2025—2026学年七年级数学上学期第一次月考卷02
（测试范围：七年级上册苏科版2024，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列四个数中，属于负分数的是（ ）
A．7 B． C．0 D．
2．规定：（）表示向左移动3．记作，则（）表示向右移动5，记作（ ）
A． B． C． D．
3．王刚同学是某校2003年入学的，他在四班，学号是15，如果用6位数字给他编学籍号，下面比较实用的是（ ）
A．200304 B．040315 C．030415 D．150403
4．某商店出售甲乙两种商品，售价都是1800元，其中甲商品能盈利，乙商品亏损，如果同时售出甲、乙商品各一件，那么（ ）
A．共盈利150元 B．共亏损150元
C．不盈利也不亏损 D．以上答案都不对
5．有张元，张元和张元的人民币，从中取出元钱，共有（ ）种不同的取法
A． B． C． D．
6．十分奇怪，我们家的七个成年人的生日非常接近，七个日期是：1月1日、1月31日、2月2日、2月20日、2月21日、2月23日和2月27日，为了方便起见，我们决定只举行一次生日宴会，选择的日期与每个生日的距离之和应当最小，选择的日期是（ ）
A．1月31日 B．2月1日 C．2月9日 D．2月20日
7．有理数0，，，1中，最小的非负整数是（ ）
A．0 B． C． D．1
8．下列结论正确的有（ ）
①规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴
②最小的整数是0
③绝对值等于本身的数是正数
④有理数都可以用数轴上的点表示
⑤两个数比较，绝对值大的反而小
A．1 B．2 C．3 D．4
9．数轴上表示整数的点称为整数点．某数轴的单位长度为，若在这条数轴上任意画一条长的线段，则线段盖住的整数点的个数是（ ）
A．2025 B．2026 C．2025或2026 D．2024或2025
10．如图，若，则该数轴的原点可能为（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的火柴棒，该火柴棒能盖住3个整点，则这根火柴棒的长度为 厘米．
12．计算： ．
13．求 ．
14．对于有理数x，y，a，m，若，则称x和y关于a的“和谐关联数”为m，例如，，则5和3关于2的“和谐关联数”为4．
（1）和4关于3的“和谐关联数”为 ；
（2）若和关于2的“和谐关联数”为和关于3的“和谐关联数”为和关于10的“和谐关联数”为．则的最小值为 ．
15．高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如．现定义，例如，则 ．
16．计算： ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．计算：
(1)；
(2)．
19．已知有理数，，其中数在如图所示的数轴上对应点，是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为3
(1)________，________．
(2)在数轴上标出表示，0，，的点，并用“<“连接起来．
20．小虫从某地点0出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的路程依次为（单位：厘米）
，问：
(1)小虫是否回到原点0？
(2)爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励5粒芝麻，则小虫可得到多少粒芝麻？
21．如图，在数轴上点表示数，点表示数，表示点和点之间的距离．
(1)若在数轴上存在一点，且，写出 点表示的数；
(2)若点是线段上从左到右的四个点，并且．计算与点所表示的数最接近的整数．
22．已知零件的标准直径是，某次抽查了6件样品，抽查时以标准直径为基准，用正负数表示每件样品测得的数值与标准直径的差（单位：），抽查结果如下：
序号 1 2 3 4 5 6
差
(1)哪件样品的大小最符合要求？你认为的最符合是根据什么判断的？
(2)如果规定差的绝对值在0.18之内是正品，那么哪几件样品是正品？
23．寒潮来袭，各地气温不断创新低，然而来势汹汹的冷空气，却吹不散人们的消费热情．购置御寒衣物、取暖电器，或是品尝一顿热气腾腾的火锅，成为不少人的入冬“仪式”．全国各地立足自身自然资源优势，将“冷资源”转化为“热经济”．某商店的、两种御寒商品也是深受顾客的喜爱，每件商品的售价为元，利润为元；每件商品的进价为元，利润率为：
(1)每件商品的进价为__________元，每件商品的售价为________元；
(2)若该商店第一次用元购进了、两种商品，其中商品的件数比商品件数的倍少件，求购进、两种商品各多少件；
(3)在（2）的条件下，该商店第二次又购进、两种商品进行销售，与第一次相比，购进商品的件数不变，进价提高了，售价不变并且全部售出；购进商品的件数增加了，进价不变，但每件的售价调整为元，销售一段时间后，商店为了回馈消费者进行打折促销，于是将剩下的件商品打九折并全部售出，若第二次购进的两种商品共获得利润元，求的值．
24．公交车由始发站A站开出向B站行进，与此同时，小强和小明分别从A，B两站同时出发，小强由A向B步行，小明骑自行车由B向A行驶，小明的速度是小强的3倍，公交车每隔相同时间发一辆车，小强发现每隔有一辆公交车追上他，而小明也发现每隔就遇到一辆公交车．
(1)求两辆公交车发车的间隔时间．
(2)若A，B两站相距，公交车的速度为，问在行进途中（不包括起点和终点），小强被几辆公交车追上，小明又遇到了几辆公交车？
《七年级数学上册第一次月考卷02（苏科版版2024，测试范围：第1-2章）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C B D D A B C A
1．B
本题考查有理数的分类．
根据负分数是小于0的分数，进行判断即可．
解：7，，0，，四个数中，是负分数的是；
故选B．
2．A
本题考查了正负数的应用．根据题意找出左右移动与正负数表示的方法即可求解．
解：（）表示向左移动3．记作，则（）表示向右移动5，记作，
故选：A．
3．C
本题考查数字编码，学籍号通常按入学年份、班级、学号的顺序编排．
解：王刚是2003年入学，取年份后两位“03”；班级为四班，用两位数字“04”；学号15用两位数字“15”，按年份→班级→学号的顺序组合为“030415”，对应选项C；
选项B“040315”将班级置于年份前，不符合实用编码逻辑；
其他选项顺序或信息不完整．
故选C．
4．B
本题考查利润率问题，根据题意，求出两种商品的进价，再用总售价减去总进价，进行判断即可．
解：由题意，甲商品的进价为：（元）；
乙商品的进价为：，
（元）；
故共亏损150元；
故选B．
5．D
本题考查了筛选与枚举，仔细读题，读懂题意后用一一列举的方法解答即可，掌握一一列举的解题策略是解题的关键．
解：（元），
（元），
（元），
（元），
（元），
（元），
（元），
∴一共有种不同的取法，
故选：．
6．D
本题考查了有理数加法的应用，把每个生日作为生日宴会日期，分别计算选择的日期与每个生日的距离之和，找到距离最小的值即可确定选择的日期．
解：若选择1月1日举行宴会，与每个生日的距离之和为（天），
若选择1月31日举行宴会，与每个生日的距离之和为（天），
若选择2月2日举行宴会，与每个生日的距离之和为（天），
若选择2月20日举行宴会，与每个生日的距离之和为（天），
若选择2月21日举行宴会，与每个生日的距离之和为（天），
若选择2月23日举行宴会，与每个生日的距离之和为（天），
若选择2月27日举行宴会，与每个生日的距离之和为（天），
所以选择2月20日举行宴会，与每个生日的距离之和应当最小，
故选：D．
7．A
本题考查了比较有理数的大小及非负整数概念，根据有理数大小的比较方法及非负整数概念比较即可，掌握有理数的大小比较及非负整数概念是解题的关键．
解：，
四个有理数中，最小的非负整数是，
故选：A．
8．B
根据所学的相关知识理解解答即可．
本题考查了数轴，有理数的大小比较，熟练掌握知识是解题的关键．
解：①规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴，正确；
②没有最小的整数，错误；
③绝对值等于本身的数是正数或0，错误；
④有理数都可以用数轴上的点表示，正确；
⑤两个负数比较，绝对值大的反而小，错误；
故选：B．
9．C
考虑线段起点是否在整点上，分两种情况讨论：①起点在整点时；②起点不在整点时.
解：、 起点在整数点：
若线段的起点恰好位于某个整数点（如处），
则线段每延伸会覆盖下一个整数点.
长度为时，终点为处，
覆盖的整数点包括起点到终点共个.
、起点不在整数点：
若线段起点在两个整数点之间（如处），
则终点为处，
此时覆盖的整数点从到，共个.
综上，线段盖住的整数点个数为或.
故选：.
10．A
本题考查数轴上的点的特征，熟悉相关性质是解题的关键．根据数轴上点的位置和有理数加法的性质，即可判断原点可能的位置．
解：若A点为原点，则，，，故符合题意；
若B点为原点，则，，无法判断，故不符合题意；
若C点为原点，则，，，故不符合题意；
若D点为原点，则，，，故不符合题意；
故选：A．
11．3或2
本题考查了数轴，解题的关键是找出长度为n（n为正整数）的线段盖住n或个整点，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，分端点是否与整点重合两种情况来考虑是关键．
由于若火柴棒的端点恰好与整点重合，则1厘米长的线段盖住2个整点，若火柴棒的端点不与整点重合，则1厘米长的线段盖住1个整点，据此分析即可求解．
解：长度为n（n为正整数）的线段盖住n或个整点，．
∴长度为m的火柴棒能盖住的3个整点时，火柴棒的长度厘米或，即厘米，
故答案为：3或2．
12．
本题考查有理数的混合运算，根据混合运算的法则和运算顺序进行计算即可．
解：原式
．
故答案为：
13．/
本题考查了有理数的乘方的运算，令，则，再由计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
解：令，
∴，
由可得，，
∴，
故答案为：．
14． 5 55
本题以新定义题型为背景，考查了绝对值的计算和绝对值的几何意义，数字类的规律探索，掌握相关结论是解题关键．
（1）根据定义计算即可求解；
（2）根据绝对值的几何意义得出的最小值，依此类推即可求解．
（1）解：根据定义可得：和4关于3的“和谐关联数”为：；
故答案为：5；
（2）解：∵和关于2的“和谐关联数”为1，
∴，
当时，则，即，
当时，则，即，
，
，
当时，则，即，
，
；
当时，则，即，
∴的最小值为3；
同理的最小值为，
以此类推，可得的最小值为，
∴的最小值；
的最小值；
的最小值；
的最小值是，
∴的最小值为．
故答案为：55．
15．
本题主要考查了有理数的大小比较，有理数的加减混合运算，新定义运算，解题关键是理解新定义运算．
根据表示不超过的最大整数求解，列式计算．
由题意得：．
16．
本题考查的是有理数的混合运算，解决本题关键是找出分母的规律，再进一步把算式进行化简．因为，则算式变为，根据，将算式变为，接着将算式化为，然后计算括号里面的减法，最后计算括号外面的乘法．
解：
．
故答案为：．
17．(1)
(2)
本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）根据乘法分配律计算即可；
（2）先算括号内的式子，再算括号外的除法，最后算加法即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．(1)
(2)
本题考查了含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键．
（1）先去括号，再利用交换律与结合律计算即可得；
（2）先化简绝对值、计算乘方，再将除法转化为乘法，然后利用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律计算即可得．
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
19．(1)2，
(2)见解析，
本题考查用数轴表示数，并比较有理数的大小．正确的表示出各数，是解题的关键．
（1）根据点在数轴上的位置，确定的值，根据绝对值的意义，确定的值；
（2）先在数轴上表示出各数，根据数轴上的数右边的比左边的大，进行判断即可．
（1）由图可知：；
∵b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3，
∴；
故答案为：；
（2）数轴上表示各数，如图：
由图可知：
20．(1)小虫没有回到原点
(2)小虫可得到315粒芝麻
本题考查了正负数的应用：
（1）利用有理数的加法，即可求解；
（2）利用加法先求出总距离，再乘以每爬行1厘米奖励5粒芝麻即可求解；
熟练掌握正负数的意义是解题的关键．
（1）解：
，
答：小虫没有回到原点．
（2）
，
（粒），
答：小虫可得到315粒芝麻．
21．(1)或
(2)
本题考查了数轴上数的分布问题，关键是注意数轴上点沿正方向的数值依次增加，且距离某点一定的距离，点的位置可能分布在点的左右两侧，
（1）根据题意，以及点和点的位置，分类讨论点在的左侧，之间和的右侧三种情况，即可求解；
（2）依据和可以计算出每两点间的距离为，然后乘以对应的间隔数，即可得出结论．
（1）解：设数轴上点表示的数为，
，
，即．
，
点不可能在 的延长线上，则点可能在线段上和线段的延长线上．
① 当点在线段上时，则有 ，得，解得
；
② 当点在线段的延长线上时，则有，
得，解得 ．
故当 时，或；
（2），
，
，
点 对应的有理数为 ，
所以与点最接近的整数是．
22．(1)第4件样品的大小最符合要求．是根据绝对值越小越接近标准直径而判断的
(2)第1，2，4，6件样品是正品
本题考查了正数与负数的绝对值，掌握绝对值的求法，理解题意是解决本题的关键.
（1）表中的数据是零件的误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好；
（2）因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小，每件样品所对应的结果的绝对值，即为零件的误差的绝对值，看绝对值的结果不大于0.18的样品为正品.
（1）由表格可知，的绝对值最小，所以第4件样品的大小最符合要求．是根据绝对值越小越接近标准直径而判断的．
（2）因为；
；
；
；
；
，
所以第1，2，4，6件样品是正品．
23．(1)，
(2)，
(3)
本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系，正确列出一元一次方程是解答本题的关键．
（1）对于求每件商品的进价，已知商品的售价和利润，根据进价、售价、利润的基本关系“进价售价利润”，直接用售价元减去利润元就可得到进价，对于求每件商品的售价，已知商品的进价和利润率，根据售价与进价、利润率的关系“售价进价”，将进价元乘以就能得到售价；
（2）设购进商品的件数为件，因为商品件数与商品件数有明确的数量关系“商品的件数比商品件数的倍少件”，所以商品件数可表示为件，又已知、商品的进价以及总进价，根据“总进价商品进价商品件数商品进价商品件数”这个等量关系列出方程求解
（3）首先明确第一次购进、商品的数量，然后对于第二次购进，商品进价提高了 ，可得出商品新的进价，根据售价不变可求出商品的利润表达式，商品件数增加了，可得出商品新的件数，考虑到有件打九折出售，分别求出正常售价和打折售价情况下商品的利润表达式，最后根据“第二次购进的两种商品共获得利润元”这个等量关系列出方程求解．
（1）解：因为每件商品售价为元，利润为元，根据进价售价利润，所以每件商品的进价为：（元），
因为每件商品进价为元，利润率为，根据售价进价，所以每件商品的售价为：（元），
故答案为：，；
（2）解：设购进商品的件数为件，则商品件数可表示为件，
已知商品进价为元，商品进价为元，且第一次用元购进了、两种商品，根据题意得：
，
解得：，
，
所以第一次购进商品件，商品件；
（3）解：由（2）得第一次购进商品件，商品件，
第二次购进商品的件数不变，进价提高了，则商品的进价为元，售价为元，利润为元，
第二次购进商品的件数增加了，则商品的件数为件，进价为元，售价为元，利润为元，
已知第二次购进的两种商品共获得利润元，根据题意得：
，
解得：．
24．(1)
(2)被5辆公交车追上，共遇到3辆公交车
此题属于应用类问题，解答本题的关键是求出公交车的速度与小明、小强的速度的关系，要注意掌握解不定方程的技巧．
（1）设小强速度是x，那么小明的速度，再设公交车为y，因为两辆车间隔距离相等，小强与车是追及问题，即小强与小明之间距离为①，小明与小强是相遇问题，即小明与车之间的距离为②，根据上面两式可得到，代入①即可求得一的值，也即可得出两辆公交车发车的间隔时间．
（2）根据题意条件求出小强、小明的速度，及走完全路程所用的时间，结合第一问可得出答案．
（1）解：设小强的速度是x，则小明的速度是．设两辆公交车之间的距离是s，公交车的速度为y．
由题意，得
解得，
∴两辆公交车发车的间隔时间为．
（2）解：，
，
小强走完用，每被追上一次，总共就被追上6次，除去终点的一次，共被5辆公交车追上．小明骑完用，第一次相遇时是第，每相遇一次，
∴总共遇到3辆公交车．(共7张PPT)
苏科版2024七年级上册
七年级数学上册第一次月考卷02
试卷分析
一、试题难度
整体难度：中等
难度 题数
较易 7
适中 12
较难 5
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.95 有理数的分类
2 0.85 相反意义的量；正负数的实际应用
3 0.85 数学常识
4 0.75 有理数四则混合运算的实际应用
5 0.75 简单的枚举法；有理数加法运算
6 0.65 有理数加法在生活中的应用
7 0.65 有理数大小比较
8 0.55 用数轴上的点表示有理数；有理数大小比较；数轴的三要素及其画法；绝对值的几何意义
9 0.55 数轴上两点之间的距离；数轴上整点覆盖问题
10 0.50 数轴上找原点
三、知识点分布
二、填空题 11 0.75 数轴上整点覆盖问题
12 0.65 含乘方的有理数混合运算
13 0.65 有理数的乘方运算
14 0.5 带有字母的绝对值化简问题；绝对值方程；求一个数的绝对值；有理数的减法运算
15 0.4 有理数的加减混合运算；有理数大小比较
16 0.4 有理数四则混合运算
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 有理数乘法运算律；有理数四则混合运算；含乘方的有理数混合运算
18 0.85 含乘方的有理数混合运算；有理数加减中的简便运算
19 0.75 用数轴上的点表示有理数；利用数轴比较有理数的大小
20 0.75 正负数的实际应用
21 0.65 用数轴上的点表示有理数；数轴上两点之间的距离；有理数加法运算
22 0.65 正负数的实际应用；求一个数的绝对值
23 0.4 销售盈亏(一元一次方程的应用)；有理数四则混合运算的实际应用
24 0.4 一次不定方程；有理数除法的应用2025—2026学年七年级数学上学期第一次月考卷02
（测试范围：七年级上册苏科版2024，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
《七年级数学上册第一次月考卷02（苏科版版2024，测试范围：第1-2章）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C B D D A B C A
1．B
本题考查有理数的分类．
根据负分数是小于0的分数，进行判断即可．
解：7，，0，，四个数中，是负分数的是；
故选B．
2．A
本题考查了正负数的应用．根据题意找出左右移动与正负数表示的方法即可求解．
解：（）表示向左移动3．记作，则（）表示向右移动5，记作，
故选：A．
3．C
本题考查数字编码，学籍号通常按入学年份、班级、学号的顺序编排．
解：王刚是2003年入学，取年份后两位“03”；班级为四班，用两位数字“04”；学号15用两位数字“15”，按年份→班级→学号的顺序组合为“030415”，对应选项C；
选项B“040315”将班级置于年份前，不符合实用编码逻辑；
其他选项顺序或信息不完整．
故选C．
4．B
本题考查利润率问题，根据题意，求出两种商品的进价，再用总售价减去总进价，进行判断即可．
解：由题意，甲商品的进价为：（元）；
乙商品的进价为：，
（元）；
故共亏损150元；
故选B．
5．D
本题考查了筛选与枚举，仔细读题，读懂题意后用一一列举的方法解答即可，掌握一一列举的解题策略是解题的关键．
解：（元），
（元），
（元），
（元），
（元），
（元），
（元），
∴一共有种不同的取法，
故选：．
6．D
本题考查了有理数加法的应用，把每个生日作为生日宴会日期，分别计算选择的日期与每个生日的距离之和，找到距离最小的值即可确定选择的日期．
解：若选择1月1日举行宴会，与每个生日的距离之和为（天），
若选择1月31日举行宴会，与每个生日的距离之和为（天），
若选择2月2日举行宴会，与每个生日的距离之和为（天），
若选择2月20日举行宴会，与每个生日的距离之和为（天），
若选择2月21日举行宴会，与每个生日的距离之和为（天），
若选择2月23日举行宴会，与每个生日的距离之和为（天），
若选择2月27日举行宴会，与每个生日的距离之和为（天），
所以选择2月20日举行宴会，与每个生日的距离之和应当最小，
故选：D．
7．A
本题考查了比较有理数的大小及非负整数概念，根据有理数大小的比较方法及非负整数概念比较即可，掌握有理数的大小比较及非负整数概念是解题的关键．
解：，
四个有理数中，最小的非负整数是，
故选：A．
8．B
根据所学的相关知识理解解答即可．
本题考查了数轴，有理数的大小比较，熟练掌握知识是解题的关键．
解：①规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴，正确；
②没有最小的整数，错误；
③绝对值等于本身的数是正数或0，错误；
④有理数都可以用数轴上的点表示，正确；
⑤两个负数比较，绝对值大的反而小，错误；
故选：B．
9．C
考虑线段起点是否在整点上，分两种情况讨论：①起点在整点时；②起点不在整点时.
解：、 起点在整数点：
若线段的起点恰好位于某个整数点（如处），
则线段每延伸会覆盖下一个整数点.
长度为时，终点为处，
覆盖的整数点包括起点到终点共个.
、起点不在整数点：
若线段起点在两个整数点之间（如处），
则终点为处，
此时覆盖的整数点从到，共个.
综上，线段盖住的整数点个数为或.
故选：.
10．A
本题考查数轴上的点的特征，熟悉相关性质是解题的关键．根据数轴上点的位置和有理数加法的性质，即可判断原点可能的位置．
解：若A点为原点，则，，，故符合题意；
若B点为原点，则，，无法判断，故不符合题意；
若C点为原点，则，，，故不符合题意；
若D点为原点，则，，，故不符合题意；
故选：A．
11．3或2
本题考查了数轴，解题的关键是找出长度为n（n为正整数）的线段盖住n或个整点，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，分端点是否与整点重合两种情况来考虑是关键．
由于若火柴棒的端点恰好与整点重合，则1厘米长的线段盖住2个整点，若火柴棒的端点不与整点重合，则1厘米长的线段盖住1个整点，据此分析即可求解．
解：长度为n（n为正整数）的线段盖住n或个整点，．
∴长度为m的火柴棒能盖住的3个整点时，火柴棒的长度厘米或，即厘米，
故答案为：3或2．
12．
本题考查有理数的混合运算，根据混合运算的法则和运算顺序进行计算即可．
解：原式
．
故答案为：
13．/
本题考查了有理数的乘方的运算，令，则，再由计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
解：令，
∴，
由可得，，
∴，
故答案为：．
14． 5 55
本题以新定义题型为背景，考查了绝对值的计算和绝对值的几何意义，数字类的规律探索，掌握相关结论是解题关键．
（1）根据定义计算即可求解；
（2）根据绝对值的几何意义得出的最小值，依此类推即可求解．
（1）解：根据定义可得：和4关于3的“和谐关联数”为：；
故答案为：5；
（2）解：∵和关于2的“和谐关联数”为1，
∴，
当时，则，即，
当时，则，即，
，
，
当时，则，即，
，
；
当时，则，即，
∴的最小值为3；
同理的最小值为，
以此类推，可得的最小值为，
∴的最小值；
的最小值；
的最小值；
的最小值是，
∴的最小值为．
故答案为：55．
15．
本题主要考查了有理数的大小比较，有理数的加减混合运算，新定义运算，解题关键是理解新定义运算．
根据表示不超过的最大整数求解，列式计算．
由题意得：．
16．
本题考查的是有理数的混合运算，解决本题关键是找出分母的规律，再进一步把算式进行化简．因为，则算式变为，根据，将算式变为，接着将算式化为，然后计算括号里面的减法，最后计算括号外面的乘法．
解：
．
故答案为：．
17．(1)
(2)
本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）根据乘法分配律计算即可；
（2）先算括号内的式子，再算括号外的除法，最后算加法即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．(1)
(2)
本题考查了含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键．
（1）先去括号，再利用交换律与结合律计算即可得；
（2）先化简绝对值、计算乘方，再将除法转化为乘法，然后利用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律计算即可得．
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
19．(1)2，
(2)见解析，
本题考查用数轴表示数，并比较有理数的大小．正确的表示出各数，是解题的关键．
（1）根据点在数轴上的位置，确定的值，根据绝对值的意义，确定的值；
（2）先在数轴上表示出各数，根据数轴上的数右边的比左边的大，进行判断即可．
（1）由图可知：；
∵b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3，
∴；
故答案为：；
（2）数轴上表示各数，如图：
由图可知：
20．(1)小虫没有回到原点
(2)小虫可得到315粒芝麻
本题考查了正负数的应用：
（1）利用有理数的加法，即可求解；
（2）利用加法先求出总距离，再乘以每爬行1厘米奖励5粒芝麻即可求解；
熟练掌握正负数的意义是解题的关键．
（1）解：
，
答：小虫没有回到原点．
（2）
，
（粒），
答：小虫可得到315粒芝麻．
21．(1)或
(2)
本题考查了数轴上数的分布问题，关键是注意数轴上点沿正方向的数值依次增加，且距离某点一定的距离，点的位置可能分布在点的左右两侧，
（1）根据题意，以及点和点的位置，分类讨论点在的左侧，之间和的右侧三种情况，即可求解；
（2）依据和可以计算出每两点间的距离为，然后乘以对应的间隔数，即可得出结论．
（1）解：设数轴上点表示的数为，
，
，即．
，
点不可能在 的延长线上，则点可能在线段上和线段的延长线上．
① 当点在线段上时，则有 ，得，解得
；
② 当点在线段的延长线上时，则有，
得，解得 ．
故当 时，或；
（2），
，
，
点 对应的有理数为 ，
所以与点最接近的整数是．
22．(1)第4件样品的大小最符合要求．是根据绝对值越小越接近标准直径而判断的
(2)第1，2，4，6件样品是正品
本题考查了正数与负数的绝对值，掌握绝对值的求法，理解题意是解决本题的关键.
（1）表中的数据是零件的误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好；
（2）因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小，每件样品所对应的结果的绝对值，即为零件的误差的绝对值，看绝对值的结果不大于0.18的样品为正品.
（1）由表格可知，的绝对值最小，所以第4件样品的大小最符合要求．是根据绝对值越小越接近标准直径而判断的．
（2）因为；
；
；
；
；
，
所以第1，2，4，6件样品是正品．
23．(1)，
(2)，
(3)
本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系，正确列出一元一次方程是解答本题的关键．
（1）对于求每件商品的进价，已知商品的售价和利润，根据进价、售价、利润的基本关系“进价售价利润”，直接用售价元减去利润元就可得到进价，对于求每件商品的售价，已知商品的进价和利润率，根据售价与进价、利润率的关系“售价进价”，将进价元乘以就能得到售价；
（2）设购进商品的件数为件，因为商品件数与商品件数有明确的数量关系“商品的件数比商品件数的倍少件”，所以商品件数可表示为件，又已知、商品的进价以及总进价，根据“总进价商品进价商品件数商品进价商品件数”这个等量关系列出方程求解
（3）首先明确第一次购进、商品的数量，然后对于第二次购进，商品进价提高了 ，可得出商品新的进价，根据售价不变可求出商品的利润表达式，商品件数增加了，可得出商品新的件数，考虑到有件打九折出售，分别求出正常售价和打折售价情况下商品的利润表达式，最后根据“第二次购进的两种商品共获得利润元”这个等量关系列出方程求解．
（1）解：因为每件商品售价为元，利润为元，根据进价售价利润，所以每件商品的进价为：（元），
因为每件商品进价为元，利润率为，根据售价进价，所以每件商品的售价为：（元），
故答案为：，；
（2）解：设购进商品的件数为件，则商品件数可表示为件，
已知商品进价为元，商品进价为元，且第一次用元购进了、两种商品，根据题意得：
，
解得：，
，
所以第一次购进商品件，商品件；
（3）解：由（2）得第一次购进商品件，商品件，
第二次购进商品的件数不变，进价提高了，则商品的进价为元，售价为元，利润为元，
第二次购进商品的件数增加了，则商品的件数为件，进价为元，售价为元，利润为元，
已知第二次购进的两种商品共获得利润元，根据题意得：
，
解得：．
24．(1)
(2)被5辆公交车追上，共遇到3辆公交车
此题属于应用类问题，解答本题的关键是求出公交车的速度与小明、小强的速度的关系，要注意掌握解不定方程的技巧．
（1）设小强速度是x，那么小明的速度，再设公交车为y，因为两辆车间隔距离相等，小强与车是追及问题，即小强与小明之间距离为①，小明与小强是相遇问题，即小明与车之间的距离为②，根据上面两式可得到，代入①即可求得一的值，也即可得出两辆公交车发车的间隔时间．
（2）根据题意条件求出小强、小明的速度，及走完全路程所用的时间，结合第一问可得出答案．
（1）解：设小强的速度是x，则小明的速度是．设两辆公交车之间的距离是s，公交车的速度为y．
由题意，得
解得，
∴两辆公交车发车的间隔时间为．
（2）解：，
，
小强走完用，每被追上一次，总共就被追上6次，除去终点的一次，共被5辆公交车追上．小明骑完用，第一次相遇时是第，每相遇一次，
∴总共遇到3辆公交车．
