§4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
【课前预习】
知识点一
1.(1)纵坐标v 横坐标u
诊断分析
(1)× (2)√
知识点二
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ (4)× [解析] (4)∵α是第四象限角,∴sin α<0,cos α>0,∴m<0.
【课中探究】
探究点一
例1 - [解析] 由题意知sin θ==-,cos θ==,
所以2sin θ+cos θ=-2×+=-.
例2 解:由题可得,点P与坐标原点间的距离r==5|m|,所以sin α=,
cos α=.当m>0时,sin α=,cos α=-,故2sin α+cos α=;当m<0时,sin α=-,cos α=,
故2sin α+cos α=-.
变式 (1) (2)D [解析] (1)由题可知,点P与坐标原点间的距离r==,
∴cos α==.
(2)依题意知sin α==,解得m=±2.故选D.
探究点二
例3 解:设O为原点,当角α的终边在第四象限时,在直线y=-3x上取点P1(1,-3),则r1=OP1==,sin α==-,cos α==,
所以2sin α+3cos α=-+=-;
当角α的终边在第二象限时,在直线y=-3x上取点P2(-1,3),则r2=OP2=,sin α=,cos α=-,所以2sin α+3cos α=-=.
综上,2sin α+3cos α=±.
变式 解:∵角α的终边与直线y=3x的一部分重合,sin α<0,∴点P(m,n)位于直线y=3x在第三象限的部分上,则m<0,n<0,n=3m.∵OP==|m|=-m=,∴m=-1,n=-3,∴m-n=2.
探究点三
例4 解:(1)①∵π<<,∴为第三象限角,则sin<0.
②∵<3<π,∴3为第二象限角,则cos 3<0.
③∵<<2π,∴为第四象限角,则sin<0,cos>0,故sin·cos<0.
(2)∵sin α>0,∴α的终边在第一、二象限或y轴的正半轴上,∵cos α<0,∴α的终边在第二、三象限或x轴的负半轴上.故当sin α>0且cos α<0时,α的终边在第二象限.
[一题多变]
1.[变条件]本例(2)中条件变为“sin αcos α<0”,问题不变.
解:由sin αcos α<0知sin α>0,cos α<0或sin α<0,cos α>0.故α的终边在第二、四象限.
2.[变条件]本例(2)中条件变为“若点P(sin α,cos α)在第三象限”,问题不变.
解:由条件知sin α<0,cos α<0,故α的终边在第三象限.
变式 (1)A (2)-2
0,且|cos θ|=cos θ,所以sin θ>0,cos θ>0,所以θ是第一象限角,故选A.
(2)∵cos α≤0,sin α>0,α的终边过点(3a-9,a+2),∴∴-24.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
1.D [解析] 因为sin θ<0,cos θ>0,所以θ为第四象限角.故选D.
2.C [解析] 由题意得r=OP==5(O为坐标原点),∴sin α=-,cos α=,∴cos α+sin α+1=-+1=.故选C.
3.B [解析] 由三角函数的定义得cos α==,可得m=3.故选B.
4.B [解析] ∵点P(2sin θ,sin θ·cos θ)位于第四象限,∴即∴角θ的终边在第二象限.故选B.
5.A [解析] 因为α的终边在直线y=3x上,所以当α为第一象限角时,sin α=,cos α=,所以sin α+cos α =+==.当α为第三象限角时,sin α=-,cos α=-,所以sin α+cos α=--=-=-.综上所述,sin α+cos α=±.故选A.
6.B [解析] 设角α的终边与单位圆的交点为P(a,b),O为坐标原点.因为=,所以-a=b>0,则OP==b,所以cos α===-.故选B.
7.B [解析] 由题意得OP=(其中O为坐标原点),∴cos α==-,∴m>0且=,得m=.
8.BD [解析] 当m=2时,sin α<0,故A错误;由角α的终边过点P(m,1-m),m>0,得cos α=>0,故B正确;当m=时,sin α=cos α,即sin α-cos α=0,故C错误;sin α+cos α=+=>0(r=OP)恒成立,故D正确.故选BD.
9.ACD [解析] 显然x的终边不在坐标轴上.当x是第一象限角时,A=+=+=2;当x是第二象限角时,A=+=-+=0;当x是第三象限角时,A=+=--=-2;当x是第四象限角时,A=+=-=0.故选ACD.
10.三 [解析] 若sin θ<0,则θ的终边位于第三象限或第四象限,或y轴的负半轴上;若cos θ<0,则θ的终边位于第二象限或第三象限,或x轴的负半轴上.综上可得,角θ的终边位于第三象限.
11.-1 [解析] 因为sin α=-,且P(,y)在角α的终边上,所以=-,即3y2=y2+2,且y<0,解得y=-1.
12.- - [解析] ∵角θ的终边经过点(-2,-),∴sin θ==-.∵θ的终边与α的终边关于x轴对称,∴α的终边经过点(-2,),∴cos α==-.
13.解:(1)∵156°为第二象限角,∴sin 156°为正数.
(2)∵为第三象限角,∴cos为负数.
(3)∵-450°的终边为y轴的非正半轴,
∴cos(-450°)=0.
(4)∵-为第二象限角,∴sin为正数.
14.解:(1)设O为坐标原点,则OP=,
则sin α==,结合m≠0,可得m=1或m=-1.由OP==2,可得cos α=.
(2)当m=1时,sin α=,此时-sin αcos α=-×=-;当m=-1时,sin α=-,此时-sin αcos α=×=.
综上可得-sin αcos α的值为±.
15. [解析] 设点P0在角α的终边上,则不妨取α=.点P也在单位圆上且以点P0为起点按逆时针方向以每秒弧度的角速度做圆周运动,设5秒后,点P在角β的终边上,则β=+=,∴点P的坐标为,即点P的纵坐标y=.
16.解:(1)设点P的坐标为(x,y),因为∠POB=120°,
所以∠AOP=60°,则△OAP为等边三角形.
由题图可知x=,y=-,
所以点P的坐标为.
(2)因为点P的横坐标为-,所以∠POA=120°,且OP=OA,所以∠OAP=30°,∠APO=30°,
则sin2∠APO+2sin∠APO·cos∠OAP=+.§4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
【学习目标】
1.借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数的定义,了解三角函数是以实数为自变量的函数.
2.借助任意角三角函数的定义和单位圆理解并掌握正弦函数值、余弦函数值在各象限内的符号.
◆ 知识点一 正弦函数、余弦函数的定义
1.正弦函数、余弦函数的定义
(1)对于任意角α,作单位圆,使角α的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆的交点为P(u,v),如图,那么点P的 叫作角α的正弦值,点P的
叫作角α的余弦值.
在弧度意义下,对于α∈R,称v=sin α为任意角α的正弦函数,u=cos α为任意角α的余弦函数.
(2)正弦函数v=sin α、余弦函数u=cos α的定义域为全体实数.
2.利用角α终边上一点求三角函数值
设角α终边上除原点外的一点Q(x,y),则sin α=,cos α=(r=OQ=,O为原点).
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)sin α,cos α的大小与点P(x,y)在角α的终边上的位置有关. ( )
(2)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应. ( )
◆ 知识点二 正弦函数值、余弦函数值符号的判断
借助单位圆以及正弦函数、余弦函数的定义可知,正弦函数值与余弦函数值在各个象限内的符号如图所示.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知α是三角形的内角,则必有sin α>0,cos α≥0. ( )
(2)若sin α·cos α>0,则角α为第一象限角.( )
(3)已知sin α=,cos α=-,则角α的终边在第二象限. ( )
(4)已知α是第四象限角,设sin α·cos α=m,则m的符号不确定. ( )
◆ 探究点一 利用角α终边上一点的坐标求三角函数值
例1 在直角坐标系xOy中,角θ以原点为顶点,以x轴的非负半轴为始边,角θ的终边过点P(1,-2),则2sin θ+cos θ的值是 .
例2 已知角α的终边经过点P(-4m,3m)(m≠0),求2sin α+cos α的值.
变式 (1)在平面直角坐标系中,角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(1,2),则cos α的值为 .
(2)[2024·山西阳泉高一期末] 已知点P(m,1)是角α终边上的一点,且sin α=,则m的值为 ( )
A.2 B.-2
C.-2或2 D.-2或2
[素养小结]
(1)已知角α的终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法:
①先利用射线(角α的终边)与单位圆相交,求出交点的坐标,然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值.
②在α的终边上任选一点P(x,y),设P到原点的距离为r(r>0),则sin α=,cos α=.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时,用该方法更方便.
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
◆ 探究点二 已知角α终边所在直线求三角函数值
例3 已知角α的终边落在直线y=-3x上,求2sin α+3cos α的值.
变式 若角α的终边与直线y=3x的一部分重合,且sin α<0,P(m,n)是α终边上的一点,OP=(O为坐标原点),求m-n的值.
[素养小结]
在解决有关角的终边在直线上的问题时,应注意到角的终边为射线,通常分两种情况处理.
◆ 探究点三 判断三角函数值的符号
例4 (1)确定下列各三角函数值的符号:
①sin;②cos 3;③sin·cos.
(2)若sin α>0,cos α<0,判断角α的终边所在象限.
变式 (1)[2024·山西太原高一期末] 已知sin θcos θ>0,且|cos θ|=cos θ,则角θ是 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
(2)已知角α的终边过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是 .
[素养小结]
判断三角函数值在各个象限内的符号的攻略:
(1)基础:准确确定三角函数值中各个角的终边所在的象限;
(2)关键:准确记忆三角函数值在各个象限内的符号;
(3)注意:用弧度制给出的角常常不写单位,不要误认为角度,导致终边所在象限判断错误.§4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
一、选择题
1.已知角θ的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,且满足sin θ<0,cos θ>0,则 ( )
A.θ为第一象限角 B.θ为第二象限角
C.θ为第三象限角 D.θ为第四象限角
2.已知角α的终边经过点P(4,-3),则cos α+sin α+1的值为 ( )
A. B.-
C. D.-
3.[2024·北师大附中高一期中] 已知点P(m,m+1)在角α的终边上,且cos α=,则m等于 ( )
A.- B.3
C.-3 D.
4.如果点P(2sin θ,sin θ·cos θ)位于第四象限,那么角θ的终边所在象限为 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=3x(x≠0)上,则sin α+cos α= ( )
A.± B.-
C.± D.
6.已知角α的终边与单位圆的交点的坐标为(a,b)(ab≠0),若=,则cos α的值为 ( )
A. B.-
C.± D.-
7.已知角α的终边过点P(-8m,-6sin 30°),且cos α=-,则m的值为 ( )
A.± B.
C.± D.
8.(多选题)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(m,1-m),若m>0,则下列各式一定为正值的是 ( )
A.sin α
B.cos α
C.sin α-cos α
D.sin α+cos α
9.(多选题)已知A=+,则A的值可以是 ( )
A.0 B.1
C.2 D.-2
二、填空题
10.[2024·吉林延边州高一期末] 若sin θ<0,cos θ<0,则角θ的终边位于第 象限.
11.[2024·安徽蚌埠实验中学高一期末] 若sin α=-,且角α的终边经过点P(,y),则点P的纵坐标y= .
12.已知角θ的终边经过点(-2,-),且θ的终边与α的终边关于x轴对称,则sin θ= ,cos α= .
三、解答题
13.确定下列三角函数值的符号.
(1)sin 156°;
(2)cos;
(3)cos(-450°);
(4)sin.
14.[2024·潍坊高一期中] 已知点P(,m)(其中m≠0)在角α的终边上,且sin α=.
(1)求m,cos α的值;
(2)求-sin αcos α的值.
15.如图,单位圆上有一点P0,点P也在单位圆上且以点P0为起点按逆时针方向以每秒弧度的角速度做圆周运动,5秒后点P的纵坐标y= .
16.[2024·德州高一期末] 在平面直角坐标系xOy中,单位圆与x轴的正半轴、负半轴分别交于点A,B,角α的始边为射线OA,终边与单位圆交于x轴下方一点P.
(1)如图,若∠POB=120°,求点P的坐标;
(2)若点P的横坐标为-,求sin2∠APO+2sin∠APO·cos∠OAP的值.(共33张PPT)
§4 正弦函数和余弦函数的概念及其
性质
4.1 单位圆与任意角的正弦函数、
余弦函数定义
探究点一 利用角 终边上一点的坐标求三角函数值
探究点二 已知角 终边所在直线求三角函数值
探究点三 判断三角函数值的符号
【学习目标】
1.借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数的定义,了解三角函
数是以实数为自变量的函数.
2.借助任意角三角函数的定义和单位圆理解并掌握正弦函数值、
余弦函数值在各象限内的符号.
知识点一 正弦函数、余弦函数的定义
1.正弦函数、余弦函数的定义
（1）对于任意角 ，作单位圆，使角 的顶点与
原点重合，始边与 轴非负半轴重合，终边与单位圆
的交点为，如图，那么点 的_________叫作
纵坐标
横坐标
（2）正弦函数 、余弦函数 的定义域为全体实数.
角 的正弦值，点的_________叫作角 的余弦值.
在弧度意义下，对于，称 为任意角 的正弦函数，
为任意角 的余弦函数.
2.利用角 终边上一点求三角函数值
设角 终边上除原点外的一点，则 ,
， 为原点).
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） , 的大小与点在角 的终边上的位置有关.
( )
×
（2）同一个三角函数值能找到无数个角与之对应.( )
√
知识点二 正弦函数值、余弦函数值符号的判断
借助单位圆以及正弦函数、余弦函数的定义可知，正弦函数值与余
弦函数值在各个象限内的符号如图所示.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知 是三角形的内角，则必有， .( )
×
（2）若，则角 为第一象限角.( )
×
（3）已知，，则角 的终边在第二象限.( )
√
（4）已知 是第四象限角,设,则 的符号不确定.
( )
×
[解析] 是第四象限角,,, .
探究点一 利用角 终边上一点的坐标求三角函数值
例1 在直角坐标系中，角 以原点为顶点，以 轴的非负半轴为
始边，角 的终边过点，则 的值是_ _____.
[解析] 由题意知, ,所
以 .
例2 已知角 的终边经过点 ，求
的值.
解：由题可得，
点 与坐标原点间的距离，
所以, .
当时，,，故；
当 时，,，故 .
变式（1） 在平面直角坐标系中，角 的顶点与坐标原点重合，始
边与轴的非负半轴重合，终边过点，则 的值为_ __．
[解析] 由题可知，点与坐标原点间的距离 ，
.
（2）[2024·山西阳泉高一期末]已知点是角 终边上的一点，
且，则 的值为( )
A.2 B. C.或2 D.或
[解析] 依题意知，解得 .故选D.
√
［素养小结］
（1）已知角 的终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：
①先利用射线（角 的终边）与单位圆相交，求出交点的坐标，然
后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值.
②在 的终边上任选一点，设到原点的距离为 ，则
，.当已知 的终边上一点求 的三角函数值时，
用该方法更方便.
（2）当角 的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实
际情况对参数进行分类讨论.
探究点二 已知角 终边所在直线求三角函数值
例3 已知角 的终边落在直线上，求 的值.
解：设为原点，当角 的终边在第四象限时，在直线 上
取点,则, ,
，
所以 ；
当角 的终边在第二象限时，在直线上,
取点 ,则,, ，
所以 .
综上， .
变式 若角 的终边与直线的一部分重合，且 ，
是 终边上的一点，为坐标原点)，求 的值.
解： 角 的终边与直线的一部分重合，，
点位于直线在第三象限的部分上，
则， ，
，
，， .
［素养小结］
在解决有关角的终边在直线上的问题时,应注意到角的终边为射线,通
常分两种情况处理.
探究点三 判断三角函数值的符号
例4（1） 确定下列各三角函数值的符号：
① ；
解：，为第三象限角，则 .
② ；
解： ，为第二象限角，则 .
③ .
解： ，为第四象限角，则， ，
故 .
（2）若，，判断角 的终边所在象限.
解：， 的终边在第一、二象限或 轴的正半轴上，
， 的终边在第二、三象限或 轴的负半轴上.
故当且时， 的终边在第二象限.
［一题多变］
1.［变条件］本例（2）中条件变为“ ”，问题不变.
解：由知，或， .
故 的终边在第二、四象限.
2.［变条件］本例（2）中条件变为“若点 在第三象限”，
问题不变.
解：由条件知，，故 的终边在第三象限.
变式（1） [2024·山西太原高一期末]已知 ，且
，则角 是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
[解析] 因为，且 ，
所以 ,，所以 是第一象限角，故选A.
√
（2）已知角 的终边过点，且， ，
则实数 的取值范围是____________.
[解析] ，， 的终边过点 ，
.
［素养小结］
判断三角函数值在各个象限内的符号的攻略：
（1）基础：准确确定三角函数值中各个角的终边所在的象限；
（2）关键：准确记忆三角函数值在各个象限内的符号；
（3）注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度,导致
终边所在象限判断错误.
1.对三角函数的广义定义的理解
使角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的
非负半轴重合，在终边上任取一点 ，作
轴于点，设， .如图所示.
思考1 角 的正弦值、余弦值分别等于什么？
解：， .
思考2 对确定的锐角 ， ， 的值是
否随点 在终边上的位置的改变而改变？
解：不会.因为三角函数值是比值，其大小与点
在终边上的位置无关，只与角 终边的
位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.
思考3 在思考1中，当取时， ， 的值怎样表示？
解：， .
2.理解三角函数的概念时应注意的问题
（1）三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和点 在
终边上的位置无关,只由角 的终边位置确定,即三角函数值的大小只
与角有关.
（2） , 分别是一个整体,离开“ ”“”“ ”不表示任何
意义,更不能把“ ”当成“”与“ ”的乘积.
（3）在任意角的三角函数的定义中， 是一个任意角，其范围是使
函数有意义的实数集.
1.利用定义求三角函数值
当角 的终边在直线上时,常用的解题方法有两种:①先利用直线与单
位圆相交,求出交点坐标,然后利用正弦、余弦函数的定义求出相应的
三角函数值;②注意到角的终边为射线,所以应分两种情况处理,每一
种情况下都应在射线上任取一点，求得该点的坐标 ,则对应角的
正弦值,余弦值 .
解：由已知得,解得或 .
①当时,, ;
②当时,, ;
③当时,, .
例1 已知角 的终边上有一点,且,求 ,
的值.
2.三角函数值符号的判断
准确判断角的终边所在的象限是基础,熟记三角函数值在各象限内的
符号并牢记口诀是解决这类问题的关键.
例2 [2024·西安周至中学高一期末]已知 ，且
，则 为( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
[解析] 因为，所以 可能是第一、二象限角或终边落在
轴正半轴上，
又因为，所以，
故 为第二象限角.故选B.
√