第二章 直线与圆的方程（单元测试）（含解析）-2025-2026学年人教A版(2019)高二数学选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 第二章 直线与圆的方程（单元测试）（含解析）-2025-2026学年人教A版(2019)高二数学选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 289.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-15 20:23:47 | ||
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文档简介
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第二章 直线与圆的方程
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 福州校级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x+y﹣2＝0与圆O：x2+y2＝4交于点A，B，动点P在圆C：（x+2）2+y2＝r2（r＞0）上运动，若△PAB的面积的取值范围为[2，6]，则r的值为（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2024秋 湖北月考）已知直线l1：x+my﹣3m﹣1＝0与l2：mx﹣y﹣3m+1＝0相交于点M，点N是圆C：（x+1）2+（y+1）2＝4上的一个动点，则|MN|的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024秋 广州期末）已知直线mx﹣y+2m+1＝0与圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
4．（2025 石景山区一模）已知点M，N为圆x2+y2﹣2y﹣3＝0上两点，且|MN|＝2，点P在直线x﹣y﹣5＝0上，点Q为线段MN中点，则|PQ|的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024秋 郸城县校级期末）已知点A（﹣2，0），B（0，﹣2），点P在圆C：（x﹣2）2+y2＝2上运动，∠PAB的最大值为α，最小值为β，则sinα+sinβ＝（ ）
A． B． C． D．
6．（2025春 广东月考）在平面直角坐标系内，点A（0，1），B（b，b），直线l上的单位向量为，若AB⊥l，则b的值为（ ）
A．4 B．﹣3 C．或4 D．或﹣3
7．（2025 安顺校级模拟）已知A（﹣5，1），B（1，1），C（1，﹣2）三点，点P在圆x2+y2＝1上运动，则|PA|2+2|PB|2+3|PC|2的最大值与最小值之和为（ ）
A．96 B．98 C．100 D．102
8．（2025春 茂名月考）已知点A（4+k，0），B（k，3），若以C（25，20）为圆心，5为半径的圆与线段AB的垂直平分线相切，则k＝（ ）
A． B．或 C． D．或
二．多选题（共4小题）
9．（2024秋 攀枝花月考）已知圆C过点A（1，0），B（3，2），则（ ）
A．圆心C的轨迹方程为x﹣y﹣1＝0
B．若圆C的面积为2π，则圆C唯一确定
C．若圆心C在直线x﹣y+1＝0上，则圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4
D．若圆C的方程为x2﹣6x+y2+m＝0，则直线x+y﹣1＝0被圆C截得的弦长为
10．（2025秋 沈阳月考）已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4，直线l过点P（2，4），则下列说法正确的是（ ）
A．点P在圆C上
B．若直线l过原点，则圆C截直线l所得弦长为
C．若l与圆C相切，则l的方程为y＝4
D．若l与圆C相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则l的方程为x﹣y+2＝0
11．（2025春 安徽月考）已知直线l的方程为kx﹣y+6＝0，圆C的方程为x2+y2＝4，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l恒过点（0，6）
B．直线l的方向向量与向量共线
C．若直线l与C有公共点，则
D．当k＝3时，则直线l与圆C所交弦长为
12．（2024秋 长春校级期末）已知直线l：kx﹣y+2k＝0和圆O：x2+y2＝16，则（ ）
A．直线l恒过定点（2，0）
B．存在k使得直线l与直线l0：x﹣2y+2＝0垂直
C．直线l与圆O相交
D．若k＝﹣1，直线l被圆O截得的弦长为4
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 乌鲁木齐期末）已知直线l1：tx+y+t+1＝0与直线l2：x﹣ty+t﹣1＝0相交于点P，动点A，B在圆C：x2+y2﹣14x+2y+47＝0上，且|AB|＝2，则的取值范围是 ．
14．（2024秋 西青区期末）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 ；公共弦长 ．
15．（2024秋 洛阳月考）已知过原点的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2＝4相交于A，B两点，若，则直线l的方程为 ．
16．（2025春 常宁市期末）已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），点P在圆x2+y2＝4上运动，则|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 乌鲁木齐期末）已知圆C1与y轴相切于点（0，3），圆心在经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线l上．
（1）求圆C1的方程；
（2）圆C1与圆C2：x2+y2﹣2x+2y﹣9＝0相交于M，N两点，求两圆的公共弦MN的直线方程．
18．（2024秋 长宁区校级期末）已知圆和圆（r＞0）．
（1）若圆C1与圆C2相交，求r的取值范围；
（2）若直线l：y＝kx+1与圆C1交于P、Q两点，且，求实数k的值；
（3）若r＝2，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．
19．（2024秋 肇东市校级期末）平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，﹣2），B（﹣3，4），C（0，6）．
（1）求BC边所在的直线方程；
（2）求△ABC的面积．
20．（2024秋 重庆期末）已知直线l1：x+y﹣3＝0与直线l2：x﹣3y+1＝0相交于点C，以C为圆心的圆过点A（0，1）．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点B（4，5）的圆C的切线方程．
第二章 直线与圆的方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 福州校级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x+y﹣2＝0与圆O：x2+y2＝4交于点A，B，动点P在圆C：（x+2）2+y2＝r2（r＞0）上运动，若△PAB的面积的取值范围为[2，6]，则r的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】方程思想；定义法；直线与圆；逻辑思维．
【答案】B
【分析】利用点到直线和圆上的点到直线的距离公式求解即可．
【解答】解：圆O的圆心到l：x+y﹣2＝0的距离为，
因此，
记点P到l的距离为h，那么，
因此，
又圆心C到直线l的距离为，因此，
又因为，因此．
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆位置关系，属于中档题．
2．（2024秋 湖北月考）已知直线l1：x+my﹣3m﹣1＝0与l2：mx﹣y﹣3m+1＝0相交于点M，点N是圆C：（x+1）2+（y+1）2＝4上的一个动点，则|MN|的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；整体思想；分析法；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】首先求出两直线交点M的轨迹方程，然后根据圆的性质，计算圆心到M轨迹上点的距离，进而得出|MN|的最大值．
【解答】解：对于直线l1：x+my﹣3m﹣1＝0，可变形为x﹣1+m（y﹣3）＝0．
令，解得，因此直线l1恒过定点A（1，3）．
对于直线l2：mx﹣y﹣3m+1＝0，可变形为m（x﹣3）﹣（y﹣1）＝0．
令，解得，因此直线l2恒过定点B（3，1）．
直线l1的斜率，直线l2的斜率．
因为，因此l1⊥l2，那么点M的轨迹是以AB为直径的圆．
AB中点坐标为，因此（2，2），
，则点M轨迹圆的半径．
圆C：（x+1）2+（y+1）2＝4，其圆心C（﹣1，﹣1），半径r2＝2．
圆心C（﹣1，﹣1）到点M轨迹圆圆心（2，2）的距离．
|MN|的最大值为圆心距d加上两个圆的半径，因此．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
3．（2024秋 广州期末）已知直线mx﹣y+2m+1＝0与圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点P（﹣2，1），即可求出|MN|min，设MN的中点为D，则CD⊥MN，根据数量积的几何意义得到，即可得解．
【解答】解：圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4的圆心为C（﹣1，2），半径r＝2，
直线mx﹣y+2m+1＝0，即（x+2）m+（1﹣y）＝0恒过点P（﹣2，1），
又，
所以当CP⊥MN时，弦MN的长度取得最小值，即，
设MN的中点为D，则CD⊥MN，
所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直线与圆位置关系的应用，属于中档题．
4．（2025 石景山区一模）已知点M，N为圆x2+y2﹣2y﹣3＝0上两点，且|MN|＝2，点P在直线x﹣y﹣5＝0上，点Q为线段MN中点，则|PQ|的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】方程思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心坐标和半径，再根据弦长求出圆心到弦MN的距离，进而确定点Q的轨迹，最后根据点到直线的距离公式求出|PQ|的最小值．
【解答】解：因为圆的方程为x2+y2﹣2y﹣3＝0，
所以x2+（y﹣1）2＝4，
所以圆心坐标为C（0，1），半径r＝2．
因为点Q为线段MN的中点，根据垂径定理可知CQ⊥MN，
已知，则．
在Rt△CQM中，．
所以点Q的轨迹是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆．
已知点P在直线上，可得圆心C（0，1）到直线的距离为：
．
因为点Q的轨迹是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆，
所以|PQ|的最小值等于圆心C到直线的距离d减去圆C的半径1，即3﹣1＝2．
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，属于中档题．
5．（2024秋 郸城县校级期末）已知点A（﹣2，0），B（0，﹣2），点P在圆C：（x﹣2）2+y2＝2上运动，∠PAB的最大值为α，最小值为β，则sinα+sinβ＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】D
【分析】由数形结合得出最大角及最小角，利用三角恒等变换得解．
【解答】解：如图，点A（﹣2，0），B（0，﹣2），点P在圆C：（x﹣2）2+y2＝2上运动，∠PAB的最大值为α，最小值为β，
过点A向圆引两条切线，切点分别为P1，P2，
则∠P1AB与∠P2AB分别为∠PAB的最大、最小角，设∠P1AC＝θ，
由，可得，
由A（﹣2，0），B（0，﹣2）可知∠BAC＝45°，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，是中档题．
6．（2025春 广东月考）在平面直角坐标系内，点A（0，1），B（b，b），直线l上的单位向量为，若AB⊥l，则b的值为（ ）
A．4 B．﹣3 C．或4 D．或﹣3
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】先利用单位向量模长为1，得出x0，再利用垂直得数量积为0即可求出．
【解答】解：由题可得到：，
因直线l上的单位向量为，则，得，
又，即，
当时，；当时，b＝4；
则或b＝4．
故选：C．
【点评】本题主要考查两直线垂直的性质应用，考查计算能力，属于中档题．
7．（2025 安顺校级模拟）已知A（﹣5，1），B（1，1），C（1，﹣2）三点，点P在圆x2+y2＝1上运动，则|PA|2+2|PB|2+3|PC|2的最大值与最小值之和为（ ）
A．96 B．98 C．100 D．102
【考点】圆上的点到定点的距离及其最值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】D
【分析】利用三角代换，将问题转化为三角函数的最值问题求解．
【解答】解：由题意设P（cosθ，sinθ），
则|PA|2+2|PB|2+3|PC|2＝（cosθ+5）2+（sinθ﹣1）2+2（cosθ﹣1）2+2（sinθ﹣1）2+3（cosθ﹣1）2+3（sinθ+2）2＝
＝6cos2θ+6sin2θ+6sinθ+45＝51+6sinθ，
因为﹣6≤6sinθ≤6，
所以原式的最大值为57，最小值为45，
所以最大值与最小值的和为102．
故选：D．
【点评】本题考查圆上的点与已知点间的距离、三角代换的应用，属于中档题．
8．（2025春 茂名月考）已知点A（4+k，0），B（k，3），若以C（25，20）为圆心，5为半径的圆与线段AB的垂直平分线相切，则k＝（ ）
A． B．或 C． D．或
【考点】由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】根据中点坐标公式和斜率公式求出线段AB的中点坐标和斜率，进而得到其垂直平分线的方程．再利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径这一性质，结合点到直线的距离公式列出关于k的方程，最后求解方程得到k的值．
【解答】解：由题意点A（4+k，0），B（k，3），
以C（25，20）为圆心，5为半径的圆与线段AB的垂直平分线相切，
可得线段AB中点，AB斜率：，
则垂直平分线，整理得l：8x﹣6y﹣8k﹣7＝0，
相切即圆心到直线的距离等于半径，由点到直线的距离公式有，，
即|73﹣8k|＝50，解得或．
故选：B．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题．
二．多选题（共4小题）
9．（2024秋 攀枝花月考）已知圆C过点A（1，0），B（3，2），则（ ）
A．圆心C的轨迹方程为x﹣y﹣1＝0
B．若圆C的面积为2π，则圆C唯一确定
C．若圆心C在直线x﹣y+1＝0上，则圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4
D．若圆C的方程为x2﹣6x+y2+m＝0，则直线x+y﹣1＝0被圆C截得的弦长为
【考点】与直线有关的动点轨迹方程；直线与圆的位置关系．
【专题】方程思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据圆的性质知圆心轨迹为经过AB的中点且垂直于AB的直线，即可判断A；
确定圆面积取到最小的情况即可判断B；
由两平行线的距离公式求出圆的半径，结合待定系数法求出圆的方程即可判断C；
先确定圆的方程，再利用勾股定理求解即可．
【解答】解：对于A：因为圆C过A（1，0），B（3，2），
所以圆心轨迹为经过AB的中点（2，1），且垂直于AB的直线，
因为，
所以直线斜率为﹣1，
故直线方程为y﹣1＝﹣1（x﹣2），
即直线方程为x+y﹣3＝0，故A不正确；
对于B：当圆心为AB的中点，即弦AB为直径时，圆的面积最小，
因为
故此时圆的半径为，面积为2π，此时圆唯一确定，故B正确；
对于C：因为圆心在直线x﹣y+1＝0上，设圆心C（a，a+1），
易知|CA|＝|CB|，
所以，
解得a＝1，
则C（1，2），且|CA|＝|CB|＝2，
故圆的方程为（x﹣1）2+（x﹣2）2＝4，故C正确；
对于D：若圆C的方程为x2﹣6x+y2+m＝0，代入（1，0），
解得m＝5，
故圆C的方程为x2﹣6x+y2+5＝0，此时圆心（3，0），半径为2，
故圆心到直线x+y﹣1＝0的距离为，
所以直线x+y﹣1＝0被圆C截得的弦长为，故D不正确．
故选：BC．
【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，属于中档题．
10．（2025秋 沈阳月考）已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4，直线l过点P（2，4），则下列说法正确的是（ ）
A．点P在圆C上
B．若直线l过原点，则圆C截直线l所得弦长为
C．若l与圆C相切，则l的方程为y＝4
D．若l与圆C相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则l的方程为x﹣y+2＝0
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】方程思想；定义法；直线与圆；逻辑思维．
【答案】AC
【分析】对于A，将点P的坐标代入圆的方程验算即可判断；
对于B，求得圆心到直线l的距离，再结合弦长公式即可验算；
对于C，由直线与圆的位置关系即可验算；
对于D，由题意得圆心C到l的距离为，故只需求出l的斜率即可验算．
【解答】解：因为（2﹣2）2+（4﹣2）2＝4，所以点P在圆C上，A正确；
若l经过原点，设l的方程为y＝kx，由4＝2k，得k＝2，则l的方程为2x﹣y＝0．
圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4，可得圆心C（2，2），半径r＝2．
圆心C（2，2）到直线l的距离，
所以弦长为，B错误；
因为点P在圆C上，PC⊥x轴，所以直线l的方程为y＝4，C正确；
因为△ABC为直角三角形，且|AC|＝|BC|＝2，所以，
则圆心C到l的距离为．
由题意易得的斜率一定存在，所以可设l的方程为y﹣4＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+4＝0．
由，解得k＝1或﹣1，故l的方程为x﹣y+2＝0或x+y﹣6＝0，D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查直线与圆的综合应用，属于中档题．
11．（2025春 安徽月考）已知直线l的方程为kx﹣y+6＝0，圆C的方程为x2+y2＝4，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l恒过点（0，6）
B．直线l的方向向量与向量共线
C．若直线l与C有公共点，则
D．当k＝3时，则直线l与圆C所交弦长为
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】ACD
【分析】A令x＝0即可；B求出直线l的方向向量，再判断与是否共线；C利用圆心C（0，0）到直线l的距离d≤r；D利用公式即可．
【解答】解：对于选项A，当x＝0时，y＝6，则直线恒过定点（0，6），故选项A正确；
对于选项B，直线l的方向向量为，若与共线，则1×1＝k×k，得k＝±1，
故只有当k＝±1时才与共线，故选项B错误；
对于选项C，若直线l与C有公共点，且圆C的半径r＝2，
则圆心C（0，0）到直线l的距离，
解得或，故选项C正确；
对于选项D，当k＝3时，圆心C（0，0）到直线l的距离，
因圆C的半径r＝2，则弦长为，故选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题．
12．（2024秋 长春校级期末）已知直线l：kx﹣y+2k＝0和圆O：x2+y2＝16，则（ ）
A．直线l恒过定点（2，0）
B．存在k使得直线l与直线l0：x﹣2y+2＝0垂直
C．直线l与圆O相交
D．若k＝﹣1，直线l被圆O截得的弦长为4
【考点】直线与圆的位置关系；恒过定点的直线；直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长．
【专题】方程思想；定义法；直线与圆；运算求解．
【答案】BC
【分析】利用直线系方程求出直线l所过定点坐标判断A、C；求出使得直线l与直线l0：x﹣2y+2＝0垂直的k值判断B；根据弦长公式求出弦长可判断D．
【解答】解：对于A、C，由l：kx﹣y+2k＝0，得k（x+2）﹣y＝0，令，解得，
所以直线l恒过定点（﹣2，0），故A错误；
因为直线l恒过定点（﹣2，0），而（﹣2）2+02＝4＜16，即（﹣2，0）在圆O：x2+y2＝16内，
所以直线l与圆O相交，故C正确；
对于B，直线l0：x﹣2y+2＝0的斜率为，则当k＝﹣2时，满足直线l与直线l0：x﹣2y+2＝0垂直，故B正确；
对于D，k＝﹣1时，直线l：x+y+2＝0，圆心到直线的距离为d，
所以直线l被圆O截得的弦长为222，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，是中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 乌鲁木齐期末）已知直线l1：tx+y+t+1＝0与直线l2：x﹣ty+t﹣1＝0相交于点P，动点A，B在圆C：x2+y2﹣14x+2y+47＝0上，且|AB|＝2，则的取值范围是 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】．
【分析】根据l1，l2所过定点以及二者垂直确定点P的轨迹方程，再根据动点A，B在圆C：x2+y2﹣14x+2y+47＝0上，且|AB|＝2，确定AB的中点E的轨迹方程，结合，以及两圆上两点间的距离范围，即可求得答案．
【解答】解：由直线l1：tx+y+t+1＝0与直线l2：x﹣ty+t﹣1＝0，
可得t×1+1×（﹣t）＝0，所以直线l1与直线l2垂直，直线l1过定点M（﹣1，﹣1），l2过定点N（1，1），
所以点P的轨迹是以MN为直径的圆，
由MN的中点坐标为O（0，0），|MN|2，
所以圆心为（0，0），半径r，
所以点P的轨迹方程是x2+y2＝2，
所以点P的轨迹是以点O（0，0）为圆心，半径的圆，
因为圆C的方程为（x﹣7）2+（y+1）2＝3，所以圆心C（7，﹣1），半径，
取AB的中点E，连接CE，则|CE|，
所以点E的轨迹是以点C为圆心，半径的圆，
所以，
而，且，即圆x2+y2＝2与点E的轨迹外离；
因为|OC|﹣r1﹣r3≤|PE|≤|OC|+r1+r3，即，
所以的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查圆与圆的位置关系，考查数形结合思想，属中档题．
14．（2024秋 西青区期末）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 x﹣y﹣2＝0 ；公共弦长 ．
【考点】由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】x﹣y﹣2＝0；．
【分析】由两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，再由弦长公式计算可得公共弦长为．
【解答】解：易知两圆相交，将两圆方程圆和圆，
相减可得2x﹣2y＝4，即x﹣y﹣2＝0；
所以两圆公共弦所在直线的方程为x﹣y﹣2＝0；
易知圆的圆心为C1（0，0），半径为r＝2；
圆心C1（0，0）到直线x﹣y﹣2＝0的距离为，
所以公共弦长为．
故答案为：x﹣y﹣2＝0；．
【点评】本题考查圆的弦长公式，圆与圆的公共弦所在直线方程的求法，属于中档题．
15．（2024秋 洛阳月考）已知过原点的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2＝4相交于A，B两点，若，则直线l的方程为 ．
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】．
【分析】先由弦长、半径求出弦心距，再分斜率存在和不存在两种情况设出直线方程，结合点到直线的距离公式列式求解即可．
【解答】解：圆C：（x﹣1）2+y2＝4的圆心C（1，0），半径r＝2，
直线l截圆C所得弦长，则弦心距，
当过原点的直线斜率不存在时，l的方程为x＝0，圆心C（1，0）到直线x＝0的距离为1，不符合题意要求；
当过原点的直线斜率存在时，l的方程可设为y＝kx，
由，可得，此时l的方程为，
综上，直线l的方程为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（2025春 常宁市期末）已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），点P在圆x2+y2＝4上运动，则|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为 88 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】对应思想；参数法；直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】由点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），设P（a，b），则|PA|2+|PB|2+|PC|2＝3a2+3b2﹣4b+68，由点P在圆x2+y2＝4上运动，知﹣2≤b≤2．把a2＝4﹣b2代入3a2+3b2﹣4b+68＝﹣4b+80，即可求出|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值．
【解答】解：∵点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），
∴设P（a，b），
则|PA|2+|PB|2+|PC|2
＝（a+2）2+（b+2）2+（a+2）2+（b﹣6）2+（a﹣4）2+（b+2）2
＝3a2+3b2﹣4b+68，
∵点P在圆x2+y2＝4上运动，
∴a2+b2＝4，
a2＝4﹣b2≥0，
所以b2≤4，
∴﹣2≤b≤2．
把a2＝4﹣b2代入3a2+3b2﹣4b+68
＝12﹣3b2+3b2﹣4b+68
＝﹣4b+80，
∵﹣2≤b≤2，
所以当b＝﹣2时，|PA|2+|PB|2+|PC|2取得最大值是88．
故答案为：88．
【点评】本题考查了直线的一般式方程与两点间距离公式的应用问题，也考查了直线方程与圆的简单性质，解题时要注意合理地进行等价转化．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 乌鲁木齐期末）已知圆C1与y轴相切于点（0，3），圆心在经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线l上．
（1）求圆C1的方程；
（2）圆C1与圆C2：x2+y2﹣2x+2y﹣9＝0相交于M，N两点，求两圆的公共弦MN的直线方程．
【考点】相交弦所在直线的方程；经过三点的圆的方程．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先求出圆心、再求出半径，即可求解；
（2）将两圆的方程相减，即可求解．
【解答】解：（1）经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线方程为y＝x﹣1．
由题意可得，圆心在直线y＝3上，
由，解得圆心坐标为（4，3），
故圆C1的半径为4．
则圆C1的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝16；
（2）∵圆C1的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝16
即x2+y2﹣8x﹣6y+9＝0，
圆C2：x2+y2﹣2x+2y﹣9＝0，
两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为3x+4y﹣9＝0．
【点评】本题主要考查直线与圆的性质，属于中档题．
18．（2024秋 长宁区校级期末）已知圆和圆（r＞0）．
（1）若圆C1与圆C2相交，求r的取值范围；
（2）若直线l：y＝kx+1与圆C1交于P、Q两点，且，求实数k的值；
（3）若r＝2，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．
【考点】根据联立直线和圆的方程解的情况求解直线与圆的位置关系．
【专题】对应思想；向量法；平面向量及应用；直线与圆；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用相交时圆心距的位置关系可求r的取值范围；
（2）联立直线与圆C1，写出韦达定理，结合数量积代换可求实数k的值；
（3）由两圆半径相等，两直线11和12截得圆C1和圆C2，弦长相等可得弦心距相等，得，转化为求方程组的解即可．
【解答】解：（1）由题意得，圆C1的圆心C1（﹣3，1），r1＝2，圆C2的圆心C2（4，5），半径为r，
|C1C2|，
∵圆C1与圆C2相交，
∴|r﹣2|＜|C1C2|＜r+2，即|r﹣2|r+2，
解得：2＜r2，
∴r∈（2，2）．
（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），
直线与圆C1联立，
得（1+k2）x2+6x+5＝0，
由Δ＞0得k2，
x1+x2，x1x2，
∴y1y2＝（kx1+1）（kx2+1）＝k2x1x2+k（x1+x2）+1，
∵，
∴x1x2+y1y2＝（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1＝4，
∴53＝0，
解得：k，
∵k2，
∴k．
（3）由题意得C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝4，
设P（m，n），直线l1和l2的方程分别为y﹣n＝k（x﹣m），y﹣n（x﹣m），
即kx﹣y+n﹣kn＝0，x﹣y+n0，
由题意可知，圆心C1到直线l1的距离等于C2到直线l2的距离，
则，化简得（2﹣m﹣n）k＝m﹣n﹣3或（m﹣n+8）k＝m+n﹣5，
则有或，
故P（，）或（，）．
【点评】本题考查直线与圆，圆与圆的位置关系，是中档题．
19．（2024秋 肇东市校级期末）平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，﹣2），B（﹣3，4），C（0，6）．
（1）求BC边所在的直线方程；
（2）求△ABC的面积．
【考点】直线的一般式方程与直线的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由B，C两点的坐标，得直线的两点式方程，化简得一般式方程；
（2）用两点间距离公式求B，C两点间的距离，计算点A到直线BC的距离可得三角形的高，得三角形的面积．
【解答】解：（1）因为B（﹣3，4），C（0，6），所以BC所在的直线方程为，
即2x﹣3y+18＝0．
（2）B，C两点间的距离为，
点A到直线BC的距离，
所以△ABC的面积为．
【点评】本题考查的知识点：直线的方程的求法，点到直线的距离公式，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
20．（2024秋 重庆期末）已知直线l1：x+y﹣3＝0与直线l2：x﹣3y+1＝0相交于点C，以C为圆心的圆过点A（0，1）．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点B（4，5）的圆C的切线方程．
【考点】圆的切线方程；圆的标准方程．
【专题】综合题；直线与圆．
【答案】（1）（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4；
（2）3x﹣4y+8＝0或x＝4．
【分析】（1）求出交点，可得C的坐标，求出半径，可得圆C的方程；
（2）分情况讨论，切线斜率存在和不存在两种，当切线斜率存在时，设切线l的方程为：y﹣5＝k（x﹣4）化为一般式，利用圆心到直线的距离等于半径运算即可；②当切线斜率不存在时，直接检验即可．
【解答】解：（1）由直线l1：x+y﹣3＝0与直线l2：x﹣3y+1＝0相交于点C，可得C（2，1），
∵以C为圆心的圆过点A（0，1），
∴圆的半径为2，
∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4；
（2）①当切线斜率存在时，设切线l的方程为：y﹣5＝k（x﹣4）
即：kx﹣y+5﹣4k＝0
由2得k，
∴切线方程l：3x﹣4y+8＝0
②当切线斜率不存在时，过点P（4，5）的直线为x＝4
经检验是圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4的切线．
∴切线方程为3x﹣4y+8＝0或x＝4．
【点评】本题主要考查圆的切线方程，其中根据直线斜率是否存在为分类标准，分别求出圆的切线方程，是解答本题的关键．
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第二章 直线与圆的方程
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 福州校级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x+y﹣2＝0与圆O：x2+y2＝4交于点A，B，动点P在圆C：（x+2）2+y2＝r2（r＞0）上运动，若△PAB的面积的取值范围为[2，6]，则r的值为（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2024秋 湖北月考）已知直线l1：x+my﹣3m﹣1＝0与l2：mx﹣y﹣3m+1＝0相交于点M，点N是圆C：（x+1）2+（y+1）2＝4上的一个动点，则|MN|的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024秋 广州期末）已知直线mx﹣y+2m+1＝0与圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
4．（2025 石景山区一模）已知点M，N为圆x2+y2﹣2y﹣3＝0上两点，且|MN|＝2，点P在直线x﹣y﹣5＝0上，点Q为线段MN中点，则|PQ|的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024秋 郸城县校级期末）已知点A（﹣2，0），B（0，﹣2），点P在圆C：（x﹣2）2+y2＝2上运动，∠PAB的最大值为α，最小值为β，则sinα+sinβ＝（ ）
A． B． C． D．
6．（2025春 广东月考）在平面直角坐标系内，点A（0，1），B（b，b），直线l上的单位向量为，若AB⊥l，则b的值为（ ）
A．4 B．﹣3 C．或4 D．或﹣3
7．（2025 安顺校级模拟）已知A（﹣5，1），B（1，1），C（1，﹣2）三点，点P在圆x2+y2＝1上运动，则|PA|2+2|PB|2+3|PC|2的最大值与最小值之和为（ ）
A．96 B．98 C．100 D．102
8．（2025春 茂名月考）已知点A（4+k，0），B（k，3），若以C（25，20）为圆心，5为半径的圆与线段AB的垂直平分线相切，则k＝（ ）
A． B．或 C． D．或
二．多选题（共4小题）
9．（2024秋 攀枝花月考）已知圆C过点A（1，0），B（3，2），则（ ）
A．圆心C的轨迹方程为x﹣y﹣1＝0
B．若圆C的面积为2π，则圆C唯一确定
C．若圆心C在直线x﹣y+1＝0上，则圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4
D．若圆C的方程为x2﹣6x+y2+m＝0，则直线x+y﹣1＝0被圆C截得的弦长为
10．（2025秋 沈阳月考）已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4，直线l过点P（2，4），则下列说法正确的是（ ）
A．点P在圆C上
B．若直线l过原点，则圆C截直线l所得弦长为
C．若l与圆C相切，则l的方程为y＝4
D．若l与圆C相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则l的方程为x﹣y+2＝0
11．（2025春 安徽月考）已知直线l的方程为kx﹣y+6＝0，圆C的方程为x2+y2＝4，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l恒过点（0，6）
B．直线l的方向向量与向量共线
C．若直线l与C有公共点，则
D．当k＝3时，则直线l与圆C所交弦长为
12．（2024秋 长春校级期末）已知直线l：kx﹣y+2k＝0和圆O：x2+y2＝16，则（ ）
A．直线l恒过定点（2，0）
B．存在k使得直线l与直线l0：x﹣2y+2＝0垂直
C．直线l与圆O相交
D．若k＝﹣1，直线l被圆O截得的弦长为4
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 乌鲁木齐期末）已知直线l1：tx+y+t+1＝0与直线l2：x﹣ty+t﹣1＝0相交于点P，动点A，B在圆C：x2+y2﹣14x+2y+47＝0上，且|AB|＝2，则的取值范围是 ．
14．（2024秋 西青区期末）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 ；公共弦长 ．
15．（2024秋 洛阳月考）已知过原点的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2＝4相交于A，B两点，若，则直线l的方程为 ．
16．（2025春 常宁市期末）已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），点P在圆x2+y2＝4上运动，则|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 乌鲁木齐期末）已知圆C1与y轴相切于点（0，3），圆心在经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线l上．
（1）求圆C1的方程；
（2）圆C1与圆C2：x2+y2﹣2x+2y﹣9＝0相交于M，N两点，求两圆的公共弦MN的直线方程．
18．（2024秋 长宁区校级期末）已知圆和圆（r＞0）．
（1）若圆C1与圆C2相交，求r的取值范围；
（2）若直线l：y＝kx+1与圆C1交于P、Q两点，且，求实数k的值；
（3）若r＝2，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．
19．（2024秋 肇东市校级期末）平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，﹣2），B（﹣3，4），C（0，6）．
（1）求BC边所在的直线方程；
（2）求△ABC的面积．
20．（2024秋 重庆期末）已知直线l1：x+y﹣3＝0与直线l2：x﹣3y+1＝0相交于点C，以C为圆心的圆过点A（0，1）．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点B（4，5）的圆C的切线方程．
第二章 直线与圆的方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 福州校级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x+y﹣2＝0与圆O：x2+y2＝4交于点A，B，动点P在圆C：（x+2）2+y2＝r2（r＞0）上运动，若△PAB的面积的取值范围为[2，6]，则r的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】方程思想；定义法；直线与圆；逻辑思维．
【答案】B
【分析】利用点到直线和圆上的点到直线的距离公式求解即可．
【解答】解：圆O的圆心到l：x+y﹣2＝0的距离为，
因此，
记点P到l的距离为h，那么，
因此，
又圆心C到直线l的距离为，因此，
又因为，因此．
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆位置关系，属于中档题．
2．（2024秋 湖北月考）已知直线l1：x+my﹣3m﹣1＝0与l2：mx﹣y﹣3m+1＝0相交于点M，点N是圆C：（x+1）2+（y+1）2＝4上的一个动点，则|MN|的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；整体思想；分析法；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】首先求出两直线交点M的轨迹方程，然后根据圆的性质，计算圆心到M轨迹上点的距离，进而得出|MN|的最大值．
【解答】解：对于直线l1：x+my﹣3m﹣1＝0，可变形为x﹣1+m（y﹣3）＝0．
令，解得，因此直线l1恒过定点A（1，3）．
对于直线l2：mx﹣y﹣3m+1＝0，可变形为m（x﹣3）﹣（y﹣1）＝0．
令，解得，因此直线l2恒过定点B（3，1）．
直线l1的斜率，直线l2的斜率．
因为，因此l1⊥l2，那么点M的轨迹是以AB为直径的圆．
AB中点坐标为，因此（2，2），
，则点M轨迹圆的半径．
圆C：（x+1）2+（y+1）2＝4，其圆心C（﹣1，﹣1），半径r2＝2．
圆心C（﹣1，﹣1）到点M轨迹圆圆心（2，2）的距离．
|MN|的最大值为圆心距d加上两个圆的半径，因此．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
3．（2024秋 广州期末）已知直线mx﹣y+2m+1＝0与圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点P（﹣2，1），即可求出|MN|min，设MN的中点为D，则CD⊥MN，根据数量积的几何意义得到，即可得解．
【解答】解：圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4的圆心为C（﹣1，2），半径r＝2，
直线mx﹣y+2m+1＝0，即（x+2）m+（1﹣y）＝0恒过点P（﹣2，1），
又，
所以当CP⊥MN时，弦MN的长度取得最小值，即，
设MN的中点为D，则CD⊥MN，
所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直线与圆位置关系的应用，属于中档题．
4．（2025 石景山区一模）已知点M，N为圆x2+y2﹣2y﹣3＝0上两点，且|MN|＝2，点P在直线x﹣y﹣5＝0上，点Q为线段MN中点，则|PQ|的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】方程思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心坐标和半径，再根据弦长求出圆心到弦MN的距离，进而确定点Q的轨迹，最后根据点到直线的距离公式求出|PQ|的最小值．
【解答】解：因为圆的方程为x2+y2﹣2y﹣3＝0，
所以x2+（y﹣1）2＝4，
所以圆心坐标为C（0，1），半径r＝2．
因为点Q为线段MN的中点，根据垂径定理可知CQ⊥MN，
已知，则．
在Rt△CQM中，．
所以点Q的轨迹是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆．
已知点P在直线上，可得圆心C（0，1）到直线的距离为：
．
因为点Q的轨迹是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆，
所以|PQ|的最小值等于圆心C到直线的距离d减去圆C的半径1，即3﹣1＝2．
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，属于中档题．
5．（2024秋 郸城县校级期末）已知点A（﹣2，0），B（0，﹣2），点P在圆C：（x﹣2）2+y2＝2上运动，∠PAB的最大值为α，最小值为β，则sinα+sinβ＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】D
【分析】由数形结合得出最大角及最小角，利用三角恒等变换得解．
【解答】解：如图，点A（﹣2，0），B（0，﹣2），点P在圆C：（x﹣2）2+y2＝2上运动，∠PAB的最大值为α，最小值为β，
过点A向圆引两条切线，切点分别为P1，P2，
则∠P1AB与∠P2AB分别为∠PAB的最大、最小角，设∠P1AC＝θ，
由，可得，
由A（﹣2，0），B（0，﹣2）可知∠BAC＝45°，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，是中档题．
6．（2025春 广东月考）在平面直角坐标系内，点A（0，1），B（b，b），直线l上的单位向量为，若AB⊥l，则b的值为（ ）
A．4 B．﹣3 C．或4 D．或﹣3
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】先利用单位向量模长为1，得出x0，再利用垂直得数量积为0即可求出．
【解答】解：由题可得到：，
因直线l上的单位向量为，则，得，
又，即，
当时，；当时，b＝4；
则或b＝4．
故选：C．
【点评】本题主要考查两直线垂直的性质应用，考查计算能力，属于中档题．
7．（2025 安顺校级模拟）已知A（﹣5，1），B（1，1），C（1，﹣2）三点，点P在圆x2+y2＝1上运动，则|PA|2+2|PB|2+3|PC|2的最大值与最小值之和为（ ）
A．96 B．98 C．100 D．102
【考点】圆上的点到定点的距离及其最值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】D
【分析】利用三角代换，将问题转化为三角函数的最值问题求解．
【解答】解：由题意设P（cosθ，sinθ），
则|PA|2+2|PB|2+3|PC|2＝（cosθ+5）2+（sinθ﹣1）2+2（cosθ﹣1）2+2（sinθ﹣1）2+3（cosθ﹣1）2+3（sinθ+2）2＝
＝6cos2θ+6sin2θ+6sinθ+45＝51+6sinθ，
因为﹣6≤6sinθ≤6，
所以原式的最大值为57，最小值为45，
所以最大值与最小值的和为102．
故选：D．
【点评】本题考查圆上的点与已知点间的距离、三角代换的应用，属于中档题．
8．（2025春 茂名月考）已知点A（4+k，0），B（k，3），若以C（25，20）为圆心，5为半径的圆与线段AB的垂直平分线相切，则k＝（ ）
A． B．或 C． D．或
【考点】由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】根据中点坐标公式和斜率公式求出线段AB的中点坐标和斜率，进而得到其垂直平分线的方程．再利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径这一性质，结合点到直线的距离公式列出关于k的方程，最后求解方程得到k的值．
【解答】解：由题意点A（4+k，0），B（k，3），
以C（25，20）为圆心，5为半径的圆与线段AB的垂直平分线相切，
可得线段AB中点，AB斜率：，
则垂直平分线，整理得l：8x﹣6y﹣8k﹣7＝0，
相切即圆心到直线的距离等于半径，由点到直线的距离公式有，，
即|73﹣8k|＝50，解得或．
故选：B．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题．
二．多选题（共4小题）
9．（2024秋 攀枝花月考）已知圆C过点A（1，0），B（3，2），则（ ）
A．圆心C的轨迹方程为x﹣y﹣1＝0
B．若圆C的面积为2π，则圆C唯一确定
C．若圆心C在直线x﹣y+1＝0上，则圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4
D．若圆C的方程为x2﹣6x+y2+m＝0，则直线x+y﹣1＝0被圆C截得的弦长为
【考点】与直线有关的动点轨迹方程；直线与圆的位置关系．
【专题】方程思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据圆的性质知圆心轨迹为经过AB的中点且垂直于AB的直线，即可判断A；
确定圆面积取到最小的情况即可判断B；
由两平行线的距离公式求出圆的半径，结合待定系数法求出圆的方程即可判断C；
先确定圆的方程，再利用勾股定理求解即可．
【解答】解：对于A：因为圆C过A（1，0），B（3，2），
所以圆心轨迹为经过AB的中点（2，1），且垂直于AB的直线，
因为，
所以直线斜率为﹣1，
故直线方程为y﹣1＝﹣1（x﹣2），
即直线方程为x+y﹣3＝0，故A不正确；
对于B：当圆心为AB的中点，即弦AB为直径时，圆的面积最小，
因为
故此时圆的半径为，面积为2π，此时圆唯一确定，故B正确；
对于C：因为圆心在直线x﹣y+1＝0上，设圆心C（a，a+1），
易知|CA|＝|CB|，
所以，
解得a＝1，
则C（1，2），且|CA|＝|CB|＝2，
故圆的方程为（x﹣1）2+（x﹣2）2＝4，故C正确；
对于D：若圆C的方程为x2﹣6x+y2+m＝0，代入（1，0），
解得m＝5，
故圆C的方程为x2﹣6x+y2+5＝0，此时圆心（3，0），半径为2，
故圆心到直线x+y﹣1＝0的距离为，
所以直线x+y﹣1＝0被圆C截得的弦长为，故D不正确．
故选：BC．
【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，属于中档题．
10．（2025秋 沈阳月考）已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4，直线l过点P（2，4），则下列说法正确的是（ ）
A．点P在圆C上
B．若直线l过原点，则圆C截直线l所得弦长为
C．若l与圆C相切，则l的方程为y＝4
D．若l与圆C相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则l的方程为x﹣y+2＝0
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】方程思想；定义法；直线与圆；逻辑思维．
【答案】AC
【分析】对于A，将点P的坐标代入圆的方程验算即可判断；
对于B，求得圆心到直线l的距离，再结合弦长公式即可验算；
对于C，由直线与圆的位置关系即可验算；
对于D，由题意得圆心C到l的距离为，故只需求出l的斜率即可验算．
【解答】解：因为（2﹣2）2+（4﹣2）2＝4，所以点P在圆C上，A正确；
若l经过原点，设l的方程为y＝kx，由4＝2k，得k＝2，则l的方程为2x﹣y＝0．
圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4，可得圆心C（2，2），半径r＝2．
圆心C（2，2）到直线l的距离，
所以弦长为，B错误；
因为点P在圆C上，PC⊥x轴，所以直线l的方程为y＝4，C正确；
因为△ABC为直角三角形，且|AC|＝|BC|＝2，所以，
则圆心C到l的距离为．
由题意易得的斜率一定存在，所以可设l的方程为y﹣4＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+4＝0．
由，解得k＝1或﹣1，故l的方程为x﹣y+2＝0或x+y﹣6＝0，D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查直线与圆的综合应用，属于中档题．
11．（2025春 安徽月考）已知直线l的方程为kx﹣y+6＝0，圆C的方程为x2+y2＝4，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l恒过点（0，6）
B．直线l的方向向量与向量共线
C．若直线l与C有公共点，则
D．当k＝3时，则直线l与圆C所交弦长为
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】ACD
【分析】A令x＝0即可；B求出直线l的方向向量，再判断与是否共线；C利用圆心C（0，0）到直线l的距离d≤r；D利用公式即可．
【解答】解：对于选项A，当x＝0时，y＝6，则直线恒过定点（0，6），故选项A正确；
对于选项B，直线l的方向向量为，若与共线，则1×1＝k×k，得k＝±1，
故只有当k＝±1时才与共线，故选项B错误；
对于选项C，若直线l与C有公共点，且圆C的半径r＝2，
则圆心C（0，0）到直线l的距离，
解得或，故选项C正确；
对于选项D，当k＝3时，圆心C（0，0）到直线l的距离，
因圆C的半径r＝2，则弦长为，故选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题．
12．（2024秋 长春校级期末）已知直线l：kx﹣y+2k＝0和圆O：x2+y2＝16，则（ ）
A．直线l恒过定点（2，0）
B．存在k使得直线l与直线l0：x﹣2y+2＝0垂直
C．直线l与圆O相交
D．若k＝﹣1，直线l被圆O截得的弦长为4
【考点】直线与圆的位置关系；恒过定点的直线；直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长．
【专题】方程思想；定义法；直线与圆；运算求解．
【答案】BC
【分析】利用直线系方程求出直线l所过定点坐标判断A、C；求出使得直线l与直线l0：x﹣2y+2＝0垂直的k值判断B；根据弦长公式求出弦长可判断D．
【解答】解：对于A、C，由l：kx﹣y+2k＝0，得k（x+2）﹣y＝0，令，解得，
所以直线l恒过定点（﹣2，0），故A错误；
因为直线l恒过定点（﹣2，0），而（﹣2）2+02＝4＜16，即（﹣2，0）在圆O：x2+y2＝16内，
所以直线l与圆O相交，故C正确；
对于B，直线l0：x﹣2y+2＝0的斜率为，则当k＝﹣2时，满足直线l与直线l0：x﹣2y+2＝0垂直，故B正确；
对于D，k＝﹣1时，直线l：x+y+2＝0，圆心到直线的距离为d，
所以直线l被圆O截得的弦长为222，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，是中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 乌鲁木齐期末）已知直线l1：tx+y+t+1＝0与直线l2：x﹣ty+t﹣1＝0相交于点P，动点A，B在圆C：x2+y2﹣14x+2y+47＝0上，且|AB|＝2，则的取值范围是 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】．
【分析】根据l1，l2所过定点以及二者垂直确定点P的轨迹方程，再根据动点A，B在圆C：x2+y2﹣14x+2y+47＝0上，且|AB|＝2，确定AB的中点E的轨迹方程，结合，以及两圆上两点间的距离范围，即可求得答案．
【解答】解：由直线l1：tx+y+t+1＝0与直线l2：x﹣ty+t﹣1＝0，
可得t×1+1×（﹣t）＝0，所以直线l1与直线l2垂直，直线l1过定点M（﹣1，﹣1），l2过定点N（1，1），
所以点P的轨迹是以MN为直径的圆，
由MN的中点坐标为O（0，0），|MN|2，
所以圆心为（0，0），半径r，
所以点P的轨迹方程是x2+y2＝2，
所以点P的轨迹是以点O（0，0）为圆心，半径的圆，
因为圆C的方程为（x﹣7）2+（y+1）2＝3，所以圆心C（7，﹣1），半径，
取AB的中点E，连接CE，则|CE|，
所以点E的轨迹是以点C为圆心，半径的圆，
所以，
而，且，即圆x2+y2＝2与点E的轨迹外离；
因为|OC|﹣r1﹣r3≤|PE|≤|OC|+r1+r3，即，
所以的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查圆与圆的位置关系，考查数形结合思想，属中档题．
14．（2024秋 西青区期末）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 x﹣y﹣2＝0 ；公共弦长 ．
【考点】由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】x﹣y﹣2＝0；．
【分析】由两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，再由弦长公式计算可得公共弦长为．
【解答】解：易知两圆相交，将两圆方程圆和圆，
相减可得2x﹣2y＝4，即x﹣y﹣2＝0；
所以两圆公共弦所在直线的方程为x﹣y﹣2＝0；
易知圆的圆心为C1（0，0），半径为r＝2；
圆心C1（0，0）到直线x﹣y﹣2＝0的距离为，
所以公共弦长为．
故答案为：x﹣y﹣2＝0；．
【点评】本题考查圆的弦长公式，圆与圆的公共弦所在直线方程的求法，属于中档题．
15．（2024秋 洛阳月考）已知过原点的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2＝4相交于A，B两点，若，则直线l的方程为 ．
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】．
【分析】先由弦长、半径求出弦心距，再分斜率存在和不存在两种情况设出直线方程，结合点到直线的距离公式列式求解即可．
【解答】解：圆C：（x﹣1）2+y2＝4的圆心C（1，0），半径r＝2，
直线l截圆C所得弦长，则弦心距，
当过原点的直线斜率不存在时，l的方程为x＝0，圆心C（1，0）到直线x＝0的距离为1，不符合题意要求；
当过原点的直线斜率存在时，l的方程可设为y＝kx，
由，可得，此时l的方程为，
综上，直线l的方程为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（2025春 常宁市期末）已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），点P在圆x2+y2＝4上运动，则|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为 88 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】对应思想；参数法；直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】由点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），设P（a，b），则|PA|2+|PB|2+|PC|2＝3a2+3b2﹣4b+68，由点P在圆x2+y2＝4上运动，知﹣2≤b≤2．把a2＝4﹣b2代入3a2+3b2﹣4b+68＝﹣4b+80，即可求出|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值．
【解答】解：∵点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），
∴设P（a，b），
则|PA|2+|PB|2+|PC|2
＝（a+2）2+（b+2）2+（a+2）2+（b﹣6）2+（a﹣4）2+（b+2）2
＝3a2+3b2﹣4b+68，
∵点P在圆x2+y2＝4上运动，
∴a2+b2＝4，
a2＝4﹣b2≥0，
所以b2≤4，
∴﹣2≤b≤2．
把a2＝4﹣b2代入3a2+3b2﹣4b+68
＝12﹣3b2+3b2﹣4b+68
＝﹣4b+80，
∵﹣2≤b≤2，
所以当b＝﹣2时，|PA|2+|PB|2+|PC|2取得最大值是88．
故答案为：88．
【点评】本题考查了直线的一般式方程与两点间距离公式的应用问题，也考查了直线方程与圆的简单性质，解题时要注意合理地进行等价转化．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 乌鲁木齐期末）已知圆C1与y轴相切于点（0，3），圆心在经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线l上．
（1）求圆C1的方程；
（2）圆C1与圆C2：x2+y2﹣2x+2y﹣9＝0相交于M，N两点，求两圆的公共弦MN的直线方程．
【考点】相交弦所在直线的方程；经过三点的圆的方程．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先求出圆心、再求出半径，即可求解；
（2）将两圆的方程相减，即可求解．
【解答】解：（1）经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线方程为y＝x﹣1．
由题意可得，圆心在直线y＝3上，
由，解得圆心坐标为（4，3），
故圆C1的半径为4．
则圆C1的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝16；
（2）∵圆C1的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝16
即x2+y2﹣8x﹣6y+9＝0，
圆C2：x2+y2﹣2x+2y﹣9＝0，
两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为3x+4y﹣9＝0．
【点评】本题主要考查直线与圆的性质，属于中档题．
18．（2024秋 长宁区校级期末）已知圆和圆（r＞0）．
（1）若圆C1与圆C2相交，求r的取值范围；
（2）若直线l：y＝kx+1与圆C1交于P、Q两点，且，求实数k的值；
（3）若r＝2，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．
【考点】根据联立直线和圆的方程解的情况求解直线与圆的位置关系．
【专题】对应思想；向量法；平面向量及应用；直线与圆；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用相交时圆心距的位置关系可求r的取值范围；
（2）联立直线与圆C1，写出韦达定理，结合数量积代换可求实数k的值；
（3）由两圆半径相等，两直线11和12截得圆C1和圆C2，弦长相等可得弦心距相等，得，转化为求方程组的解即可．
【解答】解：（1）由题意得，圆C1的圆心C1（﹣3，1），r1＝2，圆C2的圆心C2（4，5），半径为r，
|C1C2|，
∵圆C1与圆C2相交，
∴|r﹣2|＜|C1C2|＜r+2，即|r﹣2|r+2，
解得：2＜r2，
∴r∈（2，2）．
（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），
直线与圆C1联立，
得（1+k2）x2+6x+5＝0，
由Δ＞0得k2，
x1+x2，x1x2，
∴y1y2＝（kx1+1）（kx2+1）＝k2x1x2+k（x1+x2）+1，
∵，
∴x1x2+y1y2＝（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1＝4，
∴53＝0，
解得：k，
∵k2，
∴k．
（3）由题意得C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝4，
设P（m，n），直线l1和l2的方程分别为y﹣n＝k（x﹣m），y﹣n（x﹣m），
即kx﹣y+n﹣kn＝0，x﹣y+n0，
由题意可知，圆心C1到直线l1的距离等于C2到直线l2的距离，
则，化简得（2﹣m﹣n）k＝m﹣n﹣3或（m﹣n+8）k＝m+n﹣5，
则有或，
故P（，）或（，）．
【点评】本题考查直线与圆，圆与圆的位置关系，是中档题．
19．（2024秋 肇东市校级期末）平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，﹣2），B（﹣3，4），C（0，6）．
（1）求BC边所在的直线方程；
（2）求△ABC的面积．
【考点】直线的一般式方程与直线的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由B，C两点的坐标，得直线的两点式方程，化简得一般式方程；
（2）用两点间距离公式求B，C两点间的距离，计算点A到直线BC的距离可得三角形的高，得三角形的面积．
【解答】解：（1）因为B（﹣3，4），C（0，6），所以BC所在的直线方程为，
即2x﹣3y+18＝0．
（2）B，C两点间的距离为，
点A到直线BC的距离，
所以△ABC的面积为．
【点评】本题考查的知识点：直线的方程的求法，点到直线的距离公式，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
20．（2024秋 重庆期末）已知直线l1：x+y﹣3＝0与直线l2：x﹣3y+1＝0相交于点C，以C为圆心的圆过点A（0，1）．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点B（4，5）的圆C的切线方程．
【考点】圆的切线方程；圆的标准方程．
【专题】综合题；直线与圆．
【答案】（1）（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4；
（2）3x﹣4y+8＝0或x＝4．
【分析】（1）求出交点，可得C的坐标，求出半径，可得圆C的方程；
（2）分情况讨论，切线斜率存在和不存在两种，当切线斜率存在时，设切线l的方程为：y﹣5＝k（x﹣4）化为一般式，利用圆心到直线的距离等于半径运算即可；②当切线斜率不存在时，直接检验即可．
【解答】解：（1）由直线l1：x+y﹣3＝0与直线l2：x﹣3y+1＝0相交于点C，可得C（2，1），
∵以C为圆心的圆过点A（0，1），
∴圆的半径为2，
∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4；
（2）①当切线斜率存在时，设切线l的方程为：y﹣5＝k（x﹣4）
即：kx﹣y+5﹣4k＝0
由2得k，
∴切线方程l：3x﹣4y+8＝0
②当切线斜率不存在时，过点P（4，5）的直线为x＝4
经检验是圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4的切线．
∴切线方程为3x﹣4y+8＝0或x＝4．
【点评】本题主要考查圆的切线方程，其中根据直线斜率是否存在为分类标准，分别求出圆的切线方程，是解答本题的关键．
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