§6 函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象
6.1 探究ω对y=sin ωx的图象的影响
6.2 探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响
6.3 探究A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
【课前预习】
知识点一
1.(1) (2)频率
2.(1)左 右 (2)初相 相位
3.(1)纵 A (2)振幅 4.|φ|
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ (4)× [解析] (1)将函数y=sin x的图象向左平移个单位长度得到y=sin=cos x的图象.
(2)将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,可得y=sin x的图象.
(3)将函数y=sin x图象上各点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变),得到函数y=2sin x的图象.
(4)把函数y=sin 3x的图象向左平移个单位长度得到y=sin 3=sin的图象.
知识点二
0 π 2π
诊断分析
(1)√ (2)√
【课中探究】
探究点一
例1 C [解析] 将函数y=sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,可以得到函数y=sin 3x的图象,故选C.
变式 D [解析] 将函数y=2sin图象上的点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标保持不变,所得图象对应的函数解析式为y=2sin.故选D.
例2 B [解析] 为了得到函数y=2sin=2sin 2的图象,只需把函数y=2sin 2x图象上的所有的点向右平移个单位长度.故选B.
变式 (1)A (2)A [解析] (1)把函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度,得到的图象所对应的函数解析式为y=sin 2=sin,故选A.
(2)y=sin 2x=cos=cos=cos 2=cos.设f(x)=sin 2x=cos,则f=cos,∴只需将y=sin 2x的图象向左平移个单位长度.故选A.
例3 (1)BD [解析] 有两种变换方法:一种是先把函数y=3sin x的图象上所有点向左平移个单位长度,得到函数y=3sin的图象,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),得到函数y=3sin的图象,故A错误,B正确;另一种是先把函数y=3sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),得到函数y=3sin的图象,再把所得图象上所有点向左平移个单位长度,得到函数y=3sin的图象,故C错误,D正确.故选BD.
(2)解:将函数y=2cos的图象向右平移个单位长度,可得函数y=2cos=2cosx的图象,再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变),可得y=2cos x的图象,最后把所得图象上所有点的纵坐标缩短为原来的(横坐标不变),可得y=cos x的图象.
变式 (1)C (2)A [解析] (1)将f(x)=sin 4x的图象向右平移个单位长度,
可得y=sin 4=sin的图象,再将y=sin的图象上每一个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),可得y=sin的图象,最后把所得图象上每一个点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变),可得y=2sin的图象,即g(x)=2sin,故选C.
(2)令f(x)=sin,将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin的图象,再将所得图象向左平移个单位长度,得到y=sin=sin=cos x的图象,故选A.
探究点二
例4 解:根据题意,结合“五点法”完成表格,如下:
x
2x- 0 π 2π
f(x) 0 2 0 -2 0
结合表格可得函数f(x)在一个周期内的图象如图所示.
变式 解:f(x)=cos,列表如下:
2x- - 0 π π π
x 0 π π π π
f(x) 1 0 -1 0
结合表格可得函数f(x)在[0,π]上的图象如图所示.第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
1.C [解析] 由题意可知,振幅为2,频率为==,初相为-.故选C.
2.D [解析] f(x)的最小正周期T==4π,故选D.
3.D [解析] y=sin=sin 2,故将y=sin 2x的图象向右平移个单位长度,即可得到y=sin的图象.故选D.
4.A [解析] 当x=0时,y=sin=-<0,故可排除B,D;当x=时,y=sin=sin 0=0,故可排除C.故选A.
5.C [解析] 将y=sin的图象向左平移个单位长度,得到y=sin=sin的图象,再将其图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,可得y=sin的图象,所以f(x)=sin.故选C.
6.D [解析] 将题图(1)中的图象上每个点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再将所得图象向右平移个单位长度,可得到题图(2)中的图象,所以题图(2)中的图象所对应的函数为y=f(2x-1).故选D.
7.D [解析] 因为函数f(x)=sin=cos=cos=cos 2,所以为了得到g(x)=cos 2x的图象,只需将f(x)的图象向左平移个单位长度.故选D.
8.BC [解析] 要得到函数y=sin的图象,方法一:先将函数y=sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再将所得图象向左平移个单位长度.方法二:先将函数y=sin x图象上所有的点向左平移个单位长度,再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变).故选BC.
9.BD [解析] 由题意可知,g(x)=cos-1=cos-1,因为函数g(x)的图象与f(x)的图象重合,且ω>0,所以+=2kπ+,k∈N*,解得ω=6k,k∈N*.当k=1时,ω=6,故B正确;当k=2时,ω=12,故D正确;对任意k∈N*,ω≠4,ω≠8,故A,C错误.故选BD.
10. 3πx-π [解析] 由题可知=,所以最小正周期T=,所以ω==3π,又初相为-π,所以相位为3πx-π.
11. [解析] 将函数y=sin x的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后,得到y=sin(x+φ)的图象,而sin=sin,所以φ=.
12. [解析] 将y=sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标保持不变,再将所得图象向左平移个单位长度,可得f(x)=sin 2x的图象,则f=sin=.
13.解:方法一:将y=sin x的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变),可得y=sinx的图象,再将所得图象向右平移个单位长度,可得y=sin的图象,最后将所得图象上各点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变),即可得y=3sin的图象.
方法二:将y=sin x的图象向右平移个单位长度,可得y=sin的图象,再将所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变),可得y=sin的图象,最后将所得图象上各点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变),即可得y=3sin的图象.
14.解:(1)函数f(x)=sin+1的振幅为,最小正周期T==π,初相为-.
(2)当x∈时,2x-∈,列表如下:
2x- - -π - 0
x - - -
f(x) 2 1 -+1 1 +1 2
描点、连线,得y=f(x)在上的图象如图所示.
15. [解析] 由题意知g(x)=f=sin,所以[f(x1)]2+[g(x2)]2=sin22x1+sin2=2,所以sin22x1=sin2=1,则2x1=+k1π,k1∈Z,2x2-=+k2π,k2∈Z,即x1=+,k1∈Z,x2=+,k2∈Z,所以|x1-x2|==,k1∈Z,k2∈Z,当k1-k2=0时,|x1-x2|min=.
16.解:关于x的方程sin=k在[0,π]上有两个实数根,
即函数y=sin在[0,π]上的图象与直线y=k有两个交点.
作出函数y=sin(0≤x≤π)的图象,如图所示.
由图可知1≤k<,∴实数k的取值范围是[1,).§6 函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象
6.1 探究ω对y=sin ωx的图象的影响
6.2 探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响
6.3 探究A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
【学习目标】
1.理解在y=Asin(ωx+φ)中ω,φ,A对图象的影响.
2.掌握y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系.
3.会用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
◆ 知识点一 ω,φ,A对y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的影响
1.ω(ω>0)对y=sin ωx,x∈R的图象的影响
(1)函数y=sin ωx的图象是将y=sin x图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)到原来的
或伸长(当0<ω<1时)到原来的 倍(纵坐标不变)得到的.
(2)最小正周期与频率
函数y=sin ωx的最小正周期T=,通常称周期的倒数=为 .
2.φ对y=sin(x+φ),x∈R的图象的影响
(1)函数y=sin(ωx+φ)的图象,可以看作将函数y=sin ωx图象上的所有点向 (φ>0)或向 (φ<0)平移 个单位长度得到的.
(2)初相与相位:在函数y=sin(ωx+φ)中,通常称φ为 ,ωx+φ为 .
3.A(A>0)对y=Asin(ωx+φ),x∈R的图象的影响
(1)y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图象是将y=sin(ωx+φ)的图象上的每个点的 坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0
(2)振幅:A决定了函数y=Asin(ωx+φ)的值域以及函数的最大值和最小值,通常称A为 .
4.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)将函数y=sin x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=cos x的图象. ( )
(2)要得到函数y=sin x的图象,必须将函数y=sin的图象向左平移. ( )
(3)将函数y=sin x图象上各点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变),得到函数y=2sin x的图象. ( )
(4)把函数y=sin 3x的图象向左平移个单位长度所得图象对应的函数解析式是y=sin. ( )
◆ 知识点二 用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象
当用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示:
x
ωx+φ
y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当用“五点法”作y=2sin 3x+1在一个周期内的图象时,描出的五点的横坐标可以是0,,,,. ( )
(2)当用“五点法”作y=3sin+3(x∈R)在一个周期内的图象时,描出的五点的坐标可以是,,,,.( )
◆ 探究点一 图象变换问题
角度1 伸缩变换
例1 为了得到函数y=sin 3x的图象,只需将函数y=sin x的图象上所有点的 ( )
A.纵坐标变为原来的3倍,横坐标不变
B.横坐标变为原来的3倍,纵坐标不变
C.横坐标变为原来的,纵坐标不变
D.纵坐标变为原来的,横坐标不变
变式 将函数y=2sin图象上的点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标保持不变,则所得图象对应的函数解析式为 ( )
A.y=2sin B.y=2sin
C.y=2sin D.y=2sin
角度2 平移变换
例2 [2024·广西柳州高级中学高一期末] 为了得到函数y=2sin的图象,只需把y=2sin 2x图象上的所有的点 ( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
变式 (1)把函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度,得到的图象所对应的函数解析式是 ( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=sin
D.y=sin
(2)要得到y=cos的图象,只需将y=sin 2x的图象 ( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
[素养小结]
对左右平移变换应先观察函数名是否相同,若函数名不同则先化为同名函数,再观察x的系数,当x的系数不为1时,应提取系数确定平移的单位长度和方向,方向遵循左加右减的原则,且从ωx→ωx+φ的平移量为个单位长度.
角度3 图象综合变换
例3 (1)(多选题)为了得到函数y=3sin的图象,只需将函数y=3sin x的图象上( )
A.所有点向左平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
B.所有点向左平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)
C.所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度
D.所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度
(2)将函数y=2cos的图象作怎样的变换可以得到y=cos x的图象
变式 (1)先将函数f(x)=sin 4x的图象向右平移个单位长度,再把所得图象上每一个点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标伸长为原来的2倍,得到函数g(x)的图象,则g(x)= ( )
A.2sin B.sin
C.2sin D.2sin
(2)要得到函数y=cos x的图象,只需将函数y=sin的图象上所有点的 ( )
A.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度
B.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位长度
C.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度
D.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向右平移个单位长度
[素养小结]
图象均是由点构成的,图象变换也就是点的变换,所以图象变换的本质就是点的横、纵坐标作相应的变换,所以从改变横坐标x、纵坐标y的角度看,有平移变换与伸缩变换:平移变换分为水平方向上的平移(y不变,x都改变相同的量)和垂直方向上的平移(x不变,y都改变相同的量);伸缩变换分为水平方向上的伸缩(y不变,x都改变相同的率)和垂直方向上的伸缩(x不变,y都改变相同的率).
◆ 探究点二 用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)+B的图象
例4 已知函数f(x)=2sin,请结合所给表格,用“五点法”画出函数f(x)在一个周期内的图象.
x
2x- 0 2π
f(x)
变式 已知函数f(x)=cos,在如图所示的直角坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图象.
[素养小结]
(1)利用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象,其实质是利用函数的三个零点及两个最值点画出函数在一个周期内的图象.
(2)用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的步骤:
第一步:列表.
ωx+φ 0 π 2π
x - - - - -
f(x) 0 A 0 -A 0
第二步:在平面直角坐标系中描出各点.
第三步:用光滑曲线顺次连接这些点,形成图象.§6 函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象
6.1 探究ω对y=sin ωx的图象的影响
6.2 探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响
6.3 探究A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
一、选择题
1.y=2sin的振幅、频率和初相分别为 ( )
A.2,4π, B.2,,
C.2,,- D.2,4π,-
2.[2024·天津宁河区高一期末] 函数f(x)=sin,x∈R的最小正周期是 ( )
A. B.π
C.2π D.4π
3.要得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin 2x的图象 ( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
4.函数y=sin在区间上的简图是 ( )
A B C D
5.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把所得图象向右平移个单位长度,得到函数y=sin的图象,则f(x)= ( )
A.sin B.sin
C.sin D.sin
6.已知函数f(x)=sin πx的图象的一部分如图(1)所示,将f(x)的图象经过变换后得到的部分图象如图(2)所示,则图(2)中的图象所对应的函数是 ( )
A.y=f B.y=f
C.y=f D.y=f(2x-1)
7.已知函数f(x)=sin,为了得到g(x)=cos 2x的图象,只需将f(x)的图象 ( )
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
8.(多选题)[2024·广东潮州高一期末] 要得到函数y=sin的图象,只要将函数y=sin x图象上所有的点 ( )
A.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再将所得图象向左平移个单位长度
B.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再将所得图象向左平移个单位长度
C.向左平移个单位长度,再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
D.向左平移个单位长度,再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
9.(多选题)将函数f(x)=cos-1(ω>0)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象,g(x)的图象与f(x)的图象重合,则ω的值可以为 ( )
A.4 B.6
C.8 D.12
二、填空题
10.函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的初相和频率分别为-π和,则它的最小正周期为 ,相位是 .
11.将函数y=sin x的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后,得到函数y=sin的图象,则φ= .
12.将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度,再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到y=sin的图象,则f= .
三、解答题
13.已知函数y=3sin,写出此函数的图象是由y=sin x的图象经过怎样的变换得到的.
14.已知函数f(x)=sin+1.
(1)求它的振幅、最小正周期、初相;
(2)作出函数y=f(x)在上的图象.
15.将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,若存在x1,x2,使得[f(x1)]2+[g(x2)]2=2,则|x1-x2|min= .
16.已知关于x的方程sin=k在[0,π]上有两个实数根,求实数k的取值范围.(共41张PPT)
函数 的性质与
图象
6.1 探究 对 = 的图象的影响
6.2 探究 对 = ( + )的图象的影响
6.3 探究 对 = ( + )的图象的影响
第1课时 函数 的图象
探究点一 图象变换问题
探究点二 用“五点法”作函数
的图象
【学习目标】
1.理解在中 , , 对图象的影响.
2.掌握与 图象间的变换关系.
3.会用“五点法”画函数 的图象.
知识点一 , ,对, 的图象的
影响
1.对, 的图象的影响
（1）函数的图象是将 图象上所有点的横坐标缩
短（当时）到原来的___或伸长（当 时）到原来的___
倍（纵坐标不变）得到的.
（2）最小正周期与频率
函数的最小正周期，通常称周期的倒数 为
______.
频率
2. 对, 的图象的影响
（1）函数的图象,可以看作将函数 图象上
的所有点向____或向____ 平移_____个单位长度得到的.
（2）初相与相位：在函数中,通常称 为______,
为______.
左
右
初相
相位
3.对, 的图象的影响
（1）的图象是将 的图象
上的每个点的____坐标伸长（当时）或缩短（当 时）
到原来的___倍（横坐标不变）得到的.
纵
（2）振幅：决定了函数 的值域以及函数的最大
值和最小值，通常称 为______.
振幅
4.函数的图象经变换得到 的图象的步骤
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）将函数的图象向左平移 个单位长度,得到函数
的图象.( )
√
[解析] 将函数的图象向左平移 个单位长度得到
的图象.
（2）要得到函数的图象，必须将函数 的图象
向左平移.( )
×
[解析] 将函数的图象向右平移 个单位长度，可得
的图象.
（3）将函数 图象上各点的纵坐标变为原来的2倍
（横坐标不变），得到函数 的图象.( )
√
[解析] 将函数 图象上各点的纵坐标变为原来的2倍
（横坐标不变），得到函数 的图象.
（4）把函数的图象向左平移 个单位长度所得图象对应的
函数解析式是 .( )
×
[解析] 把函数的图象向左平移 个单位长度得到
的图象.
知识点二 用“五点法”作函数 的图象
当用“五点法”画 在一个周期内的简图时，要找五个
关键点，如下表所示：
___ __ ___ ___ ____
0 0 0
0
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）当用“五点法”作 在一个周期内的图象时,描出
的五点的横坐标可以是0,,,, .( )
√
（2）当用“五点法”作 在一个周期内的图
象时,描出的五点的坐标可以是，，， ，
.( )
√
探究点一 图象变换问题
角度1 伸缩变换
例1 为了得到函数的图象，只需将函数 的图象上
所有点的( )
A.纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变
B.横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变
C.横坐标变为原来的 ，纵坐标不变
D.纵坐标变为原来的 ，横坐标不变
√
[解析] 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐
标不变，可以得到函数 的图象，故选C.
变式 将函数 图象上的点的横坐标变为原来的2倍，
纵坐标保持不变，则所得图象对应的函数解析式为( )
A. B.
C. D.
[解析] 将函数 图象上的点的横坐标变为原来的2倍，
纵坐标保持不变，所得图象对应的函数解析式为 .故
选D.
√
角度2 平移变换
例2 [2024·广西柳州高级中学高一期末]为了得到函数
的图象，只需把 图象上的所有的点
( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移 个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移 个单位长度
[解析] 为了得到函数 的图象，只
需把函数图象上的所有的点向右平移 个单位长度.故选B.
√
变式（1） 把函数的图象向右平移 个单位长度，得到的
图象所对应的函数解析式是( )
A. B.
C. D.
[解析] 把函数的图象向右平移 个单位长度，得到的图象
所对应的函数解析式为 ，故选A.
√
（2）要得到的图象，只需将 的图象
( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移 个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移 个单位长度
[解析] .
设 ，则，
只需将的图象向左平移 个单位长度.故选A.
√
［素养小结］
对左右平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为
同名函数，再观察的系数，当 的系数不为1时，应提取系数确定平
移的单位长度和方向，方向遵循左加右减的原则，且从
的平移量为 个单位长度.
角度3 图象综合变换
例3（1） （多选题）为了得到函数 的图象，只需将
函数 的图象上( )
A.所有点向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩
短到原来的 （纵坐标不变）
B.所有点向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸
长到原来的4倍（纵坐标不变）
C.所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移 个
单位长度
D.所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向左平移
个单位长度
√
√
[解析] 有两种变换方法：一种是先把函数 的图象上所有
点向左平移个单位长度，得到函数 的图象，再把
所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函
数 的图象，故A错误，B正确；
另一种是先把函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的
4倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，再把所得图象上
所有点向左平移个单位长度，得到函数 的图象，
故C错误，D正确. 故选 .
（2）将函数 的图象作怎样的变换可以得到
的图象？
解：将函数的图象向右平移 个单位长度，可得函
数 的图象，
再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），
可得 的图象，最后把所得图象上所有点的纵坐标缩短为
原来的 （横坐标不变），可得 的图象．
变式（1） 先将函数的图象向右平移 个单位长度，
再把所得图象上每一个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为
原来的2倍，得到函数的图象，则 ( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 将的图象向右平移 个单位长度，可得
的图象，
再将 的图象上每一个点的横坐标伸长为原来的2倍
（纵坐标不变），可得 的图象，
最后把所得图象上每一个点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），
可得 的图象，即 ，故选C.
（2）要得到函数 的图象，只需将函数
的图象上所有点的( )
A.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位长度
B.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位长度
C.横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移 个单位长度
D.横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移 个单位长度
√
[解析] 令,将函数 的图象上所有点的
横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,
得到 的图象，
再将所得图象向左平移 个单位长度，
得到 的图象，故选A.
［素养小结］
图象均是由点构成的，图象变换也就是点的变换，所以图象变换的
本质就是点的横、纵坐标作相应的变换，所以从改变横坐标 、纵坐
标 的角度看，有平移变换与伸缩变换：平移变换分为水平方向上的
平移不变，都改变相同的量)和垂直方向上的平移不变， 都改
变相同的量)；伸缩变换分为水平方向上的伸缩不变， 都改变相
同的率)和垂直方向上的伸缩不变， 都改变相同的率).
探究点二 用“五点法”作函数 的图象
例4 已知函数 ，请结合所给表格，用“五点法”
画出函数 在一个周期内的图象.
0
解：根据题意，结合“五点法”完成表格，如下：
0
0 2 0 0
结合表格可得函数 在一个周期内的图象如图所示.
变式 已知函数 ，在如图所示的直角坐标系中作
出函数在 上的图象.
解： ，列表如下：
0
0
1 0 0
结合表格可得函数在 上的图象
如图所示.
［素养小结］
（1）利用“五点法”作函数 的图象,其实质是利
用函数的三个零点及两个最值点画出函数在一个周期内的图象.
（2）用“五点法”作函数 图象的步骤:
第一步：列表.
0
0 0 0
第二步：在平面直角坐标系中描出各点.
第三步：用光滑曲线顺次连接这些点，形成图象.
两种变换的区别
在图象变换时，运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，
向左或向右平移的单位长度不同.由函数 的图象变换到
的图象，若先平移变换后伸缩变换，则平移 个
单位长度.若先伸缩变换后平移变换，则平移 个单位长度．原因
是相位变换和周期变换都是针对 而言的．因此在用这样的变换法作
图象时一定要注意平移变换与伸缩变换的先后顺序，否则会出现错误．
1.异名函数图象之间的变换法
三角函数图象的各种变换往往都是同名三角函数图象之间进行的变
换,但是实际中会遇到异名函数图象之间进行的变换,这时需要将正弦
函数化为余弦函数或将余弦函数化为正弦函数,使问题得到解决.
例1 已知函数的最小正周期为 ，
为了得到函数的图象，只需将 的图象( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移 个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移 个单位长度
√
[解析] 由函数的最小正周期是 ，得 ，
即 ，
因此的图象可由
的图象向左平移 个单位长度得到．故选A．
2.类比法
函数 的图象变换,可类比函数
的图象变换.
例2 [2024·安徽合肥高一期末]将函数 的图象向右
平移 个单位长度，再将所得图象上的各点的横坐标伸长到原来的2
倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，则( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 将函数的图象向右平移 个单位长度，
得到 的图象，
再将所得图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到函数 的图象.故选A.