4.3 向心力的实例分析 同步练习（含答案解析） (1)

第3节
向心力的实例分析
(时间：60分钟)
知识点
基础
中档
稍难
水平面内的圆周运动
1、2、3
竖直面内的圆周运动
4
5、6、7、8
综合提升
9、10
11、12
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"../../../达标基训.TIF"
\
MERGEFORMAT
知识点一　水平面内的圆周运动
1．汽车甲和汽车乙质量相等，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的外侧．两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f甲和f乙．以下说法正确的是
(　　)．
A．f甲＜f乙
B．f甲＝f乙
C．f甲＞f乙
D．f甲和f乙大小均与汽车速率无关
解析　摩擦力分别提供两车转弯所需的向心力，
则f甲＝，f乙＝，
因r甲＞r乙，故f甲＜f乙，A正确．
答案　A
2．铁路转弯处的弯道半径r是由地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高．其内、外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率v有关．下列说法正确的是
(　　)．
A．v一定时，r越小，要求h越大
B．v一定时，r越大，要求h越大
C．r一定时，v越小，要求h越大
D．r一定时，v越大，要求h越大
解析　火车转弯时，圆周平面在水平面内，火车以规定速率行驶时，向心力刚好由重力mg与轨道支持力N的合力来提供，如图所示，则有mgtan
θ＝m，且tan
θ≈sin
θ＝，其中L为内、外轨间距，是定值，故mg＝，通过分析可知，A、D正确．
答案　AD
3．一辆载重汽车的质量为4m，通过半径为R的拱形桥．若桥顶能承受的最大压力F＝3mg，为了安全行驶，汽车应以多大的速度通过桥顶？
解析　如图所示，由牛顿第二定律得
4mg－N＝4m，
则N＝4mg－4m
①
为了保证汽车不压坏桥顶，同时又不飞离桥面，由牛顿第三定律得，支持力的取值范围为0≤N≤F＝3mg
将①代入②得≤v≤.
答案　≤v≤
知识点二　竖直平面内的圆周运动
4.
如图4－3－8所示，小物块从半球形碗边的A点下滑到B点，碗内壁粗糙．物块下滑过程中速率不变，下列说法中正确的是
(　　)．
A．物块下滑过程中，所受的合外力为零
B．物块下滑过程中，所受的合外力越来越大
C．物块下滑过程中，加速度的大小不变，方向时刻在变
D．物块下滑过程中，摩擦力大小不变
解析　物块下滑过程中做匀速圆周运动，所受合外力大小(即向心力)和加速度的大小均不变，方向时刻改变，A、B错误，C正确；物块下滑到C点时的受力分析如图所示，为保证速率不变，切线方向应有f＝mgsin
θ，由于θ是变化的，所以摩擦力的大小也是变化的，D错误．
答案　C
5.
质量为m的小球在竖直平面内的圆管轨道内运动，小球的直径略小于圆管的直径，如图4－3－9所示．已知小球以速度v通过最高点时对圆管外壁的压力恰好为mg，则小球以速度通过圆管的最高点时
(　　)．
A．小球对圆管内、外壁均无压力
B．小球对圆管外壁的压力大小等于
C．小球对圆管内壁的压力大小等于
D．小球对圆管内壁的压力大小等于mg
解析　设小球做圆周运动的半径为r，小球以速度v通过最高点时，由牛顿第二定律得2mg＝m
①
小球以速度通过圆管的最高点时，设小球受向下的压力N，有mg＋N＝m②
由①②得N＝－，该式表明，小球受到向上的支持力，由牛顿第三定律知小球对圆管内壁有向下的压力，大小为，C正确．
答案　C
6.
乘坐游乐场的过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内沿圆周轨道运动，如图4－3－10所示，下列说法正确的是
(　　)．
A．车在最高点时，人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，
若没有保险带，人一定会掉下去
B．人在最高点时，对座位仍可能产生压力，但压力一定小于mg
C．人在最低点时，处于超重状态
D．人在最低点时，对座位的压力大于mg
解析　由圆周运动的临界条件知，人在最高点时，若v＝
，则人对底座和保险带都无作用力；若v＜，则保险带对人有拉力作用；若v＞，则人对底座有压力，且当v＞，压力大于mg，故A、B错误；人在最低点时有N－mg＝m，则N＞mg，故C、D正确．
答案　CD
7．在光滑平面上，有一转轴垂直于此平面．交点O的上方h处固定一细绳的一端，绳的另一端固定一质量为m的小球B，绳长AB＝l＞h，小球可随转轴转动并在光滑水平面上做匀速圆周运动，如图4－3－11所示．要使球不离开水平面，转轴的转速最大值是
(　　)．
A.
B．π
C.
D．2π
解析　以小球为研究对象，小球受三个力作用，重力G、水平面支持力N、绳子拉力T.
在竖直方向合力为零，在水平方向所需向心力为，故得Tcos
θ＋N＝mg
①
Tsin
θ＝＝mrω2＝4π2n2mr＝4π2n2mhtan
θ
②
由①②得N＝mg－4π2n2mh，
当球即将离开水平面时N＝0，
转速n有最大值n＝或n＝，A正确．
答案　A
8.
如图4－3－12所示，AB是竖直平面内的四分之一圆弧形光滑轨道，下端B与水平直轨道相切．一个小物块自A点由静止开始沿轨道下滑，已知轨道半径R＝0.2
m，小物块的质量m＝0.1
kg，小物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.5，取g＝10
m/s2.求：
(1)小物块在B点时受到的圆弧轨道的支持力大小；
(2)小物块在水平面上滑动的最大距离．
解析　(1)从A点运动到B点，小物块机械能守恒，得mgR＝mv，
在B点有N－mg＝meq
\f(v,R)，
联立以上两式得支持力
N＝3mg＝3×0.1×10
N＝3
N.
(2)设小物块在水平面上滑动的最大距离为s，对整个过程由动能定理得
mgR－μmgs＝0，
得s＝＝
m＝0.4
m.
答案　(1)3
N　(2)0.4
m
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"../../../综合提升.TIF"
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9．在质量为M的电动机飞轮上，固定着一质量为m的重物，重物到转轴的距离为r，如图4－3－13所示．
为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮的转动角速度不能超过
(　　)．
A.
g
B.
C.
D.
解析　当重物转动到最高点时，对电动机向上的拉力最大，要使电动机不从地面上跳起，重物对电动机的拉力的最大值T＝Mg.对重物来说，随飞轮一起做圆周运动所需的向心力是由重力和飞轮对重物的拉力T′的合力提供的，T′和T是一对作用力和反作用力．由牛顿第二定律得T′＋mg＝mrω2，代入数值得ω＝
，故B正确．
答案　B
10．质量m＝2.0×104
kg的汽车以不变的速率先后驶过凹桥面和凸桥面，两桥面的圆弧半径均为20
m．如图4－3－14所示，如果桥面承受的压力不得超过3.0×105
N，则：
图4－3－14
(1)汽车允许的最大速率是多少？
(2)若以所求速率行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？(取g＝10
m/s2)
解析　(1)汽车驶至凹桥面的底部时，合外力向上，此时汽车对桥面的压力最大；当汽车驶至凸桥面的顶部时，合外力向下，此时汽车对桥面的压力最小．在最低点由牛顿第二定律得N1－mg＝m，
其中支持力最大为Nmax＝3.0×105
N，
代入数值得vmax＝10
m/s.
(2)同理，在最高点有mg－N2＝meq
\f(v,R)，代入数值得N2＝1.0×105
N.
答案　(1)10
m/s　(2)1.0×105
N
11．铁路转弯处的弯道半径r及其内、外高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上行驶的速率v.下表是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之相对应的轨道的高度差h.
弯道半径r/m
660
330
220
165
132
110
内、外轨高度差h/m
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
(1)根据表中数据，试导出h与r关系的表达式，并求出当r＝440
m时，h的设计值；
(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内、外轨的距离设计值L＝1.435
m，结合表中数据，求出我国火车的转弯速率v.(路轨倾角α很小时，可认为tan
α＝sin
α)
解析　(1)分析表中数据得，每组的h与r的乘积均等于常数，即C＝660×0.05
m2＝33
m2，因此hr＝33(或h＝)；
当r＝440
m时，有h＝
m＝0.075
m＝75
mm.
(2)转弯中，当内外轨对车轮均没有侧向压力时，火车的受力示意图如图所示．由牛顿第二定律得mgtan
α＝m
①
因为α很小，则有tan
α＝sin
α＝
②
由①②得v＝
≈15
m/s＝54
km/h，即我国火车的转变速率为54
km/h.
答案　(1)hr＝33　75
mm　(2)54
km/h
12．如图4－3－15所示，一个四分之三圆弧形光滑细圆管轨道ABC，放置在竖直平面内，轨道半径为R，A点与水平地面AD相接，地面与圆心O等高，MN是放在水平地面上长为3R、厚度不计的垫子，左端M正好位于A点．将一个质量为m、直径略小于圆管直径的小球从A处管口正上方某处由静止释放，不考虑空气阻力．
图4－3－15
(1)若小球从C点射出后恰好能打到垫子的M端，则小球经过C点时速度为多大？对管道作用力的大小和方向如何？
(2)欲使小球能通过C点落到垫子上，小球离A点的最大
高度是多少？
解析　(1)小球离开C点后做平抛运动，落到M点时水平位移为R，竖直下落高度为R，根据运动学公式得
R＝gt2，运动时间t＝
，
从C点射出的速度为v1＝＝
，
由向心力公式得mg－N＝eq
\f(mv,R)，
管道对它的作用力大小为
N＝mg－meq
\f(v,R)＝mg，
由牛顿第三定律知，小球对管道的作用力大小为
N′＝N＝mg，方向竖直向下．
(2)小球下降的高度最高时，小球运动的水平位移为4R，打到N点．设小球落到N点，从C点射出的水平速度为v2，由平抛运动得v2＝＝，
设小球离A点的最大高度为H，由机械能守恒定律知mg(H－R)＝mv，
得H＝eq
\f(v
,2g)＋R＝5R.
答案　(1)　mg，竖直向下　(2)5R
图4－3－8
图4－3－9
图4－3－10
图4－3－11
图4－3－12
图4－3－13