/s的垂直于细线方向的水平速度，使它做圆周运动．由于钉子B的存在，使细线逐渐缠在A、B上．若细线能承受的最大张力Tm＝7
N，则从开始运动到细线断裂历时多长？
解析：小球交替地绕A、B做匀速圆周运动，因线速度不变，随着转动半径的减小，线中张力T不断增大，每转半圈的时间t不断减小．
第一个半圈内T1＝m
t1＝
第二个半圈内T2＝m
t2＝
第三个半圈内T3＝m
t3＝
第n个半圈内Tn＝m
tn＝
令Tn＝Tm＝7
N，得n＝8，所以经历的时间为
t＝t1＋t2＋tn
＝{nl－[1＋2＋3＋…＋(n－1)l0]}
＝
＝×s≈8.2
s.
答案：8.2
s
图4－2－15
12．如图4－2－15所示，在光滑的水平桌面上有一光滑小孔O，一根轻绳穿过小孔，一端连接质量为m＝1
kg的小球A，另一端连接质量为M＝4
kg的重物B.求：
(1)当球A沿半径为R＝0.1
m的圆做匀速圆周运动，其角速度为ω＝10
rad/s时，B对地面的压力是多少；
(2)要使B物体对地面恰好无压力，A球的角速度应为多大．(g取10
m/s2)
解析：(1)对小球A来说，小球受到的重力和支持力平衡，因此绳子的拉力提供向心力，则
F＝mRω2＝1×0.1×102
N＝10
N
对物体B来说，受到三个力的作用：重力Mg，绳子的拉力F，地面的支持力N，由力的平衡条件可得：F＋N＝Mg，所以N＝Mg－F
将F＝10
N，代入可得：N＝(4×10－10)
N＝30
N
由牛顿第三定律可知，B对地面的压力为30
N，方向竖直向下．
(2)当B对地面恰好无压力时，有Mg＝F′，拉力F′提供小球A所需向心力，则有F′＝mRω2，则ω＝
＝
rad/s＝20
rad/s.
答案：(1)30
N　(2)20
rad/s