单元素养测评卷(一)
1.A [解析] +α表示将角α的终边按逆时针方向旋转弧度后所得的角,因为α为第四象限角,所以+α为第一象限角.
2.A [解析] sin(-600°)+tan 300°=sin(-600°+720°)+tan(300°-360°)=sin 120°+tan(-60°)=
sin 60°-tan 60°=-=-.
3.D [解析] 因为∠AOP=θ,所以以射线OP为终边的角为+θ+2kπ(k∈Z),设点P的坐标为(x,y),圆O的半径为r,则r=OP=OA=1,根据三角函数的定义可得sin==y,cos==x(k∈Z),可得x=-sin θ,y=cos θ,所以点P的坐标是(-sin θ,cos θ).
4.B [解析] 由题图知函数的最小正周期T满足2T=2π,∴T=π,∴=π,∴ω=2.故选B.
5.B [解析] cos=cos=cos=-cos=-sin α=-.故选B.
6.A [解析] 因为f=0,所以sin=0,则-=kπ,k∈Z,可得ω=2+6k,k∈Z,又因为1<ω<4,所以ω=2,所以f(x)=sin.将f(x)的图象向左平移φ个单位长度后,得到函数g(x)=sin=sin的图象,因为函数g(x)的图象关于y轴对称,所以2φ-=+nπ,n∈Z,即φ=+,n∈Z,又φ>0,当n=0时,φ=,所以φ的最小值为.故选A.
7.D [解析] a=sin =sin=sin ,∵-=->0,∴<<,∵当α∈时,
sin α>cos α,∴a=sin >cos =b.又当α∈时,sin α
sin =a,∴c>a>b.
8.D [解析] 由ω>0,x∈,可得ωx-∈,显然当x=0时,2sin=-.由f(x)的值域为[-,2],利用三角函数的性质可得≤ω-≤+π,解得≤ω≤,即ω的取值范围是.故选D.
9.BCD [解析] 根据三角函数的诱导公式可得cos(-θ)=cos θ,cos(π+θ)=-cos θ,sin=
-cos θ,sin=-cos θ,故选项B,C,D满足要求.故选BCD.
10.BC [解析] 对于A选项,因为f=3sin=-≠±3,故f(x)的图象不关于直线x=对称,A错误;对于B选项,因为f=3sin π=0,所以f(x)的图象关于点对称,B正确;对于C选项,当x∈时,-<2x-<,易知函数f(x)在区间上单调递增,C正确;对于D选项,因为f=3sin=3sin 2x,所以y=f为奇函数,D错误.故选BC.
11.BC [解析] 由f(x)=1,得sin=,解得ωx+=2kπ+,k∈Z或ωx+=2kπ+,k∈Z,当x∈[0,2π]时,ωx+∈,则ωx+的可能取值为,,,,…,由f(x)=1在[0,2π]上恰有3个实根,得≤2ωπ+<,解得1≤ω<,所以ω的取值范围是,结合选项知ω的取值可能是1,.故选BC.
12.-10 [解析] 由点P(-1,2)在角α的终边上,得cos α=-,tan α=-2,所以=-10.
13. [解析] ∵函数f(x)=cos(3x+φ)(0≤φ<π)为奇函数,∴φ=.
14. [解析] 由题可知ω>0,∵函数f(x)=sin在上单调递减,∴函数f(x)的半个周期大于或等于,即≥,则=≥,∴0<ω≤2.由解得4k+≤ω≤2k+,k∈Z,又0<ω≤2,∴k=0,≤ω≤,则正实数ω的取值范围是.
15.解:(1)∵cos α=-,且角α的终边过点(-4,m),m>0,
∴cos α=-=,解得m=3或m=-3(舍去),∴m=3.
(2)==,
∵sin2α==,cos α=-,∴原式==-.
16.解:(1)因为f(x)=2sin,所以f=2sin=2,f(x)的最小正周期T==π.
(2)因为0≤x≤,所以≤2x+≤,
所以-≤sin≤1,所以-1≤2sin≤2,
故f(x)的取值范围为[-1,2].
17.解:(1)从题图中可以看出A=4,最小正周期T=2×=π,
则=π,即ω=2.
将t=,s=4代入解析式,得sin=1,
所以+φ=+2kπ,k∈Z,又0≤φ<2π,所以φ=.
所以这条曲线对应函数的解析式为s=4sin,t∈[0,+∞).
(2)当t=0时,s=4sin=2,故小球在开始振动时,离开平衡位置的位移是2 cm.
18.解:(1)∵函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)图象上的一个最高点为,距离该最高点最近的一个对称中心为,
∴A=1,=-=,∴T=π,ω==2,∴f(x)=sin(2x+φ).
将点的坐标代入f(x)=sin(2x+φ),得sin=1,
∵|φ|<π,∴φ=,∴f(x)=sin.
由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,可得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
∴f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
(2)由题可得g(x)=sin(a>0),
∵g(x)的图象关于直线x=π对称,且g(x)在上单调递增,
∴π+=+k1π,k1∈Z,即a=+k1,k1∈Z.
由x∈,可得ax+∈,
则+≤,即a≤5,
又a=+k1,k1∈Z,a>0,∴a=或a=5.
19.解:(1)由题意得,+=≤=,所以ω≤.
当x∈时,ωx∈,则其中k∈Z,可得0<ω≤.
综上,ω的取值范围为.
(2)由题知f(x)=2sin 2x,将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,得到y=f=2sin的图象,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到y=2sin的图象,再将所得图象向上平移1个单位长度,得到g(x)=2sin+1的图象.
令g(x)=0得sin=-,令t=4x+,则t∈,原问题等价于方程sin t=-在上有30个根.
设y=g(x)在区间[a,b]上的30个零点从小到大依次为x1,x2,…,x30,且t1=4x1+,t2=4x2+,…,t30=4x30+,要使b-a最小,则a=x1,b=x30.
因为函数y=sin t在每个周期内都有两个变量t对应的函数值为-,所以函数g(x)在15个周期内共有30个零点,易知当b-a最小时,t1=4x1+=,t30=4x30+=30π-=,
则-=,所以x30-x1=,
即b-a的最小值为.单元素养测评卷(一)
第一章
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知α为第四象限角,则+α为 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
2.sin(-600°)+tan 300°的值是 ( )
A.- B.
C.-+ D.+
3.如图,在平面直角坐标系xOy中,射线OP交圆O于点P,若A(0,1),∠AOP=θ,
则点P的坐标是 ( )
A.(cos θ,sin θ)
B.(-cos θ,sin θ)
C.(sin θ,cos θ)
D.(-sin θ,cos θ)
4.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0,2π]上的图象如图所示,那么ω等于 ( )
A.1 B.2
C. D.
5.已知sin α=,则cos= ( )
A. B. - C. D. -
6.已知函数f(x)=sin(1<ω<4)满足f=0,将函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后得到g(x)的图象,且g(x)的图象关于y轴对称,则φ的最小值为 ( )
A. B.
C. D.
7.设a=sin ,b=cos ,c=tan ,则 ( )
A.aC.b8.[2024·安徽阜阳三中高一期末] 若函数f(x)=2sin的值域为[-,2],则ω的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列各式中,与cos θ不相等的有 ( )
A.cos(-θ) B.cos(π+θ)
C.sin D.sin
10.已知函数f(x)=3sin,则下列结论中正确的是 ( )
A.f(x)的图象关于直线x=对称
B.f(x)的图象关于点对称
C.函数f(x)在区间上单调递增
D.y=f是偶函数
11.[2024·湖南长沙高一期中] 已知f(x)=2sin(ω>0),若方程f(x)=1在区间[0,2π]上恰有3个实根,则ω的取值可能是 ( )
A. B.1 C. D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.点P(-1,2)在角α的终边上,则= .
13.已知函数f(x)=cos(3x+φ)(0≤φ<π)为奇函数,则φ= .
14.已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知角α终边上一点(-4,m),m>0,且cos α=-.
(1)求m的值;
(2)求的值.
16.(15分) [2024·浙江温州高一期末] 已知函数f(x)=2sin.
(1)求f的值及f(x)的最小正周期;
(2)若x∈,求f(x)的取值范围.
17.(15分)弹簧上挂的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移s(单位:cm)随时间t(单位:s)的变化曲线是函数s=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,0≤φ<2π),t∈[0,+∞)的图象,该图象的一部分如图所示.
(1)求这条曲线对应函数的解析式;
(2)小球在开始振动时,离开平衡位置的位移是多少
18.(17分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)图象上的一个最高点为,距离该最高点最近的一个对称中心为.
(1)求f(x)的解析式,并求出f(x)的单调递减区间;
(2)若函数g(x)=f(a>0),g(x)的图象关于直线x=π对称,且g(x)在上单调递增,求a的值.
19.(17分)已知函数f(x)=2sin ωx,其中常数ω>0.
(1)若f(x)在上单调递增,求ω的取值范围.
(2)令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象.若函数g(x)在区间[a,b]上至少含有30个零点,求b-a的最小值.