第四章 指数函数与对数函数（单元测试）（含解析）-2025-2026学年人教A版(2019)高一数学必修第一册

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第四章 指数函数与对数函数
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 南昌月考）已知函数的零点为x1，函数的零点为x2，则下列结论中错误的是（　　）
A． B．
C．x1＞x2 D．g（x1）＜1
2．（2025春 恩施州期末）已知x≥1，f（x）＝lnx，，三个函数图象如图所示，则f（x），g（x），h（x）的图象依次为图中的（　　）
A．C1，C2，C3 B．C3，C2，C1 C．C2，C3，C1 D．C1，C3，C2
3．（2025 慈溪市校级模拟）核燃料是重要的能量来源之一，在使用核燃料时，为了冷却熔化的核燃料，可以不断向反应堆注入水，但会产生大量放射性核元素污染的冷却水，称为核废水．核废水中含有一种放射性同位素氚，它有可能用辐射损伤细胞和组织，影响生物的繁殖和生态平衡．已知氚的半衰期约为12年，则氚含量变成初始量的大约需要经过（　　）年．（lg2≈0.3010）
A．155 B．159 C．162 D．166
4．（2024秋 仓山区校级期末）已知函数，则函数的零点个数是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．（2024秋 开福区校级期末）已知函数f（x）＝aex﹣x2（a∈R）有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024秋 杭州期末）已知f（x）＝﹣x2+2|x|+1，若方程[f（x）]2+mf（x）+n＝0（m，n∈R）恰好有三个互不相等的实根，则实数m的取值范围为（　　）
A．m＜﹣3 B．m≤﹣2
C．m＜﹣3或m＞﹣2 D．m＝﹣2或m＜﹣3
7．（2025 银川校级三模）若函数，则g（x）＝2[f（x）]2﹣13f（x）+21的零点个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2024秋 朝阳区校级期末）已知函数，若关于x的方程f（x）＝m有4个不同的实根x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则（　　）
A． B．（16，32）
C． D．（32，48）
二．多选题（共4小题）
9．（2025秋 皇姑区校级月考）已知函数有两个不同的零点，则实数m的取值可能是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（2024秋 蚌埠期末）已知函数函数g（x）＝[f（x）]2﹣（m+2）f（x）+2m，则（　　）
A． x∈R，f（x）≠f（﹣x）
B． x∈R，f（x）＝f（﹣x）
C．若g（x）≥﹣1恒成立，则实数m的取值范围是[0，4]
D．若m∈（1，2），则函数g（x）恰好有5个零点，且5个零点之和的取值范围是（4，5）
11．（2024秋 深圳期末）已知函数，则下列结论中正确地是（　　）
A．当x＜0时，f（x）＜0
B．f（x）的图象关于（0，1）中心对称
C．若m+n＝0，则|f（m）﹣f（n）|＞1
D．f（x）在（0，+∞）上单调递减
12．（2024秋 花都区期末）已知函数f（x）＝log3（x2﹣2x），则（　　）
A．函数f（x）的单调递增区间是[1，+∞）
B．函数f（x）的值域是R
C．函数f（x）的图象关于x＝1对称
D．不等式f（x）＜1的解集是（﹣1，3）
三．填空题（共4小题）
13．（2025 金凤区校级一模）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）＝0，且f（x+2）为偶函数，则f（x）的周期为 　 　 ；当0≤x≤2时，，若关于x的方程|f（x）|+f（|x|）＝ax有4个不同实根，则实数a的取值范围是 　 　 ．
14．（2025 西宁二模）函数的零点个数为 　 　 ．
15．（2023秋 南安市校级月考）已知函数f（x）＝3x﹣1+b的图象不过第二象限，则实数b的取值范围是 　 　 ．
16．（2024秋 哈尔滨期末）已知函数．若定义域为R，则实数a的取值范围为 　 　 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 苏州期末）已知函数．
（1）求f（x）的定义域；
（2）解关于x的方程f（x）＝f（﹣ex+1）；
（3）若函数g（x）＝（2x﹣a）f（x）的图象关于直线x＝b对称，求实数a，b的值．
18．（2024秋 新化县期末）已知a＞0且满足不等式22a+1＞25a﹣2．
（1）求实数a的取值范围．
（2）求不等式loga（3x+1）＜loga（7﹣5x）．
（3）若函数y＝loga（2x﹣1）在区间[1，3]有最小值为﹣2，求实数a值．
19．（2024秋 四川期末）已知函数．
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）若函数，请判断是否存在实数m使得F（x）有两个零点，其中一个在（0，1）之间，另一个在（1，log23）之间，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）若函数，当x∈[log23，log25]时，记G（x）的最小值为h（n），求h（n）．
20．（2024秋 赤峰期末）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2．预计安装后该企业每年需缴纳的水费C（单位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系为C（x）（x＞0）．将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y（单位：万元）．
（1）要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；
（2）设备占地面积x为多少时，y的值最小？
第四章 指数函数与对数函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 南昌月考）已知函数的零点为x1，函数的零点为x2，则下列结论中错误的是（　　）
A． B．
C．x1＞x2 D．g（x1）＜1
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】对于AB，根据零点的存在性定理即可判断；
对于C，令，从而可得h（x1）＜h（x2），再结合单调性即可判断；
对于D，根据的单调性可得g（x1）＜g（x2）＝0＜1，从而可判断．
【解答】解：对于A，因为y＝2x﹣1在（0，+∞）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
所以在（0，+∞）上单调递增，
又，
且在（0，+∞）上是连续函数，
又当x＜0时，，
所以在上存在唯一零点x1，即，故A正确；
对于B，因为y＝2x在（0，+∞）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
所以在（0，+∞）上单调递增．
又，
且在（0，+∞）上是连续函数，
又当x＜0时，，
所以在上存在唯一零点x2，即，故B正确；
对于C，，
所以，
令，
易知h（x）在（0，+∞）上单调递增，
又因为， ，
又，所以，
即h（x1）＜h（x2），
所以x1＜x2，故C错误；
对于D，因为在（0，+∞）上单调递增，且x1＜x2，
所以g（x1）＜g（x2）＝0＜1，故D正确．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的零点、指数函数及幂函数的性质，属于中档题．
2．（2025春 恩施州期末）已知x≥1，f（x）＝lnx，，三个函数图象如图所示，则f（x），g（x），h（x）的图象依次为图中的（　　）
A．C1，C2，C3 B．C3，C2，C1 C．C2，C3，C1 D．C1，C3，C2
【考点】对数函数的图象．
【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意，令x＝2，可得f（2）＝ln2，，，结合指数函数与对数函数的性质，得到h（2）＞f（2）＞g（2），进而得到答案．
【解答】解：令x＝2，可得，，f（2）＝ln2，
因为4＞e，所以，，
又因为16＜e3，可得，即，
所以h（2）＞f（2）＞g（2），
所以f（x），g（x），h（x）的图象依次为图中的C2，C3，C1．
故选：C．
【点评】本题注意考查函数图象，属于基础题．
3．（2025 慈溪市校级模拟）核燃料是重要的能量来源之一，在使用核燃料时，为了冷却熔化的核燃料，可以不断向反应堆注入水，但会产生大量放射性核元素污染的冷却水，称为核废水．核废水中含有一种放射性同位素氚，它有可能用辐射损伤细胞和组织，影响生物的繁殖和生态平衡．已知氚的半衰期约为12年，则氚含量变成初始量的大约需要经过（　　）年．（lg2≈0.3010）
A．155 B．159 C．162 D．166
【考点】指数函数的实际应用．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；新文化类．
【答案】B
【分析】依题意，得，等号两端取对数，即可求得答案．
【解答】解：设氚含量变成初始量的大约需要经过t年，
则，，即4log210＝4，
即t159．
故选：B．
【点评】本题考查指数函数的实际应用，属于中档题．
4．（2024秋 仓山区校级期末）已知函数，则函数的零点个数是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】作出函数f（x）的图象如图所示，可得f（x）＝y的根与y的关系，令t＝f（x），F（t）＝f（t）﹣3t的零点即为f（t）＝3t的根，由图形可知t的范围，进而可得函数的零点个数．
【解答】解：作出函数f（x）的图象如图所示，
当y＝0时，f（x）＝y只有一个根，
当0＜y≤1时，f（x）＝y有二个根，
当1＜y≤2时，f（x）＝y有三个根，
当y＞2时，f（x）＝y有二个根，
令t＝f（x），
F（t）＝f（t）﹣3t的零点即为f（t）＝3t的根，
作出两函数y＝f（t）与y＝3t可知两函数有两交点t1，t2，且0＜t1＜1，1＜t2＜2，
所以函数的零点个数是5个．
故选：B．
【点评】本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查数形结合思想的应用，属中档题．
5．（2024秋 开福区校级期末）已知函数f（x）＝aex﹣x2（a∈R）有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；导数的概念及应用；直观想象；运算求解．
【答案】A
【分析】将问题转化为与y＝a有三个不同交点，利用导数研究g（x）的性质并画出图象，数形结合法判断a的取值范围．
【解答】解：令f（x）＝aex﹣x2＝0，可得，
若，则，
∴当0＜x＜2时，g'（x）＞0，g（x）递增；
当x＜0或x＞2时，g'（x）＜0，g（x）递减；
∴g（x）有极小值g（0）＝0，极大值，
又x→﹣∞，g（x）→+∞；x→+∞，g（x）→0；可得g（x）图象如下：
∴要使题设函数有三个不同零点，则g（x）与y＝a有三个不同交点，
∴，
∴实数a的取值范围．
故选：A．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的性质，由函数零点个数求参数取值范围的方法等知识，属于中等题．
6．（2024秋 杭州期末）已知f（x）＝﹣x2+2|x|+1，若方程[f（x）]2+mf（x）+n＝0（m，n∈R）恰好有三个互不相等的实根，则实数m的取值范围为（　　）
A．m＜﹣3 B．m≤﹣2
C．m＜﹣3或m＞﹣2 D．m＝﹣2或m＜﹣3
【考点】函数的零点与方程根的关系；函数与方程的综合运用．
【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；转化法；函数的性质及应用；直观想象；运算求解．
【答案】D
【分析】作出f（x）的图象，令t＝f（x），则结合图象将问题转化为方程t2+mt+n＝0（m，n∈R）有两个不同的实根t1，t2，且t1＝1，t2＞2，或方程t2+mt+n＝0（m，n∈R）有两个相等的根t1＝t2＝1，再求出实数m的取值范围．
【解答】解：．
当x≥0时，f（x）的对称轴为x＝1，则单调增区间为（0，1），减区间为（1，+∞），
当x＜0时，f（x）的对称轴为x＝﹣1，则单调增区间为（﹣∞，﹣1），减区间为（﹣1，0），
f（x）的图象如图所示．
令t＝f（x），则[f（x）]2+mf（x）+n＝0（m，n∈R）可化为t2+mt+n＝0（m，n∈R），
要使方程[f（x）]2+mf（x）+n＝0（m，n∈R）恰好有三个互不相等的实根，
则方程t2+mt+n＝0（m，n∈R）有两个不同的实根t1，t2，且t1＝1，t2＞2，
或方程t2+mt+n＝0（m，n∈R）有两个相等的根t1＝t2＝1，
令g（t）＝t2+mt+n＝0（m，n∈R），
当t1＝1，t2＞2时，，解得m＜﹣3，
当t1＝t2＝1时，t1+t2＝﹣m＝2，得m＝﹣2，
综上，m的取值范围为{m|m＝﹣2或m＜﹣3}．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合思想和转化思想，属中档题．
7．（2025 银川校级三模）若函数，则g（x）＝2[f（x）]2﹣13f（x）+21的零点个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】函数思想；方程思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】令g（x）＝0，可得或f（x）＝3，分x≤0，x＞0求导判断f（x）的单调性及极值，进而可得，f（x）＝3的解的个数，进而可得g（x）的零点个数．
【解答】解：令g（x）＝0，
则2[f（x）]2﹣13f（x）+21＝0，
即[2f（x）﹣7][f（x）﹣3]＝0，
解得或f（x）＝3，
当x≤0时，f（x）＝2x3﹣6x+3，求导得f′（x）＝6x2﹣6，
令f′（x）＝0，则6x2﹣6＝0，解得x＝﹣1，
若x＜﹣1时，f′（x）＞0，若﹣1＜x＜0，f′（x）＜0，
所以f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减，
且f（﹣1）＝﹣2+6+3＝7，f（0）＝3，
当x＞0时，f（x）＝3ex在（0，+∞）上单调递增，且f（x）＞f（0）＝3e0＝3，
作出函数y＝f（x）的图象，如图所示：
所以有3个解，f（x）＝3有2个解，
所以g（x）的零点个数为5个．
故选：D．
【点评】本题考查了函数与方程思想、导数的综合运用及指数函数的性质，属于中档题．
8．（2024秋 朝阳区校级期末）已知函数，若关于x的方程f（x）＝m有4个不同的实根x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则（　　）
A． B．（16，32）
C． D．（32，48）
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】由f（x1）＝f（x2）可得log2x1+log2x2＝0，即x1x2＝1；由二次函数y＝x2﹣8x+13图象的对称轴为直线x＝4可得x3+x4＝8，进而，结合即可求解．
【解答】解：作出函数y＝f（x）和函数y＝m的图象可知，
假设两个函数的图象共有4个交点A，B，C，D，
且横坐标分别为x1，x2，x3，x4，x1＜x2＜x3＜x4，0＜x1＜1＜x2＜2，
由f（x1）＝f（x2），得|log2x1|＝|log2x2|，则有﹣log2x1＝log2x2，
所以log2x1+log2x2＝0，所以x1x2＝1．
由于二次函数y＝x2﹣8x+13图象的对称轴为直线x＝4，
则点C、D两点关于直线x＝4对称，所以x3+x4＝8．则．
令x2﹣8x+13＝0，解得或，所以，
所以．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数的性质及函数零点存在定理的应用，体现了转化思想及数形结合思想的应用，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
9．（2025秋 皇姑区校级月考）已知函数有两个不同的零点，则实数m的取值可能是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BC
【分析】将函数有两个不同的零点，转化为的图象与直线y＝m有两个不同的交点，数形结合求解参数范围．
【解答】解：由，可得．
令，则f（x）的图象与直线y＝m有两个不同的交点．
令g（x）＝4﹣x﹣3x，易得g（x）为减函数，且g（1）＝0，
所以当x＜1时，g（x）＞0，当x＞1时，g（x）＜0，
所以当x＞1时，f（x）4﹣x，
当x≤1时，f（x）3x，
其图象如图所示：
由图可知m∈（0，3），故B，C符合题意．
故选：BC．
【点评】本题考查函数的零点与方程的根，属于中档题．
10．（2024秋 蚌埠期末）已知函数函数g（x）＝[f（x）]2﹣（m+2）f（x）+2m，则（　　）
A． x∈R，f（x）≠f（﹣x）
B． x∈R，f（x）＝f（﹣x）
C．若g（x）≥﹣1恒成立，则实数m的取值范围是[0，4]
D．若m∈（1，2），则函数g（x）恰好有5个零点，且5个零点之和的取值范围是（4，5）
【考点】函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】ACD
【分析】AB选项，画出f（x）的图象，要想使得f（x）＝f（﹣x），只需考虑f（x）∈[1，2]，分别求出对应的自变量取值范围，B错误，A正确；
C选项，恒成立，由函数图象可知f（x）∈R，故，解得0≤m≤4；
D选项，令g（x）＝0，得到f（x）＝m∈（1，2）或f（x）＝2，f（x）＝2对应两个解，x1＝﹣1，x2＝2，f（x）＝m∈（1，2）对应三个解，即x4+x5＝4，x3∈（﹣1，0），故x1+x2+x3+x4+x5＝x3+5∈（4，5），D正确．
【解答】解：作出函数f（x）的图象，如下：
设x＞0，那么﹣x＜0，
要使得f（x）＝f（﹣x），只需考虑f（x）∈[1，2]，
令2﹣x∈[1，2]，解得x∈[﹣1，0]，
令﹣x2+4x﹣2∈[1，2]，解得x∈[1，3]，
且f（1）＝1，f（﹣1）＝2，所以不存在x∈R，使得f（x）＝f（﹣x），所以选项A正确，选项B错误；
函数，
g（x）≥﹣1恒成立，所以，
恒成立，
根据函数图象可知f（x）∈R，要想恒成立，
那么需满足，解得0≤m≤4，
因此m∈[0，4]，所以选项C正确；
如果m∈（1，2），令函数g（x）＝[f（x）]2﹣（m+2）f（x）+2m＝0，
所以[f（x）﹣m][f（x）﹣2]＝0，因此函数f（x）＝m∈（1，2）或f（x）＝2，
显然方程f（x）＝2对应两个解，x1＜0，x2＝2，令，得x1＝﹣1，
方程f（x）＝m∈（1，2）对应三个解，所以﹣1＜x3＜0，x4∈（0，2），x5＞2，
且，x3∈（﹣1，0），
故x1+x2+x3+x4+x5＝﹣1+2+x3+4＝x3+5∈（4，5），
则函数g（x）恰好有5个零点，且5个零点之和的取值范围是（4，5）．
故选：ACD．
【点评】本题考查函数零点与方程根的问题，属于中档题．
11．（2024秋 深圳期末）已知函数，则下列结论中正确地是（　　）
A．当x＜0时，f（x）＜0
B．f（x）的图象关于（0，1）中心对称
C．若m+n＝0，则|f（m）﹣f（n）|＞1
D．f（x）在（0，+∞）上单调递减
【考点】求对数函数及对数型复合函数的单调性．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据指数函数与对数函数的性质，可判断A的真假；根据特殊点的位置关系，判断B的真假；探索m+n＝0时，f（m）与f（n）的关系，判断C的真假；求导，利用导数判断D的真假．
【解答】解：当x＜0时，ex+1＞1，则ln（ex+1）＞0，可得，故A正确；
f（1）＝ln（e+1），1﹣ln（e+1）．
可知f（1）+f（﹣1）＝1≠2，则（1，f（1））与（﹣1，f（﹣1））不关于点（0，1）对称，
即f（x）的图象不关于（0，1）中心对称，故B错误；
若m+n＝0，不妨设m＞0，
∵f（﹣m）+f（m），
∴|f（m）﹣f（n）|＝|f（m）﹣f（﹣m）|＝|2f（m）﹣1|．
又当m＞0时，，∴|f（m）﹣f（n）|＞1，故C正确；
当x＞0时，，则f（x）在（0，+∞）上单调递减，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查复合函数的性质及判定，训练了利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，是中档题．
12．（2024秋 花都区期末）已知函数f（x）＝log3（x2﹣2x），则（　　）
A．函数f（x）的单调递增区间是[1，+∞）
B．函数f（x）的值域是R
C．函数f（x）的图象关于x＝1对称
D．不等式f（x）＜1的解集是（﹣1，3）
【考点】求对数函数及对数型复合函数的单调性；函数的值域；奇偶函数图象的对称性；对数函数的定义域．
【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据复合函数单调性的“同增异减”原则结合对数函数和一元二次函数性质可判断A选项；由真数部分函数的值域，结合对数函数的基本性质可判断B选项；利用函数对称性的定义可判断C选项；利用对数函数的单调性解不等式f（x）＜1，可判断D选项．
【解答】解：已知函数f（x）＝log3（x2﹣2x），
对于A，由x2﹣2x＞0可得x＜0或x＞2，
所以函数的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞），
因为函数y＝x2﹣2x在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（2，+∞）上单调递增，
且函数y＝log3x为增函数，
所以函数f（x）的单调递增区间是（2，+∞），故A错；
对于B，由A知函数的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞），
当x＜0或x＞2时，函数y＝x2﹣2x值域为（0，+∞），
所以函数f（x）的值域是R，故B对；
对于C，因为，
所以函数f（x）的图象关于x＝1对称，故C对；
对于D，由可得0＜x2﹣2x＜3，
解得﹣1＜x＜0或2＜x＜3，
所以不等式f（x）＜1的解集是（﹣1，0）∪（2，3），故D错．
故选：BC．
【点评】本题考查复合函数单调性相关知识，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025 金凤区校级一模）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）＝0，且f（x+2）为偶函数，则f（x）的周期为 　8　 ；当0≤x≤2时，，若关于x的方程|f（x）|+f（|x|）＝ax有4个不同实根，则实数a的取值范围是 　　 ．
【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的周期性．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】8；．
【分析】根据给定条件探讨函数f（x）的性质，进而探求函数g（x）的性质，作出图象数形结合求解．
【解答】解：依题意得： x∈R，f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数f（x）关于原点对称，
又f（x+2）为偶函数，所以f（﹣x+2）＝f（x+2），即f（4﹣x）＝f（x），
所以函数f（x）关于直线x＝2对称，
由f（4﹣x）＝f（x）＝﹣f（﹣x）得f（8﹣x）＝﹣f（4﹣x）＝﹣[﹣f（﹣x）]＝f（﹣x），
所以f（x）是周期为8的周期函数，
当0≤x≤2时，，作出函数f（x）的部分图象如图，
令g（x）＝|f（x）|+f（|x|），
则g（﹣x）＝|f（﹣x）|+f（|﹣x|）＝|﹣f（x）|+f（|x|）＝|f（x）|+f（|x|）＝g（x），
故函数g（x）是R上的偶函数，讨论x≥0的情况，再由对称性可得x≤0的情况，
因为g（x+8）＝|f（x+8）|+f（|x+8|）＝|f（x）|+f（|x|）＝g（x），
所以g（x）也是周期为8的周期函数，
当x≥0时，g（x）＝|f（x）|+f（x），
当0≤x≤4时，g（x）＝f（x）+f（x）＝2f（x）；
当4≤x≤8时，g（x）＝﹣f（x）+f（x）＝0．
关于x的方程|f（x）|+f（|x|）＝ax有4个不同实根，
即直线y＝ax与y＝g（x）的图象有4个公共点，作出函数y＝g（x）的部分图象如图：
观察图象知，当直线y＝ax过原点（0，0）及点，即时，
直线与y＝g（x）的图象有3个公共点；
当直线y＝ax过原点（0，0）及点，即时，
直线与y＝g（x）的图象有5个公共点；
当直线绕原点逆时针旋转到直线时，
旋转过程中每个位置的直线y＝ax（不含边界）与y＝g（x）的图象总有4个公共点，
于是得：当x≥0时，关于x的方程|f（x）|+f（|x|）＝ax有4个不同实根，有．
由对称性知，当x≤0时，关于x的方程|f（x）|+f（|x|）＝ax有4个不同实根，有．
所以实数a的取值范围是：．
故答案为：8；．
【点评】本题考查函数周期性和零点综合应用，属于难题．
14．（2025 西宁二模）函数的零点个数为 　4　 ．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】4．
【分析】由f（x）＝0可得x＝0或，对于的零点个数，考虑将其转化成两函数y1＝2|cosx|，的交点个数，通过作图即得．
【解答】解：令f（x）＝0，得x＝0或．
设y1＝2|cosx|，，
作出其图象如下：
数形结合可得两者共有3个交点，
综上所述：函数f（x）共有4个零点．
故答案为：4．
【点评】本题考查函数的零点问题的求解，数形结合思想，属中档题．
15．（2023秋 南安市校级月考）已知函数f（x）＝3x﹣1+b的图象不过第二象限，则实数b的取值范围是 　　 ．
【考点】指数函数及指数型复合函数的图象．
【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】．
【分析】利用指数函数图象性质可知y＝3x﹣1至少向下平移个单位长度才能满足题意，即可求得．
【解答】解：由已知可知f（x）＝3x﹣1+b在R上单调递增，
已知函数y＝3x﹣1的图象如下图所示：
故若要符合题意需满足f（0）＝30﹣1+b≤0，可得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了指数函数图象及性质的应用，属于中档题．
16．（2024秋 哈尔滨期末）已知函数．若定义域为R，则实数a的取值范围为 　　 ．
【考点】求对数型复合函数的定义域．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】由题意，恒成立．结合二次函数的图象与性质分别讨论a＝0、a＞0和a＜0情况下即可．
【解答】解：函数定义域为R，
则恒成立．
当a＝0时，不恒成立；
当a＞0时，由，
解得，此时f（x）的定义域为R；
当a＜0时，抛物线的开口向下，函数值不可能恒大于0．
综上，．
故答案为：．
【点评】本题主要考查对数型复合函数的定义域，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 苏州期末）已知函数．
（1）求f（x）的定义域；
（2）解关于x的方程f（x）＝f（﹣ex+1）；
（3）若函数g（x）＝（2x﹣a）f（x）的图象关于直线x＝b对称，求实数a，b的值．
【考点】求对数函数的定义域；奇偶函数图象的对称性．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）（﹣∞，0）∪（3，+∞）；
（2）x＝﹣1；
（3）a＝3，．
【分析】（1）根据对数函数的真数大于零列不等式求解即可；
（2）先利用复合函数的单调性法则得f（x）在（﹣∞，0）和（3，+∞）上为增函数，然后将方程转化为x+ex+1＝0，
记h（x）＝x+ex+1利用函数的单调性及特殊值求解方程即可；
（3）根据g（x）的图象的对称性求得，进而利用对称性得，化简即可求得 a＝3．
【解答】解：（1）由得x＜0或x＞3，所以f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（3，+∞）；
（2）因为在（﹣∞，0）和（3，+∞）上单调递增，
又y＝lnx在定义域上单调递增，由复合函数的单调性知f（x）在（﹣∞，0）和（3，+∞）上为增函数，
所以，所以x+ex+1＝0，
记h（x）＝x+ex+1结合指数函数的单调性可知h（x）＝x+ex+1为增函数，
又h（﹣1）＝0，所以x＝﹣1；
（3）由（1）可知，g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（3，+∞），
因为函数g（x）＝（2x﹣a）f（x）的图象关于直线x＝b对称，
所以进一步根据g（x）＝g（3﹣x），
得即；
则有2x﹣a＝2x+a﹣6，即a＝3．综上所述，a＝3，．
【点评】本题主要考查对数函数的定义域，属于基础题．
18．（2024秋 新化县期末）已知a＞0且满足不等式22a+1＞25a﹣2．
（1）求实数a的取值范围．
（2）求不等式loga（3x+1）＜loga（7﹣5x）．
（3）若函数y＝loga（2x﹣1）在区间[1，3]有最小值为﹣2，求实数a值．
【考点】指数函数综合题．
【专题】函数的性质及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据指数函数的单调性解不等式即可求实数a的取值范围．
（2）根据对数函数的单调性求不等式loga（3x+1）＜loga（7﹣5x）．
（3）根据复合函数的单调性以及对数的性质即可求出a的值．
【解答】解：（1）∵22a+1＞25a﹣2．
∴2a+1＞5a﹣2，即3a＜3，
∴a＜1，
∵a＞0，a＜1，
∴0＜a＜1．
（2）由（1）知0＜a＜1，
∵loga（3x+1）＜loga（7﹣5x）．
∴等价为，
即，
∴，
即不等式的解集为（，）．
（3）∵0＜a＜1，
∴函数y＝loga（2x﹣1）在区间[1，3]上为减函数，
∴当x＝3时，y有最小值为﹣2，
即loga5＝﹣2，
∴a﹣25，
解得a．
【点评】本题主要考查不等式的解法，利用指数函数和对数函数的单调性是解决本题的关键．
19．（2024秋 四川期末）已知函数．
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）若函数，请判断是否存在实数m使得F（x）有两个零点，其中一个在（0，1）之间，另一个在（1，log23）之间，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）若函数，当x∈[log23，log25]时，记G（x）的最小值为h（n），求h（n）．
【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的奇偶性．
【专题】分类讨论；函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）f（x）为偶函数，证明见解析；
（2）不存在，理由见解析；
（3）．
【分析】（1）先判断函数的定义域为R，再求出f（﹣x），由f（﹣x）＝f（x）得f（x）为偶函数；
（2）先将代入F（x），得F（x）＝4x+m 2x+m，令2x＝t（t＞0），利用换元思想将F（x）转化为函数H（t）＝t2+mt+m（t＞0），从而将问题转化为求解根的分布问题；
（3）先将代入G（x）得G（x）＝n 4x﹣2x﹣3，令2x＝s（3≤s≤5），利用换元思想将G（x）转化为函数g（s）＝ns2﹣s﹣3（3≤s≤5），因此可将问题转化为动轴定区间问题，结合函数的单调性进行分类讨论．
【解答】解：（1）f（x）为偶函数，证明如下：
由题可得f（x）的定义域为R并且定义域关于原点对称，
因为，
所以
＝f（x），
所以f（x）是定义在R上的偶函数；
（2）因为，
所以，
令2x＝t（t＞0），
则F（x）可转化为H（t）＝t2+mt+m（t＞0），
当x∈（0，1）时，t∈（1，2），
当x∈（1，log23）时，t∈（2，3），
因为F（x）有两个零点，
一个在（0，1）之间，另一个在（1，log23）之间，
可转化为H（t）有两个零点，
其中一个在（1，2）之间，另一个在（2，3）之间，
由二次函数根的分布有：
，即，无解；
所以不存在实数m使得F（x）有两个零点，其中一个在（0，1）之间，另一个在（1，log23）之间；
（3）因为，
所以，
令2x＝s，
因为x∈[log23，log25]，
所以s∈[3，5]，
则g（s）＝ns2﹣s﹣3（n≥0）（3≤s≤5），
G（x）的最小值即为g（s）的最小值，
①当n＝0时，g（s）＝﹣s﹣3，在[3，5]上单调递减，
所以此时最小值为h（n）＝g（5）＝﹣8，
②当n＞0时，g（s）＝ns2﹣s﹣3为二次函数，开口向上，对称轴为x，
当时，即，g（s）在[3，5]上单调递减，
所以h（n）＝g（5）＝25n﹣8，
当时，即，g（s）在[3，]上单调递减，（，5]上单调递增，
所以，
当时，即，g（s）在[3，5]上单调递增，
所以h（n）＝g（3）＝9n﹣6，
综上所述，．
【点评】本题考查了判断函数的奇偶性、转化思想、分类讨思想，考查了二次函数根的分布，属于中档题．
20．（2024秋 赤峰期末）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2．预计安装后该企业每年需缴纳的水费C（单位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系为C（x）（x＞0）．将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y（单位：万元）．
（1）要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；
（2）设备占地面积x为多少时，y的值最小？
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】对应思想；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意解不等式0.2x7.2，即可求得；
（2）利用基本不等式即可求解．
【解答】解：（1）由题意得y＝0.2x，x＞0，
要满足题意，则y≤7.2，
即0.2x7.2，解得11≤x≤20．
即设备占地面积x的取值范围为[11，20]．
（2）y＝0.2x1≥21＝7，
当且仅当x＝15时，等号成立．
所以设备占地面积为15m2时，y的值最小．
【点评】本题考查函数模型的运用，基本（均值）不等式的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
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