25.2 用列举法求概率
第1课时 用列举法求简单事件的概率
学习目标
1.理解用列举法(列表法)求随机事件的概率,进一步培养随机观念.
2.经历用列举法求简单随机事件的概率的过程,体会“分步”策略在解决复杂问题所起到的重要作用.
重点：计算随机事件的概率.
难点：而如何有序地列举所有可能发生的结果并把结果直观地呈现出来.
学习过程
一、创设问题情境
老师向空中抛掷两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，老师赢；如果落地后两面一样，你们赢 . 请问，你们觉得这个游戏公平吗？
二、自主学习
1.阅读教材第136页例1，理解课本是怎样列举出所有可能的结果的，并学会课本上用不同字母表示不同事件的方法和记法.
掷两枚硬币会出现哪些不同的结果？你能列举出来吗？
有四种不同的结果：正正、正反、反正、反反.
2.阅读教材第136页例2至第137页,并回答：.
同时掷两枚质地均匀的骰子，会出现哪些可能的结果？
列表列举所有可能的结果：
由表可知：同时掷两枚骰子，可能出现的结果有 种，并且它们出现的可能性相等.
两枚骰子的点数相同的结果有 种，所以P(两枚骰子的点数相同)= ；
两枚骰子的点数和是9的结果有 种，所以P(两枚骰子的点数和是9)= ；
至少有一枚骰子的点数为2的结果有 种，所以P(至少有一枚骰子的点数为2)= .
36 6 4 11
三、揭示问题规律
(一）直接列举法求概率
直接列举法：又叫枚举法：当事件涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目较少时，就可以直接列举所有等可能的结果，再利用概率公式P(A)=求事件发生的概率.
(二）列表法求概率
1.当一次试验要涉及 两 个因素，并且可能出现的结果数目较多时，通常采用 列表 法.
2.用列表法求概率的步骤：①列表；②通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和关注的结果数m的值； ③利用概率公式P（A）计算出事件的概率．
四、尝试应用
【例1】有5张看上去无差别的卡片，上面分别标有0，1，2，3，4.
求：从中任取两张卡片，两张卡片上的数字之和等于4概率.
解：列举出所有可能出现的结果：（0,1），（0,2），（0,3），（0,4），（1,2），（1,3），（1,4），（2，3），（2,4），（3,4）.
所有可能出现的结果共有10种，并且它们出现的可能性相等，其中满足两张卡片上的数字之和等于4（记为事件A）的结果有2种，所以.
【例2 】用如图所示的两个转盘（分别进行四等分和三等分），设计一个“配紫色”的游戏，分别转动两个转盘（指针指向区域分界线时，忽略不计），若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，求可配成紫色的概率．
解：列表如下：
红 蓝 蓝 蓝
红 （红，红） （蓝，红） （蓝，红） （蓝，红）
红 （红，红） （蓝，红） （蓝，红） （蓝，红）
蓝 （红，蓝） （蓝，蓝） （蓝，蓝） （蓝，蓝）
由表知，共有12种结果，每种结果出现的可能性相等，其中可配成紫色的有7种结果，
所以可配成紫色的概率为．
五、自主总结
1.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；
2.列表法求概率应注意：可能出现的结果是有限个，且各种结果的可能性大小相等.
六、达标测试
一、选择题
1.从1，﹣2，﹣3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是（ ）
A．0 B． C． D．1
2.把一个质地均匀的骰子掷两次，至少有一次骰子的点数为2的概率是（ ）
A. B. C. D.
3.（2021 广东）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（ ）
A． B． C． D．
4.现有4条线段，长度依次是2、5、7、8，从中任选三条，能组成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
5.甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，如果两者之和为偶数，甲得1分；如果两者之和为奇数，乙得1分，此游戏（ ）
A．是公平的 B．对乙有利 C．对甲有利 D．以上都不对
二、填空题
6.纸箱里有一双拖鞋，从中随机取一只，放回后再取一只，则两次取出的鞋都是左脚的鞋的概率为 .
7.有两辆车按1，2编号，舟舟和嘉嘉两人可任意选坐一辆车，则两个人同坐2号车的概率为.
8.哥哥与弟弟玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，将标有数字的一面朝下，哥哥从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后弟弟从中任意抽取一张，计算抽得的两个数字之和，如果和为奇数，则弟弟胜；和为偶数，则哥哥胜，该游戏对双方________（填“公平”或“不公平”）．
三、解答题
9.如图所示的方格地面上，标有编号A、B、C的3个小方格地面是空地，另外6个小方格地面是草坪，除此以外小方格地面完全相同．
（1）一只自由飞行的鸟，将随意地落在图中的方格地面上，问小鸟落在草坪上的概率是多少？
（2）现从3个小方格空地中任意选取2个种植草坪，则刚好选取A和B的2个小方格空地种植草坪的概率是多少？
25.2 用列举法求概率
第1课时 用列举法求简单事件的概率
1.1.B 2.D 3.B 4.A
5.A 解析：甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，可出现两者之和为偶数和奇数的情况如下表：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
由表知，甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，共有36种结果，其中两者之和为偶数有18种，两者之和为奇数有18种，
∴两者之和为偶数的概率为＝，
则两者之和为奇数的概率为1﹣＝，
∴此游戏是公平的，故选：A．
6. 7.
8.不公平 解析：共有（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2）（3，3），9种情况，和为偶数的有5种，所以哥哥赢的概率是，那么弟弟赢的概率是，所以该游戏对双方不公平．
9.解：（1）P（小鸟落在草坪上）=；
（2）共有（A，B），（A，C），（B，A），（B，C），（C，A），（C，B）6种等可能结果，编号为A、B的2个小方格空地种植草坪有2种，所以P（编号为A、B的2个小方格空地种植草坪）= ．(共20张PPT)
学习目标
1.会用直接列举法和列表法列举所有可能出现的结果.
2.会用列表法求出事件的概率.
新课导入
老师向空中抛掷两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，老师赢；如果落地后两面一样，你们赢 . 请问，你们觉得这个游戏公平吗？
新课导入
讲授新知
例1 同时掷两枚硬币，试求下列事件的概率：
(1)两枚两面一样；
(2)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上；
讲授新知
知识点1 直接列举法求概率
“掷两枚硬币”所有结果如下：
①
②
①
②
①
②
①
②
因为P(学生赢)=P(老师赢).
所以这个游戏是公平的.
范例应用
“同时掷两枚硬币”与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？
第一掷
第二掷
所有可能出现的结果
（正、正）
（正、反）
（反、正）
（反、反）
随机事件“同时”与“先后”的关系：
“两个相同的随机事件同时发生”与“一个随机事件先后两次发生”的结果是一样的.
讲授新知
上述这种列举法我们称为直接列举法（枚举法）.
(1) 直接列举试验结果时，要有一定的顺序性，保证结果不重不漏.
(2) 用列举法求概率的前提有两个：
①所有可能出现的结果是有限个；
②每个结果出现的可能性相等.
(3) 所求概率是一个准确数，一般用分数表示.
讲授新知
练一练
若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数称为“V数”，如756，326 ，那么从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，则该数是“V数”的概率为 .
范例应用
例2 同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： （1）两枚骰子的点数相同； （2）两枚骰子点数的和是9； （3）至少有一枚骰子的点数为2．
分析：当一次试验是掷两枚骰子时,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用列表法.
知识点2 用列表法求概率
解:两枚骰子分别记为第1枚和第2枚,可以用下表列举出所有可能出现的结果：
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
讲授新知
(1)两枚骰子的点数相同(记为事件A)的结果有6种,
即(1,1)，(2,2),(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，
所以
由上表可以看出,同时掷两枚骰子,可能出现的结果有36种,并且它们出现的可能性相同.
(2)两枚骰子的点数和是9(记为事件B)的结果有4种,
即(3,6)，(4,5),(5,4)，(6,3)，所以
范例应用
2.适用条件：如果事件中各种结果出现的可能性均等，含有两次操作(如掷骰子两次)或两个条件(如两个转盘)的事件．
1.用列表法求概率的步骤：
①列表；
②通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和关注的结果数m的值；
③利用概率公式 计算出事件的概率．
讲授新知
当堂训练
1.小明与小红玩一次“石头、剪刀、布”游戏，则小明赢的概率是（ ）
2.某次考试中，每道单项选择题一般有4个选项，某同学有两道题不会做，于是他以“抓阄”的方式选定其中一个答案，则该同学的这两道题全对的概率是（ ）
C
D
A. B. C. D.
A. B. C. D.
当堂训练
3.如果有两组牌，它们的牌面数字分别是1，2，3,那么从每组牌中各摸出一张牌.
（1）摸出两张牌的数字之和为4的概念为多少？
（2）摸出为两张牌的数字相等的概率为多少？
当堂训练
3
2
（2,3）
（3,3）
（3,2）
（3,1）
（2,2）
（2,1）
（1,3）
（1,2）
（1,1）
1
3
2
1
第二张牌
的牌面数字
第一张牌的
牌面数字
解：（1）P（数字之和为4）= .
（2）P（数字相等）= .
当堂训练
课堂小结
列举法
关键
常用
方法
直接列举法
列表法
适用对象
两个试验因素或分两步进行的试验.
基本步骤
① 列表；
② 确定m,n的值，
代入概率公式计算.
在于正确列举出试验结果的各种可能性.
确保试验中每种结果出现的可能性大小相等.
前提条件
课堂小结
课后作业
基础题：1.课后习题P138T 1--2 练习。
提高题：2.请学有余力的同学做这一节的同步训练.
