§8 三角函数的简单应用
【课中探究】
探究点一
例1 解:列表如下:
t -
2t+ 0 π 2π
sin 0 1 0 -1 0
s 0 4 0 -4 0
描点、连线,得s=4sin,t∈[0,+∞)的图象如图中实线部分所示.
(1)将t=0代入s=4sin,得s=4sin=2,所以小球在开始振动时的位移是2 cm.
(2)由图可知,小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和-4 cm.
(3)因为振动的周期是π,所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
变式 解:(1)由题图知B=200,最小正周期T=2×=,∴ω==200π.
当t=时,I=0,即sin=0,∴+φ=2kπ+π,k∈Z,又|φ|<,∴φ=.
故所求的解析式为I=200sin.
(2)依题意得最小正周期T≤,即≤(ω>0),∴ω≥100π,又314<100π<315,ω∈N*,∴ω的最小正整数值为315.
探究点二
例2 解:(1)设H(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0),易知t∈[0,30].
由题意知解得由周期T==30得ω=,故H(t)=40sin+50.
∵H(0)=10,∴sin φ=-1,可取φ=-,
∴H(t)=40sin+50=-40cos t+50,
故H(t)的解析式为H(t)=-40cos t+50,t∈[0,30].
(2)令H(t)=30,则cos t=.
∵t∈[0,30],∴t∈[0,2π],∴t=或t=,解得t=5或t=25,故游客甲坐上摩天轮5分钟或25分钟时,距离地面的高度恰好为30米.
变式 解:(1)由题意可得,函数P(t)的最小正周期T===.
(2)根据公式f=,可得f=80,即此人每分钟心跳的次数是80.
(3)函数P(t)=115+25sin 160πt的最大值是115+25=140,最小值是115-25=90,即此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg,与标准值相比较偏高一点.
探究点三
例3 解:(1)根据表中近似数据画出散点图,如图所示:
结合散点图可知,图形进行了上下平移和左右平移,故选②y=Acos(ωt+φ)+b作为函数模型,
∴A==0.9,b==1.5.
∵T==12,∴ω=,∴y=0.9cos+1.5.
∵函数y=0.9cos+1.5的图象过点(3,2.4),
∴2.4=0.9cos+1.5,∴cos=1,
∴sin φ=-1,又-π<φ<0,∴φ=-,∴y=0.9cos+1.5=0.9sint+1.5(0≤t≤24).
(2)由(1)知,y=0.9sin+1.5,令y≥1.05,即0.9sin+1.5≥1.05,∴sin≥-,∴2kπ-≤t≤2kπ+(k∈Z),得12k-1≤t≤12k+7(k∈Z).又∵5≤t≤18,∴5≤t≤7或11≤t≤18,∴一天中安排5时至7时以及11时至18时组织训练,才能确保集训队员的安全.§8 三角函数的简单应用
1.B [解析] 将t= s代入I=5sin,得I=2.5(A).
2.A [解析] 由题意知f(0)=2sin φ=1,且|φ|<,所以可得φ=,T==12.故选A.
3.C [解析] 根据图象可得y的最小值为2,则有-3+k=2,即k=5,所以y的最大值为3+k=8.
4.D [解析] 因为T=,所以==2π,则l=.
5.D [解析] 设位移x关于时间t的函数关系式为x=Asin(ωt+φ)(ω>0),则A=3,最小正周期T==3,故ω=,由题意可知当t=0时,x取得最大值3,故3sin φ=3,故φ=+2kπ,k∈Z,不妨取k=0,则φ=.所以x=3sin.故选D.
6.C [解析] 由某噪声的声波曲线y=Asin(ωx+φ)的振幅为1,周期为2π,初相为0,知该噪声的声波曲线方程为y=sin x,所以通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波的曲线方程为y=-sin x.故选C.
7.C [解析] 设h=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0).因为最高点距离地面4.5 m,最低点距离地面0.5 m,所以A==2,B==2.5.因为T=12,所以ω==,又风车从最低点开始运动,所以×0+φ=2kπ+(k∈Z),不妨取φ=,所以h与t满足的函数关系式为h=2sin+2.5=-2cost+2.5.
8.AB [解析] 对于A选项,由图可知,该函数的最小正周期T=2×(14-6)=16,A选项正确;对于B选项,由图可得,函数的最大值为30,故该市这一天的温度最高为30 ℃,B选项正确;对于C选项,由图可得解得ω===,∵曲线经过点(14,30),∴30=10sin+20,∴sin=1,∵0<φ<π,∴<+φ<,则+φ=,∴φ=,∴函数解析式为y=10sin+20(0≤x≤24),C选项错误;这一天的函数关系式不一定适用于第二天,要具体情况具体分析,D选项错误.故选AB.
9.0.02 s [解析] 由s=6sin,可知单摆来回摆一次所需的时间为==0.02(s).
10.20 [解析] 由题可得A+60=80,所以A=20,由150πω+=-+2kπ,k∈Z,解得ω=-+,k∈Z,又ω>0,∴当k=1时,ω取得最小值.
11.7 [解析] 易知函数y=-sinx的最小正周期T=4,且当x=3时,在y轴右侧图象第一次达到最高点,因此t≥7,所以正整数t的最小值是7.
12.解:(1)设该动物种群数量y关于t的函数表达式为y=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,0≤t≤11,t∈N),
则解得
又最小正周期T=2×(6-0)=12,∴ω==,∴y=100sin+800(0≤t≤11,t∈N).
∵当t=6时,y=900,∴900=100sin+800,
∴sin(π+φ)=1,∴sin φ=-1,不妨取φ=-,∴y=100sin+800(0≤t≤11,t∈N).
(2)当t=2时,y=100sin+800=750,
即估计当年3月1日该动物的种群数量是750.
13.解:(1)由题知T=2=,得ω=π.
由题意得解得
由3sin φ+=0,|φ|<,得φ=-.
(2)方法一:∵盛水筒P浮出水面后到最高点至少经历个圆周,∴至少经过的时间为T=(min).
方法二:由y=3sin+=,得sin=1,∴πt-=+2kπ,k∈N,
即t=+2k,k∈N,当k=0时,盛水筒P浮出水面后第一次到达最高点,此时t=,∴盛水筒P浮出水面后到最高点至少经过的时间为 min.
14.B [解析] 不妨设主桁部分所在余弦型曲线的函数解析式为f(x)=Acos ωx,由题中条件可得,T=552+190×2=932,A==44.75,则ω=≈0.006 7,所以f(x)=44.75cos 0.006 7x.对于A选项,f(x)=44.75cos 0.006 7x与y=4.5cosx相比,A近似扩大了10倍,ω近似缩小10倍才能使周期扩大10倍,而缩小近100倍才是0.006 7,故排除A;对于B选项,f(x)=44.75cos 0.006 7x与y=0.45cosx相比,A近似扩大了100倍,ω近似缩小了100倍,使周期近似扩大了100倍,故B正确;对于C选项,f(x)=44.75cos 0.006 7x与y=0.9cosx相比,A近似扩大了50倍,ω近似缩小50倍才能使周期扩大50倍,而缩小近224倍才是0.006 7,故排除C;
对于D选项,f(x)=44.75cos 0.006 7x与y=9cosx相比,A近似扩大了5倍,ω近似缩小5倍才能使周期扩大5倍,而缩小近224倍才是0.006 7,故排除D.故选B.§8 三角函数的简单应用
【学习目标】
1.会用三角函数模型解决一些简单的实际问题.
2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
◆ 知识点 解答三角函数应用题的基本步骤
应用三角函数模型解决实际问题时,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型.解答三角函数应用题的步骤可分为四步:审题、建模、解模、还原评价.
(1)审题:先审清楚题目条件、要求,理解数学关系.
(2)建模:在细心阅读与深入理解题意、分析题目条件(如周期性等)的基础上,引进数学符号,将试题中的非数学语言转化为数学语言,然后根据题意,列出数量关系,即建立三角函数模型,这时要注意三角函数的定义域应符合实际问题要求,这样便将实际问题转化成了数学问题.
(3)解模:对建立的三角函数模型进行分析研究,运用三角函数的有关知识进行推理、运算,使问题得到解决.
(4)还原评价:把数学结论还原为实际问题的解答.
◆ 探究点一 三角函数模型在物理学中的应用
例1 在弹簧上挂着的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s=4sin,t∈[0,+∞).用“五点法”作出这个函数的简图,并回答下列问题.
(1)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少
(3)经过多长时间小球往复振动一次
变式 已知电流I(A)与时间t(s)的关系式为I=Bsin(ωt+φ).
(1)若I=Bsin(ωt+φ)在一个周期内的图象如图所示,根据图中的数据求I=Bsin(ωt+φ)的解析式;
(2)如果在任意一段 s的时间内,电流I=Bsin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少
[素养小结]
三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、交变电流、交变电压等方面,其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多,尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法.
◆ 探究点二 三角函数模型在日常生活中的应用
例2 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周的景色(如图①).某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米,最低点距离地面的高度为10米,摩天轮上均匀设置了36个座舱(如图②),开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动,游客在座舱离地面最近的位置进入座舱,摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟,当游客甲坐上摩天轮的座舱时开始计时.
(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米,求H(t)的解析式;
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间,距离地面的高度恰好为30米
① ②
变式 心脏在跳动时,血压会升高或降低.血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,通常认为读数120/80 mmHg为标准值.设某人的血压满足函数关系式P(t)=115+25sin 160πt,其中P(t)为血压(mmHg),t为时间(min).
(1)求函数P(t)的最小正周期;
(2)求此人每分钟心跳的次数;
(3)求出此人的血压在血压计上的读数,并与标准值进行比较.
[素养小结]
解三角函数应用问题的基本步骤
◆ 探究点三 三角函数模型的拟合
例3 某“花式风筝冲浪”集训队在一个海滨浴场进行集训,海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(米)随着一天的时刻t(0≤t≤24,单位:时)呈周期性变化,某天各时刻t的水深数据的近似值如下表:
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5
(1)根据表中近似数据画出散点图,观察散点图,从①y=Asin(ωt+φ),②y=Acos(ωt+φ)+b,③y=-Asin ωt+b(A>0,ω>0,-π<φ<0)中选择一个合适的函数模型,并求出该拟合模型的函数解析式;
(2)为保证队员安全,规定在一天中的5时~18时且水深不低于1.05米的时候进行训练,根据(1)中得到的函数解析式,试问一天中安排什么时间段组织训练,才能确保集训队员的安全
[素养小结]
根据收集的数据,先画出相应的“散点图”,观察散点图,然后进行函数拟合获得具体的函数模型,最后利用这个模型解决实际问题.§8 三角函数的简单应用
一、选择题
1.电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I=5sin,则当t= s时,电流强度I为 ( )
A.5 A B.2.5 A C.2 A D.-5 A
2.已知简谐运动f(x)=2sin的图象经过点(0,1),则该简谐运动的周期T和初相φ分别为 ( )
A.12, B.12,
C.12π, D.12π,
3.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y=3sin+k.据此函数关系式可知,这段时间水深y(单位:m)的最大值为 ( )
A.5 B.6 C.8 D.10
4.一根长为l cm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s=3cos,其中g是重力加速度,当小球摆动的周期是1 s时,l等于 ( )
A. B. C. D.
5.如图,点O为做简谐运动的物体m的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,若已知振幅为3 cm,周期为3 s,且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时,则物体对平衡位置的位移x(单位:cm)和时间t(单位:s)之间的函数关系式可以为 ( )
A.x=sin B.x=3sin t
C.x=sin D.x=3sin
6.主动降噪耳机的工作原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声,然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪声(如图).已知某噪声的声波曲线y=Asin(ωx+φ)的振幅为1,周期为2π,初相为0,则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波的曲线方程为 ( )
A.y=sin x B.y=cos x
C.y=-sin x D.y=-cos x
7.如图所示,某风车的半径为2 m,每12 s旋转一周,它的最低点O距离地面0.5 m.风车圆周上一点A从最低点O开始沿逆时针方向运动,运动t s后与地面的距离为h m,则h与t满足的函数关系式可以为 ( )
A.h=sin+2.5
B.h=2sin+1.5
C.h=-2cost+2.5
D.h=2cost+2.5
8.(多选题)如图是某市夏季某一天的温度变化曲线,若该曲线近似满足函数关系式y=Asin(ωx+φ)+B(ω>0,0<φ<π),则下列说法正确的是 ( )
A.该函数的周期是16
B.该市这一天的温度最高为30 ℃
C.该函数的解析式是y=10sin+20(6≤x≤14)
D.这一天的函数关系式也适用于第二天
二、填空题
9.如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s=6sin,那么单摆来回摆一次所需的时间为 .
10.国际油价在某段时间内呈现周期变化,变化规律为P=Asin+60,P为国际油价(单位:美元/桶),t为天数,A>0,ω>0.现采集到下列信息:最高油价为80美元/桶,当t=150时,油价最低.则A= ,ω的最小值为 .
11.一种波的波形为函数y=-sinx的图象,若其在区间[0,t]上至少有2个波峰(图象的最高点),则正整数t的最小值是 .
三、解答题
12.已知某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900,其种群数量在此两值之间变化且满足正弦型函数关系.
(1)求出种群数量y关于t(t=0,1,…,11分别表示1月1日、2月1日、…、12月1日)的函数表达式;
(2)估计当年3月1日该动物的种群数量.
13.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中使用,明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理.如图,一个半径为3 m的筒车,按逆时针方向转一周的时长为2 min,筒车的轴心O距离水面的高度为1.5 m.筒车上均匀分布着12个盛水筒,设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为y(单位:m,P在水面下时y为负数),若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间,则y与时间t(单位:min)之间的关系为y=Asin(ωt+φ)+b.
(1)求A,ω,φ,b的值;
(2)盛水筒P浮出水面后至少经过多长时间可以到达最高点
14.如图所示为某桥的示意图,该桥主体是由桥拱部分(开口向下的抛物线)与主桁(图中最上方的曲线)部分(可视为余弦型函数一个周期的图象)组成的.已知拱桥部分长552 m,两端引桥各长190 m,主桁最高处距离桥面89.5 m,则将下列函数的图象等比放大后,与主桁形状最相似的是 ( )
A.y=4.5cosx B.y=0.45cosx
C.y=0.9cosx D.y=9cosx(共33张PPT)
三角函数的简单应用
探究点一 三角函数模型在物理学中的应用
探究点二 三角函数模型在日常生活中的应
用
探究点三 三角函数模型的拟合
【学习目标】
1.会用三角函数模型解决一些简单的实际问题.
2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
知识点 解答三角函数应用题的基本步骤
应用三角函数模型解决实际问题时,首先要把实际问题抽象为数学问
题,通过分析它的变化趋势确定它的周期,从而建立起适当的三角函数
模型.解答三角函数应用题的步骤可分为四步:审题、建模、解模、还
原评价.
（1）审题:先审清楚题目条件、要求,理解数学关系.
（2）建模:在细心阅读与深入理解题意、分析题目条件（如周期性等）
的基础上,引进数学符号,将试题中的非数学语言转化为数学语言,然后
根据题意,列出数量关系,即建立三角函数模型,这时要注意三角函数的
定义域应符合实际问题要求,这样便将实际问题转化成了数学问题.
（3）解模:对建立的三角函数模型进行分析研究,运用三角函数的有
关知识进行推理、运算,使问题得到解决.
（4）还原评价:把数学结论还原为实际问题的解答.
探究点一 三角函数模型在物理学中的应用
例1 在弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移
随时间的变化规律为， .用“五
点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题.
（1）小球在开始振动 时的位移是多少？
描点、连线，得 ， 的图象如图中实线部分
所示.
解：列表如下：
0
0 1 0 0
0 4 0 0
将代入 ，得 ，
所以小球在开始振动时的位移是 .
（2）小球上升到最高点和下降到最
低点时的位移分别是多少？
解：由图可知，小球上升到最高点和
下降到最低点时的位移分别是 和
.
（3）经过多长时间小球往复振动一次？
解：因为振动的周期是 ，所以小球往复振动一次所用的时间是 .
变式 已知电流与时间 的关系式为
.
（1）若 在一个周期内的图象如
图所示，根据图中的数据求 的解
析式；
解：由题图知 ，最小正周期
， .
当时，，即 ，
,,又， .
故所求的解析式为 .
（2）如果在任意一段的时间内，电流 都能取得
最大值和最小值，那么 的最小正整数值是多少？
解：依题意得最小正周期，即， ,
又,, 的最小正整数值为315.
［素养小结］
三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、交变电流、交变
电压等方面,其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多,尤其
要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法.
探究点二 三角函数模型在日常生活中的应用
例2 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的
座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图①）.某摩
天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面的高度为10
米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图②），开启后摩天轮按逆
时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近的位置进入座舱，摩天
轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当
游客甲坐上摩天轮的座舱时开始计时．
①
②
（1）经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，求 的解析式；
解：设,易知 .
由题意知解得由周期得 ，
故 .
，，可取 ，
，
故的解析式为， .
（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？
解：令，则 ．
，，或，
解得 或 ，
故游客甲坐上摩天轮5分钟或25分钟时，距离地面的高度恰好为30米.
变式 心脏在跳动时,血压会升高或降低.血压的最大值和最小值分别
称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,通常认为
读数 为标准值.设某人的血压满足函数关系式
,其中为血压,为时间 .
（1）求函数 的最小正周期;
解：由题意可得，函数的最小正周期 .
（2）求此人每分钟心跳的次数;
解：根据公式,可得 ,即此人每分钟心跳的次数是80.
（3）求出此人的血压在血压计上的读数,并与标准值进行比较.
解：函数的最大值是 ,最小
值是 ,
即此人的血压在血压计上的读数为 ,
与标准值相比较偏高一点.
［素养小结］
解三角函数应用问题的基本步骤
探究点三 三角函数模型的拟合
例3 某“花式风筝冲浪”集训队在一个海滨浴场进行集训，海滨区域
的某个观测点观测到该处水深（米）随着一天的时刻 ，
单位：时)呈周期性变化，某天各时刻 的水深数据的近似值如下表：
0 3 6 9 12 15 18 21 24
1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5
（1）根据表中近似数据画出散点图，观察散点图，从
， ，
中选择一个合适的函
数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；
解：根据表中近似数据画出散点图，如图所示：
结合散点图可知，图形进行了上下平移和左右平移，故选
作为函数模型，
， .
，， .
函数的图象过点 ，
， ，，
又， ，
.
（2）为保证队员安全，规定在一天中的5时 时且水深不低于
1.05米的时候进行训练，根据（1）中得到的函数解析式，试问一天
中安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全？
解：由（1）知，，
令 ，即， ，
，
得.
又， 或，
一天中安排5时至7时以及11时至18时组织训练，才能确保集训队
员的安全.
［素养小结］
根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行
函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个模型解决实际问题.
运用三角函数模型解决问题的几种类型
（1）由图象求解析式.首先由图象确定解析式的基本形式,例如:
,然后根据图象的特征确定解析式中
的参数,在求解过程中还要结合函数的性质与实际意义判断数据是否
满足要求.
（2）由图象研究函数性质.观察分析函数图象,能解决函数的单调性、
奇偶性、对称性、周期性、最值等问题.
（3）利用三角函数研究实际问题.首先分析、归纳实际问题,抽象概
括出数学模型,再利用图象及性质解答数学问题,最后解答出实际问题.
1.三角函数模型在物理中的应用
例1 在平面直角坐标系中，半径为1的圆与轴相切于原点，圆
上有一定点．假设圆以单位长度/秒的速度沿 轴正方向匀
速滚动，那么当圆滚动秒时，点的横坐标 ___________.
[解析] 将点的运动分解为沿 轴正方向的匀速运动和绕着圆心顺时
针方向的匀速转动.
点沿轴正方向匀速运动的速度 单位长度/秒，
则点沿轴正方向运动的位移（单位长度）.
点 绕着圆心顺时针方向匀速转动时，
以圆心为参照，点 的运动为半径不变的顺时针圆周运动，
设秒后转动 弧度，当 从初始位置转动弧度时，圆滚动了个圆周，
即 （单位长度），此时过了（秒），
故在秒后转动弧度，所以每秒转动 弧度，
所以秒后转动弧度，
此时 的横坐标为为圆的半径).
故当圆滚动 秒时，点的横坐标为 .
2.三角函数模型的应用问题
三角函数模型是描述现实世界中具有周期性现象的一种数学模型,在
刻画周期变化规律等方面发挥着十分重要的作用.
例2 下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深情况.
时刻 0： 00 3： 00 6： 00 9： 00 12：0 0 15：0 0 18：0 0 21：0 0 24：0
0
5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0
若该港口的水深和时刻 的关系可用函数
(其中，， 来近似描述，则该港口
在11：00的水深为___ .
4
[解析] 由题意得函数(其中,, 的周
期，.
由 解得,
该港口在11：00的水深 .
