4.2 向心力与向心加速度 学案 (4)

4.2
向心力与向心加速度
学案4
【学习目标】
（一）知识与技能
1、理解向心加速度和向心力的概念
2、知道向心力、向心加速度与线速度、角速度的关系式。
3、能够运用向心力公式求解有关问题。
【学习重点】
理解匀速圆周运动中加速度的产生原因，掌握向心力的确定方法和计算公式。
【知识要点】
1．向心力
（1）大小：
（2）方向：总指向圆心，时刻变化
（3）“向心力”是一种效果力。任何一个力，或者几个力的合力，或者某一个力的某个分力，只要其效果是使物体做圆周运动的，都可以作为向心力。“向心力”不一定是物体所受合外力。做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体所受的合外力，总是指向圆心。做变速圆周运动的物体，向心力只是物体所受合外力在沿着半径方向上的一个分力，合外力的另一个分力沿着圆周的切线，使速度大小改变。
2．向心加速度
做匀速圆周运动的物体，加速度方向始终指向
，这个加速度叫做
。
3、向心加速度的大小表达式有an＝
、an＝
等。
4、匀速圆周运动是一个加速度大小不变、方向时刻变化的变加速曲线运动。
3．处理方法：
一般地说，当做圆周运动物体所受的合力不指向圆心时，可以将它沿半径方向和切线方向正交分解，其沿半径方向的分力为向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小；其沿切线方向的分力为切向力，只改变速度的大小，不改变速度的方向。分别与它们相应的向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢。
做圆周运动物体所受的向心力和向心加速度的关系同样遵从牛顿第二定律：Fn=man在列方程时，根据物体的受力分析，在方程左边写出外界给物体提供的合外力，右边写出物体需要的向心力（可选用等各种形式）。
【典型例题】
例1如图所示，将一质量为m的摆球用长为L的细绳吊起，上端固定，使摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就会沿圆锥面旋转，这样就构成了一个圆锥摆，则关于摆球A的受力情况，下列说法中正确的是（
）
A．摆球受重力、拉力和向心力的作用
B．摆球受拉力和向心力的作用
C．摆球受重力和拉力的作用
D．摆球受重力和向心力的作用
【解析】：我们在进行受力分析时，“物体受到哪几个力的作用”中的力是指按照性质命名的力，显然，物体只受重力G和拉力FT的作用，而向心力F是重力和拉力的合力，如图所示。也可以认为向心力就是FT沿水平方向的分力FT2，显然，FT沿竖直方向的分力FT1与重力G平衡。所以，本题正确选项为C。
例2如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相等的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是（
）
A．A球的线速度必定大于B球的线速度
B．A球的角速度必定小于B球的线速度
C．A球的运动周期必定小于B球的运动周期
D．A球的向心加速度必定小于B球的向心加速度
答案：AB
【解析】：小球A和B的受力情况如图所示，由图可知，两球的向心力都来源于重力G和支持力FN的合力，建立如图所示的坐标系，则有：
FN1＝FNsinθ＝mg
FN2＝FNcosθ＝F
所以F＝mgcotθ。
也就是说FN在指向圆心方向的分力即合力F＝mgcotθ提供小球做圆周运动所需的向心力，可见A、B两球受力情况完全一样，当然向心力肯定也大小相等。由于前提是两球的向心力一样，所以比较时就好比较了
比较两者线速度大小时，由F＝m可知：r越大，v一定较大，因此选项A正确。
比较两者角速度大小时，由F＝mrω2可知：r越大，ω一定较小，因此选项B正确。
比较两者的运动周期时，由F＝mr（）2可知：r越大，T一定较大，因此选项C不正确。
由a
=
，可知，两球的向心加速度一样大，因此选项D不正确。
例3如图所示，细绳的一端固定于O点，另一端系一个小球，在O点的正下方钉一个钉子A。让小球从一定高度摆下，经验告诉我们，当细绳与钉子相碰时，如果钉子的位置越靠近小球，绳就越容易断。请用圆周运动的知识加以论证。
【解析】：在绳子与钉子相碰的瞬间，速度大小不变，但小球从大半径的圆周运动突变到小半径的圆周运动，所以由于v不变，根据公式知：r越小，F越大，故绳越易断。
【反思】
收获
疑问
【达标训练】
1．关于做匀速圆周运动物体的向心加速度方向，下列说法正确的是（
）
A．与线速度方向始终相同
B．与线速度方向始终相反
C．始终指向圆心
D．始终保持不变
2．关于质点做匀速圆周运动的下列说法正确的是（
）
A．由a=v2/r，知a与r成反比
B．由a=ω2r，知a与r成正比
C．由ω=v/r，知ω与r成反比
D．由ω=2πn，知ω与转速n成正比
3．A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30r/min，B的转速为15r/min。则两球的向心加速度之比为（
）
A．1：1
B．2：1
C．4：1
D．8：1
4．如图所示，轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O．现给球一初速度，使球和杆一起绕O轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时杆对小球的作用力，则F
（
）
A．一定是拉力
B．一定是推力
C．一定等于零
D．可能是拉力，可能是推力，也可能等于零
5．一质点沿着半径r
=
1
m的圆周以n
=
1
r/s的转速匀速转动，如图，试求：
(1)从A点开始计时，经过1/4
s的时间质点速度的变化；
(2)质点的向心加速度的大小。
【达标训练参考答案】
1．C
2．D
3．D
4．D
5．解析
(1)求出1/4
s的时间连接质点的半径转过的角度是多少；
(2)求出质点在A点和1/4
s末线速度的大小和方向。
(3)由矢量减法作出矢量三角形。
(4)明确边角关系，解三角形求得Δv的大小和方向。
(5)根据an=v2/r
或an=ω2r求出向心加速度的大小。
答案
(1)Δv=2πm/s
方向与OA连线成45°角指向圆心O
(2)a=4π2m/s2
L
m
θ
m
θ
G
O
F
FT
FT1
FT21
A
B
θ
A
B
θ
mg
FN
FN1
FN2
x
O
A
。