本章总结提升
【知识辨析】
1.√ 2.√ 3.√ 4.× 5.× 6.× 7.√ 8.√
【素养提升】
题型一
例1 A [解析] 因为角α的终边经过点(-3,m),且tan α=,所以tan α==,解得m=-2,
所以sin α==-.故选A.
变式 A [解析] 由sin θ=-,A(1,y)是角θ终边上一点,结合三角函数的定义,得=-,解得y=-3.故选A.
题型二
例2 (1)A [解析] 由sin(π+φ)=-得sin φ=,所以cos=sin φ=,故选A.
(2)解:=
=.
变式 (1)D (2) [解析] (1)由题得cos=cos=-sin=-.故选D.
(2)因为f(α)===cos α,所以f=cos=cos=cos=cos=.
题型三
例3 (1)C (2),k∈Z [解析] (1)由sin≥0,可得2kπ≤x+≤π+2kπ(k∈Z),解得-+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z),故f(x)的定义域为(k∈Z).故选C.
(2)由题意得2|sin x|-1≥0,则|sin x|≥,易得x∈,k∈Z.
例4 (1) (2)D [解析] (1)∵-≤x≤,∴-≤2x-≤,则-≤cos≤1,∴-≤cos≤,∴f(x)的值域为.
(2)设sin x=t,∵x∈,∴t∈.f(x)=3-sin x-2cos2x=2sin2x-sin x+1可转化为g(t)=2t2-t+1.易知f(x)max=g(t)max=g=g(1)=2;f(x)min=g(t)min=g=.故f(x)的最大值与最小值之差为,故选D.
题型四
例5 (1)C (2)BC [解析] (1)因为函数的最小正周期为π,所以排除A,B.因为函数y=cos 2x在(k∈Z)上单调递增,所以函数y=cos 2x在上单调递增,C符合题意.因为函数y=-sin 2x在(k∈Z)上单调递增,在(k∈Z)上单调递减,所以函数y=-sin 2x在上单调递增,在上单调递减,排除D.故选C.
(2)方法一:f(x)的最小正周期为=π,最大值为1,g(x)的最小正周期为=π,最大值为1,故B,C均正确;因为g(x)=sin=sin 2,所以将f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位长度可得g(x)的图象,又<×=,所以f(x)与g(x)的零点不相同,f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同,故A,D均不正确.故选BC.
方法二:f(x)的最小正周期为=π,最大值为1,g(x)的最小正周期为=π,最大值为1,故B,C均正确;令f(x)=sin 2x=0,得x=,k∈Z,令g(x)=sin=0,得x=+,k∈Z,故f(x)与g(x)的零点不相同,A不正确;令2x=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,令2x-=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同,D不正确.故选BC.
变式1 解:(1)由题意可知=π,所以ω=1.f(x)=2cos,由2kπ≤2x+≤π+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递减区间为,k∈Z.
(2)因为0≤x≤,所以≤2x+≤,所以-1≤cos≤,所以-2≤f(x)≤1,所以函数f(x)在上的取值范围为[-2,1].
变式2 解:(1)由题意可知,f(x)的最小正周期T==π.
令2x+=kπ,k∈Z,解得x=-+π,k∈Z,
所以函数f(x)图象的对称中心为,k∈Z.
(2)因为0≤x≤,所以≤2x+≤,
当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值,f(x)max=sin=;当2x+=,即x=0时,f(x)取得最小值,f(x)min=sin=.
所以当x∈时,f(x)的最大值为,最小值为.
题型五
例6 (1)D [解析] 根据函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象,可得×=-,∴ω=3.由f(x)的图象,可得3×+φ=2kπ+π,k∈Z,又|φ|<,∴φ=,∴f(x)=sin.故只需把g(x)=cos 3x=sin的图象向右平移个单位长度,即可得到y=sin=sin的图象,故选D.
(2)解:①由题可得=2×,所以ω=2,
所以f(x)=sin(2x+φ)-b.
因为g(x)=sin-b+为奇函数,
所以-+φ=kπ(k∈Z)且-b+=0,又0<φ<π,
所以φ=,b=,所以f(x)=sin-.
②因为x∈,所以≤2x+≤π,
所以0≤sin≤1,所以-≤f(x)≤1-,所以-1-≤f(x)-1≤-.若[f(x)]2-(2+m)f(x)+2+m≤0恒成立,则m≤+f(x)-1恒成立.
令t=f(x)-1,y=+t,则-1-≤t≤-,易知y=+t在[-1-,-]上单调递增,
所以+(-1-)≤+f(x)-1≤-,即≤+f(x)-1≤-,
所以m≤,即m的取值范围是.
变式1 AB [解析] 将f(x)=sin 2x+1的图象向下平移1个单位长度,再向右平移个单位长度,得到g(x)=sin 2=sin的图象.对于A,g(x)的最小正周期T==π,故A正确;对于B,g=sin=sin=1,为g(x)的最大值,所以g(x)的图象关于直线x=对称,故B正确;对于C,g=sin=sin=≠0,所以点不是g(x)图象的对称中心,故C错误;对于D,由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以g(x)的单调递增区间为,k∈Z,故D错误.故选AB.
变式2 C [解析] 画出函数y=sin x与y=2sin在[0,2π]上的图象,如图所示,由图可知两曲线共有6个交点.故选C.
变式3 解:(1)将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象上所有点向右平移个单位长度后,可得函数h(x)=sin=sin的图象,由题意可知,函数h(x)=sin为奇函数,则φ-=kπ(k∈Z),可得φ=+kπ(k∈Z),又因为|φ|<,所以φ=.
(2)由(1)可知,h(x)=sin 2x,则g(x)=h(x)-=sin 2x-,因为0题型六
例7 解:(1)依题意,当t=0 s时,以x轴的非负半轴为始边,OP0为终边的角是-,因为水斗沿圆周匀速旋转一周需要80 s,所以水斗转动的角速度ω==,
因此,水斗转动t s到点P时转过的角为ωt=t,以x轴的非负半轴为始边,OP为终边的角是t-,于是得点P的纵坐标为6sin,则h=6sin+3,
所以所求的函数关系式为h=6sin+3(t≥0).
(2)当水斗再次到达水面时,0变式 解:(1)以摩天轮中心O为原点,与地面平行的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
由题意知,摩天轮运行的角速度ω==(rad/min),摩天轮的半径为50 m,
所以游客甲所在位置的纵坐标y甲=50sin,
则H=50sin+60=-50cost+60.
所以H关于t的函数解析式为H=-50cost+60(t≥0).
(2)令H=85,即-50cost+60=85,则cost=-,
所以t=+2kπ或t=+2kπ,k∈N,
即t=4+12k或t=8+12k,k∈N.
令k=0,得t1=4,t2=8;令k=1,得t3=16,t4=20.
故该游客坐上摩天轮后第四次达到最佳视觉效果的时刻t4=20 min.本章总结提升
判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)
1.角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关. ( )
2.若角α是第一象限角,则是第一或第三象限角. ( )
3.若扇形的弧长为20 cm,圆心角为100°,则该扇形的面积为 cm2. ( )
4.y=sin x在第一、四象限是增函数. ( )
5.正切函数y=tan x在定义域内是增函数.( )
6.若sin x>,则x>+2kπ,k∈Z. ( )
7.将y=sin的图象上所有的点向右平移个单位长度后得到y=sin的图象.( )
8.函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的两条相邻对称轴间的距离为半个周期. ( )
◆ 题型一 三角函数的概念
[类型总述] 应用三角函数的概念求三角函数值.
例1 [2024·江西抚州高一期中] 已知角α的终边经过点(-3,m),若tan α=,则sin α= ( )
A.- B. C.- D.
变式 已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,若A(1,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-,则y= ( )
A.-3 B.3
C.-1 D.1
◆ 题型二 诱导公式的应用
[类型总述] (1)三角函数求值;(2)三角函数式的化简与求值.
例2 (1)已知sin(π+φ)=-,则cos= ( )
A. B.
C.- D.-
(2)[2024·江西萍乡高一期中] 化简:.
变式 (1)已知sin=,则cos的值为 ( )
A.- B.
C. D.-
(2)[2024·江西丰城中学高一月考] 已知f(α)=,则f= .
◆ 题型三 复合三角函数的定义域与值域
[类型总述] (1)求复合三角函数的定义域;(2)求复合三角函数的值域.
角度1 定义域
例3 (1)函数f(x)=的定义域为( )
A.R
B.[2kπ,π+2kπ](k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
(2)函数y=的定义域是 .
角度2 值域
例4 (1)[2024·西安铁一中学高一期末] 已知函数f(x)=cos,x∈,则f(x)的值域为 .
(2)函数f(x)=3-sin x-2cos2x,x∈的最大值与最小值之差为 ( )
A. B.
C. D.
◆ 题型四 三角函数的性质
[类型总述] 根据三角函数的性质求最值、单调区间、对称轴、对称中心等.
例5 (1)在下列函数中,最小正周期为π且在上单调递增的是 ( )
A.y=sin B.y=cos
C.y=cos 2x D.y=-sin 2x
(2)(多选题)[2024·新课标Ⅱ卷] 对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,下列说法正确的有 ( )
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
变式1 已知函数f(x)=2cos(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值,并求f(x)的单调递减区间;
(2)求f(x)在上的取值范围.
变式2 [2024·江西南昌高一期中] 已知函数f(x)=sin,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和f(x)图象的对称中心;
(2)当x∈时,求f(x)的最大值和最小值.
◆ 题型五 三角函数的图象与性质
[类型总述] (1)根据图象求解析式;(2)三角函数图象的变换;(3)通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质.
例6 (1)[2024·江西乐平中学高一月考] 函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,为了得到f(x)的图象,只需将g(x)=cos 3x的图象 ( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
(2)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-b(ω>0,0<φ<π)的图象的相邻两条对称轴之间的距离是.将f(x)的图象先向右平移个单位长度,再向上平移个单位长度,所得图象对应的函数g(x)为奇函数.
①求f(x)的解析式;
②若对任意x∈,[f(x)]2-(2+m)·f(x)+2+m≤0恒成立,求实数m的取值范围.
变式1 (多选题)将函数f(x)=sin 2x+1的图象向下平移1个单位长度,再向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则 ( )
A.g(x)的最小正周期为π
B.g(x)的图象关于直线x=对称
C.g(x)的图象关于点对称
D.g(x)的单调递增区间为,k∈Z
变式2 [2024·新课标Ⅰ卷] 当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为 ( )
A.3 B.4 C.6 D.8
变式3 [2024·福建师大附中高一期末] 已知将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象上所有点向右平移个单位长度后,所得函数h(x)的图象关于原点对称.
(1)求φ的值;
(2)设g(x)=h(x)-,若g(x)在区间(0,m)上有且只有一个零点,求m的取值范围.
◆ 题型六 三角函数的综合应用
[类型总述] 三角函数模型应用.
例7 水车是中国古代劳动人民发明的灌溉工具,体现了中华民族的创造力.如图是水车示意图,其半径为6 m,中心(即圆心)O距水面3 m,一水斗从P0处出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转一圈的时间是80 s,经过t s后,水斗旋转到点P处,此时水斗距离水面的高度为h(单位:m).
(1)当水斗在水面以上时高度记为正值,当水斗在水面以下时高度记为负值,则以O为坐标原点,以过点O且与水面垂直的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,试将点P距离水面的高度h(单位:m)表示为时间t(单位:s)的函数.
(2)此水斗经过多长时间再次到达水面 在旋转一周的过程中,水斗位于水下的时间是多少
变式 [2024·河南南阳高一期中] “湾区之光”摩天轮位于深圳,是目前亚洲最大的摩天轮.游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转,可以从高处俯瞰四周景色.已知某摩天轮的直径为100 m,最高点距离地面的高度为110 m,摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱,游客在座舱转到距离地面最近的位置时进舱,摩天轮运行时按逆时针方向匀速旋转,转一周需要12 min.
(1)如图,O为摩天轮的中心,游客甲从最低点Q坐上摩天轮的座舱,转动t min后游客甲距离地面的高度为H m,求在转动过程中,H关于t的函数解析式;
(2)已知游客在距离地面85 m时能够获得最佳视觉效果,记某游客从坐上摩天轮后达到最佳视觉效果的时刻依次为t1,t2,t3,t4,…,求t4.(共45张PPT)
本章总结提升
题型一 三角函数的概念
题型二 诱导公式的应用
题型三 复合三角函数的定义域与值域
题型四 三角函数的性质
题型五 三角函数的图象与性质
题型六 三角函数的综合应用
判断下列说法是否正确.（请在括号中填写“√”或“×”）
1.角 的三角函数值与其终边上点 的位置无关.( )
√
2.若角 是第一象限角，则 是第一或第三象限角.( )
√
3.若扇形的弧长为，圆心角为 ，则该扇形的面积为
.( )
√
4. 在第一、四象限是增函数.( )
×
5.正切函数 在定义域内是增函数.( )
×
6.若,则 ， .( )
×
7.将的图象上所有的点向右平移 个单位长度后得到
的图象.( )
√
8.函数 图象的两条相邻对称轴间的距离为半个
周期.( )
√
题型一 三角函数的概念
［类型总述］应用三角函数的概念求三角函数值.
例1 [2024·江西抚州高一期中]已知角 的终边经过点 ，若
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为角 的终边经过点，且 ，
所以，解得，
所以 .故选A.
√
变式 已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴非负半轴重合，若
是角 终边上一点，且，则 ( )
A. B.3 C. D.1
[解析] 由，是角 终边上一点，
结合三角函数的定义，得，解得 故选A.
√
题型二 诱导公式的应用
［类型总述］（1）三角函数求值;（2）三角函数式的化简与求值.
例2（1） 已知，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由得，所以 ，
故选A.
√
（2）[2024·江西萍乡高一期中] 化简： .
解：
.
变式（1） 已知，则 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题得 .
故选D.
√
（2）[2024·江西丰城中学高一月考] 已知
，则 ___.
[解析] 因为，
所以 .
题型三 复合三角函数的定义域与值域
［类型总述］（1）求复合三角函数的定义域;（2）求复合三角函数
的值域.
例3（1） 函数 的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 由，可得 ,
解得，
故 的定义域为 .故选C.
（2）函数 的定义域是_______________________.
，
[解析] 由题意得，则 ，
易得， .
例4（1） [2024·西安铁一中学高一期末] 已知函数
,，则 的值域为_ _________.
[解析] , ，
则，，
的值域为 .
（2）函数， 的最大值与最小值
之差为( )
A. B. C. D.
[解析] 设，， .
可转化为.
易知 ;
.
故的最大值与最小值之差为 ,故选D.
√
题型四 三角函数的性质
［类型总述］根据三角函数的性质求最值、单调区间、对称轴、对
称中心等.
例5（1） 在下列函数中，最小正周期为 且在 上单调递增的
是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为函数的最小正周期为 ，所以排除A，B.
因为函数在 上单调递增，
所以函数在上单调递增，C符合题意.
因为函数 在上单调递增，
在 上单调递减，
所以函数在上单调递增,在 上单调递减,排除D.
故选C.
（2）（多选题）[2024·新课标Ⅱ卷] 对于函数 和
,下列说法正确的有( )
A.与 有相同的零点
B.与 有相同的最大值
C.与 有相同的最小正周期
D.与 的图象有相同的对称轴
√
√
[解析] 方法一：的最小正周期为 ,最大值为1，
的最小正周期为 ,最大值为1，故B，C均正确；
因为,
所以将 的图象向右平移个单位长度可得的图象，
又，所以 与的零点不相同，
与 的图象的对称轴不相同，故A，D均不正确.
故选 .
方法二：的最小正周期为 ,最大值为1，
的最小正周期为 ,最大值为1，故B，C均正确；
令 ,得,,令,
得,,故 与的零点不相同，A不正确；
令,,得 , ,令,,
得,,故与 的图象的对称轴不相同，D不正确.
故选 .
变式1 已知函数的最小正周期为 .
（1）求 的值，并求 的单调递减区间；
解：由题意可知 ,所以 ,
由 ,，得 , ，
所以的单调递减区间为, .
（2）求在 上的取值范围.
解：因为，所以 ，
所以，所以，
所以函数在 上的取值范围为 .
变式2 [2024·江西南昌高一期中] 已知函数 ,
.
（1）求的最小正周期和 图象的对称中心；
解：由题意可知，的最小正周期 .
令 , ，解得 , ，
所以函数图象的对称中心为, .
（2）当时，求 的最大值和最小值.
解：因为，所以 ，
当，即时，取得最大值， ；
当，即时，取得最小值， .
所以当时，的最大值为，最小值为 .
题型五 三角函数的图象与性质
［类型总述］（1）根据图象求解析式;（2）三角函数图象的变换;
（3）通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质.
例6（1） [2024·江西乐平中学高一月考]函数
的部分图
象如图所示，为了得到 的图象，只需将
的图象( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移 个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移 个单位长度
√
[解析] 根据函数
的图象，
可得，.
由 的图象，可得 , ，
，， .
故只需把的图象向右平移 个单位长度，
即可得到 的图象，故选D.
（2）已知函数 的图象的
相邻两条对称轴之间的距离是.将的图象先向右平移 个单位长
度，再向上平移个单位长度，所得图象对应的函数 为奇函数.
①求 的解析式；
解：由题可得，所以 ，
所以 .
因为 为奇函数，
所以且，又 ，
所以，，所以 .
②若对任意， 恒成立，
求实数 的取值范围.
解：因为，所以 ，
所以，所以 ，
所以.
若 恒成立，
则 恒成立.
令，，则，
易知 在 上单调递增，
所以 ，
即 ，
所以，即的取值范围是 .
变式1 （多选题）将函数 的图象向下平移1个单位
长度，再向右平移个单位长度，得到函数 的图象，则( )
A.的最小正周期为
B.的图象关于直线 对称
C.的图象关于点 对称
D.的单调递增区间为,
√
√
[解析] 将 的图象向下平移1个单位长度，再向右平
移个单位长度，得到 的图象.
对于A,的最小正周期 ，故A正确；
对于B，，为的最大值，
所以 的图象关于直线 对称，故B正确；
对于C，,
所以点不是 图象的对称中心，故C错误；
对于D，由 , ,
得 ,，
所以 的单调递增区间为，，故D错误.
故选 .
变式2 [2024· 新课标Ⅰ卷] 当时，曲线 与
的交点个数为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
[解析] 画出函数 与
在 上的图象，
如图所示，由图可知两曲线共有6个交
点.故选C.
√
变式3 [2024·福建师大附中高一期末] 已知将函数
的图象上所有点向右平移 个单位长度
后，所得函数 的图象关于原点对称.
（1）求 的值；
解：将函数的图象上所有点向右平移
个单位长度后，
可得函数 的图象，
由题意可知，函数为奇函数，
则 ，可得，
又因为，所以 .
（2）设，若在区间 上有且只有一个零点，
求 的取值范围.
解：由（1）可知，，则 ，
因为，所以，由，可得 ，
又因为在区间上有且只有一个零点，所以 ，
解得.因此，的取值范围是 .
题型六 三角函数的综合应用
［类型总述］三角函数模型应用.
例7 水车是中国古代劳动人民发明的灌溉工具，
体现了中华民族的创造力．如图是水车示意图，
其半径为，中心（即圆心）距水面 ，
一水斗从 处出发，沿圆周按逆时针方向匀速
旋转一圈的时间是，经过 后，水斗旋转
到点处，此时水斗距离水面的高度为
(单位： .
（1）当水斗在水面以上时高度记为正值，当水斗在水面以下时高度
记为负值，则以为坐标原点，以过点且与水面垂直的直线为 轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，试将点距离水面的高度
(单位：表示为时间(单位： 的函数.
解：依题意，当时，以 轴的非负半轴为
始边，为终边的角是 ，因为水斗沿圆周匀
速旋转一周需要 ，所以水斗转动的角速度
，
因此，水斗转动到点时转过的角为，以 轴的非负半轴为
始边，为终边的角是，于是得点的纵坐标为 ，
则 ，
所以所求的函数关系式为 .
（2）此水斗经过多长时间再次到达水面？在旋
转一周的过程中，水斗位于水下的时间是多少？
解：当水斗再次到达水面时， ，
所以 ，
令 ，
，所以，解得 ，
即此水斗经过 后再次到达水面.
在旋转一周的过程中，水斗位于水下的时间是 .
变式 [2024·河南南阳高一期中] “湾区之光”摩天轮位于深圳，是目
前亚洲最大的摩天轮.游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从
高处俯瞰四周景色.已知某摩天轮的直径为 ，最高点距离地面
的高度为 ，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，游客在座
舱转到距离地面最近的位置时进舱，摩天轮运行时按逆时针方向匀
速旋转，转一周需要 .
（1）如图，为摩天轮的中心，游客甲从最低点 坐上摩天轮的座
舱，转动后游客甲距离地面的高度为 ，求在转动过程中，
关于 的函数解析式；
解：以摩天轮中心 为原点，与地面平行的
直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
由题意知，摩天轮运行的角速度
，摩天轮的半径为 ，
所以游客甲所在位置的纵坐标 ，
则 .
所以关于的函数解析式为 .
（2）已知游客在距离地面 时能够获得最佳视觉效果，记某游客从
坐上摩天轮后达到最佳视觉效果的时刻依次为,,,， ，求 .
解：令，即，则 ,
所以 或 ， ，
即或， .
令，得，;令，得， .
故该游客坐上摩天轮后第四次达到最佳视觉效果的时刻 .
