2026届高三数学阶段检测三（A）卷（含解析）

2026届高三数学阶段检测三（A）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则集合与集合的关系是( )
A. B. C. D.
2.设是平面，，是两条直线，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，与所成的角相等，则
3.已知，，，若，则( )
A. B. C. D.
4.某厂生产一批圆台形灯罩，灯罩的上、下底面都是空的，上、下底面的半径之比为，高为，母线长为现要对个这样的灯罩的内、外表面都涂上一层防潮涂料，若每平方米需要克涂料，则共需涂料 ．
A. 克 B. 克 C. 克 D. 克
5.若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.已知为圆锥的底面直径，为底面圆心，正三角形内接于，若，圆锥的侧面积为，则与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.如图，已知在四面体中，为等边三角形，，的面积为，点在平面上的投影为点，点，分别为，的中点，则( )
A. 与相交 B. 与异面 C. D.
8.法布里贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过层薄膜，记光波的初始功率为，记为光波经过第层薄膜后的功率，假设在经过第层薄膜时光波的透过率，其中，，，为使得，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有( )
A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列
C. D.
10.已知正方体的棱长为，点满足，其中，，，则( )
A. 当，，时，平面
B. 当，时，异面直线与所成的角为
C. 当，时，
D. 当时，线段的长度最小值为
11.已知函数，则( )
A. 为周期函数
B. 存在，使得的图象关于对称
C. 在区间上单调递减
D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则 ．
13.设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是 ．
14.某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为一个半径为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，平面平面，是的中点，平面交平面于．
求证：平面；
若，求证：．
16.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，向量，，，．
求
若，，求的面积．
17.本小题分
在梯形中，，，，，如图现将沿对角线折成直二面角，如图，点在线段上．
求证：；
若点到直线的距离为，求的值．
18.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程
若在单调递减，求实数的取值范围．
19.本小题分
如图，几何体由两个直三棱柱拼接而成，在直三棱柱中，，；在直三棱柱中，直线，分别交平面于点，．
求证：；
若，则
(ⅰ)当时，求线段的长度；
(ⅱ)当平面与平面的夹角与互余时，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】函数值域为，
函数定义域为，
即，，
所以有．
故选：．
2.【答案】
【解析】对于，若，，则与可能平行、相交也可能异面，则为假命题，所以选项A错误；
对于，若，则垂直平面内的所有直线，因为，过直线作平面与平面相交于直线，则又因为，所以，再根据两平行线中的一条垂直第三条直线，那么另一条也垂直第三条直线，可得，所以选项B正确
对于，若，，则或，所以选项C错误；
对于，因圆锥的任意两条母线与底面所成角相等，即直线、可为一圆锥的两条母线，此时、是相交直线，所以选项D错误．
故选：．
3.【答案】
【解析】因为，
所以，
，
化简得，
解得：或，
又，所以，
所以，
所以，
故选：．
4.【答案】
【解析】已知上、下底面的半径之比为：，
设上底面半径，则下底面半径，
又高，母线，，
得，，
则侧面积，
所以个灯罩的总侧面积：，
所以个灯罩所需的油漆量：克．
故选：．
5.【答案】
【解析】，
，
，
所以．
6.【答案】
【解析】圆锥的侧面积公式为，
已知侧面积为，
因此，
为圆锥的母线长，即，
底面半径，
直径，
圆锥的高，
以所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则底面圆心的坐标为，点坐标为，点坐标为，
顶点的坐标为，点坐标为，点坐标为，
所以，，
则，
因为，，
设与所成角为，
所以余弦值．
故选：．
7.【答案】
【解析】已知为等边三角形，
设其边长为，
由的面积为，
则有，
解得．
因为点，分别为，的中点，
所以，
又因为与相交于点，
所以与异面，，选项错误；
以为原点，分别以，在平面内过点垂直于的直线，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
因为为中点，可得
为中点，可得，
则，，
，
所以，
即，选项正确；
，，
则，
所以与不垂直，
即与不垂直，选项错误．
故选C．
8.【答案】
【解析】由题意可知，

所以，
所以，
，
显然关于单调递增，其中，
，
所以的最大值为．
故选：．
9.【答案】
【解析】因为，
所以，
则是首项为，公比为的等比数列，故A错误；
根据题意得，，
所以数列为首项为，公比为的等比数列，故B正确；
则 ，
所以
，
故C正确；
，故D正确．
故选BCD．
10.【答案】
【解析】以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，，，，
选项A，，，，，
设平面的一个法向量是，
则
取，得，，
即，
平面即为平面，
所以，
又平面，
所以平面，A正确；
选项B，，，
所以，错；
选项C，，，，
所以，
即，C正确；
选项D，，
，当且仅当时取等号，
所以，
所以，D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析对于，因为，
所以为周期函数，故 A正确；
对于假设关于对称，则．
展开得：，
要求恒成立，
即无解，不存在这样的所以B错误；
对于， ．
令，当时，，
函数，其对称轴为，
当时，单调递减
当时，单调递增，
且当时，
当时，当时，，
所以在上恒为负，
即在上单调递减，选项正确；
对于，因为的最小正周期为，故在内研究函数的最值即可，
由于，当时取到最大值，，当或时，取到最大值，
显然和取最大值的时候，的值不相等，
故与不能同时取到，
所以函数的最大值不能取到，
故D错误．
故选AC．
12.【答案】
【解析】，
由得，，即，
由得，，即，
所以，
所以
．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】作出函数的大致图象如下图所示，
令，则可化为，
依题意，要使函数恰好有六个零点，
则方程在内有两个不同的实数根，
，解得，
实数的取值范围为．
故答案为．
14.【答案】
【解析】作出圆锥的轴截面，圆锥的底面圆心为点，如图：
小球与圆锥的侧面相切，小球、均同时与圆锥的底面和侧面相切，
可知，，，
则，，
根据对称性可知，
则，，
作于点，于点，
则，，
则小球能接触到的圆锥容器内壁最大面积为上下底面半径分别为、，母线长为的圆台侧面积加上半径为的圆的面积，
可得小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为．
故答案为：．
15.【解析】因为，平面，平面，
所以平面．
因为平面，平面平面，
所以．
又平面，平面，所以平面．
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面．
因为平面，所以，
又，，，平面，
所以平面，
又平面，所以．
16.【解析】
由正弦定理得，，
化简得，
即，
，，
，即，
又，，
故A，即；
，
，
，
又，，，即，
，
，
或舍，
故．
17.【解析】证明：在梯形中，因为，，，，
所以，且．
因为二面角是直二面角，所以平面平面，交于，
而平面，因此平面．
又因为平面，所以，而，，，平面，
因此平面，而平面，所以．
解：因为，
所以以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过与平面垂直的直线为轴，
建立空间直角坐标系如下图：
因为，，平面平面，
所以，，，，因此，．
因为点在线段上，所以设，因此．
因为点到直线的距离为，所以，
即，因此，解得，即，
所以．
18.【解析】因为，故切线的斜率为，
所以在点处的切线方程为．
由题意对恒成立，
且对的任意子区间不恒成立，
即，
设，则，
设，
则对恒成立，
即在上单调递减，
故G，
从而对恒成立，
故在上单调递减，
所以．
19.【解析】因为为直三棱柱，
所以，平面，平面，
所以平面．
平面，平面平面，
所以
如图，因为，，
所以，，从而，
又因为，所以，可得；
据题意，可以以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，
建立图示的空间直角坐标系，
从而，，，，
则平面法向量，
设平面法向量，
，，
则，即
从而取，
所以，，
显然，，与平面与平面的夹角相等，均为锐角，也是锐角，
则，，
得，
变形得，
，
，
，
令，则，
上式
，
解得或舍，
所以．

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