5.1 万有引力定律及引力常量的测定 同步练习（含答案解析） (1)

5.1
万有引力定律及引力常量的测定
同步练习
1．关于万有引力定律的适用范围，下列说法中正确的是(　　)
A．只适用于天体，不适用于地面物体
B．只适用于球形物体，不适用于其他形状的物体
C．只适用于地面物体，不适用于天体
D．适用于自然界中任意两个物体之间
解析：选D.万有引力定律适用于自然界中任意两个物体之间，包括天体、球形以及任意形状的物体，但是要用公式F＝G计算出万有引力的大小，该公式只适用于质点和均匀球体，故A、B、C错误，D正确．
2．某行星绕太阳运动的轨迹如图5－1－2所示．则以下说法不正确的是(　　)
图5－1－2
A．太阳一定在椭圆的一个焦点上
B．该行星在a点的速度比b、c两点的速度都大
C．该行星在c点的速度比a、b两点的速度都大
D．行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积是相等的
解析：选C.由开普勒第一定律知，太阳一定位于椭圆的一个焦点上，A正确；由开普勒第二定律知太阳与行星的连线在相等时间内扫过的面积是相等的，因为a点与太阳的连线最短，b点与太阳的连线最长，所以行星在a点速度最大，在b点速度最小，B、D正确，C错误．
3．关于引力常量G，下列说法正确的是(　　)
①在国际单位制中，G在数值上等于两个质量都为1
kg的物体相距1
m时的相互作用力　②牛顿发现万有引力定律时，给出了引力常量的值　③引力常量G的测定，使万有引力有了真正的实用价值　④G是一个没有单位的比例常数，它的数值是人为规定的
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
解析：选C.引力常量G最早是由卡文迪许通过精确的实验测出的，故②、④错；其物理意义是在数值上等于两个质量都是1
kg的物体相距1
m时的相互作用力，①、③对．
4．太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道．下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图象．图中坐标系的横轴是lg(T/T0)，纵轴是lg(R/R0)；这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T0和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径．下列4幅图中正确的是(　　)
图5－1－3
解析：选B.根据开普勒周期定律：周期平方与轨道半径三次方成正比可知：T2＝kR3，T02＝kR两式相除后取对数，得：lg＝lg；整理得：2lg＝3lg，选项B正确．
5．(1)开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即＝k，k是一个对所有行星都相同的常量．将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式．已知引力常量为G，太阳的质量为M太．
(2)开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立．经测定月地距离为3.84×108
m，月球绕地球运动的周期为2.36×106s，试计算地球的质量M地．(G＝6.67×10－11N·m2/kg2，结果保留一位有效数字)
解析：(1)因行星绕太阳做匀速圆周运动，于是轨道的半长轴a即为轨道半径r.根据万有引力定律和牛顿第二定律有
G＝m行2r①
于是有＝M太②
即k＝M太．③
(2)在地月系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R，周期为T，由②式可得
＝M地④
解得M地＝6×1024
kg⑤
(M地＝5×1024
kg也算对)．
答案：(1)k＝M太　(2)6×1024kg
一、单项选择题
1．关于万有引力定律应用于天文学研究的历史事实，下列说法正确的是(　　)
①天王星、海王星都是运用万有引力定律，经过大量的计算以后发现的
②在18世纪已经发现的7颗行星中，人们发现第七颗行星——天王星的轨道总是与根据万有引力定律计算的结果有偏差，由此发现了海王星
③海王星是牛顿运用自己发现的万有引力定律，经过大量的计算以后发现的
④冥王星现在已经不是行星，它被列为“矮行星”的行列中
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
解析：选D.天王星是通过望远镜观测到的，而海王星是根据万有引力定律经过大量计算后发现的，故①错误，②正确；海王星并不是牛顿计算发现的而是由英国的亚当斯和法国的勒维列各自独立计算发现的，故③错误；2006年8月24日国际天文学联合会，投票通过了新的行星的定义，冥王星被排除在行星行列之外，将其列入“矮行星”，故④正确．故选D.
2．关于万有引力及其应用，下列表述正确的是(　　)
A．人造地球卫星运行时不受地球引力作用
B．两物体间的万有引力跟它们质量的乘积成反比
C．两物体间的万有引力跟它们的距离成反比
D．人造卫星绕地球做匀速圆周运动所必需的向心力由万有引力提供
解析：选D.任何两个物体间均存在万有引力，故A错；由公式F＝G得B、C错误；人造卫星绕地球做匀速圆周运动所必需的向心力由万有引力提供，故D正确．
3．两个质量相等的球形物体，两球心相距r，它们之间的万有引力为F，若它们的质量都加倍，两球心的距离也加倍，它们之间的作用力为(　　)
A．4F
B．F
C.F
D.F
解析：选B.两个质量相等的物体的万有引力为F＝G，质量加倍、距离加倍后引力不变，故B正确．
4．行星绕恒星运动的椭圆轨道的半长轴R的三次方与周期T的平方的比值为常量，设＝k，则k的大小(　　)
A．只与恒星的质量有关
B．与恒星的质量及行星的质量有关系
C．只与行星的质量有关系
D．与恒星的质量及行星的速度有关系
解析：选A.根据开普勒定律，所有行星绕同一恒星运动均满足＝k，故k值只和恒星有关，A正确．
5．如图5－1－4，两球质量均匀分布，大小分别为m1、m2，则两球间的万有引力大小为(　　)
图5－1－4
A．G
B．G
C．G
D．G
解析：选D.万有引力定律表达式中r的意义是两质点之间的距离或两个均匀球球心之间的距离，在本题中应该为r1＋r2＋r，故D正确，A、B、C错误．
6．一颗小行星绕太阳做匀速圆周运动的半径是地球公转半径的4倍，则这颗小行星运转的周期是(　　)
A．4年
B．6年
C．8年
D.年
解析：选C.根据开普勒第三定律：
＝得：＝，即T行＝T地
＝×1年＝8年，故选项C正确．
7．假设太阳系中天体的密度不变，天体直径和天体之间距离都缩小到原来的一半，地球绕太阳公转近似为匀速圆周运动，则下列物理量变化正确的是(　　)
①地球的向心力变为缩小前的一半　②地球的向心力变为缩小前的　③地球绕太阳公转周期与缩小前的相同
④地球绕太阳公转周期变为缩小前的一半
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③
解析：选D.地球绕太阳近似做匀速圆周运动，由牛顿第二定律和向心力公式得F向＝F引＝G＝m2r，
而M＝ρ1×πR13，m＝ρ2×πR23，得F向＝G及T2＝，其中M是太阳质量，m是地球质量，r是地球到太阳的距离，R1是太阳半径，ρ1是太阳密度，R2是地球半径，ρ2是地球密度．当天体的半径以及天体间的距离都减半时，从以上两式可得向心力变为原来的1/16，周期不变，②③正确．
图5－1－5
8．两个质量均为m的星体，其连线的中垂线为MN，O为连线的中点，一质量为m的物体从O沿OM方向运动，则它受的万有引力将(　　)
A．一直减小
B．一直增大
C．先减小再增大
D．先增大再减小
解析：选D.本题可以采用特殊点分析法，在O点受到的引力合力为0，在无穷远处受到引力也为0，所以从O沿OM方向运动，引力先增大后减小，故D正确，A、B、C错误．
9．卫星电话信号需要通过地球同步卫星传送．如果你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于(可能用到的数据：月球绕地球运动的轨道半径约为3.8×105
km，运行周期约为27天，地球半径约为6400
km，无线电信号传播速度为3×108
m/s)(　　)
A．0.1
s
B．0.25
s
C．0.5
s
D．1
s
解析：选B.主要考查开普勒第三定律．月球、地球同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据开普勒第三定律有＝
解得r2＝r1·，代入数据求得r2＝4.2×107
m．如图所示，发出信号至对方接收到信号所需最短时间为t＝＝代入数据求得t＝0.28
s．所以正确答案是B.
10．地球半径为R，距离地心高为h处有一颗同步卫星，另有一个半径为3R的星球，距该星球球心高度为3h处也有一颗同步卫星，它的周期为72
h，则该星球的平均密度与地球的平均密度的比值为(　　)
A．1∶9
B．1∶3
C．9∶1
D．3∶1
解析：选A.设地球的同步卫星质量为m，星球的同步卫星质量为m′，地球与星球的平均密度分别为ρ地、ρ星，因为已知同步卫星的周期，所以有G＝mh，
对于星球的卫星有G＝m′·3h，
T地∶T星＝1∶3，∴＝
又∵ρ＝，∴＝·＝×3＝
∴A选项正确．
二、非选择题
11．如图5－1－6所示，在一个半径为R、质量为M的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为R/2的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？
图5－1－6
解析：由万有引力定律得：完整的均质球体对球外质点m的引力F＝G.设半径为R/2的小球质量为M1，M1＝π3·ρ＝π3·＝M，它对球外质点m的引力F1＝G＝G
挖去球穴后的剩余部分对质点的引力F2等于完整的均质球体对球外质点m的引力F与半径为R/2的小球对球外质点m的引力F1之差．
所以挖去空穴后的剩余部分对球外质点m的引力
F2＝F－F1＝G－G
＝GMm.
答案：GMm
12．经天文学家观察，太阳在绕着银河系中心圆形轨道上运行，这个轨道半径约为3×104光年(约等于2.8×1020
m)，转动一周的时间约2亿年(约等于6.3×1015
s)．太阳做圆周运动的向心力是来自位于它轨道内侧的大量星体的引力，可以把这些星体的全部质量看成集中在银河系中心来处理问题．(G＝6.67×10－11N·m2/kg2)
(1)从给出的数据来计算太阳轨道内侧这些星体的总质量；
(2)试求出太阳在圆周运动轨道上的加速度．
解析：(1)设太阳轨道内侧星体的总质量为M，太阳质量为m，轨道半径为R，周期为T，太阳做圆周运动的向心力来自星体的万有引力．由牛顿第二定律得：
G＝m·R
所以M＝
＝
kg＝3.3×1041
kg.
(2)据a＝Rω2有：a＝·R
＝
m/s2＝2.8×10－10
m/s2.
答案：(1)3.3×1041
kg　(2)2.8×10－10
m/s2