4.3 诱导公式与对称
【课前预习】
知识点
-sin α cos α -sin α -cos α -sin α -cos α sin α
-cos α
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)√
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)sin 1920°=sin(5×360°+120°)=sin 120°=sin(180°-60°)=sin 60°=.
(2)cos=cos=cos=cos=-cos=-.
(3)cos=cos=cos=.
(4)原式=sin·cos=sin·cos=sin·cos=-sin·cos=-×=-.
探究点二
探索 同名三角函数值 名 象限
例2 (1)B (2)D (3)- [解析] (1)因为cos(2π-α)=cos α=,且α∈,
所以sin α=-=-,所以sin(π-α)=sin α=-.
(2)由题意得sin=sin=sin=-sin=-sin=-.
(3)因为sin=,所以sin=sin=-sin=-.
变式 (1)C [解析] ∵sin=,∴sin=sin=-sin=-.故选C.
(2)解:∵-+α+π-α=π,∴π-α=π-,∴cos=cos=-cos=.
探究点三
探索 四 三 二 四
例3 解:(1)原式==
==.
(2)原式==
==-1.
变式 解:∵sin(α-3π)=2cos(α-4π),∴-sin(3π-α)=2cos(4π-α),∴-sin(π-α)=2cos(-α),
∴sin α=-2cos α,
可知cos α≠0,故===-.
拓展 解:方法一:当k为偶数时,设k=2m(m∈Z),
则原式==
==-1;
当k为奇数时,设k=2m+1(m∈Z),同理可得原式=-1.
方法二:因为kπ-α+kπ+α=2kπ(k∈Z),(k+1)π+α+(k-1)π-α=2kπ(k∈Z),所以cos[(k-1)π-α]=cos[(k+1)π+α]=-cos(kπ+α),sin[(k+1)π+α]=-sin(kπ+α),sin(kπ-α)=-sin(kπ+α),
所以原式==-1.4.3 诱导公式与对称
1.A [解析] 依题意得,cos=cos=-cos=-.故选A.
2.B [解析] ∵sin(θ+π)=-sin θ<0,∴sin θ>0.∵cos(θ-π)=cos(π-θ)=-cos θ>0,∴cos θ<0,∴角θ的终边在第二象限.
3.C [解析] 对于A,cos(-x)=cos x,不符合题意;对于B,cos(π+x)=-cos x,不符合题意;对于C,sin(3π-x)=sin x,符合题意;对于D,sin(3π+x)=-sin x,不符合题意.故选C.
4.A [解析] 因为sin 150°=sin(180°-30°)=sin 30°=,sin 135°=sin(180°-45°)=sin 45°=,
sin 210°=sin(180°+30°)=-sin 30°=-,cos 225°=cos(180°+45°)=-cos 45°=-,所以原式=++2×+=+-1+=.
5.C [解析] 由题意得,sin=sin=-sin=sin=.
6.B [解析] 由诱导公式可得f(θ)=
=-,所以f=-=-=-=-=-2.故选B.
7.A [解析] 因为函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin x,且当0≤x<π时,f(x)=0,所以f=f=f+sin=f+sin+sin=0+-=0.故选A.
8.BD [解析] 由题意可知α+β=π+2kπ(k∈Z).sin(α+π)=sin(-β)=-sin β,故A错误;sin(α-π)=sin(-β)=-sin β,故B正确;sin(-α)=sin(β-π)=-sin β,故C错误;sin(2π-α)=sin(-α)=-sin β,故D正确.故选BD.
9.BC [解析] 对于A,当n=2k,k∈Z时,sin=sin=sinπ=sin=-sin,所以A错误;对于B, cos=cos==sin,所以B正确;对于C,sin=sin,所以C正确;对于D, cos=cos=cos=-cos=-=-sin,所以D错误.故选BC.
10. [解析] 由题意知cos θ=-,∴cos(π-θ)=-cos θ=.
11. [解析] =|sin 120°|=|sin(180°-60°)|=|sin 60°|=.
12.1 [解析] 因为P(1,3)为角α终边上一点,所以r==,所以sin α=,cos α=,所以====1.
13.解:(1)由题意得,点P到坐标原点的距离r==5|a|,
因为a<0,所以r=-5a,所以sin θ==-.
(2)由(1)可得cos θ==-,故sin(π+θ)+cos(θ-π)=-sin θ-cos θ=+=.
14.解:当k=2n(n∈Z)时,
原式==
==-1;
当k=2n+1(n∈Z)时,
原式==
==-1.
综上,原式=-1.
15.AC [解析] 当n=2k,k∈Z时,sin 2kπ+cos(2k+1)π=0-1=-1;当n=2k+1,k∈Z时,sin(2k+1)π+cos(2k+1+1)π=0+1=1.所以sin nπ+cos(n+1)π的值为-1或1.故选AC.
16.解:(1)cos+cos+cos+cos=cos+cos+cos+cos=cos+cos-cos-cos=0.
(2)因为sin(3π+θ)=,所以sin θ=-,
所以+=
+=+===32.4.3 诱导公式与对称
【学习目标】
1.在单位圆中搞清两角终边与单位圆交点的对称性,结合正弦函数、余弦函数的概念探究诱导公式.
2.掌握诱导公式(-α,α±π,π-α的正弦值、余弦值),能运用这几类诱导公式进行求值、化简与证明.
◆ 知识点 诱导公式与对称
终边关系 角-α与角α的终边关于x轴对称 角α±π与角α的终边关于原点对称 角π-α与角α的终边关于y轴对称
图 示
公 式 sin(-α)= ,cos(-α)= sin(π+α)= ,cos(π+α)= ,sin(α-π)= ,cos(α-π)= sin(π-α)= , cos(π-α)=
特 点 1.公式两边的函数名称一致. 2.将α看作锐角时,原角所在象限的正弦函数值、余弦函数值的符号即为等号右边的符号
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两角的终边与单位圆交点关于x轴对称的诱导公式可以将任意负角的三角函数值转化为正角的三角函数值. ( )
(2)诱导公式中的角α一定是锐角. ( )
(3)由两角的终边与单位圆交点关于x轴对称的诱导公式知cos[-(α-β)]=-cos(α-β). ( )
(4)在△ABC中,sin(A+B)=sin C. ( )
◆ 探究点一 给角求值
例1 求下列三角函数值.
(1)sin 1920°;(2)cos;
(3)cos;(4)sin·cos .
[素养小结]
利用诱导公式可以将任意角的三角函数问题转化为锐角的三角函数问题来处理,其一般步骤为:
(1)利用角的终边关于x轴对称的诱导公式将任意负角的三角函数转化为正角的三角函数;
(2)利用终边相同的诱导公式将正角的三角函数化为0°到360°之间角的三角函数;
(3)利用角的终边关于x,y轴及原点对称的诱导公式将0°到360°之间角的三角函数化为锐角的三角函数.
◆ 探究点二 给值(式)求值
[探索] α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值等于α的 ,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.可总结为函数 不变,符号看 .
例2 (1)若cos(2π-α)=且α∈,则sin(π-α)= ( )
A.- B.- C.- D.±
(2)已知sin=,则sin的值为( )
A. B.- C. D.-
(3)[2024·江西丰城九中高一期中] 已知sin=,则sin= .
变式 (1)[2024·江西乐平三中高一期中] 已知sin=,则sin等于 ( )
A.- B. C.- D.
(2)已知cos=-,求cos的值.
[素养小结]
解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系,再选择适当的诱导公式求解.
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.
◆ 探究点三 利用诱导公式化简
[探索] 若α是锐角,则2π-α是第 象限角,π+α是第 象限角,π-α是第
象限角,-α是第 象限角.
例3 化简下列各式.
(1);
(2).
变式 已知sin(α-3π)=2cos(α-4π),求的值.
[素养小结]
化简三角函数式的策略:
(1)化简时要使函数类型尽量少,角的弧度数(或角度数)的绝对值尽量小,特殊角的正弦、余弦函数要求出具体的值.
(2)要认真观察有关角之间的关系,根据需要合理选择诱导公式变角.
拓展 设k为整数,化简.4.3 诱导公式与对称
一、选择题
1.cos的值是 ( )
A.- B.
C.- D.
2.若sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则角θ的终边在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.在下列各式中,化简的结果为sin x的是 ( )
A.cos(-x) B.cos(π+x)
C.sin(3π-x) D.sin(3π+x)
4.sin2150°+sin2135°+2sin 210°+cos2225°的值是 ( )
A. B.
C. D.
5.已知sin=,则sin的值为 ( )
A. B.-
C. D.-
6.已知f(θ)=,则f= ( )
A.- B.-2
C. D.2
7.设函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin x,当0≤x<π时,f(x)=0,则f= ( )
A.0 B.
C.- D.1
8.(多选题)在平面直角坐标系中,若角α与角β的顶点均为坐标原点,始边均与x轴的非负半轴重合,终边关于y轴对称,则下列结论中正确的是 ( )
A.sin(α+π)=sin β
B.sin(α-π)=-sin β
C.sin(-α)=sin β
D.sin(2π-α)=-sin β
9.(多选题)已知n∈Z,则下列三角函数中,与sin数值相同的是 ( )
A.sin B.cos
C.sin D.cos
二、填空题
10.已知角θ的终边与单位圆交于点P,则cos(π-θ)= .
11.= .
12.[2024·四川南充高一期末] 已知P(1,3)为角α终边上一点,则= .
三、解答题
13.已知角θ的终边经过点P(3a,4a),a<0.
(1)求sin θ的值;
(2)求sin(π+θ)+cos(θ-π)的值.
14.化简:(k∈Z).
15.(多选题)[2024·安徽宣城高一期末] 若n∈Z,则sin nπ+cos(n+1)π的值可能是 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
16.(1)化简:cos+cos+cos+cos;
(2)已知sin(3π+θ)=,求+的值.(共28张PPT)
§4 正弦函数和余弦函数的概念及其
性质
4.3 诱导公式与对称
探究点一 给角求值
探究点二 给值（式）求值
探究点三 利用诱导公式化简
【学习目标】
1.在单位圆中搞清两角终边与单位圆交点的对称性,结合正弦函
数、余弦函数的概念探究诱导公式.
2.掌握诱导公式 , , 的正弦值、余弦值),能运用
这几类诱导公式进行求值、化简与证明.
知识点 诱导公式与对称
终边 关系
图示 _________________________________________ ___________________________________________ _________________________________________
终边 关系
公式
续表
终边 关系
特点 续表
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）两角的终边与单位圆交点关于 轴对称的诱导公式可以将任意
负角的三角函数值转化为正角的三角函数值.( )
√
（2）诱导公式中的角 一定是锐角.( )
×
（3）由两角的终边与单位圆交点关于 轴对称的诱导公式知
.( )
×
（4）在中, .( )
√
探究点一 给角求值
例1 求下列三角函数值.
（1） ；
解： .
（2） ；
解：
.
（3） ；
解： .
（4） .
解：原式 .
［素养小结］
利用诱导公式可以将任意角的三角函数问题转化为锐角的三角函数
问题来处理,其一般步骤为:
（1）利用角的终边关于 轴对称的诱导公式将任意负角的三角函数
转化为正角的三角函数;
（2）利用终边相同的诱导公式将正角的三角函数化为 到 之
间角的三角函数;
（3）利用角的终边关于,轴及原点对称的诱导公式将 到
之间角的三角函数化为锐角的三角函数.
探究点二 给值（式）求值
［探索］ , , 的三角函数值等于 的
_________________,前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号.
可总结为函数____不变,符号看______.
同名三角函数值
名
象限
例2（1） 若且，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，且 ，
所以，所以 .
√
（2）已知，则 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得 .
√
（3）[2024·江西丰城九中高一期中] 已知 ，则
____.
[解析] 因为 ，
所以 .
变式（1） [2024·江西乐平三中高一期中]已知 ,则
等于( )
A. B. C. D.
[解析] ,
.故选C.
√
（2）已知,求 的值.
解： , ,
.
［素养小结］
解决条件求值问题的策略
（1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、
函数名称及有关运算之间的差异及联系，再选择适当的诱导公式求解.
（2）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向
已知式转化.
探究点三 利用诱导公式化简
［探索］ 若 是锐角,则 是第____象限角, 是第____象
限角, 是第____象限角, 是第____象限角.
四
三
二
四
例3 化简下列各式.
（1） ;
解：原式
.
（2） .
解：原式
.
变式 已知，求 的值．
解： ，
， ，
，
可知 ，故
．
［素养小结］
化简三角函数式的策略：
（1）化简时要使函数类型尽量少，角的弧度数（或角度数）的绝对
值尽量小，特殊角的正弦、余弦函数要求出具体的值.
（2）要认真观察有关角之间的关系，根据需要合理选择诱导公式变角.
拓展 设为整数，化简 .
解：方法一：当为偶数时，设 ，
则原式
；
当为奇数时，设，同理可得原式
方法二：因为 ，
，
所以 ，
， ，
所以原式 .
1.利用对称得到的诱导公式的记忆:
（1）利用对称得到的诱导公式可用口诀“函数名不变,符号看象限”来
记忆,其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名,“符号”是指等
号右边是正号还是负号,“符号看象限”是指当把 看成锐角时等式左
边三角函数值的符号.
2.利用诱导公式求值
解答该类题目的常用方法是先把负角化成正角,然后再把大于
的角利用诱导公式转化为 到 之间的角进行求值.在公式的选取
上没有固定格式,关键在于熟练运用.利用诱导公式求任意角三角函数
的步骤:
（1）“负化正”——用 , 转化.
（2）“大化小”——用终边相同的角的三角函数值相等化为0到 之
间的角.
（3）“小化锐”——用 与 相应的公式将大于 的角转化为
锐角.
（4）“锐求值”——得锐角三角函数后求值.
1.解决条件求值问题的策略
例 已知，求 的值.
解：由题意得
.
2.三角函数式的化简方法
（1）利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数;
（2）注意“1”的变形应用.
