24.2.2 直线和圆的位置关系
第3课时 切线长定理
学习目标
1.知道什么是圆的切线长，能叙述并证明切线长定理.
2.会作三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和性质.
3.能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题.
重点：切线长定理及其运用.
难点：切线长定理的应用及如何作三角形的内切圆.
学习过程
一、创设问题情境
情景：如图，纸上有一个⊙O, PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B.
问题1：OB是⊙O的半径吗？PB是⊙O的切线吗？
问题2：猜一猜图中的PA与PB有什么关系？∠APO与∠BPO有什么关系？
这节课我们继续探讨圆的切线的性质——切线长定理
二、自主学习
自学教材59页内容并思考：
1.圆的切线长与圆的切线有什么区别和联系，能叙述并证明切线长定理.
2.过圆上一点可以作圆的几条切线 过圆外一点呢 圆内一点呢
3.PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,直线OP交☉O于点D,E,交AB于点C.
(1)写出图中所有的垂直关系;
(2)写出图中与∠OAC相等的角;
(3)写出图中所有的全等三角形;
(4)写出图中所有的等腰三角形.
三、揭示问题规律
（一）切线长
1.过⊙O外一点P画⊙O的切线.动手画图，看看这样的切线能作几条？
能作两条.
2.在经过圆外一点的圆的切线上， 这点和切点之间线段的长 叫做这点到圆的切线长，
如图的线段PA与线段PB的长就是点P到⊙O的切线长.
（二）切线长定理
1.PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？你能证明它们成立吗？
PA＝PB,∠APO＝∠BPO.可利用HL证明Rt△AOP≌Rt△BOP,进而得出结论.
2.分别用文字语言和几何语言写出切线长定理.
文字语言：从圆 外 一点引圆的 两 条切线，它们的切线长 相等 ，
这一点和圆心的连线 平分 两条切线的 夹角 .
几何语言：∵PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点B.
∴PA = PB,OP平分 ∠APB .
（三）三角形的内切圆
如下图是一张三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形的用料,并且使截下的圆与三角形的三边都相切
归纳:与三角形各边 相切的圆 叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形 角平分线 的交点,叫做三角形的 内心 .
四、尝试应用
【例1 】如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B两点，PA＝4cm，∠P＝40°，C是劣弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E，求：
（1）△PDE的周长；
（2）∠DOE的度数．
解：如图，连接OA、OB、OC；
（1）∵DA、DC、EB、EC分别是⊙O的切线，
∴DA＝DC，EB＝EC；
∴DE＝DA+EB，
∴PD+PE+DE＝PD+DA+PE+BE＝PA+PB，
∵PA、PB分别是⊙O的切线，
∴PA＝PB＝4，
∴△PDE的周长＝8（cm）．
（2）∵DA、DC分别是⊙O的切线，
∴OA⊥DA，OC⊥DC；
在RT△ODA与RT△ODC中，，
∴△ODA≌△ODC（HL），
∴∠DOA＝∠DOC；
同理可证：∠COE＝∠BOE，
∴∠DOE＝；
∵∠P+∠AOB＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠DOE＝70°．
【例2 】 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.
五、自主总结
1.我们学习三角形的内切圆和三角形内心的概念以及切线长定理；
2.本节课涉及到方程思想和分类讨论的思想，这些思想方法在数学中应用广泛，也给我们今后的学习做了铺垫.
达标测试
一、选择题
1.如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝5，则PB＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2.⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条高的交点
3.如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交E、F，则（ ）
A．EF＞AE+BF B．EF＜AE+BF C．EF=AE+BF D．EF≤AE+BF
4.如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．44 B．42 C．46 D．47
5.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，则AD长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
二、填空题
6.如图，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，∠APB=30°，则∠ACB=_________.
6题图 7题图 8题图
7.如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数 .
8.如图，小敏家厨房一墙角处有一自来水管，装修时为了美观，准备用木板从AB处将水管密封起来，互相垂直的两墙面与水管分别相切于D、E两点，经测量发现AD和BE的长恰是方程x2-25x+150=0的两根（单位：cm），则该自来水管的半径为______cm．
9.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°，求∠P的度数.
第3课时 切线长定理
1.D
2.C 解析：∵⊙O是△ABC的内切圆，则点O到三边的距离相等，
∴点O是△ABC的三条角平分线的交点；故选：C．
3.C 解析：连接OA，OB，∵O是△ABC的内心，∴OA、OB分别是∠CAB及∠ABC的平分线，∴∠EAO=∠OAB，∠ABO=∠FBO，∵EF∥AB，∴∠AOE=∠OAB，∠BOF=∠ABO，∴∠EAO=∠AOE，∠FBO=∠BOF，∴AE=OE，OF=BF，∴EF=AE+BF．
4. A解析：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AD+BC＝AB+CD＝22，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，故选：A．
5.B解析：如图，连接OD、OE、OF，
∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝＝13，
设OE＝OF＝OD＝r，
∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，
∴13r+12r+5r＝12×5，解得r＝2，
∵⊙O与Rt△ABC的三边相切于点D、E、F，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，
∴四边形OECF为正方形，
∵⊙O的半径为2，BC＝5，
∴CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，
∴AD＝AB﹣BD＝13﹣3＝10．故选：B．
6. 105° 解析：如图，连接AO，OB，∵PA、PB分别切圆O于A、B两点，∴∠PAO=∠PBO=90°，∴∠AOB=180°-∠P=150°，设点E是优弧AB上一点，由圆周角定理知，∠E=75°，由圆内接四边形的对角互补知，∠ACB=180°-∠E=105°．
7. 117.5°解析：∵点O是△ABC的内心，∴OB平分∠ABC,OC平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB=×（50°+75°）＝62.5°.
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB＝117.5°.
8.5 解析：连接OD，OE，x2-25x-150=0，（x-10）（x-15）=0，解得：x1=10，x2=15，∴设AD=10，BE=15，设半径为x，∴AB=AD+BE=25，∴（AD+x）2+（BE+x）2=AB2，∴（10+x）2+（15+x）2=252，解得：x=5，
9.解：∵PA是⊙O的切线.
∴∠OAP=90°.∵∠BAC=25°,∴∠BAP=65°.
∵OA＝OB,∴∠OBA=∠OAB=25°.
∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP=90°,∴∠ABP=65°.
∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=50°.(共20张PPT)
学习目标
1.掌握长的定义及切线长定理切线. （重点）
2.会作三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和性质.
3.能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题. （难点）
新课导入
前面我们已经学习了切线的判定和性质，已知⊙O和⊙O外一点P，你能够过点P画出⊙O的切线吗？
1.猜想：图中的线段PA与PB有什么关系？
2.图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？
新课导入
讲授新知
P
1.切线长的定义：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长．
A
O
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
2.切线长与切线的区别在哪里？
知识点1 切线长的定义
讲授新知
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
几何语言:
切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法.
3.切线长定理
讲授新知
探究：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C.
B
A
P
O
C
E
D
（1）写出图中所有的垂直关系；
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（3）写出图中所有的全等三角形；
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
（4）写出图中所有的等腰三角形；
△ABP △AOB
（2）写出图中与∠OAC相等的角和图中相等的线段；
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC，OA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC.
讲授新知
例1 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E.已知PA=7，∠P=40°.则
⑵ ∠DOE= .
⑴ △PDE的周长是 ；
14
O
P
A
B
C
E
D
70°
范例应用
例2 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.
解:
设AF=xcm，则AE=xcm.
∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，
BF=BD=AB-AF=13-x(cm).
由 BD+CD=BC，可得
(13-x)+(9-x)=14，
解得 x=4.
∴ AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
A
C
B
E
D
F
O
范例应用
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
B
2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.
3.这个三角形叫做圆的外切三角形.
4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.
┐
A
C
I
┐
┐
D
E
F
三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
⊙O是△ABC的内切圆，点O是△ABC的内心，△ABC是⊙O的外切三角形.
知识点2 三角形的内切圆
讲授新知
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三边
中垂线的交
点
1.OA=OB=OC
2.外心不一定在三角形的内部．
三角形三条
角平分线的
交点
1.到三边的距离相等；
2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形内部．
填一填：
A
B
O
A
B
C
O
讲授新知
例3 如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为( )
A．130° B．100° C．50° D．65°
分析：由题意知BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠OBC＋∠OCB＝ (∠ABC＋∠ACB)＝
×(180°－80°)＝50°，
∴∠BOC＝180°－50°＝130°.
A
范例应用
当堂训练
A
1.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= ,PB= .
B
P
O
A
第1题
2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= .
B
C
O
第2题
20 °
4
110 °
当堂训练
3.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B,∠P= 50 °，点C是⊙O上异于A、B的点，则∠ACB= .
65 °或115 °
B
P
O
A
第3题
4.△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D、E、F三点，如图，已知AF=3,BD+CE=12,则△ABC的周长是 .
A
B
C
F
E
D
O
第4题
30
当堂训练
5.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°，求∠P 的度数.
解：由切线长定理可知PA=PB.
∵PA是⊙O的切线.
∴∠OAP=90°.
∵∠BAC=25°,∴∠BAP=65°.
又∵PA＝PB,∴∠BAP=∠ABP=65°.
∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=50°.
当堂训练
课堂小结
切线长
切线长定理
作用
图形的轴对称性
原理
提供了证线段和
角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.
三角形内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
有关概念
内心概念及性质
应用
重要结论
只适合于直角三角形
课堂小结
课后作业
基础题：1.课后习题 P100页1、2题
提高题：2.请学有余力的同学同步训练习题
