4.3 向心力的实例分析 学案 (4)

4.3
向心力的实例分析
学案
【学习目标】
1、知道如果一个力或几个力的合力的效果是使物体产生向心加速度，它就是物体所受的向心力。会在具体问题中分析向心力的来源。
2、知道向心力、向心加速度的公式也适用于变速圆周运动。会求变速圆周运动中，物体在特殊点的向心力和向心加速度。
【学习重点】
找出向心力的来源，理解并掌握在匀速圆周运动中合外力提供向心力，
能用向心力公式解决有关圆周运动的实际问题。
【知识要点】
1．火车转弯
⑴
火车车轮的结构特点
火车的车轮有凸出的轮缘，且火车在轨道上运行时，有凸出轮缘的一边在两轨道内侧，这种结构特点，主要是有助于固定火车运动的轨迹。（如图1所示）
⑵
如果转弯处内外轨一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力就是火车转弯的向心力，见图2，但火车质量太大，靠这种办法得到向心力，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损。
⑶
如果在转弯处使外轨略高于内轨，火车转弯时铁轨对火车的支持力FN的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G的合力指向圆心，为火车转弯提供了一部分向心力，这就减轻了轮缘与外轨的挤压。在修筑铁路时，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和支持力FN的合力来提供（如图3）。
设内外轨间的距离为L，内外轨的高度差为h，火车转弯的半径为R，火车转弯的规定速度为v0，由图3所示力的合成得向心力为
F合=mgtanα≈mgsinα=mg
由牛顿第二定律得：F合=m
所以mg=m
即火车转弯的规定速度v0=。
⑷
对火车转弯时速度与向心力的讨论
a．当火车以规定速度v0转弯时，合力F等于向心力，这时轮缘与内外轨均无侧压力。
b．当火车转弯速度v>v0时，该合力F小于向心力，外轨向内挤压轮缘，提供侧压力，与F共同充当向心力。
c．当火车转弯速度v2．汽车过桥
⑴
汽车过拱桥时，车对桥的压力小于其重力
汽车在桥上运动经过最高点时，汽车所受重力G及桥对其支持力FN提供向心力。如图4所示。
G－FN=m
所以FN=G－
汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对作用力与反作用力，故汽车对桥的压力小于其重力。
⑵
汽车过凹桥时，车对桥的压力大于其重力
如图5，汽车经过凹桥最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，其合力充当向心力.则有：FN－G=m，所以FN=G+m
由牛顿第三定律知，车对桥的压力FN′=G+m，大于车的重力，而且还可以看出，v越大，车对桥的压力越大。
3．汽车转弯
在水平公路上行驶的汽车，转弯时所需的向心力，是由车轮与路面间的静摩擦力f提供的，即，因为静摩擦力f最大不能超过最大摩擦力，故要求车子转弯时，车速不能太大和转弯半径不能太小。
4．飞机拐弯
飞机在空中拐弯时，其机翼是倾斜的，飞机受到竖直向下的重力和垂直于机翼的升力作用，其合力提供拐弯所需要的向心力。当拐弯速度比较大时，飞机的机翼倾斜角度增大，从而使重力与升力的合力增大。当拐弯速度比较小时，飞机的机翼倾斜角度减小，从而使重力与升力的合力减小。
5．航天器中的失重现象
飞船环绕地球做匀速圆周运动，当飞船距地面高度为一二百千米时，它的轨道半径近似等于地球半径R，航天员受到的地球引力近似等于他在地面测得的体重mg。除了地球引力外，航天员还可能受到飞船座舱对他的支持力FN
，引力与支持力的合力为他提供了绕地球做匀速圆周运动所需的向心力F=，即
mg－FN=
也就是
FN=m（g－）
由此可以解出，当v=时，座舱对航天员的支持力FN=0，航天员处于失重状态。
6．竖直平面内物体做圆周运动过最高点的情况分析
⑴
没有支撑的小球，如图10（细绳约束、外侧轨道约束下）在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况。
①
当，即时，v0为小球恰好过最高点的临界速度。
②
当，即时，（绳、轨道对小球产生拉力和压力），小球能过最高点。
③
当，即时，小球不能通过最高点，实际上小球还没有到达最高点就已经脱离了圆周轨道
【典型例题】
例1
一辆汽车匀速率通过半径为R的圆弧拱形路面，关于汽车的受力情况，下列说法正确的是（
）
A．汽车对路面的压力大小不变，总是等于汽车的重力
B．汽车对路面的压力大小不断发生变化，总是小于汽车所受重力
C．汽车的牵引力不发生变化
D．汽车的牵引力逐渐变小
解析
汽车受重力mg、路面对汽车的支持力FN、路面对汽车的牵引力F(暂且不考虑汽车运动过程中受到的阻力)，如图所示。设汽车所在位置路面切线与水平面所夹的角为θ
汽车运行时速率大小不变，沿轨迹切线方向合力为零，所以
F－mgsinθ=0，则F=mgsinθ
汽车在到达最高点之前，θ角不断减小，由上式可见，汽车的牵引力不断减小；从最高点向下运动的过程中，不需要牵引力，反而需要制动力，所以C选项不正确，D选项正确。
在沿着半径的方向上，汽车有向心加速度，由牛顿第二定律：
mgcosθ－FN=，则
FN=mgcosθ－。
可见，路面对汽车的支持力FN随θ的减小而增大，当到达顶端时θ=0，FN=mg－达到最大，FN＜mg，所以A选项不正确，B选项正确。答案：BD
点评
从解题过程看，首先，应当明确汽车的运动是匀速圆周运动，时时刻刻汽车都在做变加速运动，任何一个时刻或一个位置汽车所处的状态都不是平衡状态；其二，应当明确汽车的速率大小不变，汽车在沿轨迹切线的方向上所受合力始终为零。也就是说：明确汽车的运动情况，抓住“切向平衡”“法向有向心加速度”是解决这类问题的关键。
例2
在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的高一些.路面与水平面间的夹角为θ，设拐弯路段是半径为R的圆弧，要使车速为v时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零，θ应等于（
）
A．arcsin
B．arctan
C．arcsin
D．arccot
思路
汽车在水平面内做圆周运动，如果路面是水平的，汽车做圆周运动的向心力只能由静摩擦力提供，如果外侧路面高于内侧路面一个适当的高度，也就是路面向内侧倾斜一个适当的角度θ，地面对车支持力的水平分量恰好提供车所需要的向心力时，车轮与路面的横向摩擦力正好等于零。在此临界情况下对车受力分析，明确汽车所受合外力的方向：水平指向圆心，然后由牛顿第二定律列方程求解。答案：B
例3
用长L=0.6
m的绳系着装有m=0.5
kg水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。求：
（1）最高点水不流出的最小速度为多少？
（2）若过最高点时速度为3
m/s，此时水对桶底的压力多大？
解析
（1）以水为研究对象，水通过最高点的临界条件为
mg=m　①
由式①解得
v0==m/s=m/s≈2.42
m/s
（2）v=3
m/s>v0，水不会流出，设桶底对水的压力为FN，则由牛顿第二定律有
mg+FN=m
②
由式②解得
FN=m－mg=0.5×（－9.8）N=2.6N
根据牛顿第三定律，FN′=－FN
，所以水对桶底的压力FN′=2.6N，方向竖直向上。
⑵
如图11所示为在轻杆约束下竖直平面内做圆周运动的小球过最高点的情况。
①
当v=0时，杆对球的支持力FN
=
mg，此为过最高点临界条件。
②
当时，，FN
=
0
③
当时，N为支持力，v增大，则FN减小。
④
当时，N为指向圆心的拉力，v增大，则FN增大。
例4
如图所示，杆长为L，球的质量为m，杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为F=mg/2，求这时小球的瞬时速度大小？
解析
小球所需向心力向下，本题中F=mg/2＜mg，所以弹力的方向可能向上也可能向下。
⑴
若F向上，则
⑵
若F向下，则
【达标训练】
1．一辆卡车在丘陵地匀速行驶,地形如图所示，由于轮胎太旧，途中爆胎，爆胎可能性最大的地段应是（
）
A．a处
B．b处
C．c处
D．d处
2．一汽车通过拱形桥顶点时速度为10
m/s，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在桥顶对桥面没有压力，车速至少为（
）
A．15
m/s
B．20
m/s
C．25
m/s
D．30
m/s
3．在水平铁路转弯处，往往使外轨略高于内轨，这是为了（
）
A．减轻火车轮子挤压外轨
B．减轻火车轮子挤压内轨
C．使火车车身倾斜，利用重力和支持力的合力提供转弯所需向心力
D．限制火车向外脱轨
4．铁路转弯处的圆弧半径为R，内侧和外侧的高度差为h，L为两轨间的距离，且L>h，如果列车转弯速率大于，则（
）
A．外侧铁轨与轮缘间产生挤压
B．铁轨与轮缘间无挤压
C．内侧铁轨与轮缘间产生挤压
D．内外铁轨与轮缘间均有挤压
5．有一种大型游戏器械，它是一个圆筒形大容器，筒壁竖直，游客进入容器后靠筒壁站立，当圆筒开始转动，转速加快到一定程度时，突然地板塌落，游客发现自己没有落下去，这是因为（
）
A．游客受到的筒壁的作用力垂直于筒壁
B．游客处于失重状态
C．游客受到的摩擦力等于重力
D．游客随着转速的增大有沿壁向上滑动的趋势
6．质量为m的小球，用一条绳子系在竖直平面内做圆周运动，小球到达最高点时的速度为v，到达最低点时的速变为，则两位置处绳子所受的张力之差是（
）
A．6mg
B．5mg
C．4mg
D．2mg
1．D
2．B
3．ACD
4．A
5．
C
6．A
【课后反思】
收获
疑问
（图1）
图2222）
（图3）
（图4）
（图5）
（图10）
（例1）
（图11）
（例5）
（第1题）