24.4 圆锥的侧面积与全面积
学习目标
1.了解圆锥母线的概念,理解圆锥侧面积的计算公式,
2.理解圆锥全面积的计算方法,并会应用公式解决问题.
重点：圆锥侧面积和全面积的计算公式．
难点：探索两个公式的由来．
学习过程
一、创设问题情境
问题 情景：圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽.如图，已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？（结果精确到0.1cm2）
本节课将学习圆锥的侧面积和全面积.(板书课题)
二、自主学习
自学教材59页内容并思考：
1、你能举出生活中与旋转现象有关的例子吗？
2、它们是怎样旋转的，你能类比平移的定义概况出旋转的定义吗？
三、揭示问题规律
（一）圆锥的有关概念
1.圆锥有 个底面和 个侧面.连接圆锥 和底面圆周上任意一点的 叫做圆锥的母线.所以圆锥有 条母线，这些母线长都 .
【答案】一；一；顶点；线段；无数；相等
2.如图，圆锥的母线是线段 ，底面圆的半径为 ，h是圆锥的高，由图形可知，线段l、h、r构成直角三角形，满足关系式 .
【答案】l；r；h2+r2=l2
知识点二：圆锥侧面积和全面积
如图,沿圆锥的任意一条母线将圆锥的侧面剪开并展平，可得圆锥的侧面展开图是扇形.该扇形的半径就是就是圆锥的母线长.扇形的弧长等于圆锥的底面周长.
若设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则圆锥的侧面积和全面积是 。
四、尝试应用
【例1 】已知圆锥的侧面展开图是一个半径为12cm、弧长为12πcm的扇形.求这个圆锥的侧面积、高(结果保留根号和π).
解：.
.
【例2 】如图，圆锥形烟囱帽的底面直径为80cm，母线长50cm,制作100个这样的烟囱帽至少需要多少平方米的铁皮？
解：
五、自主总结
1.圆锥的侧面展开图是 扇形 ；圆锥的侧面积=和全面积是+
2. 反思转化思想在本节课的运用.
达标测试
一、选择题
1.已知圆锥底面圆的半径为3，母线长为5，则它的全面积为( )
A.9π B.15π C.24π D.39π
2.如图，圆锥的底面圆半径r为6 cm，高h为8 cm，则圆锥的侧面积为( )
A.30π cm2 B.48π cm2 C.60π cm2 D.80π cm2
3.若将半径为12 cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是( )
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm
4.如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65π cm2，扇形的弧长为10π cm，则圆锥母线长是( )
A.5 cm B.10 cm C.12 cm D.13 cm
5.一圆锥的底面直径为4 cm，高为 cm，则此圆锥的侧面积为( )
A.20π cm2 B.10π cm2 C.4π cm2 D.4π cm2
二、填空题
6.在纸上剪下一个圆形和一个扇形纸片，使之恰好能够围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于120°（如图），则r与R之间的关系是 .
7.将半径为4cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为_________cm．
4题图 5题图
8.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为________.
9.如图，在一个半径为2的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的扇形．
（1）求这个扇形的面积（保留π）；
（2）用所剪的纸片围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面圆的半径．
第2课时 圆锥的侧面与全面积
1.C解析：圆锥底面圆的周长是2×3π＝6π，
所以侧面积是×6π×5＝15π.又因为圆锥底面积是π×32＝9π，
所以它的全面积是15π＋9π＝24π.故选C.
2.C 解析：因为圆锥的母线长为＝10(cm)，圆锥的底面圆周长为2×π×6＝12π(cm)，所以圆锥的侧面积为×10×12π＝60π(cm2).
3.D 解析：根据圆锥底面圆周长＝扇形弧长，得12π＝2πr，所以r＝6(cm).
4.D 解析：·l·10π＝65π，∴l＝13π.故选D.
5.B解析：圆锥的底面直径为4 cm，高为 cm，则底面半径=2 cm，底面周长=4π cm，由勾股定理得，母线长=5 cm，侧面面积=×4π×5=10π cm2.故选B.
6.R=3r解析：∵圆的半径为r，∴圆的周长为2πr；∵扇形的半径为R，扇形的圆心角等于120°，∴圆锥的侧面展开图的扇形的弧长为，∴2πr=，∴R=3r．
7. 解析：作OC⊥AB于C，如图，∵将半径为4cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，∴OC等于半径的一半，即OA=2OC，∴∠OAC=30°，∴∠AOC=60°，∴∠AOB=120°，弧AB的长==π，设圆锥的底面圆的半径为r，∴2πr=π，解得r=，∴这个圆锥的高==（cm）．
8.8π 解析：解：过点C作CD⊥AB于点D，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴AB=AC=4，∴CD=2，以CD为半径的圆的周长是：4π．故直线旋转一周则所得的几何体得表面积是：2××4π×2=8π．
9.解：（1）如图，∵∠APB=90°，∴AB为⊙O的直径，∵APB为扇形，∵PA=PB，∴△PAB为等腰直角三角形，∴PA=AB= 4=4，∴这个扇形的面积==4π；（2）设这个圆锥的底面圆的半径为r，∵弧AB的长==2π，∴2π r=2π，解得r=1，即这个圆锥的底面圆的半径为1．(共24张PPT)
学习目标
1. 知道什么是圆锥的母线，知道圆锥的侧面展开图是扇形. （重点）
2.知道圆锥的侧面积和全面积的计算方法，会求圆锥的侧面积与全面积. （难点）
新课导入
元旦将近，某家商店正在制作元旦的圆锥形纸帽.如图，已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果精确到0.1cm2)
新课导入
讲授新知
连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
连结圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.
圆锥的底面半径、高、母线长三者之间的关系:
(母线有无数条,母线都是相等的 )
知识点1 圆锥的相关概念
讲授新知
沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形.
1.这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？
2.这个扇形的弧长与底面圆的周长有什么关系？
3.圆锥的侧面积和这个扇形的面积有什么关系
讲授新知
A
B
O
C
圆锥侧面展开图的扇形的半径=母线的长l
l
讲授新知
A
O
r
B
O
C
侧面展开图扇形的弧长=底面周长
讲授新知
1.圆锥的母线长=扇形的半径
2.圆锥的底面周长=扇形的弧长
圆锥与侧面展开图之间的主要关系：
a = R
C = l
3.圆锥的侧面积=扇形的面积
A
O
r
h
l
R
B
O
C
a
讲授新知
圆锥的侧面积=扇形的面积
公式一：
A
O
r
h
l
R
B
O
C
n
知识点2 圆锥的侧面积
讲授新知
一个圆锥形零件的高4cm，底面半径3cm，求这个圆锥形零件的侧面积.
O
P
A
B
r
h
a
答:圆锥形零件的侧面积是15πcm2.
范例应用
公式二：
A
O
r
h
l
R
B
O
C
n
由圆锥的两个侧面积公式推导出了n、R、r三个量之间的关系式，即nR=360r.
讲授新知
填空、根据下列条件求值 .
(1) R=2, r=1，则n =_______.
(2) R=9, r=3，则n =______ .
(3) n=90°,R=4，则r =____.
(4) n=60°,r= 3，则R =_____ .
180°
120°
1
18
A
O
r
h
l
R
B
O
C
n
范例应用
圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面积.
A
O
r
h
l
R
B
O
C
n
知识点3 圆锥的全面积
讲授新知
蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成的.如果想用毛毡搭建20个底面积为12 m2,高为3.2 m，外围高1.8 m的蒙古包,至少需要多少平方米的毛毡 (π取3.142，结果取整数)
r
r
h1
h2
例3
范例应用
r
r
h1
h2
解:如图是一个蒙古包的示意图,
依题意,下部圆柱的底面积12m2,高h2=1.8m;
上部圆锥的高为3.2－1.8=1.4 m;
因此,搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡
20×（22.10+14.76）≈738m2
范例应用
当堂训练
1.圆锥的母线长为13cm，底面半径为5cm，则此圆锥的高为( )
A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm
2.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是( )
A.60° B.90° C.120°D.180°
D
D
3.已知圆锥的母线长为5，底面半径为3，则圆锥的表面积为( )
A.15π B.24π C.30π D.39π
B
当堂训练
4.如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面周长为32 m，母线长为7 m，为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，则所需油毡的面积至少为多少平方米？
当堂训练
5.如图，已知圆锥的母线长AB=8cm，轴截面的顶角为60°，求圆锥全面积.
解：∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形.
∴AB=BC=AC=8cm.
∴S侧=πrl=π×4×8=32π(cm2),
S底=πr2=π×4×4=16π(cm2),
∴S全=S侧+S底=48π(cm2).
当堂训练
课堂小结
r2+h2=l2
S圆锥侧＝πrl.
S 圆锥全＝ S圆锥侧+ S圆锥底
＝ πrl+πr2
圆锥的高
母线
r
S
A
O
B
h
l
o
侧面
展开图
r
底面
①其侧面展开图扇形的半径=母线的长l
②侧面展开图扇形的弧长=底面周长
重要图形
重要结论
课堂小结
课后作业
基础题：1.课后习题 P114T1、2
提高题：2.请学有余力的同学做P116T8、9、10
