人教版九年级数学下册同步课时教案
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人教版九年级数学下册同步课时教案
目 录
第二十六章 反比例函数
26.1 反比例函数
26.1.1 反比例函数
26.1.2 反比例函数的图象和性质
第1课时 反比例函数的图象和性质
第2课时 反比例函数的图象和性质的应用
26.2 实际问题与反比例函数
第二十七章 相 似
27.1 图形的相似
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线分线段成比例的基本事实
第2课时 相似三角形的判定(一)
第3课时 相似三角形的判定(二)
27.2.2 相似三角形的性质
27.2.3 相似三角形应用举例
27.3 位 似
第1课时 位似图形
第2课时 位似变换与坐标
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第1课时 正 弦
第2课时 余弦和正切
第3课时 特殊角的锐角三角函数值
28.2 解直角三角形及其应用
28.2.1 解直角三角形
28.2.2 应用举例
第1课时 仰角、俯角
第2课时 方向角、坡度、坡角
第二十九章 投影与视图
29.1 投 影
第1课时 投影的概念
第2课时 正投影
29.2 三视图
第1课时 几何体的三视图
第2课时 复原几何体
29.3 课题学习 制作立体模型(略)
第二十六章 反比例函数
26.1 反比例函数
26.1.1 反比例函数
1.理解反比例函数的概念.
2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数,并会用待定系数法求解析式.
3.能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型.
重点:能判断一个给定的函数是否为反比例函数,并会用待定系数法求解析式;能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型.
难点:理解反比例函数的概念.
下列问题中,变量间具有函数关系吗 如果有,请写出它们的解析式.
(1)京沪线铁路全程为1 463 km,某次列车的平均速度v(单位:km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位:h)的变化而变化;
(2)某住宅小区要种植一块面积为1 000 m2的矩形草坪,草坪的长y(单位:m)随宽x(单位:m)的变化而变化;
(3)已知北京市的总面积为1.64×104平方千米,人均占有面积S(单位:平方千米/人)随全市总人口n(单位:人)的变化而变化.
知识点1 反比例函数的概念
问题:观察以下三个解析式,你觉得它们有什么共同特点
答案:v=,y=,S=.
[总结] 都具有分式的形式,其中分子是常数.
追问:类比正比例函数的一般形式,你能根据特点给出反比例函数的一般形式吗
[总结] 一般地,形如y=(k为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是函数.
追问:反比例函数y=(k≠0)的自变量x的取值范围是什么
[点拨] 因为x作为分母,不能等于零,因此自变量x的取值范围是所有非零实数,但实际问题中,应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围.例如,在前面得到的第一个解析式v=中,t的取值范围是t>0,且当t取每一个确定的值时,v都有唯一确定的值与其对应.
想一想:反比例函数除了可以用y=(k≠0)的形式表示外,还有没有其他表达方式
[总结] 反比例函数的几种表达方式(注意k≠0):
(1)y=(k为常数,k≠0);
(2)xy=k(k为常数,k≠0);
(3)y=kx-1(k为常数,k≠0).
范例应用
例1 下列函数是不是反比例函数 若是,请指出k的值.
①y=3x-1;②y=-;③y=-;④y=;⑤y=3x-1.
解:①y=3x-1是反比例函数,k=3;②y=-不是反比例函数;③y=-是反比例函数,k=-;④y=不是反比例函数;⑤y=3x-1不是反比例函数.
[方法归纳] 判断一个函数是否是反比例函数,首先要看两个变量是否具有反比例关系,然后根据反比例函数的定义去判断.
例2 填空:
(1)若y=是反比例函数,则m的取值范围是 m≠1 ;
(2)若y=是反比例函数,则m的取值范围是 m≠0且m≠-2 ;
(3)若y=是反比例函数,则m的值是 -1 .
例3 已知函数y=(2m2+m-1)是反比例函数,求m的值.
[点拨] 由反比例函数的定义可得2m2+3m-3=-1,2m2+m-1≠0,然后求解即可.
解:因为y=(2m2+m-1)是反比例函数,
所以
解得m=-2.
[方法归纳] 已知某个函数为反比例函数,只需要根据反比例函数的定义列方程(组)求解即可.
知识点2 用待定系数法确定反比例函数的解析式
已知变量y与x成反比例,且当x=2时,y=6.求:
(1)y与x之间的函数解析式;
(2)当x=4时,y的值.
[点拨] (1)由题意中变量y与x成反比例,设出函数的解析式,利用待定系数法进行求解.(2)将x=4代入求得的函数解析式,求出y的值即可.
解:(1)因为变量y与x成反比例,
所以设y=(k≠0).
因为当x=2时,y=6,所以k=2×6=12.
所以y与x之间的函数解析式是y=.
(2)当x=4时,y==3,所以y的值为3.
[归纳总结] 用待定系数法求解反比例函数解析式的一般步骤
(1)设出含有待定系数的反比例函数解析式;
(2)把一对已知的x,y的值代入解析式,得到一个关于待定系数的式子;
(3)求出待定系数;
(4)将所求得的待定系数代回所设的函数解析式.
范例应用
例4 已知y与x+1成反比例,并且当x=3时,y=4.
(1)写出y关于x的函数解析式;
(2)当x=7时,求y的值.
解:(1)设y=,因为当x=3时,y=4,
所以4=,解得k=16,因此y=.
(2)当x=7时,y==2.
例5 已知y=y1+y2,y1与x-1成正比例,y2与x+1成反比例,当x=0时,y=-3;当x=1时,y=-1.
求:(1)y关于x的函数解析式;
(2)当x=-时,y的值.
[点拨] 根据正比例函数和反比例函数的定义得到y1,y2的解析式,进而得到y的解析式,把所给两组数据代入即可求出相应的比例系数,也就求得了所要求的函数解析式.
解:(1)因为y1与x-1成正比例,y2与x+1成反比例,
所以设y1=k1(x-1)(k1≠0),y2=(k2≠0).
所以y=k1(x-1)+.
因为当x=0时,y=-3;
当x=1时,y=-1,
所以
所以k1=1,k2=-2.
所以y=x-1-.
(2)把x=-代入y=x-1-,得y=-.
[方法归纳] 能根据题意设出y1,y2的函数解析式并用待定系数法求得等量关系是解答此题的关键.
知识点3 建立反比例函数模型
写出下列问题中两个变量之间的函数解析式,并判断其是否为反比例函数.
(1)底边为3 cm的三角形的面积y(cm2)随底边上的高x(cm)的变化而变化;
(2)一艘轮船从相距s(km)的甲地驶往乙地,轮船的速度v(km/h)与航行时间t(h)的关系;
(3)在检修100 m长的管道时,每天能完成10 m,剩下的未检修的管道长y(m)随检修天数x的变化而变化.
解:(1)两个变量之间的函数解析式为y=x,不是反比例函数.
(2)两个变量之间的函数解析式为v=,是反比例函数.
(3)两个变量之间的函数解析式为y=100-10x,不是反比例函数.
1.生活中有许多反比例函数的例子,在下面的实例:①x人共饮水10 kg,平均每人饮水y kg;②底面半径为x m,高为y m的圆柱形水桶的体积为10 m3;③用铁丝做一个圆,铁丝的长为x cm,做成圆的半径为y cm中,其中x和y成反比例函数关系的有(A)
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
2.已知函数y=(m2-1),当m= 2 时,它是正比例函数;当m= 0 时,它是反比例函数.
3.如图所示,已知菱形ABCD的面积为180,设它的两条对角线AC,BD的长分别为x,y.写出变量y与x之间的关系式,并指出它是什么函数.
解:因为菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半,所以S菱形ABCD=xy=180.
所以变量y与x之间的关系式为y=,它是反比例函数.
1.反比例函数的定义.
2.反比例函数的三种表达方式.
3.用待定系数法确定函数解析式.
4.建立反比例函数模型.
第二十六章 反比例函数
26.1 反比例函数
26.1.1 反比例函数
1.反比例函数的定义:
一般地,形如y=(k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数.其中x是自变量,自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.
2.反比例函数的形式:
(1)y=(k为常数,k≠0);
(2)xy=k(k为常数,k≠0);
(3)y=kx-1(k为常数,k≠0).
3.用待定系数法确定反比例函数的解析式.
4.建立反比例函数模型.
让学生从生活实际中发现数学问题,从而引入学习内容,这不仅激发了学生学习数学的兴趣,还激起了学生自主参与的积极性和主动性,为自主探究新知创造了现实背景.因为反比例函数这一部分内容与正比例函数相似,在教学过程中,以学生学习的正比例函数为基础,在学生之间创设相互交流、相互合作、相互帮助的关系,让学生通过充分讨论交流后得出它们的相同点,在此基础上来揭示反比例函数的意义.
26.1.2 反比例函数的图象和性质
第1课时 反比例函数的图象和性质
1.会用描点法画反比例函数的图象;结合图象分析并掌握其性质.
2.经历画图、观察、猜想、思考等数学活动,向学生渗透数形结合的思想方法,让学生初步认识具体的反比例函数图象的特征.
3.由图象的画法和分析,体验数学活动的探索和创造性,感受数学美,并通过图象的直观教学激发学习兴趣.
重点:正确地进行描点、画出图象,理解并掌握反比例函数的图象和性质.
难点:向学生渗透数形结合的思想方法,让学生初步认识具体的反比例函数图象的特征.
1.我们知道一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,反比例函数y=(k≠0)的图象是什么样呢
2.我们用什么方法画反比例函数的图象呢 有哪些步骤
3.根据k的取值,应该如何分类讨论呢
[点拨] k>0,k<0.
引出课题:今天,我们就来研究反比例函数的图象和性质.
知识点1 反比例函数y=(k>0)的图象和性质
画出反比例函数y=和y=的图象.
解:列表:
x … -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 …
y= … -1 - -2 -3 -6 6 3 2 1 …
y= … -2 -3 -4 -6 -12 12 6 4 3 2 …
描点、连线:
思考:请观察反比例函数y=与y=的图象,回答下面的问题:
(1)每个函数的图象分别位于哪些象限
(2)在每一个象限内,随着x的增大,y如何变化 函数图象与x轴、y轴相交吗
(3)对于反比例函数y=(k>0),考虑问题(1)(2),你能得出同样的结论吗
解:(1)每个函数的图象都位于第一、三象限.
(2)在每一个象限内,y随x的增大而减小;函数图象与x轴、y轴不相交.
(3)对于反比例函数y=(k>0),同样可得出问题(1)(2)中的结论.
追问:你能由函数的解析式说明这些结论吗
[归纳总结]
当k>0时,反比例函数y=(k>0)的图象:由两条曲线组成,且分别位于第一、三象限,它们与x轴、y轴都不相交.
性质:在每一个象限内,y随x的增大而减小.
范例应用
例1 反比例函数y=的图象大致是(C)
例2 已知反比例函数y=的图象过点(-2,-5),函数图象上有两点A(2,y1),B(5,y2),则y1与y2的大小关系为(A)
A.y1>y2 B.y1知识点2 反比例函数y=(k<0)的图象和性质
如图所示,观察反比例函数y=-,y=-,y=-的大致图象.
(1)它们的图象分别位于哪些象限
(2)在每一个象限内,随着x的增大,y如何变化 它们的图象与x轴、y轴相交吗
解:(1)它们的图象位于第二、四象限.
(2)在每一个象限内,y随x的增大而增大,图象与x轴,y轴不相交.
[归纳总结] 反比例函数y=(k<0)的图象:
由两条曲线组成,且分别位于第二、四象限,它们与x轴、y轴都不相交;
性质:在每一个象限内,y随x的增大而增大.
范例应用
例3 点(3,y1)和(5,y2)在函数y=-的图象上,则y1 < y2.(选填“>”“<”或“=”)
例4 点(x1,3)和(x2,5)在函数y=-的图象上,则x1 < x2.(选填“>”“<”或“=”)
1.姜老师给出一个函数解析式,甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质,甲:函数图象经过第一象限;乙:函数图象经过第三象限;丙:在每一个象限内,y随x的增大而减小.根据他们的描述,姜老师给出的这个函数解析式可能是(D)
A.y=4x B.y=x2C.y=- D.y=
2.在反比例函数y=(k>0)的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2)且x1>x2>0,则y1-y2 < 0.(选填“>”“<”或“=”)
3.已知反比例函数y=(a-1),在每一个象限内,y随x的增大而增大,求a的值.
解:由题意,得a2+a-13=-1,且a-1<0.
解得a=-4.
4.点A(x1,y1),B(x2,y2)在反比例函数y=的图象上.如果x1>x2,而且x1,x2同号,那么y1,y2有怎样的大小关系 为什么
解:y1因为反比例函数y=的图象位于第一、三象限,
所以在每一个象限内,y随x的增大而减小.
因为x1>x2,
所以y1通过本节课的学习,需要我们
1.会用描点法画出反比例函数的图象.
2.知道反比例函数的图象是双曲线.
3.理解反比例函数的性质,并能应用性质解决问题.
26.1.2 反比例函数的图象和性质
第1课时 反比例函数的图象和性质
一般地,反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象是双曲线,它具有以下性质:
(1)当k>0时,双曲线的两支分别位于第一、三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小;
(2)当k<0时,双曲线的两支分别位于第二、四象限,在每一个象限内,y随x的增大而增大.
“反比例函数的图象和性质”是反比例函数的教学重点,学生需要在理解的基础上熟练运用.在学习反比例函数图象和性质时,当k>0时,双曲线的两个分支在第一、三象限;当k<0时,双曲线的两个分
支在第二、四象限,由解析式y=(k≠0)可得到其增减性,学生也容易理解.但从图象观察增减性较难,借助动态演示就容易多了,所以运用多媒体比较函数图象,可以使学生更直观、更清楚地看清函数的变化,从而使学生加深对函数性质的理解.
第2课时 反比例函数的图象和性质的应用
1.掌握用待定系数法求反比例函数解析式.
2.经历观察、思考、分析、交流等学习过程,理解并掌握反比例函数的系数k的几何意义.
3.能利用反比例函数的图象与性质解决与其他函数或几何知识综合的问题.培养学生学习的兴趣,提高学生综合运用知识解决问题的能力.
重点:掌握用待定系数法求反比例函数解析式,能利用反比例函数的图象与性质解决与其他函数或几何知识综合的问题.
难点:理解并掌握反比例函数的系数k的几何意义.
回顾与思考:
1.反比例函数的图象是什么
答案:反比例函数的图象是双曲线.
2.反比例函数的性质与k有怎样的关系
答案:当k>0时,两条曲线分别位于第一、三象限;在每个象限内,y随x的增大而减小;
当k<0时,两条曲线分别位于第二、四象限;在每个象限内,y随x的增大而增大.
引出课题:今天,我们就来研究反比例函数的图象和性质的应用.
知识点1 用待定系数法求反比例函数的解析式
已知反比例函数的图象经过点A(2,6).
(1)这个函数的图象位于哪些象限 y随x的增大如何变化
(2)点B(3,4),C-2,-4,D(2,5)是否在这个函数的图象上
解:(1)因为点A(2,6)在第一象限,
所以这个函数的图象位于第一、三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小.
(2)设这个反比例函数的解析式为y=,
因为点A(2,6)在其图象上,
所以6=,解得k=12.
所以这个反比例函数的解析式为y=.
当x=3时,y=4,所以点B在这个函数的图象上;
当x=-2时,y=-4,所以点C在这个函数的图象上;
当x=2时,y=6≠5,所以点D不在这个函数的图象上.
范例应用
例1 已知反比例函数y=的图象经过点A(2,3).
(1)求这个函数的解析式;
(2)判断点B(-1,6),C(3,2)是否在这个函数的图象上,并说明理由.
解:(1)设这个反比例函数的解析式为y=.
因为点A(2,3)在其图象上,即3=,解得k=6.
所以这个反比例函数的解析式为y=.
(2)当x=-1时,y=-6≠6,所以点B不在这个函数的图象上;
当x=3时,y=2,所以点C在这个函数的图象上.
知识点2 反比例函数解析式中k值的意义
如图所示的是反比例函数y=图象的一支,根据图象,回答下列问题:
(1)图象的另一支位于哪个象限 常数m的取值范围是什么
(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1,y1)和点B(x2,y2).如果x1>x2,那么y1和y2有怎样的大小关系
解:(1)反比例函数的图象只有两种可能:位于第一、第三象限,或者位于第二、第四象限.
因为这个函数的图象的一支位于第一象限,
所以另一支必位于第三象限.
因为这个函数的图象位于第一、第三象限,
所以m-5>0,
解得m>5.
(2)因为m-5>0,
所以在这个函数图象的任一支上,y随x的增大而减小.
所以当x1>x2时,y1范例应用
例2如图所示的是反比例函数y=的图象,则k的值可以是(B)
A.-1 B.4 C.2 D.0
知识点3 反比例函数的系数k的几何意义
(1)如图(1)所示,在反比例函数y=的图象上分别取点P,Q向x轴、y轴作垂线,围成面积分别为S1,S2的矩形,填写表格:
y= S1的值 S2的值 S1与S2的 关系 猜想S1,S2 与k的关系
P(2,2), Q(4,1) 4 4 S1=S2 S1=S2=k
(2)如图(2)所示,若在反比例函数y=中也用同样的方法分别取P,Q两点,填写表格:
y= S1的值 S2的值 S1与S2 的关系 猜想S1,S2 与k的关系
P(-2,2), Q(-1,4) 4 4 S1=S2 S1=S2 =-k
由前面的探究过程,可以猜想:
若点P是y=图象上的任意一点,作PA垂直于x轴,作PB垂直于y轴,矩形AOBP的面积与k的关系是
S矩形AOBP=|k|.
我们就k<0的情况给出证明:
设点P的坐标为(a,b),
因为点P(a,b)在函数y=的图象上,所以b=,即ab=k.
若点P在第二象限,则a<0,b>0.
所以S矩形AOBP=PB·PA=-a·b=-ab=-k;
若点P在第四象限,则a>0,b<0.
所以S矩形AOBP=PB·PA=a·(-b)=-ab=-k.
综上所述,S矩形AOBP=|k|.
试一试:自己尝试证明k>0的情况.
[方法归纳] 对于反比例函数y=,点Q是其图象上的任意一点,作QA垂直于x轴于点A,作QB垂直于y轴于点B,矩形AOBQ的面积与k的关系是S矩形AOBQ=|k|,推理:△QAO与△QBO的面积和k的关系是S△QAO=S△QBO=.
范例应用
例3
如图所示,在函数y=(x>0)的图象上有三点A,B,C,过这三点分别向x轴、y轴作垂线,过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为SA,SB,SC,则(B)
A.SASB>SC D.SA知识点4 反比例函数与一次函数的综合
在同一平面直角坐标系中,函数y=和y=k2x+b的图象如图所示,则k1,k2,b各应满足什么条件
解:(1)如题图(1)所示,此时k1>0,k2>0,b>0;
(2)如题图(2)所示,此时k1>0,k2>0,b<0;
(3)如题图(3)所示,此时k1<0,k2<0,b<0;
(4)如题图(4)所示,此时k1>0,k2<0,b>0.
范例应用
例4 反比例函数y=的图象与一次函数y=2x+1的图象的一个交点是(1,k),求反比例函数的解析式.
解:因为反比例函数y=的图象与一次函数y=2x+1的图象的一个交点是(1,k),
则点(1,k)在一次函数y=2x+1的图象上,即k=2+1=3,所以交点坐标为(1,3),将(1,3)代入y=,得k=3.
所以这个反比例函数的解析式为y=.
1.如图所示,函数y=-x与函数y=的图象相交于A,B两点,过点A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则四边形ACBD的面积为(D)
A.2 B.4 C.6 D.8
2.如图所示,直线y=k1x+b与反比例函数y=(x>0)交于A,B两点,其横坐标分别为1和5,则不等式k1x+b>的解集是 13.如图所示,过反比例函数y=图象上的一点P,作PA⊥x轴于点A,连接OP,若△POA的面积为4,则k= 8 .
说一说本节课你有哪些收获
本节课学习了反比例函数中k值的意义,函数图象的变化与k值的正负有关.
同时,在平面直角坐标系中结合函数图象可以求出相应图形的面积.
第2课时 反比例函数的图象和性质的应用
1.反比例函数y=(k≠0)的图象与性质:
当k>0时,图象位于第一、三象限,y的值随x的增大而减小;
当k<0时,图象位于第二、四象限,y的值随x的增大而增大.
2.k值的含义:在反比例函数y=(k≠0)的图象上任取一点,分别作坐标轴的垂线(或平行线),与坐标轴所围成图形的面积S=|k|.
3.反比例函数与一次函数的综合.
本节课通过复习导入新课,学生在复习旧知识的同时为本节课新知识的构建做了铺垫,然后以例题的形式进一步引导学生探究反比例函数图象与性质的综合运用.通过学生自主学习,探究教材例题,让学生活跃在课堂上,真正成为课堂的主人,在教师的引导下积极思考,大胆发言,培养学生学习数学的信心及分析问题、解决问题的能力.在教学设计中注重培养学生数形结合思想、类比思想等.本节课课堂容量稍微有点偏大,学生没有时间独立完成作业,虽然对每个问题的设计都有讨论、展示、点评,但是个别学生数形结合思想意识浅薄,利用图象解决问题有困难,课堂上没有很好地巩固技巧.在探究比例系数k的几何意义时,部分学生对符号的理解有困难,虽然适当多用了些时间,但是对该知识点掌握需要练习巩固.
26.2 实际问题与反比例函数
1.掌握反比例函数在其他学科中的运用,体验学科的整合思想.并能从函数的观点来解决一些实际问题.
2.经历“实际问题—建立模型—问题解决”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力.
3.运用反比例函数知识解决实际应用问题的过程中,感受数学的应用价值,提高学习兴趣.
重点:掌握反比例函数在其他学科中的运用,体验学科的整合思想.并能从函数的观点来解决一些实际问题.
难点:经历“实际问题—建立模型—问题解决”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力.
复习回顾,反比例函数的性质
当k>0时,双曲线的两支分别在第一、三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小;
当k<0时,双曲线的两支分别在第二、四象限,在每一个象限内,y随x的增大而增大.
双曲线不过原点且与两坐标轴永不相交,但无限靠近x轴、y轴.
反比例函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形;对称中心是原点,有两条对称轴.
知识点1 实际问题与反比例函数
1.市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室.
(1)储存室的底面积S(单位:m2)与其深度d(单位:m)有怎样的函数关系
(2)公司决定把储存室的底面积S定为500 m2,施工队施工时应该向地下掘进多深
(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15 m时,公司临时改变计划,把储存室的深度改为 15 m.相应地,储存室的底面积应改为多少(结果保留小数点后两位)
解:(1)根据圆柱的体积公式,得Sd=104,
所以S关于d的函数解析式为S=.
(2)把S=500代入S=,得500=,
解得d=20(m).
所以如果把储存室的底面积S定为500 m2,施工队施工时应向地下掘进20 m深.
(3)把d=15代入S=,得S=,
解得S≈666.67(m2).
所以当储存室的深度为15 m时,底面积应改为666.67 m2.
范例应用
例1 如果某蓄水池的进水管每小时进水8 m3,那么6 h可将空水池蓄满水.
(1)求将空水池蓄满水所需的时间y关于每小时进水量x的函数解析式;
(2)如果准备在5 h内将空水池蓄满水,那么每小时的进水量至少为多少
解:(1)由题意可得y==,
即将空水池蓄满水所需的时间y关于每小时进水量x的函数解析式是y=.
(2)当y=5时,5=,解得x=9.6(m3).
即每小时进水量至少为9.6 m3.
2.码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物,装载完毕恰好用了8天时间.
(1)轮船到达目的地后开始卸货,平均卸货速度 v(单位:吨/天) 与卸货天数t之间有怎样的函数关系
(2)由于遇到紧急情况,要求船上的货物不超过5天卸载完毕,那么平均每天至少要卸载多少吨
解:(1)设轮船上的货物总量为k吨,根据已知条件,得k=30×8=240.
所以v关于t的函数解析式为v=.
(2)把t=5代入v=,得v==48(吨/天).
从结果可以看出,如果全部货物恰好用5天卸载完,则平均每天卸载48吨.对于函数v=,当t>0时,t越小,v越大.这样若货物不超过5天卸载完毕,则平均每天至少要卸载48吨.
[方法总结] 在解决反比例函数相关的实际问题中,若题目要求“至多”“至少”,可以利用反比例函数的增减性来解答.
范例应用
例2 一司机驾驶汽车从甲地去乙地,他以 70 km/h 的平均速度用6 h到达目的地.
(1)甲、乙两地相距多少千米
(2)当他按原路匀速返回时,汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系
(3)如果该司机必须在5 h内回到甲地,则返程时的平均速度不能低于多少
(4)已知汽车的平均速度最大可达 120 km/h,那么它从甲地到乙地最快需要多长时间
解:(1)70×6=420(km).
(2)v=.
(3)将t=5代入,得v==84(km/h),所以返程时的平均速度不能低于84 km/h.
(4)将v=120代入,得t==(h),所以它从甲地到乙地最快需要h.
知识点2 反比例函数在力学中的应用
公元前3世纪,古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆原理”:若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比,则杠杆平衡.通俗一点可以描述为
阻力×阻力臂=动力×动力臂.
小伟欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂分别为1 200 N和0.5 m.
(1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系 当动力臂为1.5 m时,撬动石头至少需要多大的力
(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半,则动力臂l至少要加长多少
解:(1)根据“杠杆原理”,得Fl=1 200×0.5,
所以F关于l的函数解析式为F=.
当l=1.5 m时,F==400(N).
此时杠杆平衡.因此撬动石头至少需要400 N的力.
(2)当F=400×=200时,由200=,
得l==3(m),3-1.5=1.5(m).
因此,若想用力不超过400 N的一半,则动力臂至少要加长1.5 m.
[提示] 对于函数F=,F随l的增大而减小.因此,只要求出F=200 N时对应的l的值,就能确定动力臂l至少应加长的量.
想一想:在物理中,我们知道,在阻力和阻力臂一定的情况下,动力臂越长就越省力,你能用反比例函数的知识对其进行解释吗
知识点3 反比例函数与电学的结合
一个用电器的电阻是可调节的,其范围为110~220 Ω.已知电压为220 V.
(1)功率P与电阻R有怎样的函数关系
(2)这个用电器功率的范围是多少
解:(1)根据电学知识,当U=220时,得P=.
(2)根据反比例函数的性质可知,电阻越大,功率越小.
把电阻的最小值R=110代入求得的解析式,
得到功率的最大值P==440(W).
把电阻的最大值R=220代入求得的解析式,
得到功率的最小值P==220(W).
因此用电器功率的范围为220~440 W.
范例应用
例3 在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳,当改变容器的体积时,气体的密度也会随之改变,密度ρ(单位:kg/m3)是体积V(单位:m3)的反比例函数,它的图象如图所示,当V=10 m3时,气体的密度是 0.8 kg/m3 .
1.面积为2的直角三角形一直角边长为x,另一直角边长为y,则y与x的变化规律用图象可大致表示为(C)
2.某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1 L(1 L=1 dm3)的圆锥形漏斗.
(1)漏斗口的面积S(单位:dm2)与漏斗的深d(单位:dm)有怎样的函数关系
(2)如果漏斗的深为10 cm,那么漏斗口的面积为多少
(3)如果漏斗口的面积为60 cm2,则漏斗的深为多少
解:(1)V=Sd,S==,
所以漏斗口的面积S与漏斗的深d的函数解析式为S=.
(2)10 cm=1 dm,把d=1代入解析式,得S=3 dm2.
所以漏斗口的面积为3 dm2.
(3)60 cm2=0.6 dm2,把S=0.6代入解析式,得d=5 dm.
所以漏斗的深为5 dm.
3.某校科技小组进行野外考察,利用铺垫木板的方式通过一片湿地,当人和木板对湿地的压力一定时,随着木板面积S的变化,人和木板对地面的压强p将如何变化 如果人和木板对湿地地面的压力合计600 N,那么
(1)用含S的代数式表示p,p是S的反比例函数吗
(2)当木板面积为0.2 m2时,压强是多少
(3)如果要求压强不超过6 000 Pa,那么木板面积至少要多大
解:(1)由p=,得p=,p是S的反比例函数.
(2)当S=0.2时,p==3 000(Pa).
(3)当p≤6 000时,≤6 000,S≥0.1 m2.
所以木板面积至少要0.1 m2.
本节课你有哪些收获 可以与同学们交流探讨.
26.2 实际问题与反比例函数
1.实际问题与反比例函数.
2.反比例函数在力学中的应用.
3.反比例函数与电学的结合.
4.体会数学建模的思想.
本节课是用函数的观点处理实际问题,其中蕴含着体积、面积这样的实际问题.而解决这些问题的关键在于分析实际情境,建立函数模型,并进一步明确数学问题,将实际问题置于已有的知识背景之中,用数学知识重新解释这是什么,可以是什么,从而逐步形成考察实际问题的能力.在解决问题时,应充分利用函数的图象,渗透数形结合的思想.
第二十七章 相 似
27.1 图形的相似
1.通过观察生活中的实例,让学生体会相似图形的概念.
2.经历探究相似多边形特征的过程,掌握相似多边形的特征.
3.在探究相似多边形特征的过程中,培养学生归纳、猜想、合作交流等方面的能力,提高数学思维水平.
重点:相似多边形的主要特征的识别.
难点:正确地运用相似多边形的特征解决一些实际问题.
观察:图中的两图形有什么关系
答案:全等.形状相同、大小也相同,是能够完全重合的两个图形.
知识点1 相似图形的概念
如果把其中的一只小熊缩小,它们还全等吗 认真观察,它们有什么相同和不同
答案:不全等.形状相同、大小不同.
同一底片洗出的不同尺寸的照片:
观察这四组相似图形,其中一个图形可以看作由另一个图形怎样变换得到 什么样的图形是相似图形
答案:两个图形相似,其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.形状相同的图形叫做相似图形.
范例应用
例1 如图所示的是一个女孩儿从平面镜和哈哈镜里看到的自己的形象,这些镜中的形象相似吗
图(1) 图(2) 图(3)
解:题图(1)相似,题图(2)不相似,题图(3)不相似.
例2
如图所示,从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗
解:相似.因为放大后的图形大小虽然改变了,但形状与原图形相同,所以相似.
例3 观察下面的图形(a)~(g),其中哪些与图形(1),(2)或(3)相似
解:图(a)与图(1)相似,图(d)与图(2)相似,图(g)与图(3)相似.
思考:全等是相似吗
答案:全等是特殊的相似.
知识点2 相似多边形的性质
(1)如图所示,正方形A'B'C'D'是正方形ABCD放大2倍得到的,观察这两个图形,它们的对应角有什么关系 对应边呢
答案:∠A=∠A',∠B=∠B',
∠C=∠C',∠D=∠D'.
====.
(2)如图所示,将正六边形ABCDEF放大后得到正六边形A'B'C'D'E'F',它们的对应角及对应边有什么关系
答案:∠A=∠A',∠B=∠B',
∠C=∠C',∠D=∠D',
∠E=∠E',∠F=∠F'.
=====.
(3)如图所示,将多边形ABCD缩小后得到多边形A'B'C'D',它们的对应角、对应边是否有相同的结论
答案:∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',∠D=∠D'.
===.
两个多边形的对应角、对应边也有相同的结论.
[归纳总结] (1)相似多边形的定义:两个边数相同的多边形,如果它们的对应角分别相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形.
比例线段:四条线段中,如果其中两条线段的比等于另两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.(也称四条线段成比例)
线段a,b,c,d成比例,记作a∶b=c∶d或 =;
(2)相似多边形的性质
相似多边形的对应角相等,对应边的比也相等.相似多边形对应边的比称为相似比.当相似比为1时,相似的两个图形全等.
范例应用
如图所示,矩形的两边长分别为x和6(x<6),把它按如图所示的方式分割成三个全等的小矩形,每一个小矩形与原矩形相似,求x的值.
解:因为原矩形的长为6,宽为x,
所以小矩形的长为x,宽为2.
因为小矩形与原矩形相似,
所以=.
所以x=2.
1.想一想:
(1)所有的圆都是相似图形吗
答案:是.
(2)所有的等边三角形都是相似图形吗
答案:是.
(3)所有的三角形都是相似图形吗
答案:不是.
(4)所有的正方形都是相似图形吗
答案:是.
(5)所有的矩形都是相似图形吗
答案:不是.
2.如图所示的两个五边形相似,A,B,C,D,E的对应点分别为A',B',C',D',E',求未知边a,b,c,d的长度.
解:因为两个五边形相似,所以相似比为=.
所以====,
解得a=,b=4,c=,d=.
3.在比例尺为1∶10 000 000的地图上,量得甲、乙两地的距离是30 cm,求两地的实际距离.
解:设两地的实际距离为x cm,
根据题意,得=,
解得x=300 000 000.
300 000 000 cm=3 000 km.
答:甲、乙两地的实际距离为3 000 km.
4.已知纸片ABCD的宽度为21 cm,如图所示,将其对折后所得的矩形A'EFD'和矩形B'EFC'都和原来的矩形相似,且A'D',B'C'的对应边为AB,A'E,B'E的对应边为AD,求纸片的长度.
解:设纸片的长度AB为x cm,则对折后的矩形的长度A'E为0.5x cm.
因为对折后所得的矩形都和原来的矩形相似,
所以=.
所以=.
解得x=21.
所以纸片的长度AB为21 cm.
5.仔细观察如图所示的图形,看看四边形ABCD与四边形 A'B'C'D'是否相似,并说明理由.
解:四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似.理由如下:
通过观察可以发现,四边形ABCD的各边的长度分别是四边形A'B'C'D'的各边长度的2倍.各对应边互相平行(AB与A'B'在同一直线上).因此两四边形的对应角分别相等.
====2,
所以四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似.
本节课利用观察、度量、计算等方法研究图形的变化,要学会:
1.相似图形的定义及其性质.
2.能通过相似多边形性质计算图形变化中对应线段的长度.
第二十七章 相 似
27.1 图形的相似
1.相似图形的概念:形状相同的图形叫做相似图形.
2.相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.
3.相似多边形性质的应用.
本节课可以以探究的方式引入,使学生通过操作、观察、猜想、探究、交流、发现等学习方式掌握多边形的性质及判别方法,并且能够运用这些知识解决具体问题.
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线分线段成比例的基本事实
1.理解相似三角形的概念.
2.理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论,掌握相似三角形判定定理的有关证明.
3.掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用,会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算.
重点:理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论,掌握相似三角形判定定理的有关证明.
难点:掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用,会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算.
1.相似多边形的对应角 相等 ,对应边 成比例 ,对应边的比叫做 相似比 .
2.如图所示,△ABC和△A'B'C'相似,相似用符号“∽”表示,读作“相似于”,△ABC与△A'B'C'相似记作“△ABC∽△A'B'C'”.
知识点1 平行线分线段成比例的基本事实
如图(1)所示,直线a∥b∥c,分别交直线m,n于A,B,C,D,E,F.
(1)度量,,你有什么发现
答案:=.
(2)将b向下平移到如图(2)所示的位置,你在问题(1)中发现的结论还成立吗 如果将b平移到其他位置呢
答案:(1)中发现的结论还成立,将b平移到其他位置(1)中发现的结论仍然成立.
(3)根据前两问,你认为在平面上任意作三条平行线,用它们截两条直线,截得的对应线段成比例吗
答案:截得的对应线段成比例.
[归纳] 一般地,我们有平行线分线段成比例的基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
符号语言:
若a∥b∥c,则=,=,
=,=.
范例应用
例1 如图所示,已知a∥b∥c,下列比例式中错误的是(A)
A.= B.= C.= D.=
知识点2 平行线分线段成比例基本事实的推论
如图(1)所示,直线a∥b∥c,由平行线分线段成比例的基本事实,我们可以得出图中对应成比例的线段,如图(2),图(3)所示,把直线n任意平移,这些线段依然成比例.
[归纳总结] 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.如图所示.
范例应用
例2 如图所示,若DE∥BC,=,则= ;若FG∥BC,=2,则= .
知识点3 判定三角形相似的定理
如图所示,在△ABC中,D为AB上任意一点,过点D作BC的平行线DE,交AC于点E.
问题1:△ADE与△ABC的三个角分别相等吗
答案:分别相等.
问题2:分别度量△ADE与△ABC的边长,它们的边长是否对应成比例
答案:它们的边长对应成比例.
问题3:你认为△ADE与△ABC之间有什么关系 平行移动DE的位置,你的结论还成立吗
答案:△ADE∽△ABC.平行移动DE的位置,结论仍然成立.
思考:要用相似的定义去证明△ADE∽△ABC,我们需要证明的是==,而除DE外,其他的线段都在△ABC的边上,要想利用前面学到的结论来证明三角形相似,需要怎样做呢
[提示] 可以将DE平移到BC边上去,用相似的定义证明△ADE∽△ABC.
证明:在△ADE与△ABC中,∠A=∠A.
因为DE∥BC,
所以∠ADE=∠B,∠AED=∠C.
如图所示,过点E作EF∥AB,交BC于点F.
因为DE∥BC,EF∥AB,
所以=,=.
易知四边形DEFB为平行四边形,
所以DE=BF.
所以==,
所以△ADE∽△ABC.
定理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.
几何语言:如图所示,因为DE∥BC,
所以△ADE∽△ABC.
“A”型 “X”型
范例应用
例3 如图所示,在△ABC中,DG∥EH∥FI∥BC.
(1)请找出图中所有的相似三角形;
(2)如果AD=1,DB=3,那么DG∶BC= .
解:(1)△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC.
(2)1∶4
例4 如图所示,在 ABCD中,EF∥AB,DE∶EA=2∶3,EF=4,求CD的长.
解:因为EF∥AB,
所以===.
因为四边形ABCD为平行四边形,
所以CD=AB.
因为EF=4,则CD=AB=10.
1.如图所示,AB∥EF∥CD,则图中共有 3 对相似三角形.
2.若△ABC与△A'B'C'相似,一组对应边的长为AB=3 cm,A'B'=4 cm,那么△A'B'C'与△ABC的相似比
是 4∶3 .
3.如图所示,已知菱形ABCD内接于△AEF,AE=5 cm,AF=4 cm,求菱形的边长.
解:因为四边形ABCD为菱形,
所以CD∥AB.
所以=.
设菱形的边长为x cm,
则CD=AD=x cm,DF=(4-x)cm.
所以=,
解得x=.
所以菱形的边长为 cm.
4.如图所示,AB=AC,AD⊥BC于点D,M是AD的中点,CM的延长线交AB于点P,DN∥CP.
(1)若AB=6 cm,求AP的长;
(2)若PM=1 cm,求PC的长.
解:(1)因为AB=AC,AD⊥BC于点D,M是AD的中点,
所以DB=DC,AM=MD.
因为DN∥CP,
所以==1,==1.
所以AP=PN=BN.
又因为AB=6 cm,
所以AP=2 cm.
(2)由(1),知AP=PN=NB.
因为DN∥CP,
所以==,==.
又因为PM=1 cm,
所以PC=2ND=4PM=4 cm.
回顾本节课,我们都学习了哪些知识点
学行线分线段成比例的基本事实及其推论和判定三角形相似的定理.
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线分线段成比例的基本事实
1.基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
2.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.
3.判定三角形相似的定理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.
本节课是三角形的判定的第1课时,通过复习相似多边形的概念,学生用类比法易得到相似三角形的概念及表示方法,降低了学习概念的难度.以动手操作为主,探究平行线分线段成比例这一事实,学生经历动手操作、观察、计算、比较、讨论、归纳等教学活动,人人参与课堂,积极展示,学生成为课堂的主人,在积极思考中经历知识的形成过程,然后通过动画展示,学生直观形象地观察到这一基本事实在三角形中的应用,体会数学中的转化思想,为平行线证明相似做好铺垫.最后在教师的引导下完成定理的证明,培养学生逻辑思维能力和严谨的学习精神.
第2课时 相似三角形的判定(一)
1.了解三边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理的证明过程.
2.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.
3.探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.
重点:能运用三边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理证明三角形相似.
难点:三角形相似判定定理的证明过程.
提问:证明三角形全等有哪些方法 你能从中获得证明三角形相似的启发吗
知识点1 三边成比例的两个三角形相似
合作探究
任意画△ABC和△A'B'C',使===k,这两个三角形是否相似
解:△ABC∽△A'B'C'.
下面我们用前面所学的定理证明该结论.
证明:如图所示,过点D作DE∥BC交AC于点E,使AD=A'B'.
因为DE∥BC,
所以△ADE∽△ABC.
所以==.
又==,
所以=,=.
所以DE=B'C',EA=C'A'.
又因为AD=A'B',
所以△ADE≌△A'B'C'.
所以△ABC∽△A'B'C'.
[归纳总结] 利用三边判定三角形相似的定理
三边成比例的两个三角形相似.
符号语言:如图所示,
因为==,
所以△ABC∽△A'B'C'.
范例应用
例1 判断图中的两个三角形是否相似,并说明理由.
解:△ABC∽△DEF.理由如下:
在△ABC与△DEF中,
==0.6,
==0.6,==0.6,
所以==.
所以△ABC∽△DEF.
例2 如图所示的4×4的正方形网格的边长为1,三角形的顶点都在格点上,则与图中△ABC相似的三角形是(D)
知识点2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
合作探究
利用刻度尺和量角器画△ABC和△A'B'C',使 ∠A=∠A',==k,量出BC及B'C'的长,它们的比值等于k吗 再量一量两个三角形另外的两个角,你有什么发现 △ABC与△A'B'C'有何关系
解:它们的比值等于k,另外两个角也相等,
△ABC∽△A'B'C'.
追问:改变k和∠A的值的大小,是否有同样的结论
如图所示,在△ABC与△A'B'C'中,已知∠A=∠A',==k,求证:△ABC∽△A'B'C'.
证明:如图所示,在△A'B'C'的边上截取A'D,使A'D=AB.过点D作DE∥B'C',交 A'C' 于点E.
因为DE∥B'C',
所以△A'DE∽△A'B'C'.
所以=.
因为A'D=AB,=,
所以==.
所以A'E=AC.
又∠A'=∠A.
则△A'DE≌△ABC.
所以△ABC∽△A'B'C'.
[归纳总结] 利用两边和夹角来判定三角形相似的定理:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
符号语言:如图所示,因为=,∠A=∠A',
所以△ABC∽△A'B'C'.
思考:对于△ABC和△A'B'C',如果AB∶A'B'=AC∶A'C',∠B=∠B',这两个三角形一定相似吗
答案:不一定,如图所示,在△ABC和△A'B'C'中,
虽然=,∠B=∠B',
但是两个三角形不相似.
范例应用
例3 如图所示,在△ABC中,CD是边AB上的高,且=,求证:∠ACB=90°.
证明:因为CD是边AB上的高,
所以∠ADC=∠CDB=90°.
因为=,
所以△ADC∽△CDB.
所以∠ACD=∠B.
所以∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°.
1.如图所示,已知D是△ABC的边BC上一点,连接AD,使△ABC∽△DBA的条件是(D)
A.AC∶BC=AD∶BD B.AC∶BC=AB∶AD C.AB2=CD·BC D.AB2=BD·BC
2.如图所示,AB∥CD,点E在AB上,点F在CD上,AC,BD,EF相交于点O,则图中相似三角形共有(C)
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
如图所示,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,求证:△ABC∽△EFD.
证明:因为点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,
所以DE=AC,DF=BC,EF=AB.
所以===.
所以△ABC∽△EFD.
本节课你有哪些收获
学会判定三角形相似的两种方法:三边成比例、两边成比例且夹角相等.
第2课时 相似三角形的判定(一)
本节课通过复习全等三角形的判定方法,类比猜想SSS能否证明三角形相似,学生迅速完成由旧知识向新知识的转化,激发了学生学习本节课的兴趣,达到了较好的导入效果.在探究判定定理的证明过程中,教师以小问题的形式引导,层层深入分析证明定理的思路,降低了学习难度,再通过小组合作交流完成定理的证明过程,学生在课堂上思维活跃,合作意识较强.在整个教学过程中注重学生思维能力的提升及知识的形成过程.
第3课时 相似三角形的判定(二)
1.探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.
2.掌握判定两个直角三角形相似的方法,并能进行相关计算.
3.经历从实验探究到归纳证明的过程,发展学生的探究、交流和推理能力.
重点:掌握相似三角形的判定定理(3)及直角三角形中特有的相似判定方法.
难点:探究两个判定定理的过程及其证明方法.
我们学过哪些判定三角形相似的方法
法一 通过定义(不常用)
如图①所示,因为==,
∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F,
所以△ABC∽△DEF.
法二 通过平行线
如图②所示,因为DE∥BC,
所以△ABC∽△ADE.
法三 三边对应成比例
如图③所示,因为==,
所以△ABC∽△DEF.
法四 两边对应成比例且夹角相等
如图④所示,因为=,∠A=∠D,
所以△ABC∽△DEF.
知识点1 两角分别相等的两个三角形相似
合作探究
与同伴合作,一人画△ABC,另一人画△A'B'C',使∠A=∠A'=40°,∠B=∠B'=55°,探究下列问题:
问题1:度量AB,BC,AC,A'B',B'C',A'C'的长,并计算出它们的比值,你有什么发现
解:这两个三角形是相似的.
问题2:试证明△A'B'C'∽△ABC.
证明:如图所示,在△ABC的边AB上截取AD=A'B',过点D作DE∥BC,交AC于点E,则有△ADE∽△ABC,∠ADE=∠B.
因为∠B=∠B',所以∠ADE=∠B'.
又因为AD=A'B',∠A=∠A',
所以△ADE≌△A'B'C'.
所以△A'B'C'∽△ABC.
[归纳总结] 利用两组角判定两个三角形相似的定理:两角分别相等的两个三角形相似.
符号语言:
如图所示,因为∠A=∠A',∠B=∠B',
所以△ABC∽△A'B'C'.
范例应用
例1 如图所示,在△ABC和△A'B'C'中,若∠A=50°,∠B=75°,∠A'=50°,当∠C'= 55° 时,△ABC∽△A'B'C'.
例2 如图所示,在△ABC中,D是AB上的点,且∠ACD=∠B.
(1)求证:△ABC∽△ACD;
(2)若AD=4,AC=6,求AB的长.
(1)证明:在△ABC和△ACD中,
因为∠A=∠A,∠B=∠ACD,
所以△ABC∽△ACD.
(2)解:因为△ABC∽△ACD,所以=.
所以AB==9.
如图所示,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.
证明:因为DE∥BC,EF∥AB,
所以∠AED=∠C,
∠A=∠FEC.
所以△ADE∽△EFC.(两角分别相等的两个三角形相似)
知识点2 判定两个直角三角形相似
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,E是AC上一点,AE=5,ED⊥AB,垂足为D.求AD的长.
解:因为ED⊥AB,所以∠EDA=90°.
又∠C=90°,∠A=∠A,
所以△AED∽△ABC.
所以=.
所以AD===4.
[归纳总结] 直角三角形相似的方法:有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
思考:对于两个直角三角形,我们还可以用“HL”判定它们全等.那么,满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗
如图所示,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=90°,∠C'=90°,=.
求证:Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.
证明:设==k,
则AB=kA'B',AC=kA'C'.由勾股定理,得
BC=,B'C'=.
所以====k.
所以==.
所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.
[归纳总结] 判定直角三角形相似的方法:斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
范例应用
例4 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.
(1)∠A=35°,∠B'=55°;
(2)AC=3,BC=4,A'C'=6,B'C'=8;
(3)AB=10,AC=8,A'B'=25,B'C'=15.
解:(1)这两个三角形相似.
(2)这两个三角形相似.
(3)这两个三角形相似.
例5 如图所示,已知∠ACB=∠ADC=90°,AD=2,CD=,当AB的长为多少时,△ACB与△ADC相似.
解:因为∠ADC=90°,AD=2,CD=,
所以AC===.
要使这两个直角三角形相似,有两种情况:
(1)当Rt△ABC∽Rt△ACD时,有AC∶AD=AB∶AC,
即∶2=AB∶,解得AB=3.
(2)当Rt△ACB∽Rt△CDA时,有AC∶CD=AB∶AC,
即∶=AB∶,解得AB=3.
所以当AB的长为3或3时,这两个直角三角形相似.
1.如图所示,若P是Rt△ABC斜边BC上异于B,C的一点,过点P作直线截△ABC,截得的三角形与原△ABC相似,满足这样条件的直线有(C)
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
2.如图所示,在 ABCD中,E是边BC上的一点,且BE∶EC=3∶2,连接AE,BD交于点F,则BE∶AD= 3∶5 ,BF∶FD= 3∶5 .
如图所示,在△ABC中,∠ACB的平分线交AB于点D,过点D作DE∥BC交AC于点E,若AD∶DB=3∶2,则DE∶BC= 3∶5 .
如图所示,△ABC的高AD,BE交于点F.求证:=.
证明:因为△ABC的高AD,BE交于点F,
所以∠FEA=∠FDB=90°,∠AFE=∠BFD.
所以△FEA∽△FDB.
所以=.
回顾本节课我们学习的相似三角形的判定方法,会应用适当的方法来判定两个三角形相似.
第3课时 相似三角形的判定(二)
1.利用两组角判定两个三角形相似的定理:两角分别相等的两个三角形相似.
2.判定两个直角三角形相似:如果两个直角三角形满足一个锐角相等或斜边和一条直角边成比例,那么这两个直角三角形相似.
本节课应强调学生自主探究的原则,让学生通过观察、实验、动手探究等方式掌握判定三角形相似的方法.整堂课应注重转化思想的运用,本课时难点在于探究两个判定定理的过程及其证明方法,教师教学时讲解要尽可能详尽.教学过程中,应鼓励学生相互交流探讨,以提高学生的学习热情.
27.2.2 相似三角形的性质
1.理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比;理解相似三角形面积的比等于相似比的平方,并运用其解决问题.
2.经历对三角形问题进行探究的过程,进一步增强学生领会转化的思想方法.
3.通过对性质的发现和论证过程,感受数学活动中充满着探索,提高学习热情,增强探究意识.
重点:理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比;理解相似三角形面积的比等于相似比的平方,并运用其解决问题.
难点:经历对三角形问题进行探究的过程,进一步增强学生领会转化的思想方法.
三角形除了三个角,三条边外,还有哪些要素
答案:还有高、中线、角平分线、周长、面积等要素.
如果两个三角形相似,那么,对应的这些要素有什么关系呢 本节课我们就来探究对应的这些要素有什么关系
知识点1 相似三角形对应线段的比
合作探究
如图所示,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少
[探究1] 如图所示,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,AD,A'D'分别是边BC,B'C'上的高,求它们对应高的比.
解:因为AD,A'D'分别是边BC,B'C'上的高,
所以∠ADB=∠A'D'B'=90°.
因为△ABC∽△A'B'C',
所以∠B=∠B'.
所以△ADB∽△A'D'B'.
所以==k.
[探究2] 如图所示,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,AD,A'D'分别是边BC,B'C'上的中线,求证:=k.
证明:因为△ABC∽△A'B'C',
所以∠B=∠B',==k.
因为AD,A'D'分别是边BC,B'C'上的中线,
所以BD=BC,B'D'=B'C'.
所以==k.
所以△ABD∽△A'B'D'.
所以==k.
[探究3] 如图所示,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,AD,A'D'分别是∠BAC,∠B'A'C'的平分线,求证:=k.
证明:因为△ABC∽△A'B'C',
所以=k,∠B=∠B',∠BAC=∠B'A'C'.
因为AD,A'D'分别是∠BAC,∠B'A'C'的平分线,
所以∠BAD=∠BAC,
∠B'A'D'=∠B'A'C'.
所以∠BAD=∠B'A'D'.
所以△ABD∽△A'B'D'.
所以==k.
[归纳总结] 相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比.一般地,相似三角形对应线段的比等于相似比.
范例应用
例1 如图所示,已知△ABC∽△DEF,BG,EH分别是△ABC和△DEF的角平分线,BC=6 cm,EF=4 cm,BG=4.8 cm.求EH的长.
解:因为△ABC∽△DEF,BG和EH是角平分线,
所以=.
所以=,
解得EH=3.2 cm.
想一想:相似三角形周长的比也等于相似比吗 为什么
[探究4] 如图所示,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,求证:C△ABC∶C△A'B'C'=k.
证明:因为△ABC∽△A'B'C',
所以===k.
所以BC=k·B'C',AB=k·A'B',
AC=k·A'C'.
所以=
==k.
[结论] 相似三角形周长的比等于相似比.
知识点2 相似三角形面积的比
如图所示,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,它们的面积比是多少
解:如图所示,分别作AD⊥BC于点D,A'D'⊥B'C'于点D'.
由前面的结论,我们有=k,=k.
所以==·=k·k=k2.
[归纳总结] 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
范例应用
例2 如图所示,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D.若△ABC的边BC上的高为6,面积为12,求△DEF的边EF上的高和面积.
解:在△ABC和△DEF中,
因为AB=2DE,AC=2DF,
所以==.
又因为∠A=∠D,
所以△DEF∽△ABC,相似比为1∶2.
因为△ABC的边BC上的高为6,面积为12,
所以△DEF的边EF上的高为×6=3,
面积为2×12=3.
例3 如图所示,D,E分别是AC,AB上的点,已知△ABC的面积为100 cm2,且==,求四边形BCDE的面积.
解:因为∠BAC=∠DAE,
且==,
所以△ADE∽△ABC.
因为它们的相似比为3∶5,
所以面积比为9∶25.
又因为△ABC的面积为100 cm2,
所以△ADE的面积为100×=36(cm2).
所以四边形BCDE的面积为100-36=64(cm2).
1.已知两个三角形相似,请完成下列表格:
相似比 2 100 k
周长比 2 100 k
面积比 4 10 000 k2
2.把一个三角形变成和它相似的三角形.
(1)如果边长扩大为原来的5倍,那么面积扩大为原来的 25 倍;
(2)如果面积扩大为原来的100倍,那么边长扩大为原来的 10 倍.
3.如图所示,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,已知△ADE和△EFC的面积分别为4和9,求△ABC的面积.
解:因为DE∥BC,EF∥AB,
所以∠A=∠CEF,
∠ADE=∠B,∠EFC=∠B.
所以∠ADE=∠EFC.
所以△ADE∽△EFC.
又因为△ADE和△EFC的面积分别为4和9,
所以AE∶EC=2∶3.
则AE∶AC=2∶5.
所以S△ADE∶S△ABC=4∶25.
所以S△ABC=25.
4.如图所示,在△ABC中,DE∥BC,DE分别交AB,AC于点D,E,S△ADE=2S△DCE,求S△ADE∶S△ABC.
解:如图所示,过点D作AC的垂线,交AC于点F,
则===2.
所以=.
又因为DE∥BC,
所以△ADE∽△ABC.
所以=2=2=,
即S△ADE∶S△ABC=4∶9.
谈一谈本节课你的收获,自己总结一下相似三角形的性质.
27.2.2 相似三角形的性质
1.相似三角形对应高、中线、角平分线、周长的比等于相似比.
2.相似三角形面积的比等于相似比的平方.
3.相似三角形性质的运用.
本节课的教学过程中,首先提出问题让学生回答,这有助于学生回顾三角形的有关知识,接着教师提出问题并让学生自主探索形成初步认识,最后师生共同归纳结论.在上述教学过程中,教师要充分调动学生的积极性,自主探究,体会发现和解决问题的乐趣.
27.2.3 相似三角形应用举例
1.会利用相似三角形的性质测量物体的高度.
2.经历对实际问题的探索,能够利用相似三角形的知识,求出不能直接测量的物体的高度和宽度.
3.进一步了解数学建模思想,能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型,提高分析问题、解决问题的能力.
重点:经历对实际问题的探索,能够利用相似三角形的知识,求出不能直接测量的物体的高度和宽度.
难点:进一步了解数学建模思想,能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型,提高分析问题、解决问题的能力.
怎样测量这些非常高大的物体的高度
知识点1 利用相似三角形测量高度
合作探究
据传说,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成两个相似三角形来测量金字塔的高度.
[设计意图] 以旧引新,帮助学生建立新旧知识间的联系,借助古代难题,引出新课,激发学生的好奇心和求知欲,感受数学应用的意义.
如图所示,木杆EF长2 m,它的影长FD为3 m,测得OA为201 m,求金字塔的高度BO.
[教师引导分析]
(1)太阳光线与物体及其影子组成的△AOB与△DFE相似吗
答案:由太阳光线平行,得∠BAO=∠EDF,又∠AOB=∠DFE=90°,得△AOB与△DFE相似.
(2)如何求OA的长
答案:金字塔的影子是等腰三角形,则OA的长等于这个等腰三角形的高与金字塔底面边长一半的和.
(3)写出你的求解过程.
[师生活动] 学生在教师的引导下分析回答,独立完成证明过程.
解:因为太阳光线是平行光线,因此∠BAO=∠EDF.
又∠AOB=∠DFE=90°,
所以△ABO∽△DEF.
所以=.
所以BO===134(m).
因此金字塔的高度BO为134 m.
[归纳总结] 测量不能到达顶部的物体的高度
测高方法:
可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
表达式:物1高∶物2高=影1长∶影2长.
范例应用
如图所示,要测量旗杆AB的高度,可在地面上竖一根竹竿DE,测量出DE的长以及DE和AB在同一时刻下地面上的影长即可,则下面能用来求AB长的等式是(C)
A.= B.= C.= D.=
例2 如图所示,九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度,当身高1.6 m的楚阳同学站在C处时,他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合,同一时刻,其他成员测得AC=2 m,AB=10 m,则旗杆的高度是 8 m.
[点拨] =.
想一想:还可以用其他方法测量吗
[师生活动] 学生小组讨论方法,画出图形,小组代表根据图形叙述测量的方法和思路,归纳测量物体高度的其他方法.
解:如图所示,利用平面镜构造直角三角形.
因为∠EAF=∠BAO,∠EFA=∠BOA,
所以△ABO∽△AEF.
所以=.
则OB=.
所以利用平面镜构造直角三角形也可测量物体的高度.
[设计意图] 提出结论开放性问题,学生通过小组合作交流,想出测量物体高度的多种方法,激发学生的创造性思维,提高学生用数学知识解决实际问题的能力.
如图所示的是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后,刚好射到古城墙的顶端C处,已知AB=2 m,且测得BP=3 m,DP=12 m,那么该古城墙的高度是(B)
A.6 m B.8 m C.18 m D.24 m
知识点2 利用相似三角形测量宽度
如图所示,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P,Q,S共线且直线PS与河垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.测得QS=45 m,ST=90 m,QR=60 m,求河宽PQ.
[师生活动] 学生在教师的引导下独立思考,再完成解答过程,然后小组交流答案,教师在巡视过程中帮助有困难的学生.
解:因为∠PQR=∠PST=90°,∠QPR=∠SPT,
所以△PQR∽△PST.
所以=.
所以=,
即=.
所以PQ×90=(PQ+45)×60,
解得PQ=90(m).
因此,河宽大约为90 m.
追问:还有其他构造相似三角形求河宽的方法吗
[师生活动] 学生小组合作交流,共同探究其他方法.师生共同归纳,只要合理都可以.
如下题也可以应用相似三角形的性质测量河宽.
如图所示,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选点B和C,使AB⊥BC,然后,再选点E,使EC⊥BC,BC和AE的交点为D.此时如果测得BD=80 m,DC=30 m,EC=24 m,求河宽AB.
解:因为∠ADB=∠EDC,∠ABC=∠ECD=90°,
所以△ABD∽△ECD.
所以=,
即=,
解得AB=64(m).
因此,河宽AB为64 m.
[归纳总结] 测量河宽等不易直接测量的物体的宽度,常构造相似三角形求解.如图所示.
知识点3 利用相似解决有遮挡物问题
如图所示,左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8 m和CD=12 m,两树底部的距离BD=5 m,一个人估计自己眼睛距离地面1.6 m,他沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进,当他与左边较低的树的距离小于多少时,就看不到右边较高的树的顶端C了
[教师引导分析] 如图所示,设观察者眼睛的位置为点F,画出观察者的水平视线FG,分别交AB,CD于点H,K.视线FA与FG的夹角∠AFH是观察点A时的仰角.类似地,∠CFK是观察点C时的仰角,由于树的遮挡,区域Ⅰ和Ⅱ,观察者都看不到.
解:如图所示,假设观察者从左向右走到点E时,
他的眼睛的位置点E与两棵树的顶端A,C恰在一条直线上.
因为AB⊥l,CD⊥l,所以AB∥CD.
所以△AEH∽△CEK.
所以=.
则==,
解得EH=8(m).
由此可知,如果观察者继续前进,当他与左边的树的距离小于8 m时,由于这棵树的遮挡,他看不到右边树的顶端C.
1.小刚身高1.7 m,测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m,紧接着他把手臂竖直举起,测得影子长为1.1 m,那么小刚举起的手臂超出头顶(A)
A.0.5 m B.0.55 m C.0.6 m D.2.2 m
2.如图所示,小明在打网球时,使球恰好能打过网,而且落在离网4 m的位置上,则球拍击球的高度h为 1.4 m .
3.如图所示,为了估算河的宽度,我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选定点B和点C,使AB⊥BC,然后再选点E,使EC⊥BC,BC和AE的交点为D,此时如果测得BD=118 m,DC=61 m,EC=50 m,求河的宽度AB(精确到0.1 m).
解:因为∠ADB=∠EDC,∠ABD=∠ECD=90°,
所以△ABD∽△ECD.所以=.
所以AB==≈96.7(m).
答:河的宽度AB约为96.7 m.
本节课你的收获有哪些
1.测量不能直接测量的物体的高度:通常用同一时刻物高与影长成比例解决.
2.测量不能直接测量的物体的宽度:通常构造直角三角形利用相似求解.
27.2.3 相似三角形应用举例
1.利用相似三角形测量高度.
2.利用相似三角形测量宽度.
3.利用相似解决有遮挡物问题.
本节课主要是让学生学会运用三角形相似解决实际问题,在解决实际问题中经历从实际问题到建立数学模型的过程,发展学生的抽象概括能力,在进行测量旗杆的高度时,为了培养学生从多个角度思考问题,让学生探索不同方法用时太多,造成后面例题的分析有些仓促,学生思考、交流时间过短,在以后的教学中,可以把用不同方法测量旗杆的高度作为课前预习内容思考.
27.3 位 似
第1课时 位似图形
1.掌握位似图形的定义、性质及画法.掌握位似图形与相似图形的区别和联系.
2.经历观察、思考及动手操作等过程,锻炼学生分析问题、解决问题的能力.
3.通过对位似图形的观察、欣赏,可激发学生的学习兴趣,增强审美意识.
重点:位似图形的有关概念、性质及作位似图形.
难点:利用位似图形将一个图形放大或缩小.
如图所示的是幻灯机放映图片的示意图,在幻灯机放映图片的过程中,这些图片之间有什么关系 连接图片上对应的点,你有什么发现
知识点1 位似图形的概念
合作探究
思考:下列图形中有多边形相似吗 如果有,那么这种相似有什么特征
答案:这三个图形中的多边形都分别相似.
特征:(1)这两个图形是相似的,对应边互相平行.
(2)每组对应点所在的直线都经过同一点.
[归纳总结] 对于两个图形,如果它们对应顶点的连线相交于一点,并且这点与对应顶点所连线段成比例,像这样的两个图形叫做位似图形,这个交点叫做位似中心.
范例应用
例1 画出下列图形的位似中心:
解:如图①,图②所示的点O即为图形的位似中心.
[总结] 两个位似图形的位似中心的位置可能有以下几种情况:
(1)如图①所示,当位似中心在两个位似图形的同侧时;
(2)如图②所示,当位似中心在两个位似图形之间时;
(3)如图③,图④,图⑤所示,当位似中心分别在两个位似图形的内部、图上及顶点时.
知识点2 位似图形的性质
如图(1)所示,我们可以看到,△OAB∽△OA'B',则==,AB∥A'B'.那么图(2)呢 你得到了什么
[归纳总结] (1)位似图形是一种特殊的相似图形,它具有相似图形的所有性质,即对应角相等,对应边的比相等;(2)对应点到位似中心的距离的比等于相似比;(3)对应线段平行或者在一条直线上.
范例应用
例2 如图所示,BC∥ED,则下列说法不正确的是(D)
A.△ABC与△ADE是位似图形 B.点A是两个三角形的位似中心
C.△ADE∽△ABC D.AE∶AD是相似比
例3 下列说法:①位似图形一定是相似图形;②相似图形一定是位似图形;③两个位似图形若全等,则位似中心在两个图形之间;④若五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'位似,则其中△ABC与△A'B'C'也是位似的,且相似比相等.其中正确的有 ①④ (填序号).
知识点3 画位似图形
思考:如图所示,怎样把四边形ABCD缩小到原来的
答案:(1)在四边形外任选一点O(如图所示);
(2)分别在线段OA,OB,OC,OD上取点A',B',C',D',使得====.
(3)顺次连接点A',B',C',D',所得四边形A'B'C'D'就是所要求的图形.
强调:利用位似,可以将一个图形放大或缩小.
思考:对于上面的问题,还有其他方法吗
如果在四边形外任选一点O,分别在OA,OB,OC,OD的反向延长线上取A',B',C',D',使得====呢 如果点O取在四边形ABCD内部呢 分别画出这时得到的图形.
解:画出的图形分别如图①,图②所示.
范例应用
例4 如图所示,如何把三角形ABC放大为原来的2倍 只画出两种放大过程即可.
解:(答案不唯一)如图①,图②所示.
1.如图所示,正五边形FGHMN与正五边形ABCDE是位似图形,若AB∶FG=2∶3,则下列结论正确的是(B)
A.2DE=3MN B.3DE=2MN C.3∠A=2∠F D.2∠A=3∠F
2.如图所示,已知△ABC,画△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC,且使相似比为1∶3.
要求:位似中心O在△ABC的一条边AB上.
解:△A'B'C'如图所示.
3.如图所示,F在BD上,BC,AD相交于点E,且AB∥CD∥EF,AB=2,CD=3.
(1)图中有哪几对位似三角形 选其中一对加以证明;
(2)求EF的长;
(3)求△ABD与△EFD面积的比.
解:(1)△ABD与△EFD,△BFE与△BDC,△AEB与△DEC都是位似图形;
因为AB∥CD∥EF,
所以△ABD∽△EFD,△BFE∽△BDC,
△AEB∽△DEC.
因为对应顶点的连线都交于一点,并且这点与对应顶点所连线段成比例,
所以△ABD与△EFD,△BFE与△BDC,△AEB与△DEC都是位似图形.
(2)因为△AEB∽△DEC,AB=2,CD=3,
所以==.
所以==,
即=,
解得EF=.
(3)因为△ABD∽△EFD,
所以=2=2=.
请总结一下位似的概念、性质、画法.
1.概念:对于两个图形,如果它们的对应顶点的连线相交于一点,并且这点与对应顶点所连线段成比例,像这样的两个图形叫做位似图形,这个交点叫做位似中心.
2.性质:位似图形是相似图形,各对应点到位似中心的距离的比等于相似比;每组对应点连线相交于一点;对应边互相平行(或在同一条直线上).
3.画法:确定位似中心;对应点与位似中心的距离比相等.
27.3 位 似
第1课时 位似图形
1.位似图形的概念.
2.位似图形的性质.
3.画位似图形:将图形放大或缩小.
本节课的重点是位似图形的概念、性质及作图方法,在课堂上注重探究知识的形成过程,不是单纯地记忆结论,探索位似图形的性质的过程中,以教师提出的问题为指导,通过小组合作交流,归纳总结位似图形的性质,提高了学生分析问题、解决问题的能力,为进一步探索将图形放大或缩小提供了理论依据,在整个探究过程中,学生是课堂的主人,学生在课堂上享受到成功的快乐.画位似图形,由教师先提出问题,学生讨论,通过展示不同成果让学生体会思考问题要全面,最后归纳总结画位似图形的方法,培养学生归纳总结的能力.
第2课时 位似变换与坐标
1.能熟练地利用坐标变化将一个图形放大与缩小;了解四种图形变换(平移、轴对称、旋转和位似)的异同.
2.在具体活动操作中,培养学生的动手操作能力,进一步增强用位似变换来解决实际问题的能力.
3.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,进一步培养学生综合运用知识的能力,体验成功的喜悦,树立良好的数学自信心.
重点:用图形的坐标变化来表示图形的位似变换,能综合运用平移、轴对称、旋转和位似进行图案设计.
难点:用图形的坐标变化来表示图形的位似变换.
问题:将如图(1)所示的图形如何变换得到如图(2)所示的图形
在平面直角坐标系中,可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转(中心对称).那么位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢
知识点1 平面直角坐标系中的位似变换
合作探究
1.如图所示,在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0).以原点O为位似中心,相似比为,把线段AB缩小,观察对应点之间坐标的变化.
解:如图所示,点A的对应点A'及A″的坐标为A'(2,1),A″(-2,-1);点B的对应点B'及B″的坐标为B'(2,0),B″(-2,0).
2.如图所示,△AOC的顶点坐标分别为A(4,4),O(0,0),C(5,0),以点O为位似中心,相似比为2,将△AOC放大,观察对应顶点坐标的变化.
解:如图所示,把△AOC放大后,A,C的对应点的坐标分别为A'(8,8),C'(10,0),A″(-8,-8),C″(-10,0).
问题1:在平面直角坐标系中,以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个
问题2:如果所作位似图形与原图形在原点的同侧,那么对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系 如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢
问题3:如何在平面直角坐标系中,以原点为位似中心,画一个图形的位似图形
[设计意图] 通过对上述问题的探究思考,让学生主动参与数学知识的“再发现”,在动手—猜想—交流—归纳过程中进一步体验坐标平面内的位似变换性质.
[归纳总结] (1)在平面直角坐标系中,以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个;
(2)当位似图形在原点同侧时,其对应顶点的坐标的比为k;当位似图形在原点异侧时,其对应顶点的坐标的比为-k,即原图形上点的坐标为(x,y),则对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky);
(3)当k>1时,图形扩大为原来的k倍;当0范例应用
例1 如图所示,线段AB两个端点的坐标分别为A(4,4),B(6,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,则端点D的坐标为(D)
A.(2,2) B.(2,1) C.(3,2) D.(3,1)
例2 △ABC三个顶点的坐标分别为A(3,6),B(6,2),C(2,-1),以原点为位似中心,得到的位似图形△A'B'C'三个顶点坐标分别为A'(1,2),B'2,,C',-,则△A'B'C'与△ABC的相似比是 1∶3 .
例3 如图所示,在平面直角坐标系中,△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-2,0),O(0,0).以原点O为位似中心,在△ABO的同一侧画出一个三角形使它与△ABO的相似比为3∶2.
解:如图所示,△A'B'O即为所求.
知识点2 平面直角坐标系中的图形变换
至此,我们已经学习了四种变换:平移、轴对称、旋转和位似,你能说出它们之间的异同吗 在如图所示的图案中,你能找到这些变换吗
试一试:将图中的△ABC做下列变换,画出相应的图形.(每个小方格的边长为1个单位长度)
(1)沿y轴向上平移3个单位长度;
(2)关于x轴对称;
(3)在点C的左侧,以C点为位似中心,画一个三角形使它与△ABC的相似比为2∶1;
(4)以C为中心,将△ABC顺时针旋转180°.
解:(1)如图①所示.
(2)如图②所示.
(3)如图③所示.
(4)如图④所示.
1.如图所示,每个小方格的边长为1个单位长度,将△ABC的三边分别扩大为原来的2倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上),它们是以P点为位似中心的位似图形,则P点的坐标是(D)
A.(-3,-3) B.(-3,-4) C.(-4,-4) D.(-4,-3)
2.如图所示,点A的坐标为(3,4),点O的坐标为(0,0),点B的坐标为(4,0).
(1)将△AOB沿x轴向左平移1个单位长度后得△A1O1B1,则点A1的坐标为 (2,4) ,△A1O1B1的面积为 8 ;
(2)将△AOB绕原点旋转180°后得△A2OB2,则点A2的坐标为 (-3,-4) ;
(3)将△AOB沿x轴翻折后得△A3OB3,则点A3的坐标为 (3,-4) ;
(4)以O为位似中心,将△AOB放大后得△A4OB4,相似比为1∶2,若点B4在x轴负半轴上,则点A4的坐标为 (-6,-8) ,△A4OB4的面积为 32 .
3.如图所示,在△ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(-1,0).以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C,并把△ABC的边长放大到原来的2倍.设点B的对应点B'的横坐标是a,求点B的横坐标.
解:如图所示,作BE垂直于x轴于点E,B'F垂直于x轴于点F,
则△BEC∽△B'FC.
因为△ABC与△A'B'C的相似比为1∶2,
所以B'C=2BC.
所以2EC=CF.设点B的横坐标为x,
即2(-x-1)=a+1.
所以x=-(a+3)=-a-.
即点B的横坐标为-a-.
谈谈这节课你的收获.
本节课探究平面直角坐标系上的位似图形,结合平面直角坐标系的特点可以快速推理出相似图形的点的坐标的变化规律:原图形上点的坐标为(x,y),则对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky).
第2课时 位似变换与坐标
1.平面直角坐标系中的位似变换.
(1)坐标变化规律:(x,y)→(kx,ky)或(-kx,-ky);
(2)平面直角坐标系中的位似图形的画法.
2.平面直角坐标系中的图形变换.
本课时可类比上一课时的教学方式进行,只不过本课时涉及了平面直角坐标系,教学时教师应让学生充分参与,体会平面直角坐标系中的位似变换,以培养学生的动手操作能力和用位似变换解决实际问题的能力.本课时的难点是用图形的坐标变化来表示图形的位似变换的变化规律,教师可以让学生以小组为单位进行讨论,争取让学生自己发现规律,教师再予以适当点拨,以培养学生的探究能力.
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第1课时 正 弦
1.探索并理解正弦的概念.并能根据正弦的概念进行计算.
2.通过探究锐角的正弦的概念的形成,体会由特殊到一般的数学思想方法,培养学生的归纳推理能力.
3.让学生在通过探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的快乐,感悟数学的实用性,培养学生学习数学的兴趣.
重点:探索并理解正弦的概念.并能根据正弦的概念进行计算.
难点:引导学生探究发现:在直角三角形中,一个确定的锐角的对边与斜边的比值是不变的.
为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房A处沿着山坡AB铺设水管,在山坡上建一座扬水站,对坡面绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角(∠A)为30°,为使出水口的高度BC达到35 m,需要准备多长的水管
知识点1 已知直角三角形的边长求正弦值
互动探究
同学们,从上述情境中,你可以找到一个什么数学问题呢 能否结合数学图形把它描述出来
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=35 m,求AB.
解:根据“在直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半”,
即=.
可得AB=2BC=70 m.
也就是说,需要准备70 m长的水管.
提问:如果出水口的高度为50 m,那么需要准备多长的水管 (自主思考)
[归纳] 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么无论这个直角三角形大小如何,这个角的对边与斜边的比都等于.
思考:如图所示,在Rt△ABC中,如果∠C=90°,∠A=45°,那么∠A的对边和斜边的比是多少
解:因为∠A=45°,则AC=BC.
由勾股定理,得AB2=AC2+BC2=2BC2.
所以AB=BC.
所以==.
[归纳] 在直角三角形中,如果一个锐角等于45°,那么无论这个直角三角形大小如何,这个角的对边与斜边的比都等于.
思考:当∠A是任意一个确定的锐角时,它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢
任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C',使得∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,那么与有什么关系.能解释一下吗
提示:因为∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,
所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.
所以=,=
[归纳] 这就是说,在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比是一个固定值.
[归纳总结]
如图所示,在Rt△ABC 中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine),记作sin A,
即sin A==,
例如,当∠A=30°时,我们有sin A=sin 30°=,
当∠A=45°时,我们有sin A=sin 45°=.
范例应用
例1 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,求sin A和sin B的值.
[分析] 求sin A和sin B的值,实质就是求∠A与∠B的对边与斜边的比.先利用勾股定理求未知的斜边与直角边的长.
解:如图(1)所示,在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB===5.
所以sin A==,sin B==.
如图(2)所示,在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AC===12,
所以sin A==,sin B==.
例2 如图所示,在平面直角坐标系内有一点P(3,4),连接OP,求OP与x轴正方向所夹锐角的正弦值.
[点拨] 结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值,一般过已知点向x轴或y轴作垂线,构造直角三角形,再结合勾股定理求解.
解:如图所示,过点P作PA⊥x轴,交x轴于点A,则A(3,0).
在△APO中,由勾股定理,得
OP===5.
因此sin∠POA==.
知识点2 已知锐角的正弦值求直角三角形的边长
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,BC=3,求sin B及Rt△ABC的面积.
解:因为sin A=,
所以=.
所以AB=3BC=3×3=9.
所以AC===6.
所以sin B===.
所以S△ABC=AC·BC=×6×3=9.
范例应用
例3 在△ABC中,∠C=90°,AC=24,sin A=,求这个三角形的周长.
[点拨] 已知一边及其邻角的正弦值时,一般需结合方程思想和勾股定理,解决问题.
解:设BC=7x,则AB=25x.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AC===24x,
即24x=24,解得x=1.
故BC=7x=7,AB=25x=25.AC=24.
所以△ABC的周长为AB+BC+AC=25+7+24=56.
1.在直角三角形ABC中,若三边长都扩大2倍,则锐角A的正弦值(B)
A.扩大2倍 B.不变 C.缩小2倍 D.无法确定
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sin A=,则∠A= 45° ,∠B= 45° .
3.如图所示,在正方形网格中有△ABC,则sin∠ABC 的值为 .
4.如图所示,点D(0,3),O(0,0),C(4,0)在☉A上,BD是☉A的一条弦,则sin∠OBD= .
5.如图所示,在△ABC中,AB=BC=5,sin A=,求△ABC的面积.
解:如图所示,作BD⊥AC于点D,
因为sin A=,所以=.
因为AB=5,
所以BD=4,AD===3.
又因为△ABC为等腰三角形,BD⊥AC,
所以AC=2AD=6.
所以S△ABC=AC·BD=12.
6.如图所示,在正方形ABCD中,M是AD的中点,BE=3AE,试求sin∠ECM的值.
解:设AE=x,则BE=3x,BC=4x,AM=DM=2x,CD=4x.
所以EC==5x.
所以CM==2x.
所以EM==x.
所以EM2+CM2=CE2.
所以△CME是直角三角形.
所以sin∠ECM==.
说一说本节课有哪些收获
通过观察直角三角形,掌握其对边与斜边的关系sin A==,并理解∠A与sin A的函数关系.
第二十八章 锐角三角函数
28.1锐角三角函数
第1课时 正 弦
1.正弦函数概念:sin A==.
2.应用:已知边长求正弦值,已知正弦值求边长.
在教学过程中,重视过程,深化理解,通过学生的主动探究来体现他们的主体地位,教师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用,对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用.
第2课时 余弦和正切
1.认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.
2.通过探究锐角的余弦、正切的概念的形成,体会由特殊到一般的数学思想方法.
3.逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.
重点:认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.
难点:类比正弦的概念,探索余弦、正切的概念.
问题:在Rt△ABC中,∠C=90°,当锐角A确定时,∠A的对边与斜边的比就随之确定.此时,其他边之间的比是否也确定了呢
知识点1 余弦
合作探究
如图所示,△ABC和△DEF都是直角三角形,其中∠A=∠D,∠C=∠F=90°,则=成立吗 为什么
我们来试着证明这个问题:
因为∠A=∠D,∠C=∠F=90°,
所以∠B=∠E.所以=.
[归纳] 在直角三角形中,当一个锐角的度数一定时,这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数,与直角三角形的大小无关.
[归纳总结] 如图所示,在直角三角形ABC中,我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cos A,即cos A==.
从上述探究和证明过程看出,对于任意锐角A,有cos A=sin (90°-∠A),
从而有sin A=cos (90°-∠A).
范例应用
例1 如图所示,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,3),那么cos α的值是(D)
A. B. C. D.
例2 已知直角三角形的斜边与一直角边的比为7∶5,α为其最小的锐角,求α的正弦值和余弦值.
解:因为直角三角形的斜边与一直角边的比为7∶5,令斜边为7x,则该直角边为5x,
另一直角边为=2x,
因为α为其最小的锐角,所以α所对的直角边长为2x.所以sin α=,cos α=.
知识点2 正切
合作探究
如图所示,△ABC和△DEF都是直角三角形,其中∠A=∠D,∠C=∠F=90°,则=成立吗 为什么
解:因为∠A=∠D,∠C=∠F=90°,
所以Rt△ABC∽Rt△DEF.
所以=,
即BC·DF=AC·EF.
所以=.
[归纳] 由此可得,在直角三角形中,当一个锐角的度数一定时,这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数,与直角三角形的大小无关.
[归纳总结] 如图所示,在直角三角形ABC中,我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tan A,即tan A==.∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数.
想一想:如果两个角互余,那么这两个角的正切值有什么关系
如果两个角互余,那么这两个角的正切值互为倒数.
范例应用
例3 如图所示,在矩形ABCD中,AB=10,BC=8,E为AD边上一点,沿CE将△CDE对折,使点D正好落在AB边上的点F处,求tan∠AFE.
[点拨] 根据题意,结合折叠的性质,易得∠AFE=∠BCF,进而在Rt△BFC中,有BC=8,CF=10,由勾股定理易得BF的长,根据三角函数的定义,易得tan∠BCF的值,从而可得tan∠AFE 的值.
解:由折叠的性质可得,CF=CD=10,∠EFC=∠EDC=90°.
因为∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°,
所以∠AFE+∠BFC=90°.
因为∠BCF+∠BFC=90°,所以∠AFE=∠BCF.
在Rt△BFC中,BC=8,CF=10,
由勾股定理,得BF==6.所以tan∠BCF=.
所以tan∠AFE=tan∠BCF=.
知识点3 锐角三角函数
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,求sin A,cos A,tan A的值.
解:由勾股定理,得AC===8.
所以sin A===,cos A===,tan A===.
范例应用
例4 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,AB=13.
sin A= ,cos A= ,tan A= , sin B= ,cos B= ,tan B= .
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,且sin A=,则下列结论正确的是(D)
A.cos A= B.tan A= C.cos A= D.tan A=
2.sin 70°,cos 70°,tan 70°的大小关系是(D)
A.tan 70°C.sin 70°3.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.若AD=6,CD=8.求tan B的值.
解:因为∠ACB=∠ADC=90°,
所以∠B+∠A=90°,∠ACD+∠A=90°.
所以∠B=∠ACD.
所以tan B=tan∠ACD===.
说一说本节课有哪些收获
通过观察直角三角形,要掌握其任意两边的比值关系,并理解∠A与sin A,cos A,tan A的函数关系.
第2课时 余弦和正切
1.余弦函数概念:cos A==; 正切函数概念:tan A==;
直角三角形的锐角三角函数sin A,cos A,tan A.
2.直角三角形的锐角三角函数的应用.
本节课的主要内容是在上节课的基础上,用类比的方法探究余弦和正切的定义,在探究活动中,教师引导学生仿照研究锐角的正弦的思路和方法,自己完成锐角的余弦、正切的探索过程,从而得到余弦和正切的概念.例题的分析和解答以学生为主体,通过小组合作交流完成,教师及时点拨,加深学生对概念的理解和掌握的同时,提高了学生的解题能力,并规范了教学过程.
第3课时 特殊角的锐角三角函数值
1.能推导并熟记30°,45°,60°角的三角函数值,并能根据这些值说出对应的锐角度数.
2.通过推导特殊角的三角函数值,了解知识间的联系,提升综合运用数学知识解决问题的能力.
3.让学生经历观察、操作等过程,探索特殊三角函数值,让学生获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.
重点:熟记30°,45°,60°角的三角函数值,能熟练计算含有30°,45°,60°角的三角函数的代数式.
难点:30°,45°,60°角的三角函数值的推导过程.
问题:在直角三角形中,一个锐角的正弦、余弦、正切是怎么定义的
知识点1 30°,45°,60°角的三角函数值
合作探究
两块三角尺中有几个不同的锐角 分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值.
解题过程:设30°角所对的直角边长为a,那么斜边长为2a,
另一条直角边长为=a,
所以sin 30°==.
所以cos 30°==.
所以tan 30°==.
所以sin 60°==.
所以cos 60°==.
所以tan 60°==.
设含45°角的直角三角形两条直角边长为a,则斜边长为=a,
所以sin 45°==.
所以cos 45°==.
所以tan 45°==1.
[师生活动] 学生画图,根据直角三角形的知识和三角函数的定义,独立推导各三角函数值,然后小组成员交流推导结果,教师提示可以用字母表示三角形的一条边长,然后计算各三角函数值,对学生推导的结果教师作出点评,共同完成下列表格.
[归纳总结]
30°,45°,60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表:
锐角三角函数 锐角A
30° 45° 60°
sin A
cos A
tan A 1
思考:(1)观察表格中数据,当锐角α增大时,它的正弦、余弦、正切怎样变化
(2)表格中哪些角的三角函数值是相等的
(3)观察表格中的数据,锐角α的正弦值、余弦值与1之间的大小有何关系
[结论]
(1)正弦值、正切值随着角度的增大而增大,余弦值随着角度的增大而减小;
(2)sin 30°=cos 60°,sin 60°=cos 30°,sin 45°=cos 45°,
故sin α=cos (90°-α),cos α=sin (90°-α),其中α为锐角.
(3)0[设计意图] 学生在教师提出的问题的引导下,完成特殊角的三角函数值的推导,并通过观察得到锐角三角函数的一些性质.学生通过动手画图、计算验证得出结论,让学生经历知识的形成过程,加深对知识的理解和掌握,同时学生之间的讨论、交流,增强了学生之间的合作能力.
范例应用
例1 求下列各式的值:
(1)cos260°+sin260°; (2)-tan 45°.
提示:sin260°表示(sin 60°)2,即sin 60°×sin 60°.
解:(1)cos260°+sin260°
=2+2
=1.
(2)-tan 45°=-1=0.
例2 计算:
(1)sin 30°-cos 45°; (2)sin260°+cos230°-tan 45°.
解:(1)sin 30°-cos 45°=-=.
(2)sin260°+cos230°-tan 45°
=2+2-1
=.
知识点2 通过三角函数值求角度
(1)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=,BC=,求∠A的度数;
(2)如图所示,AO是圆锥的高,OB是底面圆的半径,AO=OB,求α的度数.
解:(1)sin A===,
所以∠A=45°.
(2)tan α===,
所以α=60°.
范例应用
例3 求满足下列条件的锐角α.
(1)2sin α-=0; (2)tan α-1=0.
解:(1)sin α=,所以α=60°.
(2)tan α=1,所以α=45°.
例4 已知△ABC中的∠A与∠B满足|1-tan A|+sin B-2=0,试判断△ABC的形状.
解:因为|1-tan A|+sin B-2=0,所以tan A=1,sin B=.
所以∠A=45°,∠B=60°,∠C=180°-45°-60°=75°,
所以△ABC是锐角三角形.
例5 已知α为锐角,且tan A是方程x2+2x-3=0的一个根,求sin2A+2cos2A-3tan (A+15°)的值.
解:解方程x2+2x-3=0,得x1=1,x2=-3.
因为tan A>0,所以tan A=1.
所以∠A=45°.
所以sin2A+2cos2A-3tan (A+15°)=sin245°+2cos245°-3tan 60°=2+2×2-3×=-3.
[设计意图] 在教师的引导下完成例题的分析和解答,正确认识特殊角的三角函数值,熟练掌握由特殊角求三角函数值,由特殊三角函数值求出对应角的度数,通过探索解题过程,提高学生分析问题、解决问题的能力,通过对题型方法技巧的总结,培养学生归纳总结的能力.
1.tan (α+20°)=1,锐角α的度数应是(D)
A.40° B.30° C.20° D.10°
2.在△ABC中,若sin A-+cos B-2=0,则∠C等于(D)
A.30° B.60° C.90° D.120°
3.求下列各式的值:
(1)2-sin 30°cos 30°; (2)3tan 30°-tan 45°+2sin 60°; (3)+.
解:(1)2-sin 30°cos 30°
=2-×
=2-.
(2)3tan 30°-tan 45°+2sin 60°
=3×-1+2×
=-1+
=2-1.
(3)+
=+
=1+3
=4.
4.若规定sin (α-β)=sin αcos β-cos αsin β,求sin 15° 的值.
解:答案不唯一.可用sin(45°-30°)也可用sin(60°-45°),选择其一解答即可.
由题意,得sin 15°=sin (45°-30°)
=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°
=×-×
=.
5.如图所示,在△ABC中,∠A=30°,tan B=,AC=2,求AB.
解:如图所示,过点C作CD⊥AB于点D,∠A=30°,AC=2.
所以sin A==.
所以CD=×2=.
因为cos A==,
所以AD=×2=3.
因为tan B==,所以BD==2.
所以AB=AD+BD=3+2=5.
本节课我们学习了特殊角的三角函数值,我们一起总结:
锐角三角函数 锐角A
30° 45° 60°
sin A
cos A
tan A 1
第3课时 特殊角的锐角三角
目 录
第二十六章 反比例函数
26.1 反比例函数
26.1.1 反比例函数
26.1.2 反比例函数的图象和性质
第1课时 反比例函数的图象和性质
第2课时 反比例函数的图象和性质的应用
26.2 实际问题与反比例函数
第二十七章 相 似
27.1 图形的相似
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线分线段成比例的基本事实
第2课时 相似三角形的判定(一)
第3课时 相似三角形的判定(二)
27.2.2 相似三角形的性质
27.2.3 相似三角形应用举例
27.3 位 似
第1课时 位似图形
第2课时 位似变换与坐标
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第1课时 正 弦
第2课时 余弦和正切
第3课时 特殊角的锐角三角函数值
28.2 解直角三角形及其应用
28.2.1 解直角三角形
28.2.2 应用举例
第1课时 仰角、俯角
第2课时 方向角、坡度、坡角
第二十九章 投影与视图
29.1 投 影
第1课时 投影的概念
第2课时 正投影
29.2 三视图
第1课时 几何体的三视图
第2课时 复原几何体
29.3 课题学习 制作立体模型(略)
第二十六章 反比例函数
26.1 反比例函数
26.1.1 反比例函数
1.理解反比例函数的概念.
2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数,并会用待定系数法求解析式.
3.能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型.
重点:能判断一个给定的函数是否为反比例函数,并会用待定系数法求解析式;能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型.
难点:理解反比例函数的概念.
下列问题中,变量间具有函数关系吗 如果有,请写出它们的解析式.
(1)京沪线铁路全程为1 463 km,某次列车的平均速度v(单位:km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位:h)的变化而变化;
(2)某住宅小区要种植一块面积为1 000 m2的矩形草坪,草坪的长y(单位:m)随宽x(单位:m)的变化而变化;
(3)已知北京市的总面积为1.64×104平方千米,人均占有面积S(单位:平方千米/人)随全市总人口n(单位:人)的变化而变化.
知识点1 反比例函数的概念
问题:观察以下三个解析式,你觉得它们有什么共同特点
答案:v=,y=,S=.
[总结] 都具有分式的形式,其中分子是常数.
追问:类比正比例函数的一般形式,你能根据特点给出反比例函数的一般形式吗
[总结] 一般地,形如y=(k为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是函数.
追问:反比例函数y=(k≠0)的自变量x的取值范围是什么
[点拨] 因为x作为分母,不能等于零,因此自变量x的取值范围是所有非零实数,但实际问题中,应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围.例如,在前面得到的第一个解析式v=中,t的取值范围是t>0,且当t取每一个确定的值时,v都有唯一确定的值与其对应.
想一想:反比例函数除了可以用y=(k≠0)的形式表示外,还有没有其他表达方式
[总结] 反比例函数的几种表达方式(注意k≠0):
(1)y=(k为常数,k≠0);
(2)xy=k(k为常数,k≠0);
(3)y=kx-1(k为常数,k≠0).
范例应用
例1 下列函数是不是反比例函数 若是,请指出k的值.
①y=3x-1;②y=-;③y=-;④y=;⑤y=3x-1.
解:①y=3x-1是反比例函数,k=3;②y=-不是反比例函数;③y=-是反比例函数,k=-;④y=不是反比例函数;⑤y=3x-1不是反比例函数.
[方法归纳] 判断一个函数是否是反比例函数,首先要看两个变量是否具有反比例关系,然后根据反比例函数的定义去判断.
例2 填空:
(1)若y=是反比例函数,则m的取值范围是 m≠1 ;
(2)若y=是反比例函数,则m的取值范围是 m≠0且m≠-2 ;
(3)若y=是反比例函数,则m的值是 -1 .
例3 已知函数y=(2m2+m-1)是反比例函数,求m的值.
[点拨] 由反比例函数的定义可得2m2+3m-3=-1,2m2+m-1≠0,然后求解即可.
解:因为y=(2m2+m-1)是反比例函数,
所以
解得m=-2.
[方法归纳] 已知某个函数为反比例函数,只需要根据反比例函数的定义列方程(组)求解即可.
知识点2 用待定系数法确定反比例函数的解析式
已知变量y与x成反比例,且当x=2时,y=6.求:
(1)y与x之间的函数解析式;
(2)当x=4时,y的值.
[点拨] (1)由题意中变量y与x成反比例,设出函数的解析式,利用待定系数法进行求解.(2)将x=4代入求得的函数解析式,求出y的值即可.
解:(1)因为变量y与x成反比例,
所以设y=(k≠0).
因为当x=2时,y=6,所以k=2×6=12.
所以y与x之间的函数解析式是y=.
(2)当x=4时,y==3,所以y的值为3.
[归纳总结] 用待定系数法求解反比例函数解析式的一般步骤
(1)设出含有待定系数的反比例函数解析式;
(2)把一对已知的x,y的值代入解析式,得到一个关于待定系数的式子;
(3)求出待定系数;
(4)将所求得的待定系数代回所设的函数解析式.
范例应用
例4 已知y与x+1成反比例,并且当x=3时,y=4.
(1)写出y关于x的函数解析式;
(2)当x=7时,求y的值.
解:(1)设y=,因为当x=3时,y=4,
所以4=,解得k=16,因此y=.
(2)当x=7时,y==2.
例5 已知y=y1+y2,y1与x-1成正比例,y2与x+1成反比例,当x=0时,y=-3;当x=1时,y=-1.
求:(1)y关于x的函数解析式;
(2)当x=-时,y的值.
[点拨] 根据正比例函数和反比例函数的定义得到y1,y2的解析式,进而得到y的解析式,把所给两组数据代入即可求出相应的比例系数,也就求得了所要求的函数解析式.
解:(1)因为y1与x-1成正比例,y2与x+1成反比例,
所以设y1=k1(x-1)(k1≠0),y2=(k2≠0).
所以y=k1(x-1)+.
因为当x=0时,y=-3;
当x=1时,y=-1,
所以
所以k1=1,k2=-2.
所以y=x-1-.
(2)把x=-代入y=x-1-,得y=-.
[方法归纳] 能根据题意设出y1,y2的函数解析式并用待定系数法求得等量关系是解答此题的关键.
知识点3 建立反比例函数模型
写出下列问题中两个变量之间的函数解析式,并判断其是否为反比例函数.
(1)底边为3 cm的三角形的面积y(cm2)随底边上的高x(cm)的变化而变化;
(2)一艘轮船从相距s(km)的甲地驶往乙地,轮船的速度v(km/h)与航行时间t(h)的关系;
(3)在检修100 m长的管道时,每天能完成10 m,剩下的未检修的管道长y(m)随检修天数x的变化而变化.
解:(1)两个变量之间的函数解析式为y=x,不是反比例函数.
(2)两个变量之间的函数解析式为v=,是反比例函数.
(3)两个变量之间的函数解析式为y=100-10x,不是反比例函数.
1.生活中有许多反比例函数的例子,在下面的实例:①x人共饮水10 kg,平均每人饮水y kg;②底面半径为x m,高为y m的圆柱形水桶的体积为10 m3;③用铁丝做一个圆,铁丝的长为x cm,做成圆的半径为y cm中,其中x和y成反比例函数关系的有(A)
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
2.已知函数y=(m2-1),当m= 2 时,它是正比例函数;当m= 0 时,它是反比例函数.
3.如图所示,已知菱形ABCD的面积为180,设它的两条对角线AC,BD的长分别为x,y.写出变量y与x之间的关系式,并指出它是什么函数.
解:因为菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半,所以S菱形ABCD=xy=180.
所以变量y与x之间的关系式为y=,它是反比例函数.
1.反比例函数的定义.
2.反比例函数的三种表达方式.
3.用待定系数法确定函数解析式.
4.建立反比例函数模型.
第二十六章 反比例函数
26.1 反比例函数
26.1.1 反比例函数
1.反比例函数的定义:
一般地,形如y=(k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数.其中x是自变量,自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.
2.反比例函数的形式:
(1)y=(k为常数,k≠0);
(2)xy=k(k为常数,k≠0);
(3)y=kx-1(k为常数,k≠0).
3.用待定系数法确定反比例函数的解析式.
4.建立反比例函数模型.
让学生从生活实际中发现数学问题,从而引入学习内容,这不仅激发了学生学习数学的兴趣,还激起了学生自主参与的积极性和主动性,为自主探究新知创造了现实背景.因为反比例函数这一部分内容与正比例函数相似,在教学过程中,以学生学习的正比例函数为基础,在学生之间创设相互交流、相互合作、相互帮助的关系,让学生通过充分讨论交流后得出它们的相同点,在此基础上来揭示反比例函数的意义.
26.1.2 反比例函数的图象和性质
第1课时 反比例函数的图象和性质
1.会用描点法画反比例函数的图象;结合图象分析并掌握其性质.
2.经历画图、观察、猜想、思考等数学活动,向学生渗透数形结合的思想方法,让学生初步认识具体的反比例函数图象的特征.
3.由图象的画法和分析,体验数学活动的探索和创造性,感受数学美,并通过图象的直观教学激发学习兴趣.
重点:正确地进行描点、画出图象,理解并掌握反比例函数的图象和性质.
难点:向学生渗透数形结合的思想方法,让学生初步认识具体的反比例函数图象的特征.
1.我们知道一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,反比例函数y=(k≠0)的图象是什么样呢
2.我们用什么方法画反比例函数的图象呢 有哪些步骤
3.根据k的取值,应该如何分类讨论呢
[点拨] k>0,k<0.
引出课题:今天,我们就来研究反比例函数的图象和性质.
知识点1 反比例函数y=(k>0)的图象和性质
画出反比例函数y=和y=的图象.
解:列表:
x … -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 …
y= … -1 - -2 -3 -6 6 3 2 1 …
y= … -2 -3 -4 -6 -12 12 6 4 3 2 …
描点、连线:
思考:请观察反比例函数y=与y=的图象,回答下面的问题:
(1)每个函数的图象分别位于哪些象限
(2)在每一个象限内,随着x的增大,y如何变化 函数图象与x轴、y轴相交吗
(3)对于反比例函数y=(k>0),考虑问题(1)(2),你能得出同样的结论吗
解:(1)每个函数的图象都位于第一、三象限.
(2)在每一个象限内,y随x的增大而减小;函数图象与x轴、y轴不相交.
(3)对于反比例函数y=(k>0),同样可得出问题(1)(2)中的结论.
追问:你能由函数的解析式说明这些结论吗
[归纳总结]
当k>0时,反比例函数y=(k>0)的图象:由两条曲线组成,且分别位于第一、三象限,它们与x轴、y轴都不相交.
性质:在每一个象限内,y随x的增大而减小.
范例应用
例1 反比例函数y=的图象大致是(C)
例2 已知反比例函数y=的图象过点(-2,-5),函数图象上有两点A(2,y1),B(5,y2),则y1与y2的大小关系为(A)
A.y1>y2 B.y1
如图所示,观察反比例函数y=-,y=-,y=-的大致图象.
(1)它们的图象分别位于哪些象限
(2)在每一个象限内,随着x的增大,y如何变化 它们的图象与x轴、y轴相交吗
解:(1)它们的图象位于第二、四象限.
(2)在每一个象限内,y随x的增大而增大,图象与x轴,y轴不相交.
[归纳总结] 反比例函数y=(k<0)的图象:
由两条曲线组成,且分别位于第二、四象限,它们与x轴、y轴都不相交;
性质:在每一个象限内,y随x的增大而增大.
范例应用
例3 点(3,y1)和(5,y2)在函数y=-的图象上,则y1 < y2.(选填“>”“<”或“=”)
例4 点(x1,3)和(x2,5)在函数y=-的图象上,则x1 < x2.(选填“>”“<”或“=”)
1.姜老师给出一个函数解析式,甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质,甲:函数图象经过第一象限;乙:函数图象经过第三象限;丙:在每一个象限内,y随x的增大而减小.根据他们的描述,姜老师给出的这个函数解析式可能是(D)
A.y=4x B.y=x2C.y=- D.y=
2.在反比例函数y=(k>0)的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2)且x1>x2>0,则y1-y2 < 0.(选填“>”“<”或“=”)
3.已知反比例函数y=(a-1),在每一个象限内,y随x的增大而增大,求a的值.
解:由题意,得a2+a-13=-1,且a-1<0.
解得a=-4.
4.点A(x1,y1),B(x2,y2)在反比例函数y=的图象上.如果x1>x2,而且x1,x2同号,那么y1,y2有怎样的大小关系 为什么
解:y1
所以在每一个象限内,y随x的增大而减小.
因为x1>x2,
所以y1
1.会用描点法画出反比例函数的图象.
2.知道反比例函数的图象是双曲线.
3.理解反比例函数的性质,并能应用性质解决问题.
26.1.2 反比例函数的图象和性质
第1课时 反比例函数的图象和性质
一般地,反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象是双曲线,它具有以下性质:
(1)当k>0时,双曲线的两支分别位于第一、三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小;
(2)当k<0时,双曲线的两支分别位于第二、四象限,在每一个象限内,y随x的增大而增大.
“反比例函数的图象和性质”是反比例函数的教学重点,学生需要在理解的基础上熟练运用.在学习反比例函数图象和性质时,当k>0时,双曲线的两个分支在第一、三象限;当k<0时,双曲线的两个分
支在第二、四象限,由解析式y=(k≠0)可得到其增减性,学生也容易理解.但从图象观察增减性较难,借助动态演示就容易多了,所以运用多媒体比较函数图象,可以使学生更直观、更清楚地看清函数的变化,从而使学生加深对函数性质的理解.
第2课时 反比例函数的图象和性质的应用
1.掌握用待定系数法求反比例函数解析式.
2.经历观察、思考、分析、交流等学习过程,理解并掌握反比例函数的系数k的几何意义.
3.能利用反比例函数的图象与性质解决与其他函数或几何知识综合的问题.培养学生学习的兴趣,提高学生综合运用知识解决问题的能力.
重点:掌握用待定系数法求反比例函数解析式,能利用反比例函数的图象与性质解决与其他函数或几何知识综合的问题.
难点:理解并掌握反比例函数的系数k的几何意义.
回顾与思考:
1.反比例函数的图象是什么
答案:反比例函数的图象是双曲线.
2.反比例函数的性质与k有怎样的关系
答案:当k>0时,两条曲线分别位于第一、三象限;在每个象限内,y随x的增大而减小;
当k<0时,两条曲线分别位于第二、四象限;在每个象限内,y随x的增大而增大.
引出课题:今天,我们就来研究反比例函数的图象和性质的应用.
知识点1 用待定系数法求反比例函数的解析式
已知反比例函数的图象经过点A(2,6).
(1)这个函数的图象位于哪些象限 y随x的增大如何变化
(2)点B(3,4),C-2,-4,D(2,5)是否在这个函数的图象上
解:(1)因为点A(2,6)在第一象限,
所以这个函数的图象位于第一、三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小.
(2)设这个反比例函数的解析式为y=,
因为点A(2,6)在其图象上,
所以6=,解得k=12.
所以这个反比例函数的解析式为y=.
当x=3时,y=4,所以点B在这个函数的图象上;
当x=-2时,y=-4,所以点C在这个函数的图象上;
当x=2时,y=6≠5,所以点D不在这个函数的图象上.
范例应用
例1 已知反比例函数y=的图象经过点A(2,3).
(1)求这个函数的解析式;
(2)判断点B(-1,6),C(3,2)是否在这个函数的图象上,并说明理由.
解:(1)设这个反比例函数的解析式为y=.
因为点A(2,3)在其图象上,即3=,解得k=6.
所以这个反比例函数的解析式为y=.
(2)当x=-1时,y=-6≠6,所以点B不在这个函数的图象上;
当x=3时,y=2,所以点C在这个函数的图象上.
知识点2 反比例函数解析式中k值的意义
如图所示的是反比例函数y=图象的一支,根据图象,回答下列问题:
(1)图象的另一支位于哪个象限 常数m的取值范围是什么
(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1,y1)和点B(x2,y2).如果x1>x2,那么y1和y2有怎样的大小关系
解:(1)反比例函数的图象只有两种可能:位于第一、第三象限,或者位于第二、第四象限.
因为这个函数的图象的一支位于第一象限,
所以另一支必位于第三象限.
因为这个函数的图象位于第一、第三象限,
所以m-5>0,
解得m>5.
(2)因为m-5>0,
所以在这个函数图象的任一支上,y随x的增大而减小.
所以当x1>x2时,y1
例2如图所示的是反比例函数y=的图象,则k的值可以是(B)
A.-1 B.4 C.2 D.0
知识点3 反比例函数的系数k的几何意义
(1)如图(1)所示,在反比例函数y=的图象上分别取点P,Q向x轴、y轴作垂线,围成面积分别为S1,S2的矩形,填写表格:
y= S1的值 S2的值 S1与S2的 关系 猜想S1,S2 与k的关系
P(2,2), Q(4,1) 4 4 S1=S2 S1=S2=k
(2)如图(2)所示,若在反比例函数y=中也用同样的方法分别取P,Q两点,填写表格:
y= S1的值 S2的值 S1与S2 的关系 猜想S1,S2 与k的关系
P(-2,2), Q(-1,4) 4 4 S1=S2 S1=S2 =-k
由前面的探究过程,可以猜想:
若点P是y=图象上的任意一点,作PA垂直于x轴,作PB垂直于y轴,矩形AOBP的面积与k的关系是
S矩形AOBP=|k|.
我们就k<0的情况给出证明:
设点P的坐标为(a,b),
因为点P(a,b)在函数y=的图象上,所以b=,即ab=k.
若点P在第二象限,则a<0,b>0.
所以S矩形AOBP=PB·PA=-a·b=-ab=-k;
若点P在第四象限,则a>0,b<0.
所以S矩形AOBP=PB·PA=a·(-b)=-ab=-k.
综上所述,S矩形AOBP=|k|.
试一试:自己尝试证明k>0的情况.
[方法归纳] 对于反比例函数y=,点Q是其图象上的任意一点,作QA垂直于x轴于点A,作QB垂直于y轴于点B,矩形AOBQ的面积与k的关系是S矩形AOBQ=|k|,推理:△QAO与△QBO的面积和k的关系是S△QAO=S△QBO=.
范例应用
例3
如图所示,在函数y=(x>0)的图象上有三点A,B,C,过这三点分别向x轴、y轴作垂线,过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为SA,SB,SC,则(B)
A.SA
在同一平面直角坐标系中,函数y=和y=k2x+b的图象如图所示,则k1,k2,b各应满足什么条件
解:(1)如题图(1)所示,此时k1>0,k2>0,b>0;
(2)如题图(2)所示,此时k1>0,k2>0,b<0;
(3)如题图(3)所示,此时k1<0,k2<0,b<0;
(4)如题图(4)所示,此时k1>0,k2<0,b>0.
范例应用
例4 反比例函数y=的图象与一次函数y=2x+1的图象的一个交点是(1,k),求反比例函数的解析式.
解:因为反比例函数y=的图象与一次函数y=2x+1的图象的一个交点是(1,k),
则点(1,k)在一次函数y=2x+1的图象上,即k=2+1=3,所以交点坐标为(1,3),将(1,3)代入y=,得k=3.
所以这个反比例函数的解析式为y=.
1.如图所示,函数y=-x与函数y=的图象相交于A,B两点,过点A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则四边形ACBD的面积为(D)
A.2 B.4 C.6 D.8
2.如图所示,直线y=k1x+b与反比例函数y=(x>0)交于A,B两点,其横坐标分别为1和5,则不等式k1x+b>的解集是 1
说一说本节课你有哪些收获
本节课学习了反比例函数中k值的意义,函数图象的变化与k值的正负有关.
同时,在平面直角坐标系中结合函数图象可以求出相应图形的面积.
第2课时 反比例函数的图象和性质的应用
1.反比例函数y=(k≠0)的图象与性质:
当k>0时,图象位于第一、三象限,y的值随x的增大而减小;
当k<0时,图象位于第二、四象限,y的值随x的增大而增大.
2.k值的含义:在反比例函数y=(k≠0)的图象上任取一点,分别作坐标轴的垂线(或平行线),与坐标轴所围成图形的面积S=|k|.
3.反比例函数与一次函数的综合.
本节课通过复习导入新课,学生在复习旧知识的同时为本节课新知识的构建做了铺垫,然后以例题的形式进一步引导学生探究反比例函数图象与性质的综合运用.通过学生自主学习,探究教材例题,让学生活跃在课堂上,真正成为课堂的主人,在教师的引导下积极思考,大胆发言,培养学生学习数学的信心及分析问题、解决问题的能力.在教学设计中注重培养学生数形结合思想、类比思想等.本节课课堂容量稍微有点偏大,学生没有时间独立完成作业,虽然对每个问题的设计都有讨论、展示、点评,但是个别学生数形结合思想意识浅薄,利用图象解决问题有困难,课堂上没有很好地巩固技巧.在探究比例系数k的几何意义时,部分学生对符号的理解有困难,虽然适当多用了些时间,但是对该知识点掌握需要练习巩固.
26.2 实际问题与反比例函数
1.掌握反比例函数在其他学科中的运用,体验学科的整合思想.并能从函数的观点来解决一些实际问题.
2.经历“实际问题—建立模型—问题解决”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力.
3.运用反比例函数知识解决实际应用问题的过程中,感受数学的应用价值,提高学习兴趣.
重点:掌握反比例函数在其他学科中的运用,体验学科的整合思想.并能从函数的观点来解决一些实际问题.
难点:经历“实际问题—建立模型—问题解决”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力.
复习回顾,反比例函数的性质
当k>0时,双曲线的两支分别在第一、三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小;
当k<0时,双曲线的两支分别在第二、四象限,在每一个象限内,y随x的增大而增大.
双曲线不过原点且与两坐标轴永不相交,但无限靠近x轴、y轴.
反比例函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形;对称中心是原点,有两条对称轴.
知识点1 实际问题与反比例函数
1.市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室.
(1)储存室的底面积S(单位:m2)与其深度d(单位:m)有怎样的函数关系
(2)公司决定把储存室的底面积S定为500 m2,施工队施工时应该向地下掘进多深
(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15 m时,公司临时改变计划,把储存室的深度改为 15 m.相应地,储存室的底面积应改为多少(结果保留小数点后两位)
解:(1)根据圆柱的体积公式,得Sd=104,
所以S关于d的函数解析式为S=.
(2)把S=500代入S=,得500=,
解得d=20(m).
所以如果把储存室的底面积S定为500 m2,施工队施工时应向地下掘进20 m深.
(3)把d=15代入S=,得S=,
解得S≈666.67(m2).
所以当储存室的深度为15 m时,底面积应改为666.67 m2.
范例应用
例1 如果某蓄水池的进水管每小时进水8 m3,那么6 h可将空水池蓄满水.
(1)求将空水池蓄满水所需的时间y关于每小时进水量x的函数解析式;
(2)如果准备在5 h内将空水池蓄满水,那么每小时的进水量至少为多少
解:(1)由题意可得y==,
即将空水池蓄满水所需的时间y关于每小时进水量x的函数解析式是y=.
(2)当y=5时,5=,解得x=9.6(m3).
即每小时进水量至少为9.6 m3.
2.码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物,装载完毕恰好用了8天时间.
(1)轮船到达目的地后开始卸货,平均卸货速度 v(单位:吨/天) 与卸货天数t之间有怎样的函数关系
(2)由于遇到紧急情况,要求船上的货物不超过5天卸载完毕,那么平均每天至少要卸载多少吨
解:(1)设轮船上的货物总量为k吨,根据已知条件,得k=30×8=240.
所以v关于t的函数解析式为v=.
(2)把t=5代入v=,得v==48(吨/天).
从结果可以看出,如果全部货物恰好用5天卸载完,则平均每天卸载48吨.对于函数v=,当t>0时,t越小,v越大.这样若货物不超过5天卸载完毕,则平均每天至少要卸载48吨.
[方法总结] 在解决反比例函数相关的实际问题中,若题目要求“至多”“至少”,可以利用反比例函数的增减性来解答.
范例应用
例2 一司机驾驶汽车从甲地去乙地,他以 70 km/h 的平均速度用6 h到达目的地.
(1)甲、乙两地相距多少千米
(2)当他按原路匀速返回时,汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系
(3)如果该司机必须在5 h内回到甲地,则返程时的平均速度不能低于多少
(4)已知汽车的平均速度最大可达 120 km/h,那么它从甲地到乙地最快需要多长时间
解:(1)70×6=420(km).
(2)v=.
(3)将t=5代入,得v==84(km/h),所以返程时的平均速度不能低于84 km/h.
(4)将v=120代入,得t==(h),所以它从甲地到乙地最快需要h.
知识点2 反比例函数在力学中的应用
公元前3世纪,古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆原理”:若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比,则杠杆平衡.通俗一点可以描述为
阻力×阻力臂=动力×动力臂.
小伟欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂分别为1 200 N和0.5 m.
(1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系 当动力臂为1.5 m时,撬动石头至少需要多大的力
(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半,则动力臂l至少要加长多少
解:(1)根据“杠杆原理”,得Fl=1 200×0.5,
所以F关于l的函数解析式为F=.
当l=1.5 m时,F==400(N).
此时杠杆平衡.因此撬动石头至少需要400 N的力.
(2)当F=400×=200时,由200=,
得l==3(m),3-1.5=1.5(m).
因此,若想用力不超过400 N的一半,则动力臂至少要加长1.5 m.
[提示] 对于函数F=,F随l的增大而减小.因此,只要求出F=200 N时对应的l的值,就能确定动力臂l至少应加长的量.
想一想:在物理中,我们知道,在阻力和阻力臂一定的情况下,动力臂越长就越省力,你能用反比例函数的知识对其进行解释吗
知识点3 反比例函数与电学的结合
一个用电器的电阻是可调节的,其范围为110~220 Ω.已知电压为220 V.
(1)功率P与电阻R有怎样的函数关系
(2)这个用电器功率的范围是多少
解:(1)根据电学知识,当U=220时,得P=.
(2)根据反比例函数的性质可知,电阻越大,功率越小.
把电阻的最小值R=110代入求得的解析式,
得到功率的最大值P==440(W).
把电阻的最大值R=220代入求得的解析式,
得到功率的最小值P==220(W).
因此用电器功率的范围为220~440 W.
范例应用
例3 在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳,当改变容器的体积时,气体的密度也会随之改变,密度ρ(单位:kg/m3)是体积V(单位:m3)的反比例函数,它的图象如图所示,当V=10 m3时,气体的密度是 0.8 kg/m3 .
1.面积为2的直角三角形一直角边长为x,另一直角边长为y,则y与x的变化规律用图象可大致表示为(C)
2.某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1 L(1 L=1 dm3)的圆锥形漏斗.
(1)漏斗口的面积S(单位:dm2)与漏斗的深d(单位:dm)有怎样的函数关系
(2)如果漏斗的深为10 cm,那么漏斗口的面积为多少
(3)如果漏斗口的面积为60 cm2,则漏斗的深为多少
解:(1)V=Sd,S==,
所以漏斗口的面积S与漏斗的深d的函数解析式为S=.
(2)10 cm=1 dm,把d=1代入解析式,得S=3 dm2.
所以漏斗口的面积为3 dm2.
(3)60 cm2=0.6 dm2,把S=0.6代入解析式,得d=5 dm.
所以漏斗的深为5 dm.
3.某校科技小组进行野外考察,利用铺垫木板的方式通过一片湿地,当人和木板对湿地的压力一定时,随着木板面积S的变化,人和木板对地面的压强p将如何变化 如果人和木板对湿地地面的压力合计600 N,那么
(1)用含S的代数式表示p,p是S的反比例函数吗
(2)当木板面积为0.2 m2时,压强是多少
(3)如果要求压强不超过6 000 Pa,那么木板面积至少要多大
解:(1)由p=,得p=,p是S的反比例函数.
(2)当S=0.2时,p==3 000(Pa).
(3)当p≤6 000时,≤6 000,S≥0.1 m2.
所以木板面积至少要0.1 m2.
本节课你有哪些收获 可以与同学们交流探讨.
26.2 实际问题与反比例函数
1.实际问题与反比例函数.
2.反比例函数在力学中的应用.
3.反比例函数与电学的结合.
4.体会数学建模的思想.
本节课是用函数的观点处理实际问题,其中蕴含着体积、面积这样的实际问题.而解决这些问题的关键在于分析实际情境,建立函数模型,并进一步明确数学问题,将实际问题置于已有的知识背景之中,用数学知识重新解释这是什么,可以是什么,从而逐步形成考察实际问题的能力.在解决问题时,应充分利用函数的图象,渗透数形结合的思想.
第二十七章 相 似
27.1 图形的相似
1.通过观察生活中的实例,让学生体会相似图形的概念.
2.经历探究相似多边形特征的过程,掌握相似多边形的特征.
3.在探究相似多边形特征的过程中,培养学生归纳、猜想、合作交流等方面的能力,提高数学思维水平.
重点:相似多边形的主要特征的识别.
难点:正确地运用相似多边形的特征解决一些实际问题.
观察:图中的两图形有什么关系
答案:全等.形状相同、大小也相同,是能够完全重合的两个图形.
知识点1 相似图形的概念
如果把其中的一只小熊缩小,它们还全等吗 认真观察,它们有什么相同和不同
答案:不全等.形状相同、大小不同.
同一底片洗出的不同尺寸的照片:
观察这四组相似图形,其中一个图形可以看作由另一个图形怎样变换得到 什么样的图形是相似图形
答案:两个图形相似,其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.形状相同的图形叫做相似图形.
范例应用
例1 如图所示的是一个女孩儿从平面镜和哈哈镜里看到的自己的形象,这些镜中的形象相似吗
图(1) 图(2) 图(3)
解:题图(1)相似,题图(2)不相似,题图(3)不相似.
例2
如图所示,从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗
解:相似.因为放大后的图形大小虽然改变了,但形状与原图形相同,所以相似.
例3 观察下面的图形(a)~(g),其中哪些与图形(1),(2)或(3)相似
解:图(a)与图(1)相似,图(d)与图(2)相似,图(g)与图(3)相似.
思考:全等是相似吗
答案:全等是特殊的相似.
知识点2 相似多边形的性质
(1)如图所示,正方形A'B'C'D'是正方形ABCD放大2倍得到的,观察这两个图形,它们的对应角有什么关系 对应边呢
答案:∠A=∠A',∠B=∠B',
∠C=∠C',∠D=∠D'.
====.
(2)如图所示,将正六边形ABCDEF放大后得到正六边形A'B'C'D'E'F',它们的对应角及对应边有什么关系
答案:∠A=∠A',∠B=∠B',
∠C=∠C',∠D=∠D',
∠E=∠E',∠F=∠F'.
=====.
(3)如图所示,将多边形ABCD缩小后得到多边形A'B'C'D',它们的对应角、对应边是否有相同的结论
答案:∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',∠D=∠D'.
===.
两个多边形的对应角、对应边也有相同的结论.
[归纳总结] (1)相似多边形的定义:两个边数相同的多边形,如果它们的对应角分别相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形.
比例线段:四条线段中,如果其中两条线段的比等于另两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.(也称四条线段成比例)
线段a,b,c,d成比例,记作a∶b=c∶d或 =;
(2)相似多边形的性质
相似多边形的对应角相等,对应边的比也相等.相似多边形对应边的比称为相似比.当相似比为1时,相似的两个图形全等.
范例应用
如图所示,矩形的两边长分别为x和6(x<6),把它按如图所示的方式分割成三个全等的小矩形,每一个小矩形与原矩形相似,求x的值.
解:因为原矩形的长为6,宽为x,
所以小矩形的长为x,宽为2.
因为小矩形与原矩形相似,
所以=.
所以x=2.
1.想一想:
(1)所有的圆都是相似图形吗
答案:是.
(2)所有的等边三角形都是相似图形吗
答案:是.
(3)所有的三角形都是相似图形吗
答案:不是.
(4)所有的正方形都是相似图形吗
答案:是.
(5)所有的矩形都是相似图形吗
答案:不是.
2.如图所示的两个五边形相似,A,B,C,D,E的对应点分别为A',B',C',D',E',求未知边a,b,c,d的长度.
解:因为两个五边形相似,所以相似比为=.
所以====,
解得a=,b=4,c=,d=.
3.在比例尺为1∶10 000 000的地图上,量得甲、乙两地的距离是30 cm,求两地的实际距离.
解:设两地的实际距离为x cm,
根据题意,得=,
解得x=300 000 000.
300 000 000 cm=3 000 km.
答:甲、乙两地的实际距离为3 000 km.
4.已知纸片ABCD的宽度为21 cm,如图所示,将其对折后所得的矩形A'EFD'和矩形B'EFC'都和原来的矩形相似,且A'D',B'C'的对应边为AB,A'E,B'E的对应边为AD,求纸片的长度.
解:设纸片的长度AB为x cm,则对折后的矩形的长度A'E为0.5x cm.
因为对折后所得的矩形都和原来的矩形相似,
所以=.
所以=.
解得x=21.
所以纸片的长度AB为21 cm.
5.仔细观察如图所示的图形,看看四边形ABCD与四边形 A'B'C'D'是否相似,并说明理由.
解:四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似.理由如下:
通过观察可以发现,四边形ABCD的各边的长度分别是四边形A'B'C'D'的各边长度的2倍.各对应边互相平行(AB与A'B'在同一直线上).因此两四边形的对应角分别相等.
====2,
所以四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似.
本节课利用观察、度量、计算等方法研究图形的变化,要学会:
1.相似图形的定义及其性质.
2.能通过相似多边形性质计算图形变化中对应线段的长度.
第二十七章 相 似
27.1 图形的相似
1.相似图形的概念:形状相同的图形叫做相似图形.
2.相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.
3.相似多边形性质的应用.
本节课可以以探究的方式引入,使学生通过操作、观察、猜想、探究、交流、发现等学习方式掌握多边形的性质及判别方法,并且能够运用这些知识解决具体问题.
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线分线段成比例的基本事实
1.理解相似三角形的概念.
2.理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论,掌握相似三角形判定定理的有关证明.
3.掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用,会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算.
重点:理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论,掌握相似三角形判定定理的有关证明.
难点:掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用,会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算.
1.相似多边形的对应角 相等 ,对应边 成比例 ,对应边的比叫做 相似比 .
2.如图所示,△ABC和△A'B'C'相似,相似用符号“∽”表示,读作“相似于”,△ABC与△A'B'C'相似记作“△ABC∽△A'B'C'”.
知识点1 平行线分线段成比例的基本事实
如图(1)所示,直线a∥b∥c,分别交直线m,n于A,B,C,D,E,F.
(1)度量,,你有什么发现
答案:=.
(2)将b向下平移到如图(2)所示的位置,你在问题(1)中发现的结论还成立吗 如果将b平移到其他位置呢
答案:(1)中发现的结论还成立,将b平移到其他位置(1)中发现的结论仍然成立.
(3)根据前两问,你认为在平面上任意作三条平行线,用它们截两条直线,截得的对应线段成比例吗
答案:截得的对应线段成比例.
[归纳] 一般地,我们有平行线分线段成比例的基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
符号语言:
若a∥b∥c,则=,=,
=,=.
范例应用
例1 如图所示,已知a∥b∥c,下列比例式中错误的是(A)
A.= B.= C.= D.=
知识点2 平行线分线段成比例基本事实的推论
如图(1)所示,直线a∥b∥c,由平行线分线段成比例的基本事实,我们可以得出图中对应成比例的线段,如图(2),图(3)所示,把直线n任意平移,这些线段依然成比例.
[归纳总结] 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.如图所示.
范例应用
例2 如图所示,若DE∥BC,=,则= ;若FG∥BC,=2,则= .
知识点3 判定三角形相似的定理
如图所示,在△ABC中,D为AB上任意一点,过点D作BC的平行线DE,交AC于点E.
问题1:△ADE与△ABC的三个角分别相等吗
答案:分别相等.
问题2:分别度量△ADE与△ABC的边长,它们的边长是否对应成比例
答案:它们的边长对应成比例.
问题3:你认为△ADE与△ABC之间有什么关系 平行移动DE的位置,你的结论还成立吗
答案:△ADE∽△ABC.平行移动DE的位置,结论仍然成立.
思考:要用相似的定义去证明△ADE∽△ABC,我们需要证明的是==,而除DE外,其他的线段都在△ABC的边上,要想利用前面学到的结论来证明三角形相似,需要怎样做呢
[提示] 可以将DE平移到BC边上去,用相似的定义证明△ADE∽△ABC.
证明:在△ADE与△ABC中,∠A=∠A.
因为DE∥BC,
所以∠ADE=∠B,∠AED=∠C.
如图所示,过点E作EF∥AB,交BC于点F.
因为DE∥BC,EF∥AB,
所以=,=.
易知四边形DEFB为平行四边形,
所以DE=BF.
所以==,
所以△ADE∽△ABC.
定理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.
几何语言:如图所示,因为DE∥BC,
所以△ADE∽△ABC.
“A”型 “X”型
范例应用
例3 如图所示,在△ABC中,DG∥EH∥FI∥BC.
(1)请找出图中所有的相似三角形;
(2)如果AD=1,DB=3,那么DG∶BC= .
解:(1)△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC.
(2)1∶4
例4 如图所示,在 ABCD中,EF∥AB,DE∶EA=2∶3,EF=4,求CD的长.
解:因为EF∥AB,
所以===.
因为四边形ABCD为平行四边形,
所以CD=AB.
因为EF=4,则CD=AB=10.
1.如图所示,AB∥EF∥CD,则图中共有 3 对相似三角形.
2.若△ABC与△A'B'C'相似,一组对应边的长为AB=3 cm,A'B'=4 cm,那么△A'B'C'与△ABC的相似比
是 4∶3 .
3.如图所示,已知菱形ABCD内接于△AEF,AE=5 cm,AF=4 cm,求菱形的边长.
解:因为四边形ABCD为菱形,
所以CD∥AB.
所以=.
设菱形的边长为x cm,
则CD=AD=x cm,DF=(4-x)cm.
所以=,
解得x=.
所以菱形的边长为 cm.
4.如图所示,AB=AC,AD⊥BC于点D,M是AD的中点,CM的延长线交AB于点P,DN∥CP.
(1)若AB=6 cm,求AP的长;
(2)若PM=1 cm,求PC的长.
解:(1)因为AB=AC,AD⊥BC于点D,M是AD的中点,
所以DB=DC,AM=MD.
因为DN∥CP,
所以==1,==1.
所以AP=PN=BN.
又因为AB=6 cm,
所以AP=2 cm.
(2)由(1),知AP=PN=NB.
因为DN∥CP,
所以==,==.
又因为PM=1 cm,
所以PC=2ND=4PM=4 cm.
回顾本节课,我们都学习了哪些知识点
学行线分线段成比例的基本事实及其推论和判定三角形相似的定理.
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线分线段成比例的基本事实
1.基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
2.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.
3.判定三角形相似的定理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.
本节课是三角形的判定的第1课时,通过复习相似多边形的概念,学生用类比法易得到相似三角形的概念及表示方法,降低了学习概念的难度.以动手操作为主,探究平行线分线段成比例这一事实,学生经历动手操作、观察、计算、比较、讨论、归纳等教学活动,人人参与课堂,积极展示,学生成为课堂的主人,在积极思考中经历知识的形成过程,然后通过动画展示,学生直观形象地观察到这一基本事实在三角形中的应用,体会数学中的转化思想,为平行线证明相似做好铺垫.最后在教师的引导下完成定理的证明,培养学生逻辑思维能力和严谨的学习精神.
第2课时 相似三角形的判定(一)
1.了解三边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理的证明过程.
2.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.
3.探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.
重点:能运用三边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理证明三角形相似.
难点:三角形相似判定定理的证明过程.
提问:证明三角形全等有哪些方法 你能从中获得证明三角形相似的启发吗
知识点1 三边成比例的两个三角形相似
合作探究
任意画△ABC和△A'B'C',使===k,这两个三角形是否相似
解:△ABC∽△A'B'C'.
下面我们用前面所学的定理证明该结论.
证明:如图所示,过点D作DE∥BC交AC于点E,使AD=A'B'.
因为DE∥BC,
所以△ADE∽△ABC.
所以==.
又==,
所以=,=.
所以DE=B'C',EA=C'A'.
又因为AD=A'B',
所以△ADE≌△A'B'C'.
所以△ABC∽△A'B'C'.
[归纳总结] 利用三边判定三角形相似的定理
三边成比例的两个三角形相似.
符号语言:如图所示,
因为==,
所以△ABC∽△A'B'C'.
范例应用
例1 判断图中的两个三角形是否相似,并说明理由.
解:△ABC∽△DEF.理由如下:
在△ABC与△DEF中,
==0.6,
==0.6,==0.6,
所以==.
所以△ABC∽△DEF.
例2 如图所示的4×4的正方形网格的边长为1,三角形的顶点都在格点上,则与图中△ABC相似的三角形是(D)
知识点2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
合作探究
利用刻度尺和量角器画△ABC和△A'B'C',使 ∠A=∠A',==k,量出BC及B'C'的长,它们的比值等于k吗 再量一量两个三角形另外的两个角,你有什么发现 △ABC与△A'B'C'有何关系
解:它们的比值等于k,另外两个角也相等,
△ABC∽△A'B'C'.
追问:改变k和∠A的值的大小,是否有同样的结论
如图所示,在△ABC与△A'B'C'中,已知∠A=∠A',==k,求证:△ABC∽△A'B'C'.
证明:如图所示,在△A'B'C'的边上截取A'D,使A'D=AB.过点D作DE∥B'C',交 A'C' 于点E.
因为DE∥B'C',
所以△A'DE∽△A'B'C'.
所以=.
因为A'D=AB,=,
所以==.
所以A'E=AC.
又∠A'=∠A.
则△A'DE≌△ABC.
所以△ABC∽△A'B'C'.
[归纳总结] 利用两边和夹角来判定三角形相似的定理:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
符号语言:如图所示,因为=,∠A=∠A',
所以△ABC∽△A'B'C'.
思考:对于△ABC和△A'B'C',如果AB∶A'B'=AC∶A'C',∠B=∠B',这两个三角形一定相似吗
答案:不一定,如图所示,在△ABC和△A'B'C'中,
虽然=,∠B=∠B',
但是两个三角形不相似.
范例应用
例3 如图所示,在△ABC中,CD是边AB上的高,且=,求证:∠ACB=90°.
证明:因为CD是边AB上的高,
所以∠ADC=∠CDB=90°.
因为=,
所以△ADC∽△CDB.
所以∠ACD=∠B.
所以∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°.
1.如图所示,已知D是△ABC的边BC上一点,连接AD,使△ABC∽△DBA的条件是(D)
A.AC∶BC=AD∶BD B.AC∶BC=AB∶AD C.AB2=CD·BC D.AB2=BD·BC
2.如图所示,AB∥CD,点E在AB上,点F在CD上,AC,BD,EF相交于点O,则图中相似三角形共有(C)
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
如图所示,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,求证:△ABC∽△EFD.
证明:因为点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,
所以DE=AC,DF=BC,EF=AB.
所以===.
所以△ABC∽△EFD.
本节课你有哪些收获
学会判定三角形相似的两种方法:三边成比例、两边成比例且夹角相等.
第2课时 相似三角形的判定(一)
本节课通过复习全等三角形的判定方法,类比猜想SSS能否证明三角形相似,学生迅速完成由旧知识向新知识的转化,激发了学生学习本节课的兴趣,达到了较好的导入效果.在探究判定定理的证明过程中,教师以小问题的形式引导,层层深入分析证明定理的思路,降低了学习难度,再通过小组合作交流完成定理的证明过程,学生在课堂上思维活跃,合作意识较强.在整个教学过程中注重学生思维能力的提升及知识的形成过程.
第3课时 相似三角形的判定(二)
1.探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.
2.掌握判定两个直角三角形相似的方法,并能进行相关计算.
3.经历从实验探究到归纳证明的过程,发展学生的探究、交流和推理能力.
重点:掌握相似三角形的判定定理(3)及直角三角形中特有的相似判定方法.
难点:探究两个判定定理的过程及其证明方法.
我们学过哪些判定三角形相似的方法
法一 通过定义(不常用)
如图①所示,因为==,
∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F,
所以△ABC∽△DEF.
法二 通过平行线
如图②所示,因为DE∥BC,
所以△ABC∽△ADE.
法三 三边对应成比例
如图③所示,因为==,
所以△ABC∽△DEF.
法四 两边对应成比例且夹角相等
如图④所示,因为=,∠A=∠D,
所以△ABC∽△DEF.
知识点1 两角分别相等的两个三角形相似
合作探究
与同伴合作,一人画△ABC,另一人画△A'B'C',使∠A=∠A'=40°,∠B=∠B'=55°,探究下列问题:
问题1:度量AB,BC,AC,A'B',B'C',A'C'的长,并计算出它们的比值,你有什么发现
解:这两个三角形是相似的.
问题2:试证明△A'B'C'∽△ABC.
证明:如图所示,在△ABC的边AB上截取AD=A'B',过点D作DE∥BC,交AC于点E,则有△ADE∽△ABC,∠ADE=∠B.
因为∠B=∠B',所以∠ADE=∠B'.
又因为AD=A'B',∠A=∠A',
所以△ADE≌△A'B'C'.
所以△A'B'C'∽△ABC.
[归纳总结] 利用两组角判定两个三角形相似的定理:两角分别相等的两个三角形相似.
符号语言:
如图所示,因为∠A=∠A',∠B=∠B',
所以△ABC∽△A'B'C'.
范例应用
例1 如图所示,在△ABC和△A'B'C'中,若∠A=50°,∠B=75°,∠A'=50°,当∠C'= 55° 时,△ABC∽△A'B'C'.
例2 如图所示,在△ABC中,D是AB上的点,且∠ACD=∠B.
(1)求证:△ABC∽△ACD;
(2)若AD=4,AC=6,求AB的长.
(1)证明:在△ABC和△ACD中,
因为∠A=∠A,∠B=∠ACD,
所以△ABC∽△ACD.
(2)解:因为△ABC∽△ACD,所以=.
所以AB==9.
如图所示,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.
证明:因为DE∥BC,EF∥AB,
所以∠AED=∠C,
∠A=∠FEC.
所以△ADE∽△EFC.(两角分别相等的两个三角形相似)
知识点2 判定两个直角三角形相似
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,E是AC上一点,AE=5,ED⊥AB,垂足为D.求AD的长.
解:因为ED⊥AB,所以∠EDA=90°.
又∠C=90°,∠A=∠A,
所以△AED∽△ABC.
所以=.
所以AD===4.
[归纳总结] 直角三角形相似的方法:有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
思考:对于两个直角三角形,我们还可以用“HL”判定它们全等.那么,满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗
如图所示,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=90°,∠C'=90°,=.
求证:Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.
证明:设==k,
则AB=kA'B',AC=kA'C'.由勾股定理,得
BC=,B'C'=.
所以====k.
所以==.
所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.
[归纳总结] 判定直角三角形相似的方法:斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
范例应用
例4 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.
(1)∠A=35°,∠B'=55°;
(2)AC=3,BC=4,A'C'=6,B'C'=8;
(3)AB=10,AC=8,A'B'=25,B'C'=15.
解:(1)这两个三角形相似.
(2)这两个三角形相似.
(3)这两个三角形相似.
例5 如图所示,已知∠ACB=∠ADC=90°,AD=2,CD=,当AB的长为多少时,△ACB与△ADC相似.
解:因为∠ADC=90°,AD=2,CD=,
所以AC===.
要使这两个直角三角形相似,有两种情况:
(1)当Rt△ABC∽Rt△ACD时,有AC∶AD=AB∶AC,
即∶2=AB∶,解得AB=3.
(2)当Rt△ACB∽Rt△CDA时,有AC∶CD=AB∶AC,
即∶=AB∶,解得AB=3.
所以当AB的长为3或3时,这两个直角三角形相似.
1.如图所示,若P是Rt△ABC斜边BC上异于B,C的一点,过点P作直线截△ABC,截得的三角形与原△ABC相似,满足这样条件的直线有(C)
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
2.如图所示,在 ABCD中,E是边BC上的一点,且BE∶EC=3∶2,连接AE,BD交于点F,则BE∶AD= 3∶5 ,BF∶FD= 3∶5 .
如图所示,在△ABC中,∠ACB的平分线交AB于点D,过点D作DE∥BC交AC于点E,若AD∶DB=3∶2,则DE∶BC= 3∶5 .
如图所示,△ABC的高AD,BE交于点F.求证:=.
证明:因为△ABC的高AD,BE交于点F,
所以∠FEA=∠FDB=90°,∠AFE=∠BFD.
所以△FEA∽△FDB.
所以=.
回顾本节课我们学习的相似三角形的判定方法,会应用适当的方法来判定两个三角形相似.
第3课时 相似三角形的判定(二)
1.利用两组角判定两个三角形相似的定理:两角分别相等的两个三角形相似.
2.判定两个直角三角形相似:如果两个直角三角形满足一个锐角相等或斜边和一条直角边成比例,那么这两个直角三角形相似.
本节课应强调学生自主探究的原则,让学生通过观察、实验、动手探究等方式掌握判定三角形相似的方法.整堂课应注重转化思想的运用,本课时难点在于探究两个判定定理的过程及其证明方法,教师教学时讲解要尽可能详尽.教学过程中,应鼓励学生相互交流探讨,以提高学生的学习热情.
27.2.2 相似三角形的性质
1.理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比;理解相似三角形面积的比等于相似比的平方,并运用其解决问题.
2.经历对三角形问题进行探究的过程,进一步增强学生领会转化的思想方法.
3.通过对性质的发现和论证过程,感受数学活动中充满着探索,提高学习热情,增强探究意识.
重点:理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比;理解相似三角形面积的比等于相似比的平方,并运用其解决问题.
难点:经历对三角形问题进行探究的过程,进一步增强学生领会转化的思想方法.
三角形除了三个角,三条边外,还有哪些要素
答案:还有高、中线、角平分线、周长、面积等要素.
如果两个三角形相似,那么,对应的这些要素有什么关系呢 本节课我们就来探究对应的这些要素有什么关系
知识点1 相似三角形对应线段的比
合作探究
如图所示,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少
[探究1] 如图所示,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,AD,A'D'分别是边BC,B'C'上的高,求它们对应高的比.
解:因为AD,A'D'分别是边BC,B'C'上的高,
所以∠ADB=∠A'D'B'=90°.
因为△ABC∽△A'B'C',
所以∠B=∠B'.
所以△ADB∽△A'D'B'.
所以==k.
[探究2] 如图所示,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,AD,A'D'分别是边BC,B'C'上的中线,求证:=k.
证明:因为△ABC∽△A'B'C',
所以∠B=∠B',==k.
因为AD,A'D'分别是边BC,B'C'上的中线,
所以BD=BC,B'D'=B'C'.
所以==k.
所以△ABD∽△A'B'D'.
所以==k.
[探究3] 如图所示,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,AD,A'D'分别是∠BAC,∠B'A'C'的平分线,求证:=k.
证明:因为△ABC∽△A'B'C',
所以=k,∠B=∠B',∠BAC=∠B'A'C'.
因为AD,A'D'分别是∠BAC,∠B'A'C'的平分线,
所以∠BAD=∠BAC,
∠B'A'D'=∠B'A'C'.
所以∠BAD=∠B'A'D'.
所以△ABD∽△A'B'D'.
所以==k.
[归纳总结] 相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比.一般地,相似三角形对应线段的比等于相似比.
范例应用
例1 如图所示,已知△ABC∽△DEF,BG,EH分别是△ABC和△DEF的角平分线,BC=6 cm,EF=4 cm,BG=4.8 cm.求EH的长.
解:因为△ABC∽△DEF,BG和EH是角平分线,
所以=.
所以=,
解得EH=3.2 cm.
想一想:相似三角形周长的比也等于相似比吗 为什么
[探究4] 如图所示,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,求证:C△ABC∶C△A'B'C'=k.
证明:因为△ABC∽△A'B'C',
所以===k.
所以BC=k·B'C',AB=k·A'B',
AC=k·A'C'.
所以=
==k.
[结论] 相似三角形周长的比等于相似比.
知识点2 相似三角形面积的比
如图所示,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,它们的面积比是多少
解:如图所示,分别作AD⊥BC于点D,A'D'⊥B'C'于点D'.
由前面的结论,我们有=k,=k.
所以==·=k·k=k2.
[归纳总结] 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
范例应用
例2 如图所示,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D.若△ABC的边BC上的高为6,面积为12,求△DEF的边EF上的高和面积.
解:在△ABC和△DEF中,
因为AB=2DE,AC=2DF,
所以==.
又因为∠A=∠D,
所以△DEF∽△ABC,相似比为1∶2.
因为△ABC的边BC上的高为6,面积为12,
所以△DEF的边EF上的高为×6=3,
面积为2×12=3.
例3 如图所示,D,E分别是AC,AB上的点,已知△ABC的面积为100 cm2,且==,求四边形BCDE的面积.
解:因为∠BAC=∠DAE,
且==,
所以△ADE∽△ABC.
因为它们的相似比为3∶5,
所以面积比为9∶25.
又因为△ABC的面积为100 cm2,
所以△ADE的面积为100×=36(cm2).
所以四边形BCDE的面积为100-36=64(cm2).
1.已知两个三角形相似,请完成下列表格:
相似比 2 100 k
周长比 2 100 k
面积比 4 10 000 k2
2.把一个三角形变成和它相似的三角形.
(1)如果边长扩大为原来的5倍,那么面积扩大为原来的 25 倍;
(2)如果面积扩大为原来的100倍,那么边长扩大为原来的 10 倍.
3.如图所示,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,已知△ADE和△EFC的面积分别为4和9,求△ABC的面积.
解:因为DE∥BC,EF∥AB,
所以∠A=∠CEF,
∠ADE=∠B,∠EFC=∠B.
所以∠ADE=∠EFC.
所以△ADE∽△EFC.
又因为△ADE和△EFC的面积分别为4和9,
所以AE∶EC=2∶3.
则AE∶AC=2∶5.
所以S△ADE∶S△ABC=4∶25.
所以S△ABC=25.
4.如图所示,在△ABC中,DE∥BC,DE分别交AB,AC于点D,E,S△ADE=2S△DCE,求S△ADE∶S△ABC.
解:如图所示,过点D作AC的垂线,交AC于点F,
则===2.
所以=.
又因为DE∥BC,
所以△ADE∽△ABC.
所以=2=2=,
即S△ADE∶S△ABC=4∶9.
谈一谈本节课你的收获,自己总结一下相似三角形的性质.
27.2.2 相似三角形的性质
1.相似三角形对应高、中线、角平分线、周长的比等于相似比.
2.相似三角形面积的比等于相似比的平方.
3.相似三角形性质的运用.
本节课的教学过程中,首先提出问题让学生回答,这有助于学生回顾三角形的有关知识,接着教师提出问题并让学生自主探索形成初步认识,最后师生共同归纳结论.在上述教学过程中,教师要充分调动学生的积极性,自主探究,体会发现和解决问题的乐趣.
27.2.3 相似三角形应用举例
1.会利用相似三角形的性质测量物体的高度.
2.经历对实际问题的探索,能够利用相似三角形的知识,求出不能直接测量的物体的高度和宽度.
3.进一步了解数学建模思想,能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型,提高分析问题、解决问题的能力.
重点:经历对实际问题的探索,能够利用相似三角形的知识,求出不能直接测量的物体的高度和宽度.
难点:进一步了解数学建模思想,能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型,提高分析问题、解决问题的能力.
怎样测量这些非常高大的物体的高度
知识点1 利用相似三角形测量高度
合作探究
据传说,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成两个相似三角形来测量金字塔的高度.
[设计意图] 以旧引新,帮助学生建立新旧知识间的联系,借助古代难题,引出新课,激发学生的好奇心和求知欲,感受数学应用的意义.
如图所示,木杆EF长2 m,它的影长FD为3 m,测得OA为201 m,求金字塔的高度BO.
[教师引导分析]
(1)太阳光线与物体及其影子组成的△AOB与△DFE相似吗
答案:由太阳光线平行,得∠BAO=∠EDF,又∠AOB=∠DFE=90°,得△AOB与△DFE相似.
(2)如何求OA的长
答案:金字塔的影子是等腰三角形,则OA的长等于这个等腰三角形的高与金字塔底面边长一半的和.
(3)写出你的求解过程.
[师生活动] 学生在教师的引导下分析回答,独立完成证明过程.
解:因为太阳光线是平行光线,因此∠BAO=∠EDF.
又∠AOB=∠DFE=90°,
所以△ABO∽△DEF.
所以=.
所以BO===134(m).
因此金字塔的高度BO为134 m.
[归纳总结] 测量不能到达顶部的物体的高度
测高方法:
可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
表达式:物1高∶物2高=影1长∶影2长.
范例应用
如图所示,要测量旗杆AB的高度,可在地面上竖一根竹竿DE,测量出DE的长以及DE和AB在同一时刻下地面上的影长即可,则下面能用来求AB长的等式是(C)
A.= B.= C.= D.=
例2 如图所示,九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度,当身高1.6 m的楚阳同学站在C处时,他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合,同一时刻,其他成员测得AC=2 m,AB=10 m,则旗杆的高度是 8 m.
[点拨] =.
想一想:还可以用其他方法测量吗
[师生活动] 学生小组讨论方法,画出图形,小组代表根据图形叙述测量的方法和思路,归纳测量物体高度的其他方法.
解:如图所示,利用平面镜构造直角三角形.
因为∠EAF=∠BAO,∠EFA=∠BOA,
所以△ABO∽△AEF.
所以=.
则OB=.
所以利用平面镜构造直角三角形也可测量物体的高度.
[设计意图] 提出结论开放性问题,学生通过小组合作交流,想出测量物体高度的多种方法,激发学生的创造性思维,提高学生用数学知识解决实际问题的能力.
如图所示的是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后,刚好射到古城墙的顶端C处,已知AB=2 m,且测得BP=3 m,DP=12 m,那么该古城墙的高度是(B)
A.6 m B.8 m C.18 m D.24 m
知识点2 利用相似三角形测量宽度
如图所示,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P,Q,S共线且直线PS与河垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.测得QS=45 m,ST=90 m,QR=60 m,求河宽PQ.
[师生活动] 学生在教师的引导下独立思考,再完成解答过程,然后小组交流答案,教师在巡视过程中帮助有困难的学生.
解:因为∠PQR=∠PST=90°,∠QPR=∠SPT,
所以△PQR∽△PST.
所以=.
所以=,
即=.
所以PQ×90=(PQ+45)×60,
解得PQ=90(m).
因此,河宽大约为90 m.
追问:还有其他构造相似三角形求河宽的方法吗
[师生活动] 学生小组合作交流,共同探究其他方法.师生共同归纳,只要合理都可以.
如下题也可以应用相似三角形的性质测量河宽.
如图所示,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选点B和C,使AB⊥BC,然后,再选点E,使EC⊥BC,BC和AE的交点为D.此时如果测得BD=80 m,DC=30 m,EC=24 m,求河宽AB.
解:因为∠ADB=∠EDC,∠ABC=∠ECD=90°,
所以△ABD∽△ECD.
所以=,
即=,
解得AB=64(m).
因此,河宽AB为64 m.
[归纳总结] 测量河宽等不易直接测量的物体的宽度,常构造相似三角形求解.如图所示.
知识点3 利用相似解决有遮挡物问题
如图所示,左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8 m和CD=12 m,两树底部的距离BD=5 m,一个人估计自己眼睛距离地面1.6 m,他沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进,当他与左边较低的树的距离小于多少时,就看不到右边较高的树的顶端C了
[教师引导分析] 如图所示,设观察者眼睛的位置为点F,画出观察者的水平视线FG,分别交AB,CD于点H,K.视线FA与FG的夹角∠AFH是观察点A时的仰角.类似地,∠CFK是观察点C时的仰角,由于树的遮挡,区域Ⅰ和Ⅱ,观察者都看不到.
解:如图所示,假设观察者从左向右走到点E时,
他的眼睛的位置点E与两棵树的顶端A,C恰在一条直线上.
因为AB⊥l,CD⊥l,所以AB∥CD.
所以△AEH∽△CEK.
所以=.
则==,
解得EH=8(m).
由此可知,如果观察者继续前进,当他与左边的树的距离小于8 m时,由于这棵树的遮挡,他看不到右边树的顶端C.
1.小刚身高1.7 m,测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m,紧接着他把手臂竖直举起,测得影子长为1.1 m,那么小刚举起的手臂超出头顶(A)
A.0.5 m B.0.55 m C.0.6 m D.2.2 m
2.如图所示,小明在打网球时,使球恰好能打过网,而且落在离网4 m的位置上,则球拍击球的高度h为 1.4 m .
3.如图所示,为了估算河的宽度,我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选定点B和点C,使AB⊥BC,然后再选点E,使EC⊥BC,BC和AE的交点为D,此时如果测得BD=118 m,DC=61 m,EC=50 m,求河的宽度AB(精确到0.1 m).
解:因为∠ADB=∠EDC,∠ABD=∠ECD=90°,
所以△ABD∽△ECD.所以=.
所以AB==≈96.7(m).
答:河的宽度AB约为96.7 m.
本节课你的收获有哪些
1.测量不能直接测量的物体的高度:通常用同一时刻物高与影长成比例解决.
2.测量不能直接测量的物体的宽度:通常构造直角三角形利用相似求解.
27.2.3 相似三角形应用举例
1.利用相似三角形测量高度.
2.利用相似三角形测量宽度.
3.利用相似解决有遮挡物问题.
本节课主要是让学生学会运用三角形相似解决实际问题,在解决实际问题中经历从实际问题到建立数学模型的过程,发展学生的抽象概括能力,在进行测量旗杆的高度时,为了培养学生从多个角度思考问题,让学生探索不同方法用时太多,造成后面例题的分析有些仓促,学生思考、交流时间过短,在以后的教学中,可以把用不同方法测量旗杆的高度作为课前预习内容思考.
27.3 位 似
第1课时 位似图形
1.掌握位似图形的定义、性质及画法.掌握位似图形与相似图形的区别和联系.
2.经历观察、思考及动手操作等过程,锻炼学生分析问题、解决问题的能力.
3.通过对位似图形的观察、欣赏,可激发学生的学习兴趣,增强审美意识.
重点:位似图形的有关概念、性质及作位似图形.
难点:利用位似图形将一个图形放大或缩小.
如图所示的是幻灯机放映图片的示意图,在幻灯机放映图片的过程中,这些图片之间有什么关系 连接图片上对应的点,你有什么发现
知识点1 位似图形的概念
合作探究
思考:下列图形中有多边形相似吗 如果有,那么这种相似有什么特征
答案:这三个图形中的多边形都分别相似.
特征:(1)这两个图形是相似的,对应边互相平行.
(2)每组对应点所在的直线都经过同一点.
[归纳总结] 对于两个图形,如果它们对应顶点的连线相交于一点,并且这点与对应顶点所连线段成比例,像这样的两个图形叫做位似图形,这个交点叫做位似中心.
范例应用
例1 画出下列图形的位似中心:
解:如图①,图②所示的点O即为图形的位似中心.
[总结] 两个位似图形的位似中心的位置可能有以下几种情况:
(1)如图①所示,当位似中心在两个位似图形的同侧时;
(2)如图②所示,当位似中心在两个位似图形之间时;
(3)如图③,图④,图⑤所示,当位似中心分别在两个位似图形的内部、图上及顶点时.
知识点2 位似图形的性质
如图(1)所示,我们可以看到,△OAB∽△OA'B',则==,AB∥A'B'.那么图(2)呢 你得到了什么
[归纳总结] (1)位似图形是一种特殊的相似图形,它具有相似图形的所有性质,即对应角相等,对应边的比相等;(2)对应点到位似中心的距离的比等于相似比;(3)对应线段平行或者在一条直线上.
范例应用
例2 如图所示,BC∥ED,则下列说法不正确的是(D)
A.△ABC与△ADE是位似图形 B.点A是两个三角形的位似中心
C.△ADE∽△ABC D.AE∶AD是相似比
例3 下列说法:①位似图形一定是相似图形;②相似图形一定是位似图形;③两个位似图形若全等,则位似中心在两个图形之间;④若五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'位似,则其中△ABC与△A'B'C'也是位似的,且相似比相等.其中正确的有 ①④ (填序号).
知识点3 画位似图形
思考:如图所示,怎样把四边形ABCD缩小到原来的
答案:(1)在四边形外任选一点O(如图所示);
(2)分别在线段OA,OB,OC,OD上取点A',B',C',D',使得====.
(3)顺次连接点A',B',C',D',所得四边形A'B'C'D'就是所要求的图形.
强调:利用位似,可以将一个图形放大或缩小.
思考:对于上面的问题,还有其他方法吗
如果在四边形外任选一点O,分别在OA,OB,OC,OD的反向延长线上取A',B',C',D',使得====呢 如果点O取在四边形ABCD内部呢 分别画出这时得到的图形.
解:画出的图形分别如图①,图②所示.
范例应用
例4 如图所示,如何把三角形ABC放大为原来的2倍 只画出两种放大过程即可.
解:(答案不唯一)如图①,图②所示.
1.如图所示,正五边形FGHMN与正五边形ABCDE是位似图形,若AB∶FG=2∶3,则下列结论正确的是(B)
A.2DE=3MN B.3DE=2MN C.3∠A=2∠F D.2∠A=3∠F
2.如图所示,已知△ABC,画△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC,且使相似比为1∶3.
要求:位似中心O在△ABC的一条边AB上.
解:△A'B'C'如图所示.
3.如图所示,F在BD上,BC,AD相交于点E,且AB∥CD∥EF,AB=2,CD=3.
(1)图中有哪几对位似三角形 选其中一对加以证明;
(2)求EF的长;
(3)求△ABD与△EFD面积的比.
解:(1)△ABD与△EFD,△BFE与△BDC,△AEB与△DEC都是位似图形;
因为AB∥CD∥EF,
所以△ABD∽△EFD,△BFE∽△BDC,
△AEB∽△DEC.
因为对应顶点的连线都交于一点,并且这点与对应顶点所连线段成比例,
所以△ABD与△EFD,△BFE与△BDC,△AEB与△DEC都是位似图形.
(2)因为△AEB∽△DEC,AB=2,CD=3,
所以==.
所以==,
即=,
解得EF=.
(3)因为△ABD∽△EFD,
所以=2=2=.
请总结一下位似的概念、性质、画法.
1.概念:对于两个图形,如果它们的对应顶点的连线相交于一点,并且这点与对应顶点所连线段成比例,像这样的两个图形叫做位似图形,这个交点叫做位似中心.
2.性质:位似图形是相似图形,各对应点到位似中心的距离的比等于相似比;每组对应点连线相交于一点;对应边互相平行(或在同一条直线上).
3.画法:确定位似中心;对应点与位似中心的距离比相等.
27.3 位 似
第1课时 位似图形
1.位似图形的概念.
2.位似图形的性质.
3.画位似图形:将图形放大或缩小.
本节课的重点是位似图形的概念、性质及作图方法,在课堂上注重探究知识的形成过程,不是单纯地记忆结论,探索位似图形的性质的过程中,以教师提出的问题为指导,通过小组合作交流,归纳总结位似图形的性质,提高了学生分析问题、解决问题的能力,为进一步探索将图形放大或缩小提供了理论依据,在整个探究过程中,学生是课堂的主人,学生在课堂上享受到成功的快乐.画位似图形,由教师先提出问题,学生讨论,通过展示不同成果让学生体会思考问题要全面,最后归纳总结画位似图形的方法,培养学生归纳总结的能力.
第2课时 位似变换与坐标
1.能熟练地利用坐标变化将一个图形放大与缩小;了解四种图形变换(平移、轴对称、旋转和位似)的异同.
2.在具体活动操作中,培养学生的动手操作能力,进一步增强用位似变换来解决实际问题的能力.
3.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,进一步培养学生综合运用知识的能力,体验成功的喜悦,树立良好的数学自信心.
重点:用图形的坐标变化来表示图形的位似变换,能综合运用平移、轴对称、旋转和位似进行图案设计.
难点:用图形的坐标变化来表示图形的位似变换.
问题:将如图(1)所示的图形如何变换得到如图(2)所示的图形
在平面直角坐标系中,可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转(中心对称).那么位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢
知识点1 平面直角坐标系中的位似变换
合作探究
1.如图所示,在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0).以原点O为位似中心,相似比为,把线段AB缩小,观察对应点之间坐标的变化.
解:如图所示,点A的对应点A'及A″的坐标为A'(2,1),A″(-2,-1);点B的对应点B'及B″的坐标为B'(2,0),B″(-2,0).
2.如图所示,△AOC的顶点坐标分别为A(4,4),O(0,0),C(5,0),以点O为位似中心,相似比为2,将△AOC放大,观察对应顶点坐标的变化.
解:如图所示,把△AOC放大后,A,C的对应点的坐标分别为A'(8,8),C'(10,0),A″(-8,-8),C″(-10,0).
问题1:在平面直角坐标系中,以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个
问题2:如果所作位似图形与原图形在原点的同侧,那么对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系 如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢
问题3:如何在平面直角坐标系中,以原点为位似中心,画一个图形的位似图形
[设计意图] 通过对上述问题的探究思考,让学生主动参与数学知识的“再发现”,在动手—猜想—交流—归纳过程中进一步体验坐标平面内的位似变换性质.
[归纳总结] (1)在平面直角坐标系中,以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个;
(2)当位似图形在原点同侧时,其对应顶点的坐标的比为k;当位似图形在原点异侧时,其对应顶点的坐标的比为-k,即原图形上点的坐标为(x,y),则对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky);
(3)当k>1时,图形扩大为原来的k倍;当0
例1 如图所示,线段AB两个端点的坐标分别为A(4,4),B(6,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,则端点D的坐标为(D)
A.(2,2) B.(2,1) C.(3,2) D.(3,1)
例2 △ABC三个顶点的坐标分别为A(3,6),B(6,2),C(2,-1),以原点为位似中心,得到的位似图形△A'B'C'三个顶点坐标分别为A'(1,2),B'2,,C',-,则△A'B'C'与△ABC的相似比是 1∶3 .
例3 如图所示,在平面直角坐标系中,△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-2,0),O(0,0).以原点O为位似中心,在△ABO的同一侧画出一个三角形使它与△ABO的相似比为3∶2.
解:如图所示,△A'B'O即为所求.
知识点2 平面直角坐标系中的图形变换
至此,我们已经学习了四种变换:平移、轴对称、旋转和位似,你能说出它们之间的异同吗 在如图所示的图案中,你能找到这些变换吗
试一试:将图中的△ABC做下列变换,画出相应的图形.(每个小方格的边长为1个单位长度)
(1)沿y轴向上平移3个单位长度;
(2)关于x轴对称;
(3)在点C的左侧,以C点为位似中心,画一个三角形使它与△ABC的相似比为2∶1;
(4)以C为中心,将△ABC顺时针旋转180°.
解:(1)如图①所示.
(2)如图②所示.
(3)如图③所示.
(4)如图④所示.
1.如图所示,每个小方格的边长为1个单位长度,将△ABC的三边分别扩大为原来的2倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上),它们是以P点为位似中心的位似图形,则P点的坐标是(D)
A.(-3,-3) B.(-3,-4) C.(-4,-4) D.(-4,-3)
2.如图所示,点A的坐标为(3,4),点O的坐标为(0,0),点B的坐标为(4,0).
(1)将△AOB沿x轴向左平移1个单位长度后得△A1O1B1,则点A1的坐标为 (2,4) ,△A1O1B1的面积为 8 ;
(2)将△AOB绕原点旋转180°后得△A2OB2,则点A2的坐标为 (-3,-4) ;
(3)将△AOB沿x轴翻折后得△A3OB3,则点A3的坐标为 (3,-4) ;
(4)以O为位似中心,将△AOB放大后得△A4OB4,相似比为1∶2,若点B4在x轴负半轴上,则点A4的坐标为 (-6,-8) ,△A4OB4的面积为 32 .
3.如图所示,在△ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(-1,0).以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C,并把△ABC的边长放大到原来的2倍.设点B的对应点B'的横坐标是a,求点B的横坐标.
解:如图所示,作BE垂直于x轴于点E,B'F垂直于x轴于点F,
则△BEC∽△B'FC.
因为△ABC与△A'B'C的相似比为1∶2,
所以B'C=2BC.
所以2EC=CF.设点B的横坐标为x,
即2(-x-1)=a+1.
所以x=-(a+3)=-a-.
即点B的横坐标为-a-.
谈谈这节课你的收获.
本节课探究平面直角坐标系上的位似图形,结合平面直角坐标系的特点可以快速推理出相似图形的点的坐标的变化规律:原图形上点的坐标为(x,y),则对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky).
第2课时 位似变换与坐标
1.平面直角坐标系中的位似变换.
(1)坐标变化规律:(x,y)→(kx,ky)或(-kx,-ky);
(2)平面直角坐标系中的位似图形的画法.
2.平面直角坐标系中的图形变换.
本课时可类比上一课时的教学方式进行,只不过本课时涉及了平面直角坐标系,教学时教师应让学生充分参与,体会平面直角坐标系中的位似变换,以培养学生的动手操作能力和用位似变换解决实际问题的能力.本课时的难点是用图形的坐标变化来表示图形的位似变换的变化规律,教师可以让学生以小组为单位进行讨论,争取让学生自己发现规律,教师再予以适当点拨,以培养学生的探究能力.
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第1课时 正 弦
1.探索并理解正弦的概念.并能根据正弦的概念进行计算.
2.通过探究锐角的正弦的概念的形成,体会由特殊到一般的数学思想方法,培养学生的归纳推理能力.
3.让学生在通过探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的快乐,感悟数学的实用性,培养学生学习数学的兴趣.
重点:探索并理解正弦的概念.并能根据正弦的概念进行计算.
难点:引导学生探究发现:在直角三角形中,一个确定的锐角的对边与斜边的比值是不变的.
为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房A处沿着山坡AB铺设水管,在山坡上建一座扬水站,对坡面绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角(∠A)为30°,为使出水口的高度BC达到35 m,需要准备多长的水管
知识点1 已知直角三角形的边长求正弦值
互动探究
同学们,从上述情境中,你可以找到一个什么数学问题呢 能否结合数学图形把它描述出来
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=35 m,求AB.
解:根据“在直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半”,
即=.
可得AB=2BC=70 m.
也就是说,需要准备70 m长的水管.
提问:如果出水口的高度为50 m,那么需要准备多长的水管 (自主思考)
[归纳] 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么无论这个直角三角形大小如何,这个角的对边与斜边的比都等于.
思考:如图所示,在Rt△ABC中,如果∠C=90°,∠A=45°,那么∠A的对边和斜边的比是多少
解:因为∠A=45°,则AC=BC.
由勾股定理,得AB2=AC2+BC2=2BC2.
所以AB=BC.
所以==.
[归纳] 在直角三角形中,如果一个锐角等于45°,那么无论这个直角三角形大小如何,这个角的对边与斜边的比都等于.
思考:当∠A是任意一个确定的锐角时,它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢
任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C',使得∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,那么与有什么关系.能解释一下吗
提示:因为∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,
所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.
所以=,=
[归纳] 这就是说,在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比是一个固定值.
[归纳总结]
如图所示,在Rt△ABC 中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine),记作sin A,
即sin A==,
例如,当∠A=30°时,我们有sin A=sin 30°=,
当∠A=45°时,我们有sin A=sin 45°=.
范例应用
例1 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,求sin A和sin B的值.
[分析] 求sin A和sin B的值,实质就是求∠A与∠B的对边与斜边的比.先利用勾股定理求未知的斜边与直角边的长.
解:如图(1)所示,在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB===5.
所以sin A==,sin B==.
如图(2)所示,在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AC===12,
所以sin A==,sin B==.
例2 如图所示,在平面直角坐标系内有一点P(3,4),连接OP,求OP与x轴正方向所夹锐角的正弦值.
[点拨] 结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值,一般过已知点向x轴或y轴作垂线,构造直角三角形,再结合勾股定理求解.
解:如图所示,过点P作PA⊥x轴,交x轴于点A,则A(3,0).
在△APO中,由勾股定理,得
OP===5.
因此sin∠POA==.
知识点2 已知锐角的正弦值求直角三角形的边长
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,BC=3,求sin B及Rt△ABC的面积.
解:因为sin A=,
所以=.
所以AB=3BC=3×3=9.
所以AC===6.
所以sin B===.
所以S△ABC=AC·BC=×6×3=9.
范例应用
例3 在△ABC中,∠C=90°,AC=24,sin A=,求这个三角形的周长.
[点拨] 已知一边及其邻角的正弦值时,一般需结合方程思想和勾股定理,解决问题.
解:设BC=7x,则AB=25x.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AC===24x,
即24x=24,解得x=1.
故BC=7x=7,AB=25x=25.AC=24.
所以△ABC的周长为AB+BC+AC=25+7+24=56.
1.在直角三角形ABC中,若三边长都扩大2倍,则锐角A的正弦值(B)
A.扩大2倍 B.不变 C.缩小2倍 D.无法确定
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sin A=,则∠A= 45° ,∠B= 45° .
3.如图所示,在正方形网格中有△ABC,则sin∠ABC 的值为 .
4.如图所示,点D(0,3),O(0,0),C(4,0)在☉A上,BD是☉A的一条弦,则sin∠OBD= .
5.如图所示,在△ABC中,AB=BC=5,sin A=,求△ABC的面积.
解:如图所示,作BD⊥AC于点D,
因为sin A=,所以=.
因为AB=5,
所以BD=4,AD===3.
又因为△ABC为等腰三角形,BD⊥AC,
所以AC=2AD=6.
所以S△ABC=AC·BD=12.
6.如图所示,在正方形ABCD中,M是AD的中点,BE=3AE,试求sin∠ECM的值.
解:设AE=x,则BE=3x,BC=4x,AM=DM=2x,CD=4x.
所以EC==5x.
所以CM==2x.
所以EM==x.
所以EM2+CM2=CE2.
所以△CME是直角三角形.
所以sin∠ECM==.
说一说本节课有哪些收获
通过观察直角三角形,掌握其对边与斜边的关系sin A==,并理解∠A与sin A的函数关系.
第二十八章 锐角三角函数
28.1锐角三角函数
第1课时 正 弦
1.正弦函数概念:sin A==.
2.应用:已知边长求正弦值,已知正弦值求边长.
在教学过程中,重视过程,深化理解,通过学生的主动探究来体现他们的主体地位,教师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用,对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用.
第2课时 余弦和正切
1.认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.
2.通过探究锐角的余弦、正切的概念的形成,体会由特殊到一般的数学思想方法.
3.逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.
重点:认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.
难点:类比正弦的概念,探索余弦、正切的概念.
问题:在Rt△ABC中,∠C=90°,当锐角A确定时,∠A的对边与斜边的比就随之确定.此时,其他边之间的比是否也确定了呢
知识点1 余弦
合作探究
如图所示,△ABC和△DEF都是直角三角形,其中∠A=∠D,∠C=∠F=90°,则=成立吗 为什么
我们来试着证明这个问题:
因为∠A=∠D,∠C=∠F=90°,
所以∠B=∠E.所以=.
[归纳] 在直角三角形中,当一个锐角的度数一定时,这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数,与直角三角形的大小无关.
[归纳总结] 如图所示,在直角三角形ABC中,我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cos A,即cos A==.
从上述探究和证明过程看出,对于任意锐角A,有cos A=sin (90°-∠A),
从而有sin A=cos (90°-∠A).
范例应用
例1 如图所示,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,3),那么cos α的值是(D)
A. B. C. D.
例2 已知直角三角形的斜边与一直角边的比为7∶5,α为其最小的锐角,求α的正弦值和余弦值.
解:因为直角三角形的斜边与一直角边的比为7∶5,令斜边为7x,则该直角边为5x,
另一直角边为=2x,
因为α为其最小的锐角,所以α所对的直角边长为2x.所以sin α=,cos α=.
知识点2 正切
合作探究
如图所示,△ABC和△DEF都是直角三角形,其中∠A=∠D,∠C=∠F=90°,则=成立吗 为什么
解:因为∠A=∠D,∠C=∠F=90°,
所以Rt△ABC∽Rt△DEF.
所以=,
即BC·DF=AC·EF.
所以=.
[归纳] 由此可得,在直角三角形中,当一个锐角的度数一定时,这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数,与直角三角形的大小无关.
[归纳总结] 如图所示,在直角三角形ABC中,我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tan A,即tan A==.∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数.
想一想:如果两个角互余,那么这两个角的正切值有什么关系
如果两个角互余,那么这两个角的正切值互为倒数.
范例应用
例3 如图所示,在矩形ABCD中,AB=10,BC=8,E为AD边上一点,沿CE将△CDE对折,使点D正好落在AB边上的点F处,求tan∠AFE.
[点拨] 根据题意,结合折叠的性质,易得∠AFE=∠BCF,进而在Rt△BFC中,有BC=8,CF=10,由勾股定理易得BF的长,根据三角函数的定义,易得tan∠BCF的值,从而可得tan∠AFE 的值.
解:由折叠的性质可得,CF=CD=10,∠EFC=∠EDC=90°.
因为∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°,
所以∠AFE+∠BFC=90°.
因为∠BCF+∠BFC=90°,所以∠AFE=∠BCF.
在Rt△BFC中,BC=8,CF=10,
由勾股定理,得BF==6.所以tan∠BCF=.
所以tan∠AFE=tan∠BCF=.
知识点3 锐角三角函数
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,求sin A,cos A,tan A的值.
解:由勾股定理,得AC===8.
所以sin A===,cos A===,tan A===.
范例应用
例4 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,AB=13.
sin A= ,cos A= ,tan A= , sin B= ,cos B= ,tan B= .
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,且sin A=,则下列结论正确的是(D)
A.cos A= B.tan A= C.cos A= D.tan A=
2.sin 70°,cos 70°,tan 70°的大小关系是(D)
A.tan 70°
解:因为∠ACB=∠ADC=90°,
所以∠B+∠A=90°,∠ACD+∠A=90°.
所以∠B=∠ACD.
所以tan B=tan∠ACD===.
说一说本节课有哪些收获
通过观察直角三角形,要掌握其任意两边的比值关系,并理解∠A与sin A,cos A,tan A的函数关系.
第2课时 余弦和正切
1.余弦函数概念:cos A==; 正切函数概念:tan A==;
直角三角形的锐角三角函数sin A,cos A,tan A.
2.直角三角形的锐角三角函数的应用.
本节课的主要内容是在上节课的基础上,用类比的方法探究余弦和正切的定义,在探究活动中,教师引导学生仿照研究锐角的正弦的思路和方法,自己完成锐角的余弦、正切的探索过程,从而得到余弦和正切的概念.例题的分析和解答以学生为主体,通过小组合作交流完成,教师及时点拨,加深学生对概念的理解和掌握的同时,提高了学生的解题能力,并规范了教学过程.
第3课时 特殊角的锐角三角函数值
1.能推导并熟记30°,45°,60°角的三角函数值,并能根据这些值说出对应的锐角度数.
2.通过推导特殊角的三角函数值,了解知识间的联系,提升综合运用数学知识解决问题的能力.
3.让学生经历观察、操作等过程,探索特殊三角函数值,让学生获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.
重点:熟记30°,45°,60°角的三角函数值,能熟练计算含有30°,45°,60°角的三角函数的代数式.
难点:30°,45°,60°角的三角函数值的推导过程.
问题:在直角三角形中,一个锐角的正弦、余弦、正切是怎么定义的
知识点1 30°,45°,60°角的三角函数值
合作探究
两块三角尺中有几个不同的锐角 分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值.
解题过程:设30°角所对的直角边长为a,那么斜边长为2a,
另一条直角边长为=a,
所以sin 30°==.
所以cos 30°==.
所以tan 30°==.
所以sin 60°==.
所以cos 60°==.
所以tan 60°==.
设含45°角的直角三角形两条直角边长为a,则斜边长为=a,
所以sin 45°==.
所以cos 45°==.
所以tan 45°==1.
[师生活动] 学生画图,根据直角三角形的知识和三角函数的定义,独立推导各三角函数值,然后小组成员交流推导结果,教师提示可以用字母表示三角形的一条边长,然后计算各三角函数值,对学生推导的结果教师作出点评,共同完成下列表格.
[归纳总结]
30°,45°,60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表:
锐角三角函数 锐角A
30° 45° 60°
sin A
cos A
tan A 1
思考:(1)观察表格中数据,当锐角α增大时,它的正弦、余弦、正切怎样变化
(2)表格中哪些角的三角函数值是相等的
(3)观察表格中的数据,锐角α的正弦值、余弦值与1之间的大小有何关系
[结论]
(1)正弦值、正切值随着角度的增大而增大,余弦值随着角度的增大而减小;
(2)sin 30°=cos 60°,sin 60°=cos 30°,sin 45°=cos 45°,
故sin α=cos (90°-α),cos α=sin (90°-α),其中α为锐角.
(3)0
范例应用
例1 求下列各式的值:
(1)cos260°+sin260°; (2)-tan 45°.
提示:sin260°表示(sin 60°)2,即sin 60°×sin 60°.
解:(1)cos260°+sin260°
=2+2
=1.
(2)-tan 45°=-1=0.
例2 计算:
(1)sin 30°-cos 45°; (2)sin260°+cos230°-tan 45°.
解:(1)sin 30°-cos 45°=-=.
(2)sin260°+cos230°-tan 45°
=2+2-1
=.
知识点2 通过三角函数值求角度
(1)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=,BC=,求∠A的度数;
(2)如图所示,AO是圆锥的高,OB是底面圆的半径,AO=OB,求α的度数.
解:(1)sin A===,
所以∠A=45°.
(2)tan α===,
所以α=60°.
范例应用
例3 求满足下列条件的锐角α.
(1)2sin α-=0; (2)tan α-1=0.
解:(1)sin α=,所以α=60°.
(2)tan α=1,所以α=45°.
例4 已知△ABC中的∠A与∠B满足|1-tan A|+sin B-2=0,试判断△ABC的形状.
解:因为|1-tan A|+sin B-2=0,所以tan A=1,sin B=.
所以∠A=45°,∠B=60°,∠C=180°-45°-60°=75°,
所以△ABC是锐角三角形.
例5 已知α为锐角,且tan A是方程x2+2x-3=0的一个根,求sin2A+2cos2A-3tan (A+15°)的值.
解:解方程x2+2x-3=0,得x1=1,x2=-3.
因为tan A>0,所以tan A=1.
所以∠A=45°.
所以sin2A+2cos2A-3tan (A+15°)=sin245°+2cos245°-3tan 60°=2+2×2-3×=-3.
[设计意图] 在教师的引导下完成例题的分析和解答,正确认识特殊角的三角函数值,熟练掌握由特殊角求三角函数值,由特殊三角函数值求出对应角的度数,通过探索解题过程,提高学生分析问题、解决问题的能力,通过对题型方法技巧的总结,培养学生归纳总结的能力.
1.tan (α+20°)=1,锐角α的度数应是(D)
A.40° B.30° C.20° D.10°
2.在△ABC中,若sin A-+cos B-2=0,则∠C等于(D)
A.30° B.60° C.90° D.120°
3.求下列各式的值:
(1)2-sin 30°cos 30°; (2)3tan 30°-tan 45°+2sin 60°; (3)+.
解:(1)2-sin 30°cos 30°
=2-×
=2-.
(2)3tan 30°-tan 45°+2sin 60°
=3×-1+2×
=-1+
=2-1.
(3)+
=+
=1+3
=4.
4.若规定sin (α-β)=sin αcos β-cos αsin β,求sin 15° 的值.
解:答案不唯一.可用sin(45°-30°)也可用sin(60°-45°),选择其一解答即可.
由题意,得sin 15°=sin (45°-30°)
=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°
=×-×
=.
5.如图所示,在△ABC中,∠A=30°,tan B=,AC=2,求AB.
解:如图所示,过点C作CD⊥AB于点D,∠A=30°,AC=2.
所以sin A==.
所以CD=×2=.
因为cos A==,
所以AD=×2=3.
因为tan B==,所以BD==2.
所以AB=AD+BD=3+2=5.
本节课我们学习了特殊角的三角函数值,我们一起总结:
锐角三角函数 锐角A
30° 45° 60°
sin A
cos A
tan A 1
第3课时 特殊角的锐角三角