第一章 三角函数
§1 周期变化
【课前预习】
知识点一
周期 周期
诊断分析
(1)√ (2)×
知识点二
1.f(x+T)=f(x) 2.最小的正数 最小正数
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)√ [解析] (2)有的函数不是周期函数,如y=x+1就不是周期函数.
(4)因为函数f(x)的周期为10,所以f(41)=f(4×10+1)=f(1)=2025.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)地球每天自转一圈,并且每一天总会重复前一天的动作,因此是周期现象.
(2)连续抛掷一枚骰子,朝上一面的点数有可能为1,2,…,6,并且前一次出现的点数下一次可能出现,也可能不出现,故出现的点数是随机的,因此不是周期现象.
(3)钟表秒针的转动,每一分钟转一圈,并且每分钟总是重复前一分钟的动作,因此是周期现象.
(4)某段高速公路每天通过的车辆数会因为时间、天气、交通状况等因素而发生变化,没有一个确定的规律,因此不是周期现象.
变式 解:每星期有7天,从星期一到星期日,且呈周期性变化,其周期为7,∵8=7+1,∴第8天是星期一.
∵121=17×7+2,∴第121天是星期二.
探究点二
例2 解:(1)由题意知,当-1≤x<0时,f(x)=-x,当0≤x<1时,f(x)=x.当2n-1≤x<2n(n≠0)时,f(x)=2n-x=-(x-2n),因为2n-1≤x<2n(n≠0),所以-1≤x-2n<0,所以-(x-2n)=f(x-2n),则f(x)=f(x-2n).
当2n≤x<2n+1(n≠0)时,同理可得f(x)=f(x-2n).
所以函数f(x)的周期为2n(n≠0),最小正周期为2.
画出函数y=f(x)的图象,如图所示.
(2)函数y=f(x+1)的图象可由函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度得到,则函数y=f(x+1)的图象如图所示.
变式 解:(1)由f(x)的图象可知,函数f(x)的最小正周期为2.
(2)当4≤x≤5时,设f(x)=k1x+b1,
则解得当5≤x≤6时,由函数f(x)的周期性可知f(6)=2,结合f(x)的图象可设f(x)=k2x+b2,则解得
所以当x∈[4,6]时,f(x)=
即f(x)=|2x-10|.
例3 (1)A [解析] 因为定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x+2)=13,所以f(x+2)·f(x+4)=13,可得f(x)=f(x+4),则函数f(x)为周期函数且周期为4,则f(99)=f(4×24+3)=f(3).因为f(1)=2,f(1)·f(3)=13,所以f(3)=,所以f(99)=.故选A.
(2)解:因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),又f(-x)=-f(x+2),所以f(x)=-f(x+2),得f(x+2)=-f(x+4),所以f(x)=f(x+4),所以函数f(x)的一个周期为4.
变式 解:(1)证明:∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴f(x)是周期为4的周期函数.
(2)当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,
又f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2,
∴当x∈[-2,0]时,f(x)=x2+2x.
当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4),又f(x)是周期为4的周期函数,
∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.
∴当x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8.
(3)由题可知,f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1.
∵f(x)是周期为4的周期函数,∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2016)+f(2017)+f(2018)+f(2019)=f(2020)+f(2021)+f(2022)+f(2023)=0,又f(2024)+f(2025)=f(0)+f(1)=0+1=1,∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2025)=1.第一章 三角函数
§1 周期变化
1.C [解析] ①②是周期现象;③中某超市每天的营业额是随机的,不是周期现象;④中某地每年6月份的降雨量也是随机的,不是周期现象.故选C.
2.B [解析] 分针运动的一个周期是60分钟,则100分钟是1个周期,故100分钟后分针指向数字10.故选B.
3.B [解析] 因为2032=2024+4×2,2034=2024+4×2+2,2036=2024+4×3,2048=2024+4×6,所以2034年不举办夏季奥林匹克运动会.故选B.
4.A [解析] 因为f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数,所以f(16)=f(5×3+1)=f(1),而由题图可知f(1)=1,所以f(16)=1.故选A.
5.B [解析] 由题图易知,箭头方向变化的周期T=4,∵2021=4×505+1,∴2021至2023箭头的方向与1至3箭头的方向相同,故选B.
6.D [解析] 易知从“A”开始数,序号依次为A,B,C,D,E,F,G,F,E,D,C,B,A,B,…,其周期为12,而1999=12×166+7,所以标号为G的柱子就是第1999个被数到的那根柱子,故选D.
7.C [解析] ∵f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,当x∈[2,3]时,f(x)=x,∴当x∈[-2,-1)时,2+x∈[0,1),4+x∈[2,3),此时f(x)=f(4+x)=4+x.当x∈[-1,0]时,-x∈[0,1],2-x∈[2,3],此时f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x.所以当x∈[-2,0]时,f(x)=即f(x)=3-|x+1|.故选C.
8.ACD [解析] 因为f(x)是定义在R上的奇函数,且f(4-x)=f(x),所以f(x+8)=f[4-(-4-x)]=f[-(4+x)]=-f(4+x)=-f[4-(-x)]=-f(-x)=f(x),所以f(x)是周期函数,且周期为8,即f(x+8)=f(x),故A,D正确.由已知条件无法判断f(x)在(-2,2)上的单调性,故B错误.因为2020=8×252+4,所以f(2018)+f(2020)+f(2022)=f(2)+f(4)+f(6)=f(2)+f(0)+f(-2)=0,故C正确.故选ACD.
9.BC [解析] 如图所示,作OM垂直于水面,垂足为M,则OM=1.8米,OP0=3.6米,所以
∠MOP0=60°.对于A,点P第一次到达最高点需要转180°-60°=120°,所需时间是×60=20(秒),故A错误;对于B,设水面与水轮的另一个交点为N,连接ON,易知∠NOP0=120°,则水轮转动一圈,点P在水面上方的时间是×60=40(秒),故B正确;对于C,95-60=35,则当水轮转动95秒时,点P转动了360°+×360°=360°+210°,因为210°=120°+90°,所以点P在图中P1的位置,且OP1与水面平行,故P在水面上方,点P距离水面1.8米,故C正确;对于D,当水轮转动50秒时,点P转动了×360°=300°,点P在图中P2的位置,P2为水轮最低点,故P在水面下方,点P距离水面1.8米,故D错误.故选BC.
10.白球 [解析] 球的摆放呈周期性,第3,6,9,…,3n(n∈N*)个球是白球,其余的都是黑球.因为2025=675×3,所以第2025个球是白球.
11.-1 [解析] ∵f(x+4)=f(x),∴f(x)是周期函数,周期T=4,又函数f(x)是偶函数,∴f(2026)=f(506×4+2)=f(2)=f(-2)=-1.
12.1.4 [解析] 质点从O点向左运动,O→M用了0.3 s,M→A→M用了0.2 s,因为M→O与O→M用时相同,所以质点运动的周期为2×(0.2+0.3×2)=1.6(s).质点第二次通过M点到第三次通过M点的路径为M→O→B→O→M,所用时间为0.3×2+×1.6=1.4(s).
13.解:(1)由题图可知这个简谐运动需要0.8 s往复一次.
(2)如果从点O算起,那么到曲线上的点D表示完成了一次往复运动.如果从点A算起,那么到曲线上的点E表示完成了一次往复运动.
14.解:(1)由f=-f,且f(-x)=-f(x),知f(3+x)=f=-f=-f(-x)=f(x),所以f(x)是周期函数,且3是其一个周期.
(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,且f(-1)=-f(1)=-2,又3是f(x)的一个周期,所以f(2)+f(3)=f(-1)+f(0)=-2+0=-2.
15.D [解析] 由已知和题图得,从第1次交换座位开始,小兔所在座位的编号依次为④→③→①→②→④→…,即每4次一个循环,因为2025=506×4+1,所以第2025次互换座位后,小兔的位置和第1次互换座位后的位置相同,即对应④号座位,故选D.
16.解:由题意得f(x+6)+f(x)=2f(3),
则f(x+12)+f(x+6)=2f(3),两式相减,得f(x+12)=f(x),即f(x)是周期为12的周期函数.由f(x+12)=f(x),得f(2022)=f(12×168+6)=f(6).
因为y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且y=f(x)的图象是由y=f(x-1)的图象向左平移一个单位长度得到的,所以y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,即y=f(x)是奇函数.
由f(x)的周期为12,可得f(-6)=f(6),
因为f(x)为奇函数,所以f(-6)=-f(6)=f(6),所以f(6)=0,故f(2022)=f(6)=0.第一章 三角函数
§1 周期变化
【学习目标】
1.通过创设情境,感知周期现象.
2.感受周期现象对实际工作的意义,能判断简单实际问题中的周期.
3.初步了解周期函数的概念,能判断简单函数的周期性.
◆ 知识点一 周期现象
把以相同时间间隔重复出现的现象叫作 现象,这个相同的时间间隔就是 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象. ( )
(2)某红绿灯路口每天六点至七点通过的人数的变化是周期现象. ( )
◆ 知识点二 周期函数
1.周期函数与周期的概念:一般地,对于函数y=f(x),x∈D,如果存在一个非零常数T,使得对任意的x∈D,都有x+T∈D,且满足 ,那么函数y=f(x)称作周期函数,非零常数T称作这个函数的周期.
2.最小正周期:如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个 就称作函数y=f(x)的最小正周期.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)周期函数的周期有无数个. ( )
(2)所有的函数都是周期函数. ( )
(3)因为函数f(x)=|x|满足f(-1+2)=f(-1),所以它是以2为周期的函数. ( )
(4)已知函数f(x)是以10为周期的周期函数,若f(1)=2025,则f(41)=2025. ( )
◆ 探究点一 周期现象及应用
例1 判断下列现象是否为周期现象,并说明理由.
(1)地球的自转;
(2)连续抛掷一枚骰子,朝上一面的点数;
(3)钟表秒针的转动;
(4)某段高速公路每天通过的车辆数.
变式 若今天是星期一,则第8天是星期几 第121天是星期几 (注:今天是第一天)
[素养小结]
判断一个现象是否为周期现象,主要看此现象是不是每隔一段时间就重复出现.在周期现象的计算中,关键是确定周期.
◆ 探究点二 周期函数
角度1 判断具体函数的周期
例2 已知函数f(x)=
(n为整数).
(1)求函数f(x)的最小正周期,并画出函数y=f(x)的图象;
(2)画出函数y=f(x+1)的图象.
变式 已知周期函数f(x)(x∈R)的图象如图所示.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)在区间[4,6]上的解析式.
[素养小结]
判断函数周期的一般方法:(1)利用函数图象直观判断;(2)利用周期函数的定义判断.
注意:(1)周期函数的周期不是唯一的,如果T是函数f(x)的周期,那么nT(n∈Z,n≠0)也一定是它的周期;(2)只有个别x值或只差个别x值满足f(x+T)=f(x)时,都不能说T是f(x)的周期.
角度2 判断抽象函数的周期
例3 (1)设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x+2)=13,若f(1)=2,则f(99)= ( )
A. B. C.2 D.4
(2)[2024·江苏连云港高一期末] 已知函数f(x)是R上的偶函数,且f(-x)=-f(x+2),求函数f(x)的一个周期.
变式 设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;
(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2025)的值.
[素养小结]
周期函数除常见的定义式f(x+T)=f(x)外,还有如下四种形式:(1)f(x+a)=-f(x);(2)f(x+a)=;(3)f(x-a)=-;(4)f(x-a)=f(x+a).以上四种形式的函数都是以2a为周期的周期函数.第一章 三角函数
§1 周期变化
一、选择题
1.下列是周期现象的为 ( )
①星期日每7天出现一次;
②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次;
③某超市每天的营业额;
④某地每年6月份的降雨量.
A.①②④ B.②④
C.①② D.①②③
2.钟表分针的运动是一个周期现象,其周期为60分钟,现在分针恰好指向数字2,则100分钟后分针指向数字 ( )
A.8 B.10
C.11 D.12
3.按照规定,夏季奥林匹克运动会每四年举办一届.第33届夏季奥林匹克运动会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办,那么下列年份中不举办夏季奥林匹克运动会的应该是 ( )
A.2032年 B.2034年
C.2036年 D.2048年
4.设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数,如图表示该函数在区间(-2,1]上的图象,则f(16)= ( )
A.1 B.0 C.-1 D.2
5.探索如图所呈现的规律,则2021至2023箭头的方向是 ( )
A B C D
6.一次古希腊数学家毕达哥拉斯在处罚学生时,要他来回数戴安娜神庙的七根柱子(分别标记为A,B,C,D,E,F,G,每根柱子被数到的顺序如图所示),一直到指出第1999个被数到的柱子的标号是哪一个,才能够停止.则第1999个被数到的那根柱子的标号为 ( )
A.C B.E C.F D.G
7.[2024·河南信阳高一期末] 设f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,已知当x∈[2,3]时,f(x)=x,则当x∈[-2,0]时,f(x)的解析式为 ( )
A.f(x)=x+4 B.f(x)=2-x
C.f(x)=3-|x+1| D.f(x)=2-|x+1|
8.(多选题)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(4-x)=f(x),则下列结论正确的是 ( )
A.f(x)是周期函数
B.f(x)在区间(-2,2)上单调递增
C.f(2018)+f(2020)+f(2022)=0
D.f(x+8)=f(x)
9.(多选题)一个半径为3.6米的水轮的示意图如图所示,水轮中心O距离水面1.8米.已知水轮按逆时针方向做匀速转动,每60秒转动一圈,水轮上有一点P,从点P浮出水面时(即点P在图中点P0的位置)开始计时,则下列判断正确的有 ( )
A.点P第一次到达最高点需要10秒
B.在水轮转动的一圈内,有40秒的时间,点P在水面的上方
C.当水轮转动95秒时,点P在水面上方,点P距离水面1.8米
D.当水轮转动50秒时,点P在水面下方,点P距离水面0.9米
二、填空题
10.从左向右按照如图所示的规律摆放黑球和白球,则第2025个球是 (填“白球”或“黑球”).
11.若偶函数f(x)满足f(x+4)=f(x),f(-2)=-1,则f(2026)= .
12.如图所示,一个质点在平衡位置O点附近振动,如果不考虑阻力,可将此振动看作周期运动,从O点开始计时,质点向左运动第一次到达M点用了0.3 s,又经过0.2 s第二次通过M点,则质点第三次通过M点还要经过的时间是 s.
三、解答题
13.如图为某简谐运动的图象,试根据图象回答下列问题:
(1)这个简谐运动需要多长时间往复一次
(2)从点O算起,到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动 如果从点A算起呢
14.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意实数x都有f=-f成立.
(1)证明f(x)是周期函数,并指出其一个周期;
(2)若f(1)=2,求f(2)+f(3)的值.
15.四个小动物换座位,开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在①②③④号座位上(如图),第1次前后排动物互换座位,第2次左右列动物互换座位……这样交替进行下去,那么第2025次互换座位后,小兔的位置对应的是 ( )
A.①号座位 B.②号座位
C.③号座位 D.④号座位
16.[2024·山东鄄城一中期中] 已知函数f(x)(x∈R)满足f(x+6)+f(x)=2f(3),函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,求f(2022)的值.(共35张PPT)
周期变化
探究点一 周期现象及应用
探究点二 周期函数
【学习目标】
1.通过创设情境,感知周期现象.
2.感受周期现象对实际工作的意义,能判断简单实际问题中的周期.
3.初步了解周期函数的概念,能判断简单函数的周期性.
知识点一 周期现象
把以相同时间间隔重复出现的现象叫作______现象，这个相同的时
间间隔就是______.
周期
周期
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象.( )
√
（2）某红绿灯路口每天六点至七点通过的人数的变化是周期现象.
( )
×
知识点二 周期函数
1.周期函数与周期的概念：一般地，对于函数， ，如
果存在一个非零常数，使得对任意的，都有 ，且满
足________________，那么函数称作周期函数，非零常数
称作这个函数的周期.
2.最小正周期：如果在周期函数 的所有周期中存在一个
____________，那么这个__________就称作函数 的最小正
周期.
最小的正数
最小正数
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）周期函数的周期有无数个.( )
√
（2）所有的函数都是周期函数.( )
×
[解析] 有的函数不是周期函数，如 就不是周期函数．
（3）因为函数满足 ，所以它是以2为
周期的函数.( )
×
（4）已知函数是以10为周期的周期函数，若 ，则
.( )
√
[解析] 因为函数 的周期为10，
所以 .
探究点一 周期现象及应用
例1 判断下列现象是否为周期现象，并说明理由.
（1）地球的自转；
解：地球每天自转一圈，并且每一天总会重复前一天的动作，
因此是周期现象.
（2）连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；
解：连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2， ，6，
并且前一次出现的点数下一次可能出现，也可能不出现，
故出现的点数是随机的，因此不是周期现象.
（3）钟表秒针的转动；
解：钟表秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一
分钟的动作，因此是周期现象.
（4）某段高速公路每天通过的车辆数.
解：某段高速公路每天通过的车辆数会因为时间、天气、交通状况
等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象.
变式 若今天是星期一，则第8天是星期几？第121天是星期几？
（注：今天是第一天）
解：每星期有7天，从星期一到星期日，且呈周期性变化,其周期为7，
， 第8天是星期一.
， 第121天是星期二.
［素养小结］
判断一个现象是否为周期现象，主要看此现象是不是每隔一段时间
就重复出现.在周期现象的计算中，关键是确定周期.
探究点二 周期函数
角度1 判断具体函数的周期
例2 已知函数
（ 为整数）.
（1）求函数的最小正周期，并画出函数 的图象；
解：由题意知，当时，，
当 时，.
当 时，，
因为 ，
所以，所以 ，
则 .
当时，同理可得 .
所以函数的周期为 ，最小正周期为2.
画出函数 的图象，如图所示.
（2）画出函数 的图象.
解：函数的图象可由函数 的图象向左平移1个
单位长度得到，则函数 的图象如图所示.
变式 已知周期函数 的图象如图所示.
（1）求函数 的最小正周期；
解：由的图象可知，函数 的最小正周期为2.
（2）求函数在区间 上的解析式.
解：当时，设 ,
则解得
当时，由函数 的周期性可知，
结合 的图象可设,则
解得
所以当 时， 即 .
［素养小结］
判断函数周期的一般方法：（1）利用函数图象直观判断；（2）利
用周期函数的定义判断.
注意：（1）周期函数的周期不是唯一的，如果是函数 的周期，
那么也一定是它的周期；（2）只有个别 值或只差
个别值满足时，都不能说是 的周期.
角度2 判断抽象函数的周期
例3（1） 设定义在上的函数满足 ，若
，则 ( )
A. B. C.2 D.4
[解析] 因为定义在上的函数满足 ，
所以，可得，
则函数 为周期函数且周期为4，则.
因为 ，，所以，所以 .
故选A.
√
（2）[2024·江苏连云港高一期末] 已知函数是 上的偶函数，且
，求函数 的一个周期.
解：因为是上的偶函数，所以 ，
又，所以 ，
得，所以，
所以函数 的一个周期为4.
变式 设是定义在上的奇函数，且对任意实数 ，恒有
.当时， .
（1）求证： 是周期函数；
解：证明：， ，
是周期为4的周期函数.
（2）当时，求 的解析式；
解：当时， ，
由已知得 ，
又是奇函数， ，
当时， .
当时，， ，
又 是周期为4的周期函数，
.
当时， .
（3）计算 的值.
解：由题可知,,,, .
是周期为4的周期函数,
,
又 ,
.
［素养小结］
周期函数除常见的定义式 外，还有如下四种形式：
（1）；（2） ；（3）
；（4） .以上四种形式的函数
都是以 为周期的周期函数.
1.周期现象的特征:（1）经过相同的时间间隔；（2）出现的现象是
重复的.
2.如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么
这个最小正数就称作函数 的最小正周期.若不加特别说明，
高中阶段所指周期均为函数的最小正周期;周期函数的周期不止一个.
1.周期现象
（1）应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”“化无
限为有限”的目的.
（2）只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”，就可以把问题
转化到一个周期内来解决.
例1 海水受日月的引力，在一定时候发生涨落的现象叫潮汐.一般地，
早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码
头；卸货后，在落潮前返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时间
与水深（单位： ）的关系表：
时间 水深 时间 水深
1:00 5.0 13:00 5.0
2:00 6.2 14:00 6.2
3:00 7.5 15:00 7.5
4:00 7.3 16:00 7.3
5:00 6.2 17:00 6.2
时间 水深 时间 水深
6:00 5.3 18:00 5.3
7:00 4.1 19:00 4.1
8:00 3.1 20:00 3.1
9:00 2.5 21:00 2.5
10:00 2.7 22:00 2.7
11:00 3.5 23:00 3.5
12:00 4.4 24:00 4.4
续表
（1）根据上表提供的数据，在坐标纸上作出水深与时间
（表示 ，以此类推）关系的散点图.
解：水深与时间 关系的散点图如图所示.
（2）若与有函数关系
①估计一下与 有什么关系？
解：由关系表可知每经过 ，水深就重复出现相同的数值，
因为，所以 .
②在早上之间，估计一下当取何值时，
解：因为， ，
所以估计在早上7:30左右， .
③假设货船的吃水深度（船底与水面的距离）为 ，安全条例规定
船底与海底之间至少要有 的安全间隙，货船何时能进入港口？
在港口最多能停留多久？
解：由题意可知应满足 ，
所以货船进港时间可选择在，在港口最多停留；
或 ，在港口最多停留 .
［素养小结］
收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学
方法研究现实问题的常用方法.
2.周期函数及应用
例2 [2024·安徽合肥高一期末] 已知函数是定义在 上的周期为2
的奇函数，当时，，则 ____.
[解析] 因为是周期为2的奇函数，所以 ，
因为当时，，所以，所以 .
例3 已知函数是定义在 上的奇函数，且它的图象关于直线
对称.
（1）求证： 是周期为4的周期函数；
解：证明：由函数的图象关于直线 对称，
得，则 ，
又函数是定义在上的奇函数，所以 .
故 ，
所以 ，
即 是周期为4的周期函数.
（2）若，求当时，函数 的解
析式.
解：当时，，则 ，
即当时， .
当时， ，
则 ，
即当时，函数 .
