25.3 用频率估计概率
学习目标
1.知道通过大量重复试验,可以用频率估计概率;了解频率与概率的区别与联系.
2.经历抛掷硬币试验的过程,对数据进行收集整理、描述与分析,体验频率的随机性与规律性,
3.了解用频率估计概率的合理性与必要性,培养随机观念.
重点：讲清用频率估计概率的条件及方法；
难点：比较用列举法求概率与用频率求概率的条件与方法．
学习过程
一、创设问题情境
在学完用列举法求随机事件发生的概率这节内容后，小明同学提出一个问题.他抛掷一枚硬币10次，其正面朝上的次数为5次，是否可以说明“正面向上”这一事件发生的概率为0.5？下面我们带着小明提出的问题进入本节课的学习——用频率估计概率.
二、自主学习
1.通过试验，完成教材第142页-----第145页.
通过分析试验所得数据，你发现出现“正面向上”的频率有什么变化规律？
“正面向上”的频率在0.5附近摆动.
阅读并分析表25-4中抛掷硬币实验的数据，你有什么发现？
随着试验次数的增加，“正面向上”的频率稳定于0.5.
三、揭示问题规律
(一）利用频率估计概率的应用
（1）在大量重复试验中，事件A发生的频率会稳定在某个常数附近.只要试验的次数足够大，我们就可以用事件A发生的频率去估计概率.
（2）概率是针对大量试验而言的，大量试验反映的规律并非在每一次试验中都发生.
（二）频率与概率的关系
当实验次数足够大时，一个随机事件频率非常接近于概率.
解题思路：①求频率；②估计概率；③求出问题结果；④作出结论.
四、尝试应用
【例1】在一只暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中红球只有3个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%，那么可以推算a大约是（ ）
A．15 B．12 C．9 D．4
解析：根据题意，球的总个数a约为3÷20%＝15（个），故选：A．
【例2 】小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 16 14 25 20 12 13
（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率；
（2）小亮说：“根据这次投掷实验，3点朝上的频率大于5点朝上的频率，所以3点朝上的概率大于5点朝上的概率．”小亮的说法正确吗？如果你认为正确，请说明理由；如果你认为不正确，请求出“3点朝上”的概率和“5点朝上”的概率，并比较大小．
解：（1）“3点朝上”的频率为：＝0.25；
“5点朝上”的频率为＝0.12；
（2）小亮的判断是错误的；
任意投掷一枚骰子，一共有6种等可能结果，
∴P（3点朝上）＝，
P（5点朝上）＝，
∴“3点朝上”的概率和“5点朝上”的概率相等．
五、自主总结
利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
六、达标测试
一、选择题
1.关于频率与概率有下列几种说法正确的是（ ）
①“明天下雨的概率是90%”表示明天下雨的可能性很大；
②“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上；
③“某彩票中奖的概率是1%”表示买10张该种彩票不可能中奖；
④“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在附近．
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③
2.在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（ ）
A.频率就是概率 B.频率与试验次数无关
C.概率是随机的，与频率无关 D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
3.某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（D）
A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C.暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D.掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
4.在抛一枚均匀硬币的实验中，如果没有硬币，则可作为实验替代物的是（ ）
A．同一副扑克中的任意两张 B．图钉
C．瓶盖 D．一个小长方体
5.不透明的黑袋子里放有3个黑球和若干个白球（黑白两球仅有颜色不同），老师将全班学生分成10个小组，进行摸球试验，在经过大量重复摸球试验中，统计显示，从中摸出白球的频率稳定在0.4附近，则袋子里放了（ ）个白球．
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题
6.一个口袋中放有20个球,其中红球6个,白球和黑球若干个,每个球除了颜色外没有任何区别，小王通过大量重复试验(每次取一个球,放回搅匀后再取)发现,取出黑球的概率稳定在0.25左右,请你估计袋中黑球的个数为 .
7.在一个暗箱中，只装有a个白色乒乓球和10个黄色乒乓球，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球后又放回，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在40%，那么暗箱中的乒乓球共有______个．
8.在研究抛掷分别标有1，2，3，4，5，6的质地均匀的正六面体骰子时，提出了一个问题：连续抛掷三次骰子，正面朝上的点数是三个连续整数的概率有多大假设下表是几位同学抛掷骰子的实验数据．请你根据这些数据估计上面问题的答案大约是________．（0.09～0.095之间的任意一个数值答案有多个）
三、解答题
9.儿童节期间，某公园游戏场举行一场活动．有一种游戏的规则是：在一个装有8个红球和若干白球（每个球除颜色外，其他都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个世博会吉祥物海宝玩具，已知参加这种游戏的儿童有40000人次．公园游戏场发放海宝玩具8000个．
（1）求参加此次活动得到海宝玩具的频率？
（2）请你估计袋中白球的数量接近多少个？
25.3用频率估计概率
1.A
2.D
3.D
4.A 解析：B，C概率与硬币不一样，D中情况次数太多．故B，C，D错误．
同一副扑克中任意两张花色不同的扑克，分别代替硬币正面和反面，且各自概率为，与抛硬币一样．
5.D 解析：设袋子里放了x个白球，则=0.4，解得：x=2，则袋子里放了2个白球．
6.5
7.25 解析：根据题意任意摸出1个，摸到黄色乒乓球的概率是：40%= ．解得：a=15，∴暗箱中的乒乓球共有：10+15=25个．
8.0.09 解析：通过8次试验，每次试验出现三个连续整数的频率分别是：0.1，0.08，0.1，0.09，0.08，0.09，0.09，0.09，据此估计，正面朝上的点数是三个连续整数的概率是0.09．
9.解：（1）参加此项游戏得到海宝玩具的频率，即．
（2）设袋中共有m个球，则摸到红球的概率P（红球）= ，∴≈．解得m≈40，所以白球接近40-8=32个．(共19张PPT)
学习目标
1.用频率估计概率并解决实际问题. （难点）
2.通过概率计算进一步比较概率与频率之间的关系.
新课导入
在学完用列举法求随机事件发生的概率这节内容后，小明同学提出一个问题.他抛掷一枚硬币10次，其正面朝上的次数为5次，是否可以说明“正面向上”这一事件发生的概率为0.5？
用列举法可以求一些事件的概率.实际上，我们还可以利用多次重复试验，通过统计试验结果估计概率.
新课导入
讲授新知
历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，其中一些试验结果见下表：
试验者
抛掷次数n
“正面向上” 的次数m “正面向上” 的频率
棣莫弗
布丰
费勒
皮尔逊
皮尔逊 2 048
4 040
10 000
12 000
24 000 1 061
2 048
4 979
6 019
12 012 0.518
0.506 9
0.497 9
0.501 6
0.500 5
知识点1 用频率估计概率
讲授新知
根据表中数据,描出对应的点,如图:
思考:
随着抛掷次数的增加,“正面向上”的频率的变化趋势是什么？
趋近于0.5
讲授新知
对一般的随机事件在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性，因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率.
为什么要用频率估计概率？虽然之前我们学过用列举法确切地计算出随机事件的概率，但由于列举法受各种结果出现的可能性相等的限制，有些事件的概率并不能用列举法求出.例如：抛掷一枚图钉,估计“钉尖朝上”的概率，这时我们就可以通过大量重复试验估计它们的概率.
讲授新知
例1 某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的
移植成活率,应采用什么具体做法
是实际问题中的一种概率,可理解为成活的概率.
观察在各次试验中得到的幼树成活的频率，谈谈你的看法．
范例应用
移植总数（n） 成活数（m） 成活的频率
10 8 0.8
50 47
270 235 0.870
400 369
750 662
1500 1335 0.890
3500 3203 0.915
7000 6335
9000 8073
14000 12628 0.902
0.94
0.923
0.883
0.905
0.897
由上表可以发现，幼树移植成活的频率在 左右摆动，并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显.
所以估计幼树移植成活的概率为 ．
0.9
0.9
1 林业部门种植了该幼树1000棵,估计能成活_____棵.
2 我们学校需种植这样的树苗500棵来绿化校园,则 至少向林业部门购买约_______棵.
900
560
范例应用
1．频率与概率的关系:在大量重复试验中,如果事件A发生的频率 稳定于某个常数b,则该事件发生的概率P(A)= ____.
b
频率 概率
区别 试验值或使用时的统计值 理论值
与试验次数的
变化有关 与试验次数的
变化无关
与试验人、试验时间、
试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点无关
联系 试验次数越多，频率越趋向于概率
知识点2 频率与概率的关系
讲授新知
例2 某水果公司以2元/千克的成本新进了10000千克柑橘，如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（已去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？
分析 根据上表估计柑橘损坏的概率为0.1，则柑橘完好的概率为0.9.
范例应用
解：根据估计的概率可以知道，在10000千克柑橘中完好柑橘的质量为10000×0.9=9000千克，完好柑橘的实际成本为
设每千克柑橘的销价为x元，则应有
（x-2.22）×9000=5000，
解得 x≈2.8.
因此，出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润5000元.
范例应用
当堂训练
1.在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是( )
A.频率就是概率
B.频率与试验次数无关
C.概率是随机的，与频率无关
D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D
2.在一个不透明的口袋里，装有仅颜色不同的黑球、白球若干个，某小组做摸球试验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放入袋中，不断重复，下表是活动中的一组数据，则摸到白球的概率约是( )
A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7
C
当堂训练
4.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
(1)计算表中相应的“射中9环以上”的频率(精确到0.01)；
(2)这些频率具有什么样的稳定性？
(3)根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率(精确到0.1)
射击次数 20 40 100 200 400 1000
“射中九环以上”的次数 15 33 78 158 321 801
“射中九环以上”的频率
稳定在0.8附近
0.8
0.75
0.83
0.78
0.79
0.80
0.80
3.一个口袋中放有20个球,其中红球6个,白球和黑球若干个,每个球除了颜色外没有任何区别，小王通过大量重复试验(每次取一个球,放回搅匀后再取)发现,取出黑球的频率稳定在0.25左右,请你估计袋中黑球的个数为 .
5
当堂训练
课堂小结
频率估计概率
大量重复试验
求非等可能性事件概率
列举法
不能适应
频率稳定
常数附近
统计思想
用样本（频率）估计总体（概率）
一种关系
频率与概率的关系
频率稳定时可看作是概率
但概率与频率无关
课堂小结
课后作业
基础题：1.课后习题P147T 3--4--5 。
提高题：2.请学有余力的同学做拓广探索T6.
