4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
【课前预习】
知识点
R R [-1,1] [-1,1] 1 -1 1 -1 2π
诊断分析
(1)× (2)× (3)√
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)由y=4-cos x易知其定义域为R.
(2)由题意知2sin x+1≥0,即sin x≥-.在内满足上述条件的x的取值范围为,由此可得函数的定义域为(k∈Z).
变式 (1)(2kπ,2kπ+π)(k∈Z) (2)(k∈Z) [解析] (1)由题意知sin x>0.因为在[0,2π]内满足sin x>0的x的取值范围为0(2)要使函数有意义,需满足可得即2kπ+≤x<2kπ+π,k∈Z.
探究点二
例2 解:(1)y=sin x在区间上单调递增,在区间上单调递减.
(2)y=cos x在区间上单调递增,在区间[0,π]上单调递减,在区间上单调递增.
变式 解:因为函数y=sin x在上单调递增,在上单调递减,所以函数y=sin x,x∈的单调递增区间是,单调递减区间是.当x=时,ymax=1;当x=-时,ymin=-.
探究点三
例3 解:(1)∵x∈,∴-(2)∵sin x∈[-1,1],且m≠0,∴当m>0时,y=msin x+n的最大值是n+m,最小值是n-m;当m<0时,y=msin x+n的最大值是n-m,最小值是n+m.
变式 (1)D (2) - [解析] (1)因为-1≤sin x≤1,所以当sin x=1时,y=2sin x+a取得最大值2+a,故2+a=-2,所以a=-4.故选D.
(2)函数y=cos α在区间上单调递增,在区间上单调递减,且cos=,cos=,故当α=-时,y=cos α,α∈取得最小值.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
1.D [解析] 函数y=cos x的最小正周期T=2π.故选D.
2.C [解析] 由1-cos x≠0,得cos x≠1,则x≠2kπ,k∈Z.∴y=的定义域为{x∈R|x≠2kπ,k∈Z}.故选C.
3.A [解析] 函数y=sin x在区间上单调递增,在区间上单调递减,则当x=时,
y=sin x取得最大值1,又当x=时,y=,当x=时,y=,所以函数y=sin x在上的取值范围是.故选A.
4.D [解析] 由sin α>,得.故选D.
5.B [解析] 因为sin x∈[-1,1],所以sin x-1∈[-2,0],所以(sin x-1)2∈[0,4],故y=(sin x-1)2+2∈[2,6],即函数y=(sin x-1)2+2的最大值为6.故选B.
6.D [解析] 当x∈[0,2π]时,y=sin x的单调递增区间为,,y=cos x的单调递增区间为[π,2π],所以y=sin x和y=cos x都在上单调递增.故选D.
7.D [解析] 由sin(πsin x)=-1得πsin x=-+2k1π,k1∈Z,所以sin x=-+2k1,k1∈Z,又sin x∈[-1,1],所以sin x=-,所以x=-+2kπ,k∈Z或x=-+2kπ,k∈Z,因为x∈(-π,π),所以x=-或x=-.故选D.
8.ABC [解析] 对于D,y=cos x在[0,π]上单调递减,故D错误.易知A,B,C均正确.故选ABC.
9.BC [解析] 函数y=2sin x的定义域为[a,b],值域为[-2,0],故函数y=sin x能取得最小值-1,最大值能取到0.当a=2kπ+π(k∈Z)时,2kπ+≤b≤2kπ+2π(k∈Z),此时b-a∈;当b=2kπ+2π(k∈Z)时,2kπ+π≤a≤2kπ+(k∈Z),此时b-a∈.所以B,C符合要求.故选BC.
10.,k∈Z [解析] 由2cos x-1≥0可得cos x≥,即2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,所以函数y=的定义域为,k∈Z.
11.[-3,1] [解析] ∵-1≤sin x≤1,∴-2≤2sin x≤2,∴-3≤2sin x-1≤1,∴函数y=2sin x-1的值域为[-3,1].
12.sin 1°13.解:(1)35°= rad,55°= rad,因为函数y=sin x在区间上单调递增且0<<<,
所以sin(2)由函数y=cos x在区间上单调递减且<<<π,可得cos>cos.
14.解:(1)∵-1≤sin x≤1,∴当sin x=1时,函数y=1+sin x取得最大值,此时,对应的自变量x的取值集合为.
(2)∵-1≤sin x≤1,∴由二次函数的性质可知,当sin x=-1时,函数y=-2取得最大值-2=,此时,对应的自变量x的取值集合为.
15.AD [解析] 易知函数f(x)=sin(cos x)的定义域为R,故A正确;因为-1≤cos x≤1,[-1,1] ,所以sin(-1)≤sin(cos x)≤sin 1,故B错误;f(x+2π)=sin[cos(x+2π)]=sin(cos x)=f(x),所以C错误;当x∈(0,π)时,函数y=cos x单调递减,因此有-116.解:(1)因为-1≤sin x≤1,所以f(x)的定义域是R,
又f(x+2π)===f(x),
所以f(x)是周期函数.
(2)因为函数f(x)与函数y=sin x的单调性相同,所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(3)设t=sin x,则t∈,所以1≤2-t<,则<≤1.
故当x∈时,f(x)的取值范围为.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
【学习目标】
1.会利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的基本性质.
2.能利用正弦函数、余弦函数的基本性质解决相关问题.
◆ 知识点 正弦函数、余弦函数的基本性质
v=sin α u=cos α
定义域
值域
最大(小)值 最大值 , 最小值 最大值 , 最小值
周期性 T=2π T=
单调性 在区间(k∈Z)上单调递增,在区间(k∈Z)上单调递减 在区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上单调递增,在区间[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=sin x在[0,π]上单调递减. ( )
(2)函数y=cos x在[0,π]上的取值范围是[0,1]. ( )
(3)函数y=sin x的最大值为1,最小值为-1. ( )
◆ 探究点一 正弦、余弦函数的定义域问题
例1 求下列函数的定义域:
(1)y=4-cos x;
(2)y=.
变式 (1)函数y=的定义域为 .
(2)函数y=lg(sin x)+的定义域是 .
[素养小结]
利用单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质可以求一些复合函数的定义域与单调区间.正弦函数、余弦函数的定义域是研究其他一切性质的前提,要树立定义域优先的意识.求与正弦函数、余弦函数有关的复合函数的定义域实际上是解简单的三角不等式.
◆ 探究点二 正弦、余弦函数单调性
例2 讨论下列函数的单调性.
(1)y=sin x,x∈;
(2)y=cos x,x∈.
变式 求函数y=sin x,x∈的最大值、最小值及单调区间.
[素养小结]
由角的终边按逆时针方向旋转,横、纵坐标的增大或减少来分别判断余弦、正弦函数的单调性.
◆ 探究点三 正弦、余弦函数的值域与最值
例3 (1)求函数y=cos x,x∈的值域;
(2)求函数y=msin x+n(m≠0)的最值.
变式 (1)若函数y=2sin x+a的最大值为-2 ,则a的值为 ( )
A.2 B.-2 C.0 D.-4
(2)函数y=cos α,α∈的最小值为 ,此时α= .
[素养小结]
求与正弦函数、余弦函数有关的值域问题时要注意换元法与分类讨论思想的应用.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
一、选择题
1.函数y=cos x的最小正周期为 ( )
A. B.π
C. D.2π
2.函数y=的定义域是 ( )
A.R
B.{x∈R|x≠kπ,k∈Z}
C.{x∈R|x≠2kπ,k∈Z}
D.
3.函数y=sin x在上的取值范围为 ( )
A. B.[-1,1]
C. D.
4.满足sin α>的角α的集合为 ( )
A.
B.
C.
D.
5.函数y=(sin x-1)2+2的最大值为 ( )
A.2 B.6
C.3 D.7
6.函数y=sin x(0≤x≤2π)与y=cos x(0≤x≤2π)都单调递增的区间是 ( )
A. B.
C. D.
7.若x∈(-π,π),则使等式sin(πsin x)=-1成立的x的值是 ( )
A.- B.
C., D.-,-
8.(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.y=sin x在上单调递增
B.y=cos x的值域为[-1,1]
C.y=2sin x的最小正周期为2π
D.y=cos x在[0,π]上单调递增
9.(多选题)已知函数y=2sin x的定义域为[a,b],值域为[-2,0],则b-a的值可能是 ( )
A. B. C. D.
二、填空题
10.函数y=的定义域为 .
11.函数y=2sin x-1的值域是 .
12.[2023·江西南昌铁路一中高一月考] sin 1°,sin 1,sin 3°的大小关系是 .
三、解答题
13.比较下列各组三角函数值的大小:
(1)sin 35°,sin 55°;
(2)cos,cos.
14.求下列函数的最大值,并写出使函数取得最大值的自变量x的取值集合.
(1)y=1+sin x;
(2)y=-2.
15.(多选题)关于函数f(x)=sin(cos x),下列说法正确的是 ( )
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)的值域为[-1,1]
C.f(x+2π)≠f(x)
D.f(x)在区间(0,π)上单调递减
16.已知函数f(x)=.
(1)判断函数f(x)是否为周期函数;
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
(3)当x∈时,求f(x)的取值范围.(共24张PPT)
§4 正弦函数和余弦函数的概念及其
性质
4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数
的基本性质
探究点一 正弦、余弦函数的定义域问题
探究点二 正弦、余弦函数单调性
探究点三 正弦、余弦函数的值域与最值
【学习目标】
1.会利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的基本性质.
2.能利用正弦函数、余弦函数的基本性质解决相关问题.
知识点 正弦函数、余弦函数的基本性质
定义域 ___ ___
值域 _______ _______
最大 （小）值 最大值___，最小值____ 最大值___，最小值____
周期性 ____
1
1
单调性 在区间 上 单调递增，在区间 上单调递减 在区间
上
单调递增，在区间
上
单调递减
续表
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数在 上单调递减.( )
×
（2）函数在上的取值范围是 .( )
×
（3）函数的最大值为1，最小值为 .( )
√
探究点一 正弦、余弦函数的定义域问题
例1 求下列函数的定义域：
（1） ；
解：由易知其定义域为 .
（2） .
解：由题意知，即.
在 内满足上述条件的的取值范围为 ，
由此可得函数的定义域为 .
变式（1） 函数 的定义域为______________________.
[解析] 由题意知.
因为在内满足的 的取值范围为 ，
所以所求定义域为 .
（2）函数 的定义域是_________________
________.
[解析] 要使函数有意义，需满足
可得即, .
［素养小结］
利用单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质可以求一些复合函数
的定义域与单调区间.正弦函数、余弦函数的定义域是研究其他一切
性质的前提，要树立定义域优先的意识.求与正弦函数、余弦函数有
关的复合函数的定义域实际上是解简单的三角不等式.
探究点二 正弦、余弦函数单调性
例2 讨论下列函数的单调性.
（1）， ；
解：在区间上单调递增，在区间 上单调递减.
（2）， .
解：在区间上单调递增，在区间 上单调递减，
在区间 上单调递增.
变式 求函数， 的最大值、最小值及单调区间.
解：因为函数在上单调递增，在 上单调递减，
所以函数，的单调递增区间是 ，单调递
减区间是.
当时，；当时， .
［素养小结］
由角的终边按逆时针方向旋转，横、纵坐标的增大或减少来分别判
断余弦、正弦函数的单调性.
探究点三 正弦、余弦函数的值域与最值
例3（1） 求函数, 的值域；
解：,，
故函数, 的值域是 .
（2）求函数 的最值.
解：,且,
当时, 的最大值是，最小值是;
当时, 的最大值是，最小值是 .
变式（1） 若函数的最大值为 ，则 的值为( )
A.2 B. C.0 D.
[解析] 因为，所以当时， 取
得最大值，
故，所以 .故选D.
√
（2）函数 ,的最小值为__，此时 ____.
[解析] 函数 在区间上单调递增，在区间 上单
调递减，且，，
故当时， ，取得最小值 .
［素养小结］
求与正弦函数、余弦函数有关的值域问题时要注意换元法与分类讨
论思想的应用.
1.正弦函数、余弦函数的周期性
（1）正弦函数和余弦函数所具有的周期性实质上是由终边相同的角
具有的周期性所决定的;
（2）由公式 ,
也可以说明它们的周期性;
（3）函数及(其中, , 为常
数,且,的最小正周期 .
2.三角函数的值域问题
（1）或
型函数值域问题的解决方法是利用三角函数在区间上的单调性.
（2）与其他函数构成复合函数求值域问题,最为常见的是与二次函数
复合求值域,所用到的知识是三角函数的有界性和二次函数在给定区
间上的单调性.一般先进行换元再配方求解.
求与三角函数有关的最值（值域）问题
（1）求形如或的函数的最值要注意对
进行讨论.
（2） 对于三角函数与基本初等函数复合的函数值域问题要注意三
角函数的取值范围.
例（1） 已知函数的最大值为1,最小值为 ,则函
数 的最大值为___.
5
[解析] 当时,由题意得 解得
，则当时,函数 取得最大值5;
当时,由题意得 解得
,则当时,函数 取得最大值5.
故函数 的最大值为5.
（2）若函数在区间上的取值范围是 ，
则 的最大值是___.
[解析] 由,得,由得 ,
则由题意得,
由正弦函数的周期性，不妨取区间 进行分析,
当时，或,所以若要 取得最大值，
则需满足，，
此时的最大值为 .
（3）函数 的值域为______ .
[解析] ，
因为，所以，得 ，
则，则，即的值域为 ．
