5.2 余弦函数的图象与性质再认识
【课前预习】
知识点一
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
知识点二
[-1,1] 偶函数 1 -1
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ (4)×
【课中探究】
探究点一
例1 解:列表:
x 0 π 2π
y=cos x 1 0 -1 0 1
y=2+cos x 3 2 1 2 3
描点,并将它们用光滑的曲线顺次连接起来,如图.
变式 解:①列表:
x 0 π 2π
y=cos x 1 0 -1 0 1
y=1-cos x 1 1
②描点连线,即可作出y=1-cos x在[0,2π]上的图象.
因为该函数为偶函数,所以作出关于y轴对称的图象,从而得到y=1-cos x在[-2π,2π]上的图象,如图.
探究点二
例2 解:(1)∵f(x)=2+cos x的定义域为R,且f(-x)=2+cos(-x)=2+cos x=f(x),
∴函数f(x)=2+cos x为偶函数.
(2)∵y=cos x在每一个区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上都单调递增,在每一个区间[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上都单调递减,
∴f(x)=2+cos x的单调递增区间为[2kπ-π,2kπ](k∈Z),单调递减区间为[2kπ,2kπ+π](k∈Z).
(3)由y=cos x的周期性知,f(x)=2+cos x的最小正周期为2π.
变式 解:y=|cos x|=
作出函数y=cos x的图象后,将x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,即得函数y=|cos x|的图象,如图.
由图可知,y=|cos x|是偶函数,最小正周期T=π,单调递增区间为,k∈Z,单调递减区间为,k∈Z.
例3 解:(1)因为函数y=cos x在区间(0,π)上单调递减,0<1<2<π,所以cos 1>cos 2.
(2)cos=cos=cos=cos,
cos=cos=cos=cos,
因为函数y=cos x在[0,π]上单调递减,π>>>0,
所以coscos.
例4 [解析] y=-cos2x+cos x=-+.因为-1≤cos x≤1,所以当cos x=时,ymax=;当cos x=-1时,ymin=-2.所以函数y=-cos2x+cos x的值域是.
变式 解:易知y=-+,因为x∈,所以≤cos x≤1.所以当cos x=时,ymax=;当cos x=1时,ymin=0.所以函数的取值范围为.5.2 余弦函数的图象与性质再认识
1.B [解析] y=1+cos x的图象是由y=cos x的图象向上平移1个单位长度得到的,根据余弦函数的性质可得y=1+cos x的图象关于y轴对称.故选B.
2.A [解析] 因为y=cos x=sin,所以将余弦曲线向右平移个单位长度可得到y=sin=sin x的图象.故选A.
3.D [解析] 由题意得y=显然只有D符合题意.故选D.
4.B [解析] 由题意知cos x≤-,x∈[0,2π],解得≤x≤,故选B.
5.B [解析] 方法一:令y=cos 2x=,得2x=2kπ+π±(k∈N),即x=kπ+±(k∈N),根据题意得P1,P5,∴|P1P5|=2π.故选B.
方法二:函数y=cos 2x的最小正周期为π,由题知|P1P5|=2π.
6.B [解析] 令t=cos x,则t∈[-1,1],函数y=t2+3t+2在[-1,1]上单调递增,所以当t=-1,即cos x=-1时,函数y=cos2x+3cos x+2取得最小值,且ymin=(-1)2+3×(-1)+2=0,故选B.
7.C [解析] 由题意知2cos x->0,∴cos x>,∴-+2kπ8.ABC [解析] 画出y=1+cos x,x∈的图象如图所示.由图可知当t<0或t≥2时,y=1+
cos x,x∈的图象与直线y=t的交点个数为0;当t=0或≤t<2时,y=1+cos x,x∈的图象与直线y=t的交点个数为1;当09.ACD [解析] 因为函数y=cos x是偶函数,所以y=cos|x|=cos x,其最小正周期为2π,又函数y=|cos x|的最小正周期为π,所以函数f(x)=cos|x|+|cos x|的最小正周期为2π,故A正确;当x∈时,因为f(x)=cos x+(-cos x)=0,无单调性,所以f(x)在区间(0,π)上无单调性,f(x)在上有无数个零点,故f(x)在[-π,π]上有无数个零点,故B错误,C正确;因为cos|x|≤1,当且仅当x=2kπ,k∈Z时取等号,|cos x|≤1,当且仅当x=kπ,k∈Z时取等号,所以当x=2kπ,k∈Z时,f(x)取得最大值2,因为|cos x|≥-cos x,所以f(x)≥0,所以f(x)的值域为[0,2],故D正确.故选ACD.
10.[-π+2kπ,2kπ](k∈Z) [解析] ∵函数y=cos x的单调递增区间是[-π+2kπ,2kπ](k∈Z),∴函数y=-3cos x-1的单调递减区间是[-π+2kπ,2kπ](k∈Z).
11.1
[解析] ∵f=2cos+1=1,∴m=1.若f(x)<0,则cos x<-,由余弦函数的图象知x的取值集合为.
12. [解析] 由已知得y=-cos2x+2cos x+1=-(cos x-1)2+2,令t=cos x,则y=-(t-1)2+2,显然当t=cos=-时,y=-;当t=1时,y=2.由x∈及题意可知,cos x∈,所以0≤α≤,即α的取值范围是.
13.解:(1)-sin 46°=-cos 44°=cos 136°,cos 221°=-cos 41°=cos 139°.∵180°>139°>136°>0°,
∴cos 139°cos 221°.
(2)cos=cosπ=cos=cosπ,cos=cosπ=cos=cos.
∵0<<π<π,且y=cos x在[0,π]上单调递减,
∴cosπ14.解:令cos x=t,则y=t2-2at-(2a+1)=(t-a)2-a2-2a-1,-1≤t≤1.当a≤0时,函数在t=1处取得最大值,所以f(a)=-4a;当a>0时,函数在t=-1处取得最大值,所以f(a)=0.
综上,f(a)=
15.B [解析] 记f(x)=cos(sin x),易知f(x)的定义域为R,故A错误;∵f(-x)=cos[sin(-x)]=cos(-sin x)=cos(sin x)=f(x),∴f(x)是偶函数,故B正确;∵sin x∈[-1,1],∴cos(sin x)∈[cos 1,1],故C错误;∵f(x+2π)=cos[sin(x+2π)]=cos(sin x)=f(x),∴f(x)是周期函数,故D错误.故选B.
16.解:(1)作出函数f(x)=
的图象,如图所示.
(2)由f(x)=,得当-π≤x<0时,cos x=,可得x=-;
当0≤x≤π时,sin x=,可得x=或x=.
综上可得,x=-或x=或x=.
(3)方程f(x)=a的根的个数即为函数f(x)的图象和直线y=a的交点个数.数形结合可得,当a>1或a<-1时,函数f(x)的图象和直线y=a的交点个数为0;当-1≤a<0或a=1时,函数f(x)的图象和直线y=a的交点个数为1;当0≤a<1时,函数f(x)的图象和直线y=a的交点个数为3.5.2 余弦函数的图象与性质再认识
【学习目标】
1.了解余弦函数与正弦函数之间的关系.
2.能用“五点法”作出余弦函数的图象.
3.掌握余弦函数的性质及其应用.
◆ 知识点一 余弦函数的图象
余弦函数y=cos x(x∈R)的图象称作余弦曲线.
根据诱导公式sin=cos x,x∈R可知,只需把正弦函数y=sin x,x∈R的图象向左平移个单位长度即可得到余弦函数的图象(如图).
要画出y=cos x,x∈[0,2π]的图象,可以通过描出(0,1),,(π,-1),,(2π,1)五个关键点,再用光滑曲线将它们顺次连接起来,就可以得到余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)余弦函数y=cos x的图象可以向左、右无限伸展. ( )
(2)y=cos x 的图象与y=sin x的图象的形状完全一样,只是位置不同. ( )
(3)y=cos x的图象与x轴有无数个交点. ( )
(4)y=cos x的图象关于y轴对称. ( )
◆ 知识点二 余弦函数的性质
函数 余弦函数y=cos x
图象
定义域 R
值域
奇偶性
周期性 是周期函数,周期为2kπ(k∈Z,k≠0),2π为最小正周期
单调性 在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上单调递增;在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减
最值 当x=2kπ(k∈Z)时,ymax= ; 当x=2kπ+π(k∈Z)时,ymin=
对称轴 x=kπ,k∈Z
对称中心 ,k∈Z
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=cos(-x)为偶函数. ( )
(2)函数y=cos x,x∈的值域是. ( )
(3)函数y=cos x在[2kπ+π,2kπ+2π](k∈Z)上单调递增. ( )
(4)函数y=cos x在第一象限单调递增. ( )
◆ 探究点一 余弦函数的图象
例1 利用“五点法”作出函数y=2+cos x(0≤x≤2π)的简图.
变式 作出函数y=1-cos x在[-2π,2π]上的图象.
◆ 探究点二 余弦函数的性质
例2 已知f(x)=2+cos x.
(1)判断该函数的奇偶性;
(2)求该函数的单调区间;
(3)求该函数的最小正周期.
变式 作出函数y=|cos x|,x∈R的图象,判断该函数的奇偶性,并写出其最小正周期和单调区间.
例3 不求值,分别比较下列各组中两个三角函数值的大小.
(1)cos 1与cos 2;
(2)cos与cos.
[素养小结]
对于余弦函数的性质,要善于结合余弦函数的图象并类比正弦函数的相关性质进行记忆,其解题方法与正弦函数对应性质的解题方法一致.
例4 函数y=-cos2x+cos x的值域为 .
变式 求例4中x∈时函数的取值范围.
[素养小结]
与正弦函数、余弦函数有关的函数值域求法:
(1)利用y=sin x,y=cos x的有界性;
(2)利用y=sin x,y=cos x的单调性;
(3)通过换元转化为二次函数或其他易求单调性的函数.5.2 余弦函数的图象与性质再认识
一、选择题
1.函数y=1+cos x的图象 ( )
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线x=对称
2.要想得到正弦曲线,只需将余弦曲线 ( )
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移π个单位长度
D.向左平移π个单位长度
3.函数y=cos x+|cos x|,x∈[0,2π]的大致图象为 ( )
A B C D
4.不等式2cos x≤-在[0,2π]内的解集为 ( )
A.
B.
C.∪
D.∪
5.已知曲线y=cos 2x与直线y=在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1,P2,P3,P4,P5,…,则|P1P5|等于 ( )
A.π B.2π
C.3π D.4π
6.函数y=cos2x+3cos x+2的最小值为 ( )
A.2 B.0
C.1 D.6
7.函数y=lg(2cos x-)的单调递增区间为 ( )
A.(2kπ+π,2kπ+2π)(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
8.(多选题)函数y=1+cos x,x∈的图象与直线y=t(t为常数)的交点可能有 ( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
9.(多选题)关于函数f(x)=cos|x|+|cos x|有下述四个结论,其中正确的是 ( )
A.f(x)是周期函数
B.f(x)在区间(0,π)上单调递增
C.f(x)在[-π,π]上有无数个零点
D.f(x)的值域为[0,2]
二、填空题
10.函数y=-3cos x-1的单调递减区间是 .
11.已知函数f(x)=2cos x+1,若f(x)的图象过点,则m= ;若f(x)<0,则x的取值集合为 .
12.已知函数y=-cos2x+2cos x+1在区间上的取值范围为,则α的取值范围是 .
三、解答题
13.比较下列各组数的大小.
(1)-sin 46°与cos 221°;
(2)cos与cos.
14.设关于x的函数y=cos2x-2acos x-(2a+1)的最大值为f(a),求f(a)的解析式.
15.设函数y=cos(sin x),则 ( )
A.它的定义域是[-1,1]
B.它是偶函数
C.它的值域是[-cos 1,cos 1]
D.它不是周期函数
16.已知函数f(x)=
(1)作出该函数的图象;
(2)若f(x)=,求x的值;
(3)若a∈R,讨论方程f(x)=a的根的个数.(共33张PPT)
§5 正弦函数、余弦函数的图象与性
质再认识
5.2 余弦函数的图象与性质再认识
探究点一 余弦函数的图象
探究点二 余弦函数的性质
【学习目标】
1.了解余弦函数与正弦函数之间的关系.
2.能用“五点法”作出余弦函数的图象.
3.掌握余弦函数的性质及其应用.
知识点一 余弦函数的图象
余弦函数 的图象称作余弦曲线.
根据诱导公式， 可知，只需把正弦函数
，的图象向左平移 个单位长度即可得到余弦函数的
图象（如图）.
要画出，的图象，可以通过描出， ，
，， 五个关键点，再用光滑曲线将它们顺次连
接起来，就可以得到余弦函数， 的图象.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）余弦函数 的图象可以向左、右无限伸展.( )
√
（2）的图象与 的图象的形状完全一样，只是位置
不同.( )
√
（3）的图象与 轴有无数个交点.( )
√
（4）的图象关于 轴对称.( )
√
知识点二 余弦函数的性质
函数
图象 ___________________________________________________________________________
定义域
值域 _______
奇偶性 ________
偶函数
周期性
单调性
最值
对称轴
对称中 心
1
续表
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数 为偶函数.( )
√
（2）函数，的值域是 .( )
×
（3）函数在 上单调递增.( )
√
（4）函数 在第一象限单调递增.( )
×
探究点一 余弦函数的图象
例1 利用“五点法”作出函数 的简图.
解：列表：
0
1 0 0 1
3 2 1 2 3
描点，并将它们用光滑的曲线顺次连接起来，
如图.
变式 作出函数在 上的图象.
解：①列表：
0
1 0 0 1
1 1
②描点连线，即可作出在 上的图象.
因为该函数为偶函数，所以作出关于 轴
对称的图象，从而得到 在
上的图象，如图.
探究点二 余弦函数的性质
例2 已知 .
（1）判断该函数的奇偶性；
解：的定义域为 ，
且 ，
函数 为偶函数.
（2）求该函数的单调区间；
解：在每一个区间 上都单调递增，
在每一个区间 上都单调递减，
的单调递增区间为 ，单调
递减区间为 .
（3）求该函数的最小正周期.
解：由的周期性知，的最小正周期为 .
变式 作出函数, 的图象，判断该函数的奇偶性，并
写出其最小正周期和单调区间.
解：
作出函数的图象后，将
轴下方的部分沿轴翻折到 轴上
方，即得函数 的图象，
如图.
由图可知，是偶函数，最小正周期 ，单调递增区间
为,，单调递减区间为, .
例3 不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小.
（1）与 ；
解：因为函数在区间上单调递减， ，
所以 .
（2）与 .
解： ，
，
因为函数在上单调递减， ，
所以，即 .
［素养小结］
对于余弦函数的性质，要善于结合余弦函数的图象并类比正弦函数的
相关性质进行记忆，其解题方法与正弦函数对应性质的解题方法一致.
例4 函数 的值域为_______.
[解析] .
因为 ，
所以当时，;
当时， .
所以函数的值域是 .
变式 求例4中 时函数的取值范围.
解：易知，因为，所以 .
所以当时，;当时， .
所以函数的取值范围为 .
［素养小结］
与正弦函数、余弦函数有关的函数值域求法：
（1）利用， 的有界性；
（2）利用， 的单调性；
（3）通过换元转化为二次函数或其他易求单调性的函数.
1.余弦函数图象的画法
（1）平移法:因为,所以把 的
图象向左平移个单位长度就能得到 的图象.这说明余弦曲
线的形状和正弦曲线的形状相同,只是位置不同,余弦曲线可以由正弦
曲线通过平移而得到.
（2）五点法:当用“五点法”画余弦函数在区间 上的图
象时,所取的五个关键点的坐标分别为,,, ,
.使用“五点法”时,相对于值0,, ,, ，在中, 值
分别是0,1,0,,0，而在中,值分别是1,0, ,0,1.
2.余弦型函数单调区间的求法
求余弦型函数的单调区间要分两种情况：当 时，函
数的单调性与的单调性相同；当 时，函数
的单调性与 的单调性相反.
3.三角函数的值域问题
（1）可化为 的形式,其解决方法是利用余弦函
数在区间上的单调性.
（2）与其他函数相复合,最为常见的是与二次函数相复合,利用的是
三角函数的有界性和二次函数的区间最值.一般先进行换元再配方可
求得.
对函数周期性的理解
若函数是周期函数, 是一个周期,则①定义域中含有无限个
实数;②对定义域内任意,均有,其中; 的
图象每隔一个周期 重复出现一次.
4.余弦函数的周期性
（1）余弦函数所具有的周期性实质上是由终边相同的角具有的周期
性所决定的;
（2）由诱导公式 也可以说明它的周期性.
5.余弦曲线的对称性
余弦曲线是中心对称图形,其对称中心的坐标是 ,即
为余弦曲线与 轴的所有交点;余弦曲线也是轴对称图形,其对称轴方
程是,所有对称轴垂直于 轴,且与余弦曲线交点的纵坐
标是余弦函数的最大（小）值.
例1 用“五点法”画出， 的简图.
解：按五个关键点列表：
0
1 0 0 1
0 1 2 1 0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示.
1.确定方程根的个数
求方程根的个数问题可转化为求两函数图象的交点个数问题,可利用
数形结合,画出两函数的图象,观察图象并结合函数的性质求解.
例2 若关于的方程在 上有两个不同的实数根，则
实数 的取值范围为______.
[解析] 作出,与
的大致图象，如图所示，
由图可知，当，即
时，,的图象与
的图象有两个交点，即关于的方程在 上有两个不同
的实数根.故实数的取值范围为 .
2.性质应用技巧点拨
（1）比较三角函数值的大小，先利用诱导公式转化为同一个单调区
间上的同名三角函数值，再利用单调性作出判断.
（2）求与三角函数有关的函数值域或最值的常用方法：将 表示成
以(或 为元的一次或二次等复合函数，再利用换元法或配
方法或利用函数的单调性等来确定的范围；将或 用所求
变量来表示，如，再由，构建关于 的不等
式，从而求得 的取值范围.
