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弧度制
3.1 弧度概念
3.2 弧度与角度的换算
探究点一 弧度制的概念
探究点二 用弧度制表示角
探究点三 扇形的弧长与面积公式
【学习目标】
1.理解角度制与弧度制的概念,能对弧度和角度进行正确的换算.
2.体会引入弧度制的必要性,建立角的集合与实数集的一一对应关系.
3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.
知识点一 弧度制
在单位圆中，把长度等于___的弧所对的圆心角称为___弧度的角，
其单位用符号 ____表示，读作弧度（通常“弧度”或“ ”省略不写）.
在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心角的________.这种以
弧度作为单位来度量角的方法，称作________.
1
1
弧度数
弧度制
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）的角和 的角大小相等.( )
×
（2）每个弧度制下的角,都有唯一的角度制下的角与之对应.( )
√
知识点二 弧度与角度的换算
1.
角度化弧度 弧度化角度
牢记
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 ___ ____
弧度 __ __ __ ___ ___ ___ ____
0
知识点三 弧长公式与扇形面积公式
设扇形的半径为，弧长为， 为其圆心角的弧度数，
为圆心角的角度数，则
角度制 弧度制
扇形的弧长
【诊断分析】
（1）用弧度制推导扇形的面积公式.
解：设扇形的半径为，弧长为, 为其圆心角的弧度
数，为圆心角的角度数.
因为, ,所以 .
（2）扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形
是否也类似？
解：扇形的面积公式与三角形的面积公式类似.实际上，扇形与等腰
三角形类似，扇形可看作一个曲边等腰三角形，弧是底，半径是底
上的高.
探究点一 弧度制的概念
例1（1） （多选题）下列说法中正确的是( )
A.弧度角与实数之间建立了一一对应的关系
B.1度的角是直角的,1弧度的角是直角的
C.根据弧度的定义可知, 等于 弧度
D.无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大
小有关
√
√
√
[解析] 无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径
的大小无关,而与弧长和半径的比值有关,故D错误，A,B,C均正确.
故选 .
（2）下列说法正确的是( )
A.1弧度就是1度的圆心角所对的弧
B.1弧度是长度为半径的弧
C.1弧度是1度的弧的长度与1度的角之和
D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小
[解析] 1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小.
√
探究点二 用弧度制表示角
［探索］ 角度制与弧度制互化的关键是什么 如果一个角的弧度为
,那么这个角是多少度 如果一个角为 ,那么这个角是多少弧度
解：角度制与弧度制互化的关键是牢记 ，充分利用
和进行换算.
; .
角度1 角度与弧度的互化
例2 将下列角度与弧度进行互化：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） ；
解： .
（4） .
解： .
变式 把下列角度与弧度进行互化.（不必求近似值）
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3）1.2；
解： .
（4） .
解： .
［素养小结］
角度制与弧度制互化的注意点：
①用“弧度”为单位度量角时,“弧度”二字或“ ”可以省略不写;
②用“弧度”为单位度量角时,常常把弧度数写成含 的关系式的形式,
如无特别要求,不必把 写成小数.
角度2 用弧度制表示终边相同的角
例3 把下列各角化成 的形式，并指出是
第几象限角.
（1） ；
解： ，
，是第四象限角.
（2） ；
解：，与 的终边相同，是第四象限角.
（3） .
解：， ，
与 的终边相同，是第二象限角.
变式（1） （多选题）终边与 角的终边相同的角的集合可以是
( )
A. ， }
B. ， }
C.
D.
√
√
[解析] 因为终边相同的角相差了 的整数倍，且 ，所
以与 角的终边相同的角的集合为 ，
}或.故选 .
（2）用弧度制表示终边落在如图所示的阴影部分内
（含边界）的角的集合．
解：因为函数与 的图象分别是第一、三
象限和第二、四象限的角平分线,
故角的终边落在第四象限的角平分线上时,可取对应的角为 ，
角的终边落在第一象限的角平分线上时，可取对应的角为 ，
则所有终边落在题图中阴影部分内（含边界）的角的集合可表示为
.
［素养小结］
当用弧度制表示与角 终边相同的角的集合 , }
时， 是 的偶数倍，而不是整数倍.在表示该集合时,可以先写
出在 （或 ~）内与角 终边相同的角,再加上 ，不
要忘记标注 .
探究点三 扇形的弧长与面积公式
例4（1） 已知圆的半径为，则 的圆心角所对的弧长为
( )
A. B. C. D.
[解析] 由弧长公式可得所求弧长为 .故选A.
√
（2）扇形（为圆心）的面积是,它的周长是 ,则它的
圆心角为___,的长为___ .
2
2
[解析] 设的长为,,则
, ,可得,.
设 的弧度数为,则 .
变式（1） 已知扇形的圆心角为 ,半径为 ,则该扇形的面积
为__________.
[解析] 设扇形的弧长为
, ，
故扇形的面积为 .
（2）设扇形的周长为 ，则当扇形的面积最大时，其圆心角的弧度
数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 方法一：设扇形的半径为 ,则扇形的弧长，
扇形的面积 ，
由二次函数的知识得，当时，
扇形的面积 取得最大值，
此时，扇形的弧长 ，
故所求扇形圆心角的弧度数为 .故选B.
√
方法二：设扇形的半径为，弧长为 ，
则 ，
由基本不等式可知，扇形的面积，
当且仅当 时取等号，
此时，扇形的圆心角的弧度数为 .故选B.
［素养小结］
涉及扇形的半径、弧长、圆心角、面积等的计算问题,关键是分析题
目中已知哪些量、要求哪些量,已知其中的两个量能求得剩余的两个
量（通过方程组求得）.
1.对于角度制与弧度制的理解
（1）无论是以“度”还是以“弧度”为单位，角的大小都是一个与其所
在扇形的半径大小无关的定值，扇形的半径仅仅是为了能使概念更
具体的一个“过渡量”而已.
（2）在以弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，
这时弧度数在形式上虽是一个不名数，但我们应该把它理解为名数，
如 是指 弧度 .在以度为单位表示角时，“度”就不
能省去.
（3）当以弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少 的形式，
如无特殊要求，不必把 写成小数，即 弧度，不必写成
弧度.
（4）角度制和弧度制不能混用，如 ，
都不正确.
2.弧度与角度的换算
（1）弧度与角度的换算是一种比例关系的变形.在进行角度与弧度的
换算时，抓住关系式 是关键.
（2）特殊角的弧度数与度数的对应值今后常用，应该熟记.
3.在运用扇形的弧长及面积公式时，应注意的问题
（1）由扇形的弧长及面积公式可知，对于 ，，， ，知道其中
两个量可求另外两个量，求解过程中应注意方程思想的运用.
（2）用弧度制表示的扇形弧长与面积公式比用角度制表示的公式要
简单得多，但要注意运用这些公式的前提条件是角用“弧度制”表示.
（3）在运用弧度制下的扇形弧长与面积公式时，还应熟练掌握这两
个公式的变形运用：，，； ，
.
1.用弧度制表示角的集合
当表示角的集合时，既可以用角度制也可以用弧度制，但同一个表
达式中只能用一种度量制表示，不能把角度与弧度混用.
例1 终边落在坐标轴上的角的集合用角度制表示为
_________________________，用弧度制表示为________________.
，}
2.用弧度制表示区域角的集合
根据已知图形写出区域角的集合的步骤：①仔细观察图形，写出以
区域边界作为终边时角的表示；②用不等式表示区域范围内的角，
边界对应的角应再加上 即得区域角的集合.
注意事项：用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合是否能
够合并，这一点容易出错.
例2 用弧度表示顶点在原点，始边在 轴的非负半轴，终边落在图中
阴影部分内（不包括边界）的角的集合.
（1）
（2）
解：（1）以射线为终边的角为 ，，以射线 为
终边的角为 ， ，
所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为
.
（2）由图知射线与 在一条直线上，
因此终边在直线上的角为, .
又终边在轴上的角为, ,
所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为
.
3.扇形的弧长与面积
扇形的弧长与面积问题主要借助于弧长和面积公式,构造出方程
（组）,然后求解方程（组）得出相关的量.
解：设该扇形的半径和弧长分别为, ，
由题意得 ，
所以扇形的面积 ，
当且仅当，即, 时等号成立，
此时扇形的面积最大，圆心角 ，
所以当扇形的圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值是 .
例3 已知一个扇形的周长为 ，求该扇形的圆心角为多少时，该
扇形的面积最大？最大值是多少？§3 弧度制
3.1 弧度概念
3.2 弧度与角度的换算
【课前预习】
知识点一
1 1 rad 弧度数 弧度制
诊断分析
(1)× (2)√
知识点二
1.2π 360° π 180°
2.60° 180° 0 2π
知识点三
αr
诊断分析
解:(1)设扇形的半径为R,弧长为l,α(0<α<2π)为其圆心角的弧度数,n(0(2)扇形的面积公式与三角形的面积公式类似.实际上,扇形与等腰三角形类似,扇形可看作一个曲边等腰三角形,弧是底,半径是底上的高.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)ABC (2)D [解析] (1)无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小无关,而与弧长和半径的比值有关,故D错误,A,B,C均正确.故选ABC.
(2)1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小.
探究点二
探索 解:角度制与弧度制互化的关键是牢记180°=π rad,充分利用1°= rad和1 rad=进行换算.α rad=α·;n°=n· rad.
例2 解:(1)20°=20× rad= rad.
(2)-15°=-15× rad=- rad.
(3)π rad=×=105°.
(4)-π rad=-×=-396°.
变式 解:(1)36°=36× rad= rad.
(2)-10°30'=-10.5°=-× rad=- rad.
(3)1.2 rad=×=.
(4)- rad=-×=-157°30'.
例3 解:(1)∵-1500°=-1800°+300°=-5×360°+300°,
∴-1500°=-10π+,是第四象限角.
(2)∵=2π+,∴与的终边相同,是第四象限角.
(3)∵-4=-2π+(2π-4),<2π-4<π,
∴-4与2π-4的终边相同,是第二象限角.
变式 (1)BC [解析] 因为终边相同的角相差了360°的整数倍,且260°=,所以与260°角的终边相同的角的集合为{β|β=260°+k·360°,k∈Z}或.故选BC.
(2)解:因为函数y=x与y=-x的图象分别是第一、三象限和第二、四象限的角平分线,故角的终边落在第四象限的角平分线上时,可取对应的角为-,角的终边落在第一象限的角平分线上时,可取对应的角为,则所有终边落在题图中阴影部分内(含边界)的角的集合可表示为.
探究点三
例4 (1)A (2)2 2 [解析] (1)由弧长公式可得所求弧长为2×5=10(cm).故选A.
(2)设的长为l,OA=r,则l=4-2r.∵S扇形=lr,∴(4-2r)r=1,可得r=1 cm,∴l=2 cm.设∠AOB的弧度数为α(0<α<2π),则α===2(rad).
变式 (1)270π cm2 (2)B [解析] (1)设扇形的弧长为l.∵108°=108×=π,∴l=π×30=18π(cm),故扇形的面积为×18π×30=270π(cm2).
(2)方法一:设扇形的半径为r,则扇形的弧长l=a-2r,扇形的面积S=lr=(a-2r)r=-r2+r,由二次函数的知识得,当r=-=时,扇形的面积S=-r2+r取得最大值,此时,扇形的弧长l=a-2r=a-2×==2r,故所求扇形圆心角的弧度数为=2.故选B.
方法二:设扇形的半径为r,弧长为l(l>0),则a=l+2r,由基本不等式可知,扇形的面积S=lr=l·2r≤·=,当且仅当l=2r时取等号,此时,扇形的圆心角的弧度数为=2.故选B.§3 弧度制
3.1 弧度概念
3.2 弧度与角度的换算
1.C [解析] 因为1°= rad,所以=×=1 rad.故选C.
2.A [解析] 因为=2π+,是第一象限角,所以的终边所在的象限是第一象限.
3.B [解析] 因为按顺时针方向旋转的角为负角,经过1小时时针转过的角度为-×2π=-,2小时 20 分相当于小时,所以对应的时针转过的弧度数为-×=-.故选B.
4.B [解析] 设该扇形的弧长为l,圆心角为α,该扇形所在圆的半径为R,则α=,∴当R,l均变为原来的2倍时,α不变.∵扇形的面积S=αR2,α不变,R变为原来的2倍,∴S变为原来的4倍.故选B.
5.B [解析] 扇环的面积为××(202-102)=×300=100π(cm2).故选B.
6.B [解析] 设扇形的弧长为l cm,半径为r cm,由题意得解得设扇形的圆心角为θ,则θ===2.故选B.
7.B [解析] 当k=2m,m∈Z时,2mπ≤α≤2mπ+,m∈Z;当k=2m+1,m∈Z时,2mπ+π≤α≤2mπ+,m∈Z.故选B.
8.CD [解析] 选项A,B中弧度与角度混用,不正确.因为=2π+,所以与的终边相同,选项D正确.因为-315°=-360°+45°,所以-315°角与45°角的终边相同,即与的终边相同,选项C正确.故选CD.
9.AB [解析] -π(rad)=-180°,A正确;在半径为2的圆中,弧度的圆心角所对的弧长为×2=,B正确;终边在直线y=-x上的角的集合是,C错误;若一扇形的圆心角为15°,半径为3 cm,则该扇形的面积为×32×15×=π(cm2),D错误.故选AB.
10. [解析] 因为180°=π,所以225°=225×=.
11.8 [解析] 设该扇形的弧长为l,半径为r,圆心角为α,则α=4,扇形的周长为2r+l,又l=αr=4r,所以2r+l=2r+4r=12,解得r=2,所以扇形的面积S=αr2=×4×22=8.
12.-+2kπ,k∈Z [解析] 在(-2π,0]内,终边与-的终边关于直线x+y=0对称的角是--=-,∴β=-+2kπ,k∈Z.
13.解:(1)-1725°=-1725×=-=-10π+,
则-1725°角与的终边相同.∵是第一象限角,
∴-1725°角是第一象限角.
(2)=20π+,则与的终边相同.
∵是第三象限角,∴是第三象限角.
14.解:(1)因为圆O的半径r=5,弦AB的长为5,所以△AOB为等边三角形,所以α=.
(2)因为α=,所以l=αr=,S扇形AOB=lr=××5=,又S△AOB=××5=,所以阴影部分的面积S=S扇形AOB-S△AOB=-.
15.4秒 [解析] 设P,Q第一次相遇时所用的时间为t秒,则t·+t·=2π,解得t=4,即第一次相遇时所用的时间为4秒.此时,P点走过的弧长为×4=,Q点走过的弧长为8π-=.
16.解:(1)由题意得2=,解得径为4,则扇形的半径为2,所以甲宛田的弧所对的圆心角的弧度数为=1.
(2)设乙宛田的周为l,径为d,则dl=2,即dl=8,
所以乙宛田的径与周之和为d+l≥2=4,当且仅当d=l=2时,等号成立.故乙宛田的径与周之和的最小值为4.§3 弧度制
3.1 弧度概念
3.2 弧度与角度的换算
【学习目标】
1.理解角度制与弧度制的概念,能对弧度和角度进行正确的换算.
2.体会引入弧度制的必要性,建立角的集合与实数集的一一对应关系.
3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.
◆ 知识点一 弧度制
在单位圆中,把长度等于 的弧所对的圆心角称为 弧度的角,其单位用符号 表示,读作弧度(通常“弧度”或“rad”省略不写).在单位圆中,每一段弧的长度就是它所对圆心角的 .这种以弧度作为单位来度量角的方法,称作 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)1 rad的角和1°的角大小相等. ( )
(2)每个弧度制下的角,都有唯一的角度制下的角与之对应. ( )
◆ 知识点二 弧度与角度的换算
1.
角度化弧度 弧度化角度
360°= rad 2π rad=
180°= rad π rad=
1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=≈57°18'
度数×=弧度数 弧度数×=度数
牢记1°= rad= rad≈0.017 45 rad;
1 rad==≈57°18'.
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 0° 30° 45° 90° 120° 135° 150° 270° 360°
弧度 π
◆ 知识点三 弧长公式与扇形面积公式
设扇形的半径为r,弧长为l,α(0<α<2π)为其圆心角的弧度数,n(0角度制 弧度制
扇形的弧长 l= l=
【诊断分析】 (1)用弧度制推导扇形的面积公式.
(2)扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似 对应的图形是否也类似
◆ 探究点一 弧度制的概念
例1 (1)(多选题)下列说法中正确的是 ( )
A.弧度角与实数之间建立了一一对应的关系
B.1度的角是直角的,1弧度的角是直角的
C.根据弧度的定义可知,180°等于π弧度
D.无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小有关
(2)下列说法正确的是 ( )
A.1弧度就是1度的圆心角所对的弧
B.1弧度是长度为半径的弧
C.1弧度是1度的弧的长度与1度的角之和
D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小
◆ 探究点二 用弧度制表示角
[探索] 角度制与弧度制互化的关键是什么 如果一个角的弧度为α rad,那么这个角是多少度 如果一个角为n°,那么这个角是多少弧度
角度1 角度与弧度的互化
例2 将下列角度与弧度进行互化:
(1)20°;(2)-15°;(3);(4)-π.
变式 把下列角度与弧度进行互化.(不必求近似值)
(1)36°;(2)-10°30';(3)1.2;(4)-.
[素养小结]
角度制与弧度制互化的注意点:
①用“弧度”为单位度量角时,“弧度”二字或“rad”可以省略不写;
②用“弧度”为单位度量角时,常常把弧度数写成含π的关系式的形式,如无特别要求,不必把π写成小数.
角度2 用弧度制表示终边相同的角
例3 把下列各角化成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式,并指出是第几象限角.
(1)-1500°;(2);(3)-4.
变式 (1)(多选题)终边与260°角的终边相同的角的集合可以是 ( )
A.{β|β=260°+2kπ,k∈Z}
B.{β|β=260°+k·360°,k∈Z}
C.
D.
(2)用弧度制表示终边落在如图所示的阴影部分内(含边界)的角的集合.
[素养小结]
当用弧度制表示与角α终边相同的角的集合{β|β=2kπ+α,k∈Z}时,2kπ是π的偶数倍,而不是整数倍.在表示该集合时,可以先写出在0~2π(或-π~π)内与角α终边相同的角,再加上2kπ,不要忘记标注k∈Z.
◆ 探究点三 扇形的弧长与面积公式
例4 (1)已知圆的半径为5 cm,则2 rad的圆心角所对的弧长为 ( )
A.10 cm B.2.5 cm
C.2 cm D.0.4 cm
(2)扇形OAB(O为圆心)的面积是1 cm2,它的周长是4 cm,则它的圆心角为 rad,的长为 cm.
变式 (1)已知扇形的圆心角为108°,半径为30 cm,则该扇形的面积为 .
(2)设扇形的周长为a,则当扇形的面积最大时,其圆心角的弧度数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
[素养小结]
涉及扇形的半径、弧长、圆心角、面积等的计算问题,关键是分析题目中已知哪些量、要求哪些量,已知其中的两个量能求得剩余的两个量(通过方程组求得).§3 弧度制
3.1 弧度概念
3.2 弧度与角度的换算
一、选择题
1.化为弧度是 ( )
A.π B.
C.1 D.
2.的终边所在的象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.某钟表的分针按顺时针方向走了2小时 20 分, 则对应的时针转过的弧度数为 ( )
A.π B.-π
C.π D.-π
4.若一个扇形所在圆的半径变为原来的2倍,弧长也变为原来的2倍,则 ( )
A.扇形的面积不变
B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积增大到原来的2倍
D.扇形的圆心角增大到原来的2倍
5.如图是折扇的示意图,其中OA=20 cm,∠AOB=,M为OA的中点,则扇面(图中扇环)部分的面积是 ( )
A.50π cm2 B.100π cm2
C.150π cm2 D.200π cm2
6.[2024·福建师大附中高一期末] 若扇形的周长为40 cm,面积为100cm2,则该扇形的圆心角的弧度数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
7.集合中的角的终边所在的区域(阴影部分)为 ( )
A B C D
8.(多选题)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是 ( )
A.2kπ+45°(k∈Z)
B.k·360°+(k∈Z)
C.k·360°-315°(k∈Z)
D.2kπ+(k∈Z)
9.(多选题)[2024·山西长治高一期末] 下列说法中正确的是 ( )
A.-π=-180°
B.在半径为2的圆中,弧度的圆心角所对的弧长为
C.终边在直线y=-x上的角的集合是
D.若一扇形的圆心角为15°,半径为3 cm,则该扇形的面积为π cm2
二、填空题
10.225°化成弧度为 .
11.已知扇形的圆心角为4 rad,周长为12,则扇形的面积为 .
12.已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-,则β= .
三、解答题
13.将下列各角转化成2kπ+α(k∈Z,且0≤α<2π)的形式,并指出它们是第几象限角.
(1)-1725°;
(2).
14.如图,圆O的半径为5,弦AB的长为 5.
(1)求圆心角α(0<α<π)的大小;
(2)求扇形AOB的弧长l及阴影部分的面积S.
15.如图所示,动点P,Q同时从点A(4,0)出发沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒钟转过的角为弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转过的角为-弧度,则P,Q第一次相遇时所用的时间为 ,此时P,Q各自走过的弧长分别为 , .
16.[2024·河南平顶山高一期中] 我国古代数学著作《九章算术》方田篇记载“宛田面积术曰:以径乘周,四而一”(宛田:扇形形状的田地;径:扇形所在圆的直径;周:扇形的弧长.如图),即古人计算扇形面积的公式为:扇形面积=.
(1)已知甲宛田的面积为2,周为2,求径的大小以及甲宛田的弧所对的圆心角的弧度数;
(2)若乙宛田的面积为2,求乙宛田的径与周之和的最小值.
