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正切函数
7.1 正切函数的定义
7.2 正切函数的诱导公式
7.3 正切函数的图象与性质
探究点一 正切函数的定义
探究点二 正切函数的诱导公式
探究点三 正切函数的图象与性质
探究点四 正切函数的图象与性质的应用
【学习目标】
1.借助单位圆推导出正切函数的诱导公式 ,掌握正切函
数的诱导公式.
2.能借助单位圆画出函数 的图象.
3.掌握正切函数的图象、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等
性质.
知识点一 正切函数的定义
根据函数的定义，比值是的函数，称为 的正切函数，记作
，其中定义域为_______________________.
知识点二 正切函数的诱导公式
知识点三 正切函数的图象与性质
正切曲线是由被相互平行的直线_________________所隔开的无穷多
支曲线组成的.
函数
图象 _______________________________________________________________________
,
定义域 _______________________
值域 ___
最小正周期 ___
奇偶性 ________
单调性 在区间______________________上单调递增
对称中心
奇函数
续表
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）正切函数的定义域和值域都是 .( )
×
（2）正切函数在定义域内无最大值和最小值.( )
√
（3）正切函数是增函数.( )
×
（4）函数与的最小正周期相等,都是 .( )
√
（5）直线与函数 的图象相邻的两个交点之间的距离
为 .( )
√
（6）函数图象的对称中心是 .( )
×
探究点一 正切函数的定义
例1 若角 的终边经过点，则_____， ___，
_____.
[解析] 因为,，所以 ，
则,， .
变式 已知角 的终边经过点，求 ，
， 的值.
解：由题可得 .
若，则，角 的终边在第二象限， ，
, ；
若，则，角 的终边在第四象限， ，
， .
［素养小结］
求角的正切函数值的两种方法：
（1）先求出角的正弦函数值、余弦函数值,再利用正切函数的定义求解.
（2）已知角 终边上的一点,利用结论 求解.
探究点二 正切函数的诱导公式
例2 求以下各式的值：
（1） ;
解： .
（2） ；
解： .
（3） .
解：原式
.
变式（1） ( )
A. B. C. D.1
[解析] .故选C.
√
（2）化简：
.
解：
.
［素养小结］
（1）熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和
关键.
（2）无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意角的
三角函数值转化为锐角的三角函数值.
探究点三 正切函数的图象与性质
例3 画出函数 的图象，并求出该函数的定义域、最小
正周期、单调递增区间以及其图象的对称中心．
解：令 ，得，
作出函数在区间
上的图象，
将函数在区间 上
的图象向左、右平移（每次平移 个单位长度），就得到函数
的图象，如图所示.
, ，
即函数的定义域为 .
函数的最小正周期 .
由, ,
得, ,
即函数的单调递增区间为, .
由，，得 , ，
即该函数图象的对称中心为 ， .
变式 求函数 的定义域、最小正周期、单调递增区间
及其图象的对称中心．
解：函数 ，
①令，整理得 ，
故函数的定义域为 .
②最小正周期 .
③令 ，
整理得 ，
所以函数的单调递增区间为 .
④令，整理得 ，
所以该函数图象的对称中心为 ．
［素养小结］
解答关于正切函数图象与性质问题的注意点
（1）对称性：正切函数图象的对称中心为 ，不存在对
称轴.
（2）单调性：正切函数在每一个区间 上都
单调递增，但不能说其在定义域内单调递增.
探究点四 正切函数的图象与性质的应用
角度1 比较大小
例4 比较，， 的大小.
解：，，且 ，
， .
显然，且在 上单调递
增， ，
即 .
变式 不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小.
（1）与 ；
解：因为， ，
，在 上单调递增，
所以，即 .
（2）与 .
解：因为， ，
，在 上单调递增，
所以，所以 ，
即 .
［素养小结］
比较同名三角函数值的大小，实质上是将两个角利用周期性放在同
一个单调区间内，利用单调性比较大小.
角度2 正切函数性质的综合应用
例5（1） [2024·陕西咸阳高一期末]与函数 的图象不
相交的一条直线是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得，令 ，
得,所以函数的图象的一条渐近线为直线 ，
即直线与函数 的图象不相交.故选C.
√
（2）设函数，已知函数
的图象与轴相邻两个交点间的距离为，且 的图象关于点
对称．
①求 的解析式；
解： 函数的图象与轴相邻两个交点间的距离为，即 ，
，
的图象关于点 对称，，，
又， ，则 ．
②求不等式组 的解集．
解：由①知，．
由 ，得 ，，
即 ，，
不等式组 的解集为 ．
变式（1） 函数, 的值域为_____
__.
[解析] 因为，所以.
令 ，则，，
当 ，即时，，当，即时， .
故所求函数的值域为 .
（2）在区间上，函数与函数 的图象交点
的个数为___.
[解析] 在同一直角坐标系中，作
出函数与 在区
间 上的图象，如图所示，
由图可知，函数与在 ，0， 处的函数值都
是0，即在区间 上，两个函数的图象有3个交点.
［素养小结］
对于形如 ， 为非零常数)的函数性质和图象的
研究，应以正切函数的性质与图象为基础，运用整体思想和换元法
求解.如果，一般先利用诱导公式将 的系数化为正数，再进行
求解.
拓展 已知函数在上单调递增，则正实数 的取
值范围是__________.
[解析] 函数在上单调递增， 解得
，经检验，满足题意， 的取值范围是 .
1.正切函数的定义:
，定义域为_______________________.
2.正切函数的图象与性质
（1）正切函数的图象是被与轴平行的直线 分割
而成的平行曲线.把直线 称为正切曲线的渐近线,正
切曲线无限接近渐近线.
（2）正切函数的图象关于原点对称,正切曲线是中心对称图形,正切
函数图象的对称中心是 .正切曲线不是轴对称图形,不存
在对称轴.
3.在每一个区间, 内都单调递增,在整个
定义域内不具有单调性,它不会在某一个区间内单调递减.
1.利用正切函数的图象解不等式
在解含有正切函数的不等式时,可先画出正切函数在一个周期内的图
象,由图象可得到在一个周期内满足不等式的解,然后再加上周期的整
数倍,即可得到满足不等式的解.
例1 解不等式 .
解：在同一个平面直角坐标系中,作出函数 ,
的图象和直线， ,如图所示,
易知交点分别为, .
由，，可得 ,
所以 的解集为 .
2.含正切函数的复合函数的单调性
要注意正切函数在每一个区间， 上是增函数，
对每一个由正切函数构成的复合函数的单调性利用“同增异减”的法
则求解．其讨论方法如下：从定义域出发，先确定内层函数的单调
性，再判断外层函数的单调性，再利用“同增异减”的法则得到复合
函数的单调性．
例2 讨论函数且 的单调性．
解：，)，设 ，
易知在区间上是增函数.
当 时，在 上是增函数，
函数在区间 上是增函数；
当时，在 上是减函数，
函数在区间 上是减函数.§7 正切函数
7.1 正切函数的定义
7.2 正切函数的诱导公式
7.3 正切函数的图象与性质
【课前预习】
知识点一
知识点三
x=+kπ,k∈Z R π
奇函数 (k∈Z)
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)×
【课中探究】
探究点一
例1 - - [解析] 因为x=5,y=-12,所以r==13,则sin α==-,
cos α==,tan α==-.
变式 解:由题可得r==5|a|.
若a>0,则r=5a,角α的终边在第二象限,sin α===,cos α===-,tan α===-;
若a<0,则r=-5a,角α的终边在第四象限,sin α=-,
cos α=,tan α=-.
探究点二
例2 解:(1)tan 765°=tan(4×180°+45°)=tan 45°=1.
(2)tan=-tan=-tan=tan=.
(3)原式==
==2+.
变式 (1)C [解析] tan 660°tan(-30°)-tan 225°+tan 315°=tan(360°×2-60°)tan(-30°)-tan(180°+45°)+tan(360°-45°)=tan(-60°)tan(-30°)-tan 45°+tan(-45°)=tan 60°tan 30°-tan 45°-tan 45°=×-1-1=-1.故选C.
(2)解:=
==1.
探究点三
例3 解:令-<-<,得-π即函数的单调递增区间为,k∈Z.
由x-=,k∈Z,得x=kπ+,k∈Z,
即该函数图象的对称中心为,k∈Z.
变式 解:函数y=tan,
①令x+≠kπ+(k∈Z),整理得x≠kπ+(k∈Z),
故函数的定义域为(k∈Z).
②最小正周期T=π.
③令-+kπ整理得-+kπ所以函数的单调递增区间为(k∈Z).
④令x+=(k∈Z),整理得x=-(k∈Z),
所以该函数图象的对称中心为(k∈Z).
探究点四
例4 解:∵tan 2=tan(2-π),tan 3=tan(3-π),且<2<π,∴-<2-π<0.∵<3<π,∴-<3-π<0.
显然-<2-π<3-π<1<,且y=tan x在上单调递增,∴tan(2-π)即tan 2变式 解:(1)因为tan=tan,tan=tan,
0<<<,y=tan x在上单调递增,
所以tan(2)因为tan=-tan,tan=-tan,
0<<<,y=tan x在上单调递增,
所以tan>tan,所以-tan<-tan,
即tan例5 (1)C [解析] 由2x+=+kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z),令k=0,得x=,所以函数y=tan的图象的一条渐近线为直线x=,即直线x=与函数y=tan的图象不相交.故选C.
(2)解:①∵函数f(x)的图象与x轴相邻两个交点间的距离为,即T=,∴ω=2,∴f(x)=tan(2x+φ).∵f(x)的图象关于点M对称,∴-2×+φ=,k∈Z,又∵0<φ<,∴φ=,则f(x)=tan.
②由①知,f(x)=tan.由-1≤tan≤,得-+kπ≤2x+≤+kπ,k∈Z,即-+≤x≤+,k∈Z,∴不等式组-1≤f(x)≤的解集为.
变式 (1)[-4,4] (2)3 [解析] (1)因为-≤x≤,所以-1≤tan x≤1.令tan x=t,则t∈[-1,1],y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5,当t=-1,即x=-时,ymin=-4,当t=1,即x=时,ymax=4.故所求函数的值域为[-4,4].
(2)在同一直角坐标系中,作出函数y=tan x与y=sin x在区间上的图象,如图所示,由图可知,函数y=tan x与y=sin x在x=-π,0,π处的函数值都是0,即在区间上,两个函数的图象有3个交点.
拓展 (0,1] [解析] ∵函数y=tan ωx在上单调递增,∴解得0<ω≤1,经检验,满足题意,∴ω的取值范围是(0,1].§7 正切函数
7.1 正切函数的定义
7.2 正切函数的诱导公式
7.3 正切函数的图象与性质
1.C [解析] 因为角α的终边经过点P(-2,3),所以tan α==-.故选C.
2.B [解析] 由正切函数的诱导公式,可得tan 420°+tan 510°=tan(60°+2×180°)+tan(-30°+3×180°)=tan 60°+tan(-30°)=tan 60°-tan 30°=-=.故选B.
3.A [解析] 要使函数y=有意义,则tan x-≥0,即tan x≥,∴+kπ≤x<+kπ,k∈Z,即原函数的定义域为,k∈Z.故选A.
4.B [解析] 函数f(x)=tan,令3x-=(k∈Z),解得x=+(k∈Z),令k=-1,可得x=-,所以函数f(x)的图象的一个对称中心为.故选B.
5.C [解析] ∵x∈,∴2x+∈,∴tan∈,∴f(x)=3tan∈[,3].故选C.
6.B [解析] 因为函数f(x)=tan ωx的图象的相邻两支截直线y=所得线段的长度为,所以函数f(x)=tan ωx的最小正周期为,所以=,所以ω=4,所以f(x)=tan 4x,所以f=tan=
tan π=0.故选B.
7.C [解析] ∵-tan 2=tan(π-2),而0<1<π-2<,y=tan x在上单调递增,∴tan 1<-tan 2,选项A不成立;tan 735°=tan(735°-720°)=tan 15°,tan 800°=tan(800°-720°)=tan 80°,tan 15°故tan 735°tan,选项C成立;tan=tan=tan8.ACD [解析] 当x∈时,2x-∈,所以y=tan在区间上单调递增,故A正确;函数y=tan的最小正周期是,故B错误;当x=时,2x-=,所以函数y=tan的图象关于点中心对称,故C正确;当x=时,2x-=0,所以函数y=tan的图象关于点中心对称,故D正确.故选ACD.
9.AD [解析] f(x)的最小正周期和y=tan的最小正周期相同,即f(x)的最小正周期T==2π,故A正确;∵y=tan的值域为R,∴f(x)≥0,即函数f(x)的值域为[0,+∞),故B错误;令x-=,k∈Z,得f(x)图象的对称轴方程为x=kπ+,k∈Z,则直线x=不是函数f(x)图象的对称轴,故C错误;由kπ-10. [解析] 函数y=-3tan的最小正周期为.
11.-1 [解析] ∵f(-3)=asin(-6)+btan(-3)+2=5,∴-asin 6-btan 3=3,即asin 6+btan 3=-3,
∴f(3)=asin 6+btan 3+2=-3+2=-1.
12.- [解析] 因为函数y=tan在上单调递减,所以ω<0,且T=>,解得ω>-,即-<ω<0.又因为y=tan在上的最大值为,所以tan=,即ω-=-+kπ,k∈Z,解得ω=-+3k,k∈Z,所以k=0,ω=-.
13.解:(1)∵点P(3,-4)在角α-的终边上,∴sin==-,cos==,
∴cos α=,sin α=,∴tan α==.
(2)===.
14.解:(1)因为f(x)=3tan=-3tan,所以f(x)的最小正周期T==4π.
令kπ-<-故函数f(x)的最小正周期为4π,其单调递减区间为(k∈Z).
(2)f(π)=3tan=3tan=-3tan,f=3tan=3tan=-3tan.
因为0<<<,且y=tan x在上单调递增,
所以tanf.
15.C [解析] f(x)和g(x)的图象都关于点(2,0)对称,区间(-1,5)关于x=2对称,作出函数f(x)和g(x)在区间(-1,5)上的图象,如图.结合图象可知函数f(x)和g(x)的图象在区间(-1,5)上共有4个交点,从左到右依次记为A,B,C,D,根据对称性可知点A,D关于点(2,0)对称,点B,C关于点(2,0)对称,所以xA+xD=2×2=4,xB+xC=2×2=4,所以xA+xB+xC+xD=4+4=8,故选C.
16.解:(1)f(x)=tan,∵ω=2,
∴f(x)=tan的最小正周期为.
令2x+=,k∈Z,得x=-,k∈Z,
故f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.
(2)函数f(x)在[0,π]上单调递增,则ω×π+<,得ω<,即ω的取值范围为.
(3)方程f(x)=在[a,b]上至少存在2021个根,
故当x∈[a,b]时,tan=至少有2021个根,即ωx+=kπ+(k∈Z)至少有2021个根,
即当x∈[a,b]时,x=(k∈Z)至少有2021个根.
且在所有满足上述条件的[a,b]中,b-a的最小值不小于2021,故b-a至少包含2020个周期,即b-a≥2020·≥2021,∴ω∈.§7 正切函数
7.1 正切函数的定义
7.2 正切函数的诱导公式
7.3 正切函数的图象与性质
【学习目标】
1.借助单位圆推导出正切函数的诱导公式,掌握正切函数的诱导公式.
2.能借助单位圆画出函数y=tan x的图象.
3.掌握正切函数的图象、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质.
◆ 知识点一 正切函数的定义
根据函数的定义,比值是x的函数,称为x的正切函数,记作y=tan x,其中定义域为 .
◆ 知识点二 正切函数的诱导公式
角x 函数y=tan x
kπ+α(k∈Z) tan α
-α -tan α
π-α -tan α
π+α tan α
(续表)
角x 函数y=tan x
+α -
-α
◆ 知识点三 正切函数的图象与性质
正切曲线是由被相互平行的直线 所隔开的无穷多支曲线组成的.
函数 正切函数y=tan x
图象
定义域
值域
最小正周期
奇偶性
单调性 在区间 上单调递增
对称中心 (k∈Z)
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R. ( )
(2)正切函数在定义域内无最大值和最小值. ( )
(3)正切函数是增函数. ( )
(4)函数y=|tan x|与y=tan x的最小正周期相等,都是π. ( )
(5)直线y=a与函数y=tan x的图象相邻的两个交点之间的距离为π. ( )
(6)函数y=tan x图象的对称中心是(kπ,0)(k∈Z).( )
◆ 探究点一 正切函数的定义
例1 若角α的终边经过点P(5,-12),则sin α= ,cos α= ,
tan α= .
变式 已知角α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求sin α,cos α,tan α的值.
[素养小结]
求角的正切函数值的两种方法:
(1)先求出角的正弦函数值、余弦函数值,再利用正切函数的定义求解.
(2)已知角α终边上的一点M(a,b)(a≠0),利用结论tan α=求解.
◆ 探究点二 正切函数的诱导公式
例2 求以下各式的值:
(1)tan 765°;
(2)tan;
(3).
变式 (1)tan 660°tan(-30°)-tan 225°+tan 315°= ( )
A. B.- C.-1 D.1
(2)化简:
.
[素养小结]
(1)熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键.
(2)无条件求值,又称给角求值,关键是利用诱导公式将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值.
◆ 探究点三 正切函数的图象与性质
例3 画出函数y=tan的图象,并求出该函数的定义域、最小正周期、单调递增区间以及其图象的对称中心.
变式 求函数y=tan的定义域、最小正周期、单调递增区间及其图象的对称中心.
[素养小结]
解答关于正切函数图象与性质问题的注意点
(1)对称性:正切函数图象的对称中心为(k∈Z),不存在对称轴.
(2)单调性:正切函数在每一个区间(k∈Z)上都单调递增,但不能说其在定义域内单调递增.
◆ 探究点四 正切函数的图象与性质的应用
角度1 比较大小
例4 比较tan 1,tan 2,tan 3的大小.
变式 不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小.
(1)tan与tan ;
(2)tan与tan.
[素养小结]
比较同名三角函数值的大小,实质上是将两个角利用周期性放在同一个单调区间内,利用单调性比较大小.
角度2 正切函数性质的综合应用
例5 (1)[2024·陕西咸阳高一期末] 与函数y=tan的图象不相交的一条直线是 ( )
A.x= B.y=
C.x= D.y=
(2)设函数f(x)=tan(ωx+φ),已知函数f(x)的图象与x轴相邻两个交点间的距离为,且f(x)的图象关于点M对称.
①求f(x)的解析式;
②求不等式组-1≤f(x)≤的解集.
变式 (1)函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈的值域为 .
(2)在区间上,函数y=tan x与函数y=sin x的图象交点的个数为 .
[素养小结]
对于形如y=tan(ωx+φ)(ω,φ为非零常数)的函数性质和图象的研究,应以正切函数的性质与图象为基础,运用整体思想和换元法求解.如果ω<0,一般先利用诱导公式将x的系数化为正数,再进行求解.
拓展 已知函数y=tan ωx在上单调递增,则正实数ω的取值范围是 . §7 正切函数
7.1 正切函数的定义
7.2 正切函数的诱导公式
7.3 正切函数的图象与性质
一、选择题
1.若角α的终边经过点P(-2,3),则tan α= ( )
A.- B.
C.- D.
2.[2024·江西景德镇乐平中学高一期中] tan 420°+tan 510°= ( )
A. B.
C. D.3
3.[2024·安徽合肥一中高一期末] 函数y=的定义域为 ( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
4.[2024·山西长治高一期末] 函数f(x)=tan的图象的一个对称中心是 ( )
A. B.
C. D.
5.[2024·江西南昌高一期中] 函数f(x)=3tan,x∈的值域为 ( )
A. B.
C.[,3] D.
6.函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=所得线段的长度为,则f的值为 ( )
A. B.0
C.1 D.2
7.下列不等式中成立的是 ( )
A.tan 1>-tan 2 B.tan 735°>tan 800°
C.tan>tan D.tan>tan
8.(多选题)下列关于函数y=tan的说法中正确的是 ( )
A.在区间上单调递增
B.最小正周期是π
C.图象关于点中心对称
D.图象关于点中心对称
9.(多选题)已知函数f(x)=,则下列说法正确的是 ( )
A.f(x)的最小正周期是2π
B.f(x)的值域是(-∞,0)∪(0,+∞)
C.直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴
D.f(x)的单调递减区间是,k∈Z
二、填空题
10.[2024·贵州安顺高一期末] 函数y=-3tan的最小正周期为 .
11.函数f(x)=asin 2x+btan x+2,且f(-3)=5,则f(3)= .
12.若函数y=tan在上单调递减,且在上的最大值为,则ω= .
三、解答题
13.在平面直角坐标系xOy中,点P(3,-4)在角α-的终边上.
(1)求tan α的值;
(2)求的值.
14.已知函数f(x)=3tan.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间;
(2)试比较f(π)与f的大小.
15.函数f(x)=tanx和g(x)=的图象在区间(-1,5)上交点的横坐标之和为 ( )
A.6 B.4
C.8 D.12
16.已知函数f(x)=tan,ω>0.
(1)若ω=2,求函数f(x)的最小正周期以及函数图象的对称中心;
(2)若函数f(x)在[0,π]上单调递增,求ω的取值范围;
(3)已知a,b∈R且a
