4.4 诱导公式与旋转
【课前预习】
知识点一
1.(-v,u) cos α -sin α 2.(v,-u) -cos α sin α
诊断分析
解:由角-α的终边与角α的终边关于直线y=x对称,得P1.由角-α的终边与角+α的终边关于直线x=0对称,得P2.
知识点二
sin α cos α -sin α cos α -sin α cos α sin α
-cos α -sin α -cos α cos α -sin α cos α sin α
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√
【课中探究】
探究点一
例1 (1)-0.3 (2) (3) [解析] (1)由cos=-sin α=-0.3,得sin α=0.3,所以sin(2π-α)=-sin α=-0.3.
(2)由题意得sin(105°+α)=sin[180°+(α-75°)]=-sin(α-75°)=.
(3)因为-α++α=,所以cos=cos=sin=.
变式 D [解析] sin=sin=-cos 2=-.故选D.
探究点二
例2 解:(1)原式=· sin(-sin α)=·(-sin α)
=·(-cos α)(-sin α)=-cos2α.
(2)证明:左边==-1=右边,
所以原式得证.
变式 解:=
=-sin α.
探究点三
例3 解:(1)f(α)==
=-.
(2)因为角α的终边过点P(-12,5),
所以x=-12,y=5,
则r===13,
所以sin α=,cos α=-,所以f(α)=-=.
变式 解:(1)f(α)==
=cos α.
(2)因为f(α)=cos α=,且α为第四象限角,
所以sin α=-,则2sin2α+3sin αcos α=2×+3××=.4.4 诱导公式与旋转
1.B [解析] 由题意得cos 130°=cos(90°+40°)=-sin 40°=-a.
2.A [解析] sin(-x)=-sin x,故A成立;sin=cos x,故B不成立;cos=-sin x,故C不成立;cos(π-x)=-cos x,故D不成立.故选A.
3.A [解析] ∵cos(2π-α)=cos α=,∴sin=-cos α=-,故选A.
4.D [解析] 由题意得cos=sin=sin=-sin=-.故选D.
5.A [解析] ∵角θ的终边经过点(3,-4),∴sin θ=-,cos θ=,则==-=,故选A.
6.C [解析] ∵sin(π+α)+cos=-sin α-sin α=-m,∴sin α=.故cos+2sin(2π-α)
=-sin α-2sin α=-3sin α=-m.
7.A [解析] 单位圆上一点P(0,1),即P,点P绕坐标原点O按逆时针方向转动后,到达Q点,则Q,又cos=cos=cos=-sin=-,sin=sin=sin=cos=,所以Q.故选A.
8.ACD [解析] 对于A,sin(2π-α)=sin(-α)=-sin α,故A正确;对于B,cos(α-π)=cos(π-α)=-cos α,故B错误;对于C,cos=cos=-cos=-sin α,故C正确;对于D,sin=-sin=-cos α,故D正确.故选ACD.
9.BC [解析] 依题意得,sin α=-,cos α=,故A错误,B正确;又β=+α,所以sin β=sin=cos α=,cos β=cos=-sin α=,故C正确,D错误.故选BC.
10. [解析] ∵sin α=,∴cos=sin α=.
11. [解析] 因为cos(α-45°)=,(45°+α)-(α-45°)=90°,所以sin(45°+α)=sin[90°+(α-45°)]=cos(α-45°)=.
12.-2 [解析] 因为点P(1,2)是角θ终边上的一点,所以cos θ=,sin θ=,则==-2.
13.解:(1)∵角α的终边经过点P(3,-4),
∴sin α=-,cos α=,则sin α+cos α=-.
(2)原式==-10.
14.解:(1)由诱导公式得
f=cos=cos=cos=.
(2)因为f(α)=cos α,且f=,所以cos=,所以sin=sin=cos=.
15.D [解析] 根据“数字黑洞”的定义,任取数字2023,根据题中步骤,最终得到的一个反复出现的数字为123,所以“数字黑洞”为123,即a=123,所以sin=sin=sin=-cos=-.故选D.
16.解:由题意可知,sin(3π-A)=sin(π-B),cos=cos(π-B),根据诱导公式,
可得sin A=sin B,-sin A=-cos B,所以sin B=cos B.
因为B∈(0,π),所以B=,所以sin A=sin B=×=1,又因为A∈(0,π),所以A=,所以C=π--=,所以△ABC是等腰直角三角形.4.4 诱导公式与旋转
【学习目标】
1.在诱导公式与对称的基础上,掌握诱导公式与旋转的推导过程.
2.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题.
◆ 知识点一 α±的诱导公式
1.若角α的终边与单位圆的交点为P(u,v),则角+α的终边与单位圆的交点P'的坐标为 ,sin= ,cos= .
2.若角α的终边与单位圆的交点为P(u,v),则角α-的终边与单位圆的交点P'的坐标为 ,sin= ,cos= .
【诊断分析】 已知角α的终边与单位圆的交点为P,角-α,+α的终边与单位圆分别交于点P1,P2,则P1,P2的坐标分别是什么
◆ 知识点二 诱导公式
sin(2kπ+α)= (k∈Z) cos(2kπ+α)= (k∈Z)
sin(-α)= cos(-α)=
sin(2π-α)= cos(2π-α)=
sin(π-α)= cos(π-α)=
sin(π+α)= cos(π+α)=
sin= cos=
sin= cos=
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在△ABC中,sin=cos. ( )
(2)sin=sin=cos(-α)=cos α. ( )
(3)若cos 10°=a,则sin 100°=a. ( )
◆ 探究点一 利用诱导公式求值
例1 (1)已知cos=-0.3,则sin(2π-α)= .
(2)已知sin(α-75°)=-,则sin(105°+α)= .
(3)已知sin=,则cos= .
变式 [2024·江西南昌五中高一期中] 已知cos 2=,则sin= ( )
A. B. C.- D.-
[素养小结]
解决此类问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系,从而灵活选用诱导公式求解,一般可从两角的和、差的计算结果入手寻找两角的关系,如两角互补,两角互余等.
提醒:常见满足互余关系的角有-α与+α,+α与-α等.常见满足互补关系的角有+θ与-θ,+θ与-θ等.
◆ 探究点二 利用诱导公式化简、证明
例2 (1)化简:·sin·cos.
(2)求证:=-1.
变式 [2024·江西宜春中学高一月考] 化简:.
[素养小结]
利用诱导公式证明等式问题,关键在于公式的灵活应用.证明的常用方法有:(1)从一边开始,使得它等于另一边,一般由繁到简.(2)左右归一法:即证明左、右两边都等于同一个式子.(3)凑合法:即针对题设与结论间的差异,有针对性地进行变形,以消除其差异,简言之,即化异为同.
◆ 探究点三 诱导公式的综合应用
例3 [2024·江西南昌一中高一期中] 已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若角α的终边过点P(-12,5),求f(α).
变式 已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若f(α)=,且α为第四象限角,求2sin2α+3sin αcos α的值.
[素养小结]
所谓化简,就是将表达式经过某种变形,使结果尽可能的简单,也就是项数尽可能少,次数尽可能低,函数的种类尽可能少,分母中尽量不含三角函数,能求值的一定要求值.
利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择,当三角函数式中含有kπ±α,π±α(k∈Z)时,要注意讨论k为奇数或偶数.4.4 诱导公式与旋转
一、选择题
1.已知sin 40°=a,则cos 130°= ( )
A.a B.-a
C. D.-
2.已知x∈R,则下列等式成立的是 ( )
A.sin(-x)=-sin x
B.sin=-cos x
C.cos=sin x
D.cos(π-x)=cos x
3.若cos(2π-α)=,则sin等于 ( )
A.- B.-
C. D.±
4.若sin=,则cos的值为 ( )
A. B.-
C. D.-
5.已知角θ的终边经过点(3,-4),则= ( )
A. B.
C.- D.-
6.若sin(π+α)+cos=-m,则cos+2sin(2π-α)的值为 ( )
A.- B.
C.- D.
7.单位圆上一点P(0,1)绕坐标原点O按逆时针方向转动后,到达Q点,则点Q的坐标为 ( )
A. B.
C. D.
8.(多选题)[2024·安徽宿州高一期末] 设α∈R,则下列结论中正确的是 ( )
A.sin(2π-α)=-sin α
B.cos(α-π)=cos α
C.cos=-sin α
D.sin=-cos α
9.(多选题)[2024·安徽芜湖高一期末] 已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点,现将角α的终边按逆时针方向旋转后与角β的终边重合,则下列结论正确的是 ( )
A.sin α= B.cos α=
C.sin β= D.cos β=-
二、填空题
10.已知sin α=,则cos= .
11.[2024·贵州铜仁高一期末] 已知cos(α-45°)=,则sin(45°+α)= .
12.已知点P(1,2)是角θ终边上的一点,则= .
三、解答题
13.已知角α的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(3,-4).
(1)求sin α+cos α的值;
(2)求的值.
14.[2024·福建三明高一期末] 已知f(α)=cos α(α∈R).
(1)求f的值;
(2)已知f=,求sin的值.
15.任意取一个数字串,长度不限,依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数,把这三个数从左到右写成一个新数字串,重复以上工作,最后会得到一个反复出现的数字,我们称它为“数字黑洞”.若把这个数字设为a,则sin= ( )
A. B.-
C. D.-
16.在△ABC中,已知sin(3π-A)=sin(π-B),cos=cos(π-B),判断该三角形的形状.(共26张PPT)
§4 正弦函数和余弦函数的概念及其
性质
4.4 诱导公式与旋转
探究点一 利用诱导公式求值
探究点二 利用诱导公式化简、证明
探究点三 诱导公式的综合应用
【学习目标】
1.在诱导公式与对称的基础上,掌握诱导公式与旋转的推导过程.
2.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题.
知识点一 的诱导公式
1.若角 的终边与单位圆的交点为，则角 的终边与单位
圆的交点的坐标为________,______,
_________.
2.若角 的终边与单位圆的交点为，则角 的终边与单位
圆的交点的坐标为________，_______,
______.
【诊断分析】
已知角 的终边与单位圆的交点为,角 , 的终边
与单位圆分别交于点,,则, 的坐标分别是什么
解：由角 的终边与角 的终边关于直线 对称,
得.
由角 的终边与角 的终边关于直线 对称,得 .
知识点二 诱导公式
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在中, .( )
√
（2） ( )
√
（3）若，则 .( )
√
探究点一 利用诱导公式求值
例1（1） 已知，则 ______.
[解析] 由，得 ，
所以 .
（2）已知，则 _ ___.
[解析] 由题意得
.
（3）已知，则 __.
[解析] 因为 ，
所以 .
变式 [2024·江西南昌五中高一期中]已知 ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] .故选D.
√
［素养小结］
解决此类问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活
选用诱导公式求解，一般可从两角的和、差的计算结果入手寻找两
角的关系，如两角互补，两角互余等.
提醒:常见满足互余关系的角有 与 , 与 等.常
见满足互补关系的角有 与 , 与 等.
探究点二 利用诱导公式化简、证明
例2（1） 化简: .
解：原式 .
（2）求证: .
证明:左边 右边,
所以原式得证.
变式 [2024·江西宜春中学高一月考] 化简：
.
解：
.
［素养小结］
利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用.证明的常用
方法有：（1）从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简.（2）
左右归一法：即证明左、右两边都等于同一个式子.（3）凑合法：即
针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，
简言之，即化异为同.
探究点三 诱导公式的综合应用
例3 [2024·江西南昌一中高一期中] 已知
.
（1）化简 ；
解：
.
（2）若角 的终边过点,求 .
解：因为角 的终边过点 ，
所以, ,
则 ，
所以，，所以 .
变式 已知 ．
（1）化简 ；
解：
.
（2）若，且为第四象限角，求 的值．
解：因为，且 为第四象限角，
所以 ，
则 ．
［素养小结］
所谓化简，就是将表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也
就是项数尽可能少，次数尽可能低，函数的种类尽可能少，分母中
尽量不含三角函数，能求值的一定要求值.
利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，当
三角函数式中含有 ，时，要注意讨论 为奇数
或偶数.
1.与旋转 有关的诱导公式可用口诀“函数名改变,符号看象限”记忆,
“函数名改变”是指把函数名变为原函数的余名三角函数,即正弦变余
弦,余弦变正弦,“符号看象限”是指当把 看成锐角时原三角函数值的
符号.
2.利用诱导公式可在三角函数的变形过程中进行角的转化.
1.解决条件求值问题的策略
例1（1） 已知,则 _ ____.
[解析] 因为 ,
所以 .
（2）已知,则 ____.
[解析] .
2.诱导公式的综合应用
诱导公式的综合应用要“三看”:
一看角:①化大为小;②看角与角之间的联系,可通过相加、相减分析
两角的关系.
二看函数名称:看函数名称之间是否可以转化或消去.
三看式子结构:通过分析式子,选择合适的方法,如分式可对分子分母
同乘一个式子变形.
例2 在平面直角坐标系中，角 的终边经过点 .
（1）求 ， 的值；
解：由角 的终边经过点，得 ，
所以， .
（2）求 的值.
解： .
