(共21张PPT)
学习目标
1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.
2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理. （重点）
3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决
问题. （重点）
新课导入
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？
新课导入
讲授新知
Ｏ
A
B
C
问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？
观察：（1） 圆心O到直线AB的距离 和圆的半径有什么数量关系
（2)二者位置有什么关系？为什么？
知识点1 切线的判定定理
讲授新知
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
OA为⊙O的半径
BC ⊥ OA于A
BC为⊙O的切线
Ｏ
A
B
C
切线的判定定理
应用格式
讲授新知
例1 判一判：
下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
O.
A
O.
A
B
A
O
(1)
(2)
(3)
(1)不是，因为没有垂直.
(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.
在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
注意
范例应用
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
归纳总结
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
l
A
l
O
l
r
d
讲授新知
(1) 有交点，连半径，证垂直；
(2) 无交点，作垂直，证半径.
证切线时辅助线的添加方法：
讲授新知
例2 如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠D = 30°.求证：CD是⊙O的切线.
解：如图，连接OC.
因为AC=CD，∠D=30°,
所以∠A= ∠D = 30°.
因为OA=OC，所以∠ACO=∠A = 30°，所以∠COD=60°，
所以∠OCD=90°，即OC⊥CD.
所以CD是⊙O的切线.
范例应用
思考：如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？
A
l
O
∵直线l是⊙O 的切线，A是切点，
∴直线l ⊥OA.
切线性质
圆的切线垂直于经过切点的半径．
应用格式
知识点2 切线的性质
讲授新知
有切线时常用辅助线添加方法
见切点，连半径，得垂直.
切线的性质定理的推论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;
（2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
（1）圆的切线和圆只有一个公共点.
（2）圆心到切线的距离等于半径.
（3）圆的切线垂直于过切点的半径.
切线的其它重要结论
讲授新知
例3 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线.
证明：连接OD,作OE⊥AC 于E .
∴∠OEC=90°.
∵ AB是⊙O的切线, ∴OD⊥AB.
∴∠ODB=90 ° =∠OEC.
∵AB=AC ,∴∠B=∠C.
∵O是BC的中点， ∴OB=OC .
∴△OBD≌△OCE(AAS), ∴OD=OE . ∴AC与⊙O相切.
.
O
A
D
B
C
E
范例应用
当堂训练
1.判断下列命题是否正确.
⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线.
⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线.
⑶ 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.
⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.
⑸ 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.
（×）
（×）
（√ ）
（√ ）
（√ ）
当堂训练
3.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
2.如图所示，A是⊙O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与⊙O的位置关系是 .
A
P
O
第2题
P
O
第3题
D
A
B
C
相切
C
当堂训练
证明：连接OP.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OBP=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为⊙O的切线.
4.如图,在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E. 求证:PE是⊙O的切线.
O
A
B
C
E
P
当堂训练
课堂小结
切线的
判定方法
定义法
数量关系法
判定定理
1个公共点，则相切
d=r，则相切
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
切线的
性质
证切线时常用辅助线添加方法：
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
有1个公共点
d=r
性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线时常用辅助线
添加方法：
见切线，连切点，得垂直.
课堂小结
课后作业
基础题：1.课后习题 P98页1、2题；P101页4、5题；
提高题：2.请学有余力的同学同步训练习题24.2.2 直线和圆的位置关系
第2课时 切线的判定和性质
学习目标
1.掌握切线的判定定理的内容,并会运用它进行切线的证明.
2.能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线.
重点：理解并掌握切线的判定定理和性质定理.
难点：运用切线的判定定理和性质定理解决一些具体的题目.
学习过程
一、创设问题情境
问题 情景1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向飞出去的
情景2：砂轮转动时，火星是沿着砂轮的什么方向飞出去的
这节课，我们学习切线的判定和性质.
二、自主学习
自学教材97--98页内容并思考：
1.圆的直径是15 cm,如果直线与圆心的距离分别是(1)5.5 cm,(2)7.5 cm,(3)15 cm,那么直线和圆的位置关系分别是(1) ,(2) ,(3) ;直线和圆的公共点的个数依次是___________,___________,___________.
2.你有哪几种方法判断一条直线是圆的切线
三、揭示问题规律
（一）.切线的判定定理的得出:
作图:在☉O中,经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,已知OA=r.那么,(1)圆心O到直线l的距离是__OA___;
(2)直线l和☉O的位置关系是__相切____.
归纳:切线的判定定理:经过 半径的外端 并且 垂直于这条半径 的直线是 圆的切线 .
请依据上图,用符号语言表达切线的判定定理:
（二）切线的判定方法：
(1) ;(2) ;(3) .
（1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
（2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
（3）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
圆的切线的性质: 圆的切线垂直于经过切点的半径；
符号表示:∵ 直线l是⊙O 的切线，A是切点
∴ 直线l ⊥OA.
常见的辅助线作法及证法：
①直线与圆的公共点已知(切点已知)，连接这个点和圆心，证直线与连线垂直即可.
②直线与圆的公共点未知(切点未知)，过圆心作直线的垂线段，证“垂线段=半径”即可.
四、尝试应用
【例1 】如图所示，已知直线AB经过⊙O上的点A，且AB＝AT，∠TBA＝45°，直线AT是⊙O的切线吗？为什么？
解：是.理由：
∵AB=AT,又AT过点A,∴∠T=∠B=45°.∴∠A=180°-45°-45°=90°.
又AT过点A，∴AT是⊙O的切线.
【例2 】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.
求证：AC是⊙O的切线.
证明：连接OD,作OE⊥AC 于E .
∴∠OEC=90°.
∵ AB是⊙O的切线, ∴OD⊥AB.
∴∠ODB=90 ° =∠OEC.
∵AB=AC ,∴∠B=∠C.
∵O是BC的中点， ∴OB=OC .
∴△OBD≌△OCE(AAS), ∴OD=OE .
∴AC与⊙O相切.
五、自主总结
1.切线的判定方法：
（1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
（2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
（3）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2.
3.若证直线是圆的切线,
（1）当该直线过圆上一点时,则连接 ,再证 ;
（2）当没有指明该直线过圆上一点时,则过 作 ,再证 .
达标测试
一、选择题
1.下列说法正确的是（B）
A.与圆有公共点的直线是圆的切线
B.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D.过圆的半径的外端的直线是圆的切线
2.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P等于（C）
A.24° B.25° C.28° D.30°
3.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AG=BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC=∠ADC
3题图 4题图
4.在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（ ）
A．2，22.5°B．3，30°C．3，22.5°D．2，30°
5.直线AB与⊙O相切于B点，C是⊙O与OA的交点，点D是⊙O上的动点（D与B，C不重合），若∠A=40°，则∠BDC的度数是（ ）
A．25°或155° B．50°或155°C．25°或130° D．50°或130°
二、填空题
6.如图，两个同心圆，若大圆的弦AB与小圆相切，大圆半径为10，AB=16，则小圆的半径为_______.
6题图 7题图 8题图
7.如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为______________（度）．
8.如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为_________.
三、解答题
9.如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．
（1）AC与CD相等吗？为什么？
（2）若AC=2，AO=，求OD的长度．
24.2.2 直线和圆的位置关系
第2课时 切线的判定和性质
B 2.C
3.C 解析：选项A、∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，∴AG=BG，故正确；选项B、∵直线EF与⊙O相切于点D，∴CD⊥EF，又∵AB⊥CD，∴AB∥EF，故正确；选项C、只有当弧AC=弧AD时，AD∥BC，当两个互不等时，则不平行，错误；选项D、根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC．正确．
4.A 解析：连接OA，∵AB与⊙O相切，∴OD⊥AB，∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，O为BC的中点，∴AO⊥BC，∴OD∥AC，∵O为BC的中点，∴OD=AC=2；∵∠DOB=45°，∴∠MND=∠DOB=22.5°．
5.A 解析：当点D在优弧BC上时，如图，连结OB，∵直线AB与⊙O相切于B点，∴OB⊥BA，∴∠OBA=90°，∵∠A=40°，∴∠AOB=50°，∴∠BDC=∠AOB=25°；当点D在劣弧BC上时，即在D′点处，如图，∵∠BDC+∠BD′C=180°，∴∠BD′C=180°-25°=155°，∴∠BDC的度数为25°或155°．
6.6 解析：连接OA、OC，∵AB是小圆的切线，∴OC⊥AB，∵AB=16，∴AC=AB=8，∵OA=10，AC=8，∴OC==6，∴小圆的半径为6.
7..55°或125 解析：连接OA，OB，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠PAO=∠PBO=90°，∴∠AOB=360°-∠PAO-∠P-∠PBO=360°-90°-70°-90°=110°，∴∠C=∠AOB=55°．同理可得：当点C在弧AB上时，∠C=180°-55°=125°．
8.2 解析：解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA=OB=3，∴AB=OA=6，∴OP==3，∴PQ===2．
7.解：（1）AC=CD，理由为：∵OA=OB，∴∠OAB=∠B，∵直线AC为圆O的切线，∴∠OAC=∠OAB+∠DAC=90°，∵OB⊥OC，∴∠BOC=90°，∴∠ODB+∠B=90°，∵∠ODB=∠CDA，∴∠CDA+∠B=90°，∴∠DAC=∠CDA，则AC=CD；
（2）在Rt△OAC中，AC=CD=2，AO=，OC=OD+DC=OD+2，根据勾股定理得：OC2=AC2+AO2，即（OD+2）2=22+（）2，解得：OD=1．
