22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第2课时 用待定系数法求二次函数解析式
学习目标
1、掌握二次函数解析式的三种形式，并会选用不同的形式，用待定系数法求二次函数的解析式。
2、能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，和对称轴、最值和增减性。
3、能根据二次函数的解析式画出函数的图像，并能从图像上观察出函数的一些性质。
教学重点：二次函数的解析式和利用函数的图像观察性质
教学难点：利用图像观察性质
学习过程
一、创设问题情境
问题1:待定系数法求一次函数解析式的一般步骤？
问题2:要求出一个二次函数的表达式，需要几个独立的条件呢？
问题3：二次函数的解析式有哪三种形式。
二、揭示问题规律
探究1:已知二次函数的图象经过点A(0,-1)、B(1,0)、C(-1,2)；求它的关系式．
已知三点，可设一般式y=ax2+bx+c,得三元一次方程组，求出a,b,c.
探究2．已知抛物线的顶点为(1，-3)，且与y轴交于点(0，1)，求这个二次函数的解析式
析：知道顶点,可设y=a(x-1)2-3,再求待定系数a.
探究3.抛物线与轴交与点（1,0）、（-3,0），求这个抛物线的解析式将二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式.
析：知道与x轴的交点坐标可设交点式，y=a(x-1)(x+3),求待定系数a即可.
归纳：
三、尝试应用
例：根据下列条件求二次函数的解析式：
（1）函数图像经过点A（-3，0），B（1，0），C（0，-2）
(2) 函数图像的顶点坐标是（2，4）且经过点（0，1）
（3）函数图像的对称轴是直线x=3,且图像经过点（1，0）和（5，0）
四、自主总结
本节课是用待定系数法求函数解析式，应注意根据不同的条件选择合适的解析式形式：
（1）当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式.
（2）当已知抛物线的顶点坐标（或能求出顶点坐标）、对称轴、最值等与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k形式.（h、k分别是顶点的横坐标与纵坐标）
（3）当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式y＝a(x－x1)(x－x2).（其中x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）
3、求二次函数解析式的思想方法：待定系数法、配方法、数形结合等
五、达标测试
一、选择题
1.若抛物线经过（0，1）、（﹣1，0）、（1，0）三点，则此抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝﹣x2+1 D．y＝﹣x2﹣1
2.已知二次函数的图象的顶点是（1，﹣2），且经过点（0，﹣5），则二次函数的解析式是（ ）
A．y＝﹣3（x+1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝﹣3（x﹣1）2﹣2 D．y＝3（x﹣1）2﹣2
3.如图是一条抛物线的图象，则其解析式为（ ）
A．y＝x2﹣2x+3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x+3 D．y＝x2+2x﹣3
4.抛物线的对称轴为直线x＝3，y的最大值为﹣5，且与y＝x2的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为（ ）
A．y＝﹣（x+3）2+5 B．y＝﹣（x﹣3）2﹣5
C．y＝（x+3）2+5 D．y＝（x﹣3）2﹣5
5.某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为米的喷水管喷水最大高度为4米，此时喷水水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是（ ）
A．y=x2+4 B．y=-10（x+）2+4 C．y=4（x-）2+ D．y=-10（x-）2+4
二、填空题
6.请写出一个开口向上，与y轴交点纵坐标为-1，且经过点（1，3）的抛物线的解析式__________．
7.抛物线y=mx2-3x+3m-m2过原点，则m=_____，该抛物线的关系式为________.
8.已知抛物线y＝﹣x2+bx+c，当1＜x＜3时，y值为正，当x＜1或x＞3时，y值为负，则抛物线的解析式为 ．
解答题
9.已知二次函数的图象经过点（0，-8）与（3，-5）且其对称轴是直线x=1，求此二次函数的解析式，并求出此二次函数图象与x轴公共点的坐标．
10.如图，抛物线y=- x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.C解析：设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣1），
把（0，1）代入得a×1×（﹣1）＝1，解的a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣1），即y＝﹣x2+1．故选：C．
2.C解析：∵二次函数图象的顶点为（1，﹣2），
设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，由于抛物线过点（0，﹣5），则有：
a（0﹣1）2﹣2＝﹣5，解得a＝﹣3；
因此抛物线的解析式为：y＝﹣3（x﹣1）2﹣2．故选：C．
3.B解析：因为抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
可设交点式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把（0，﹣3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），
可得：﹣3＝a（0+1）（0﹣3），
解得：a＝1，
所以解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，故选：B．
4.B解析：设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2﹣5，
因为所求抛物线与y＝x2的图象开口大小相同，
而y的最大值为﹣5，
所以a＝﹣，
所以这条抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2﹣5．故选：B．
5..D 解析：根据图象知，抛物线开口向下，顶点（，4），选项A、是一个开口向上的函数，错误；选项B、函数的顶点坐标为（-，4），错误；选项C、函数的顶点坐标为（，），错误；选项D、符合题意．
6.（答案不唯一）y=x2+3x-1 解析：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，∵开口向上，∴a＞0，∵y轴交点纵坐标为-1，∴c=-1，∵经过点（1，3），∴a+b+c=3，写一个满足条件的函数解析式即可，如y=x2+3x-1．答案不唯一．
7.将（0,0）代入得0=3m-m2 ，∴m=3,m=0(不合题意，舍去）
∴抛物线的解析式为y=3x2-3x.
8.y＝﹣x2+4x﹣3．解析：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c，当1＜x＜3时，y值为正，当x＜1或x＞3时，y值为负．
∴抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0）、（3，0），
∴y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），即y＝﹣x2+4x﹣3
9.解：二次函数解析式为：y=x 2-2x-8，当y=0，则0=x 2-2x-8，解得：x1=-2，x2=4，故二次函数图象与x轴公共点的坐标为：（-2，0），（4，0）．
10.解：（1）∵OA=2，OC=3，∴A（-2，0），C（0，3），∴c=3，将A（-2，0）代入y=- x2+bx+3得，- ×（-2）2-2b+3=0，解得b= ，可得函数解析式为y=- x2+ x+3；
（2）存在，理由如下：
如图：连接AD，与对称轴相交于P，由于点A和点B关于对称轴对称，则即BP+DP=AP+DP，当A、P、D共线时BP+DP=AP+DP最小．设AD所在直线的解析式为y=kx+b，将A（-2，0），D（2，2）分别代入解析式得，，解得，故直线解析式为y=x+1，（-2＜x＜2），由于二次函数的对称轴为x=，则当x=时，y=，故P（，）．(共18张PPT)
学习目标
1.会用待定系数法求二次函数的表达式.(难点）
2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.（重点）
新课导入
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式？
2.求一次函数解析式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
2个
2个
待定系数法
(1)设：（表达式）(2)代：（坐标代入）(3)解：方程（组）(4)还原：（写解析式）
新课导入
已知一次函数图象上两个点的坐标就可以用待定系数法求出一次函数的解析式，那么要求一个二次函数的解析式需要哪些条件？用什么方法求解呢？这就是我们本节课要学习的内容.
知识回顾
讲授新知
知识点1 用一般式（三点式）确定二次函数的解析式
例1 如果一个二次函数的图象经过(-1，10)，(1，4)，(2，7)三点，试求这个二次函数的解析式.
解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c.
由函数图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)
三点，得关于a，b，c的三元一次方程组，
∴所求二次函数解析式为y＝2x2－3x＋5.
解得
讲授新知
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
讲授新知
一般式求二次函数的方法
知识点2 顶点式法求二次函数的解析式
例2 选取顶点 (-2，1) 和点 (1，-8)，试求出这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式是 y=a(x-h)2+k，把顶点(-2，1)
代入 y=a(x-h)2+k 得
y=a(x+2)2+1，
再把点（1，-8）代入上式得
a(1+2)2+1= -8，
解得 a=-1.
所求的二次函数的表达式是 y=-(x+2)2+1 或 y=-x2-4x-3.
讲授新知
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.
其步骤是：
①设函数表达式是 y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出 a 值；
④ a 用数值换掉，写出函数表达式.
顶点法求二次函数的方法
讲授新知
知识点3 交点式法求二次函数的解析式
解：因为 (-3，0)，(-1，0) 是抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点，
所以可设这个二次函数的表达式是
再把点 (0，-3) 代入上式得
a(0+3)(0+1)=-3，
解得 a=-1，
所以所求的二次函数的表达式是 y=-(x+3)(x+1)，即 y=-x2-4x-3.
例3 选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试写出这个二次函数的表达式.
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
y=a(x+3)(x+1).
再把点 (0，-3) 代入上式得
解得 a=-1，
讲授新知
交点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1, x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
讲授新知
范例应用
1.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6.
2.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．
3.过点（-1，0）、（3,0)、(1,-5).
例4 根据已知条件，求下列二次函数的解析式：
解：（1）由题意设该函数解析式为y=a(x-1)2+6
将（2,4）代入得4=a（2-1）2+6 解得 a=-2
∴该函数解析式为y=-2(x-1)2+6.
(2)设该函数的解析式为y=ax2+bx+c
将(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)得
解得
故该函数的解析式为y=2x2+3x-4 .
(3)由题意设该函数解析式为y=a(x+1)(x-3)将（1，-5）代入得a=
∴该函数解析式为y= (x+1)(x-3)
当堂训练
当堂训练
1.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数关系式为( )
A.y=x2+2 B.y=(x-2)2+2 C.y=(x-2)2-2 D.y=(x+2)2-2
2. 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过(1,2)和(-1,-6)两点，则a+c= ．
3.已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4,则其解析为 .
y=-7(x-3)2+4
D
-2
当堂训练
4.已知抛物线顶点(1,16)，且抛物线与x轴的两交点间的距离为8，求其解析式.
解:由题意可知抛物线与x轴交点坐标为(5,0)，(-3,0),
设解析式为y=a(x-5)(x+3),
∵抛物线过点(1,16)
∴16=a(1-5)(1+3),
解得a=-1.
∴抛物线的解析式为 y=-(x-5)(x+3)=-x2+2x+15.
课堂小结
课堂小结
①已知三点坐标
②已知顶点坐标或对称轴或最值
③已知抛物线与x轴的两个交点
已知条件
所选方法
用一般式法：y=ax2+bx+c
用顶点法：y=a(x-h)2+k
用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)
(x1,x2为交点的横坐标）
待定系数法
求二次函数解析式
课后作业
基础题：1.课后习题P40 第 1,2题。
提高题：2.请学有余力的同学采取合理的方式，搜集整理与本节课有关的“好题”，被选中的同学下节课为全班展示。
