24.3 正多边形和圆
学习目标
1.了解正多边形和圆的有关概念.
2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系.
3.掌握圆内接正多边形的两种画法:(1)用量角器等分圆周法作正多边形;(2)用尺规作图法作特殊的正多边形.
重点：正多边形的有关计算
难点：正确地转化和进行综合计算
学习过程
一、创设问题情境
问题 欣赏下面图片.
问题：什么叫正多边形？图中有哪些正多边形？正多边形与圆有哪些关系？
二、自主学习
自学教材59页内容并思考：
1、你能举出生活中与旋转现象有关的例子吗？
2、它们是怎样旋转的，你能类比平移的定义概况出旋转的定义吗？
三、揭示问题规律
（一）正多边形的有关概念
1.正多边形各边 ，各角 .
【答案】相等；相等.
2.请按照你对正多边形相关概念的理解进行填空.
如图，等边△ABC是⊙O的 三角形，⊙O是等边△ABC的 圆， 是△ABC的中心， 是△ABC的半径， 是△ABC的中心角， 的长是边心距.
【答案】内接；外接；点O；OA(或OC)；∠AOC；OD.
3.正多边形和圆有什么关系 你能借助圆作出一个正多边形吗
把圆周进行等分，即可得到圆的内接正n边形
4..将上面的圆五等分,依次连接各分点得到一个五边形,这个五边形一定是正五边形吗 如果是,请你证明这个结论.
是 证各条边相等；各个角相等即可.
小结:将圆n等分,依次连接各分点得到一个n边形,这n边形一定是 正n边形 .
（二）正多边形的中心、半径、中心角、边心距
我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的 中心 .外接圆的半径叫做正多边形的 半径 .正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的 中心角 .中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的 边心距 .
正n边形的每个内角都为，每个外角都为，中心角为.
四、尝试应用
【例1 】下列说法中，不正确的是( D )
A．正多边形一定有一个外接圆和一个内切圆
B．各边相等且各角相等的多边形是正多边形
C．正多边形的内切圆和外接圆是同心圆
D．正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
【例2 】有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(保留小数点后一位).
解：作OM⊥BC于M.连接OB、OC,∵ABCDEF是正六边形,
∴△OBC为正三角形,∴∠MOC=∠BOC=30°，OB=BC=OC.
∴l＝6BC＝6OB＝6×4＝24（m）.
在Rt△OMC中，∵∠MOC=30°，∴MC=OC=2m.
∴OM=OC2-MC2=m.
∴.
∴.
即地基的周长为24m,面积约为41.6m2.
五、自主总结
通过这节课的学习，我知道了正多边形和圆的关系、知道了正多边形的半径、边心距、内角、中心角等概念还学会了如何画出正多边形。
达标测试
一、选择题
1.下列说法中正确的是（ C ）
A.各边都相等的多边形是正多边形
B.正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C.各边都相等的圆内接多边形是正多边形
D.各角都相等的圆内接多边形是正多边形
2.如果一个正多边形的每个外角都等于36°，则这个多边形的中心角等于（A）
A.36° B.18° C.72° D.54°
3.如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一个含30°角的直角三角板的角，借助点O（使该角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3题图 4题图 5题图
4.如图所示，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠B=60°，其中由两个正六边形组成的圆形部分种花，则种花部分的圆形的周长（粗线部分）为（ ）
A．12m B．20m C．22m D．24m
5.如图，要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（ ）
A．6mmB．12mmC．6mmD．4mm
二、填空题
6.如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P在劣弧CD上不同于点C得到任意一点，则∠BPC的度数是__________度．
6题图 8题图
7.△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A，B与它的中心O为顶点的三角形，若△OAB的一个内角为70°，则该正多边形的边数为________.
8.如图，已知在⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM、OP上，并且∠POM=45°，则AB的长为_______．
9.如图，正六边形ABCDEF为⊙0的内接正六边形，连结AE．已知⊙0的半径为2cm．
（1）求∠AED的度数．
（2）求正六边形ABCDEF与⊙O的面积之比．
24.3 正多边形和圆
1.C 2.A
3.B 解析：360÷30=12；360÷60=6；360÷90=4；360÷120=3；360÷180=2．因此n的所有可能的值共五种情况．
4.B 解析：如图，边长为6，所以AF=GF=BG=2，可得正六边形的边长为2，又正六边形有一个公共边OE，所以可得两个六边形的周长为6×2+6×2-4=20，∴可得种花部分的图形周长为20m．
5.C 解析：设正多边形的中心是O，其一边是AB，∴∠AOB=∠BOC=60°，∴OA=OB=AB=OC=BC，∴四边形ABCO是菱形，∵AB=6mm，∠AOB=60°，
∴AM==3（mm），∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，∴AM=MC=AC，∴AC=2AM=6（mm）．
6.45 解析：连接OB，OC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BOC=90°，∴∠P=∠BOC=45°．
7.9 解析：当∠OAB=70°时，∠AOB=40°，则多边形的边数是：360÷40=9；当∠AOB=70°时，360÷70结果不是整数，故不符合条件．
8.解析：∵∠POM=45°，∠DCO=90°，∴∠DOC=∠CDO=45°，∴△CDO为等腰直角三角形，那么CO=CD．连接OA，可得到直角三角形OAB，∴AB=BC=CD=CO，BO=BC+CO=BC+CD=2AB，那么AB2+OB2=52，∴AB2+（2AB）2=52，∴AB的长为．
9.解：（1）∵ABCDEF为正六边形，∴∠F=120°，∠AEF=30°，∴∠AED=120°-30°=90°，∴∠AOB=360°×=60°．（2）过点O作OH⊥AB垂足为H，∵∠AOH=30°，OA=2cm，∴由勾股定理得OH= cm，S△AOB= AB OH= ×2×= cm2，∴正六边形ABCDEF的面积=6×S△AOB=6 cm2，⊙O的面积=π22=4πcm2，∴正六边形ABCDEF与⊙O的面积之比=6 ：4π=3 ：2π．(共20张PPT)
学习目标
1.理解并掌握正多边形的半径和边长、边心距、
中心角之间的关系. （重点）
2.会进行特殊的与正多边形有关的计算，会画
某些正多边形. （难点）
新课导入
情景：欣赏下面图片.
问题：什么叫正多边形？图中有哪些正多边形？正多边形与圆有哪些关系？
新课导入
讲授新知
什么叫做正多边形？
各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.
矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
不是，因为矩形不符合各边相等；
不是，因为菱形不符合各角相等；
正多边形
各边相等
各角相等
缺一不可
讲授新知
知识点1 圆内接正多边形
正n边形与圆的关系
1.把正n边形的边数无限增多,就接近于圆.
2.怎样由圆得到多边形呢？
A
B
C
D
思考1: 把一个圆4等分, 并依次连
接这些点,得到正多边形吗
弧相等
弦相等（多边形的边相等）
圆周角相等（多边形的角相等）
多边形是正多边形
讲授新知
③ ∠A ∠E
把⊙O 进行5等分,依次连接各等分点得到五边形ABCDE .
(1)填空:
·
A
O
E
D
C
B
⌒
BCE
⌒
BC
AB＋BC＋CD＝
⌒
⌒
⌒
②
＝
⌒
BC
BC＋CD＋DE＝
⌒
⌒
⌒
①
＝
3
3
＝
ACD
⌒
(2)这个五边形ABCDE是正五边形吗？简单说说理由.
像上面这样，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的正多边形，这个圆就是这个正多形的外接圆，这个正多边形也称为这个圆的内接正多边形.
归纳
讲授新知
例1 下列说法中，不正确的是( )
A．正多边形一定有一个外接圆和一个内切圆
B．各边相等且各角相等的多边形是正多边形
C．正多边形的内切圆和外接圆是同心圆
D．正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
D
范例应用
E
F
C
D
.
O
中心角
半径R
边心距r
正多边形的中心:
一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径: 外接圆的半径
正多边形的中心角:
正多边形的每一条边所对的圆心角.
正多边形的边心距：
中心到正多边形的一边的距离.
知识点2 圆内接正多边形的有关概念
讲授新知
2.作边心距，构造直角三角形.
1.连半径，得中心角；
O
A
B
C
D
E
F
R
M
r
·
圆内接正多边形的辅助线
O
边心距r
边长一半
半径R
C
M
中心角一半
讲授新知
例2 如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：
①它的中心角等于 度 ；
② OC BC (填＞、＜或＝）；
③△OBC是 三角形；
④圆内接正六边形的面积是
△OBC面积的 倍.
⑤圆内接正n边形面积公式:________________________.
C
D
O
B
E
F
A
P
60
=
等边
6
知识点3 正多边形的有关计算
讲授新知
例3 有一个亭子,它的地基半径为4 m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1 m2).
因此，亭子地基的周长
l =4×6=24(m).
解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
范例应用
利用勾股定理,可得边心距
亭子地基的面积
在Rt△OPC中，OC=4，PC=
范例应用
当堂训练
1.下列说法中正确的是( )
A.各边都相等的多边形是正多边形
B.正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C.各边都相等的圆内接多边形是正多边形
D.各角都相等的圆内接多边形是正多边形
C
2.如果一个正多边形的每个外角都等于36°，则这个多边形的中心角等于( )
A.36° B.18° C.72° D.54°
3.如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O(使直角的顶点落在点O处)，把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能
取值的个数是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
A
B
当堂训练
4.如图，要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为多少？
解：如图，∠ABC=120°. AB＝BC＝a, AC＝b.
过B作BD⊥AC于点D,
则AD=DC= b.
在Rt△ABD中，∠BAC=30°,
∴BD= AB=3mm.
∴b=2AD=6 mm.
即扳手张开的开口b至少要6 mm.
A
C
B D
当堂训练
课堂小结
正多边形
正多边形的定义与对称性
正多边形的有
关概念及性质
①正多边形的内角和=
②中心角=
正多边形的
有关计算
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
课堂小结
课后作业
基础题：1.课后习题 24.3的复习巩固
提高题：2.请学有余力的同学做P108”综合运用”
